新教材2021-2022學(xué)年人教A版必修第一冊 4.3.1　對數(shù)的概念 學(xué)案.docx

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1、4.3對數(shù) 核心知識目標 核心素養(yǎng)目標 1. 理解對數(shù)的概念和基本性質(zhì)，知道自然對數(shù)和常用對數(shù). 2. 理解并掌握對數(shù)的運算性質(zhì)和對數(shù)的換底公式. 3. 能運用對數(shù)的運算性質(zhì)和對數(shù)的換底公式進行化簡、求值和證明. 4.通過閱讀材料，了解對數(shù)的發(fā)現(xiàn)歷史以及對簡化運算的作用. 1. 通過對數(shù)的概念和基本性質(zhì)的學(xué)習(xí)，達成數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理的核心素養(yǎng). 2. 通過對數(shù)的運算性質(zhì)和對數(shù)的換底公式的應(yīng)用，發(fā)展邏輯推理、數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng). 4.3.1對數(shù)的概念 途冥識探究?—素弟啟_迪_?情境導(dǎo)入 對數(shù)的概念，首先是由蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾(J.Napier,1550- 1617)提出

2、的.那時候天文學(xué)是熱門學(xué)科.可是由于數(shù)學(xué)的局限性，天文學(xué)家不得不花費很大精力去計算那些繁雜的“天文數(shù)字”，浪費了若干年甚至畢生的寶貴時間.納皮爾也是一位天文愛好者，他感到，“沒有什么會比數(shù)學(xué)的演算更加令人煩惱……諸如一些大數(shù)的乘、除、平方、立方、開方……因此我開始考慮……怎樣才能排除這些障礙?”經(jīng)過20年潛心研究大數(shù)的計算技術(shù)，他終于獨立發(fā)明了對數(shù)，并于 1614年出版的名著《奇妙的對數(shù)定律說明書》中闡明了對數(shù)原理，后人稱為納皮爾對數(shù). 探究:對數(shù)主要作用是什么？ 提示：簡化運算. ?知識探究 1.對數(shù)的概念實例某種細胞分裂時，由1個分裂成2個,2個分裂成4個,???. ［問題

3、1-1］那么1個這樣的細胞分裂x次得到細胞個數(shù)N是多少？分裂多少次得到細胞個數(shù)為8個,256個呢？ 提示:N=2',3次,8次. ［問題1-2］如果己知細胞分裂后的個數(shù)N,如何求分裂次數(shù)呢？ 提示：由2,二N可知當N已知時,x的值即為分裂次數(shù). 梳理1對數(shù)的概念⑴若ax=N(a>0,且&尹1),則x叫做以a為底N的對數(shù)，記作x=logaN, 其中a叫做對數(shù)的底數(shù),N叫做真數(shù). ⑵ax=N<=>x=logaN. (3)常用對數(shù)：以10為底，記作lgN. 自然對數(shù)：以無理數(shù)e^2.71828…為底，記作InN. 2. 對數(shù)的性質(zhì)［問題2-1］對數(shù)的概念中，真數(shù)N需滿足什么條件?為

4、什么？提示:真數(shù)N需滿足N>0.由對數(shù)的定義:a=N(a>0,且a尹1),則總有N>0,所以轉(zhuǎn)化為對數(shù)式x=logaN時,不存在NWO的情況. ［問題2-2］對數(shù)的概念中，如果N=l,x的值是多少?N=a時呢？提示：x=0,x=l. ［問題2-3］對數(shù)與指數(shù)之間有怎樣的關(guān)系？ 提示:等價關(guān)系，即當a>0,且a7^1時,ax=N<^>x=logi(N. ［問題2-4］如果將對數(shù)式x=logitN代入到指數(shù)式ax=N中會得到哪個式子？ 提示:好5梳理2對數(shù)的性質(zhì)及對數(shù)的恒等式 (1)負數(shù)和0沒有對數(shù). ⑵logJ^O. (3)logaa=l. ⑷*0gaN=N. ?小試身手

5、1.下列說法正確的是(D)根據(jù)對數(shù)的定義，因為(-2)頃6,所以log(-2)16=4 (A) 對數(shù)式log32與log23的意義一樣因為1;-1,所以logil=a (B) lg10+lne=2解析：因為對數(shù)的底數(shù)a應(yīng)滿足a>0且所以A錯； log32表示以3為底2的對數(shù),log23表示以2為底3的對數(shù)，所以B錯;因為對數(shù)的底數(shù)a應(yīng)滿足a>0且a^l,所以C錯； 由常用對數(shù)和自然對數(shù)定義知lg10=1,Ine=l,故D正確. 2. 若2%b,則下列說法正確的是(B)a=logb2(B)a=log2b (C)2二log!(D)2=logba解析:將指數(shù)式2』b化為對數(shù)式，得a=lo

6、gh故選B. 3. 若logx8=3,則x=?解析：由指對互化知x3=8,所以x=2. 答案：231O832+Iog2l+Iog55=. 解析:因為3log32=2,log2l=0,log55=l,所以原式二2+1=3. 答案：3遍課堂探究—?—素一心有. 三Q探究點一對數(shù)的概念探究角度1對數(shù)式與指數(shù)式的互化 ［例1］將下列對(或指)數(shù)式化成指(或?qū)?數(shù)式. ⑴log^x=3;⑵log\64二-6;(3)3"三;(4)(；)x=16. 94解:(1)因為log歸x=3,所以(V3)3=x. ⑵因為logx64=-6,所以x令二64. ⑶因為3-號,所以1嶗-2. ⑷因為(

7、，=16,所以logil6=x. 即時訓(xùn)練IT:利用指數(shù)式、對數(shù)式的互化求下列各式中x的值. ⑴log2x=-i;⑵logx25=2;￡ (3)log5x2=2;(4)2典3』4. 解：⑴由log2x=-|,得2"二x,所以X=y. ⑵由logx25=2,得x2=25. 因為x>0,且x尹1,所以x=5. ⑶由log5x2=2,得x2=52,所以x=±5. 因為5』25>0,(-5)=25>0,所以x=5或x=-5. ⑷由21O83X=4=22,得log3x=2,所以x=32,即x=9. 孑方法總結(jié) (1)利用對數(shù)與指數(shù)間的互化關(guān)系時,要注意各字母位置的對應(yīng)關(guān)系，其中兩式

8、中的底數(shù)是相同的. ⑵并非任何指數(shù)式都可以直接化為對數(shù)式，如(-3)』9就不能直接寫成log(-3)9=2,只有符合a>0,a乂1且N>0時，才有a=N?x=logaN. (3)求對數(shù)式中x的值,可將對數(shù)式化成指數(shù)式建立x的方程求畫探究角度2對數(shù)的底數(shù)、真數(shù)概念的理解 ［例2］求下列各式中x的取值范圍. (l)log(2x+1)(x+2);⑵軍"5). (x+2>0,(工>_2,解：(1)由題意得2x4-1>0,B|J<%-(2%+1^1.v%0. 解得x>-；且x/0. 所以X的取值范圍是{x|x>-：且X—0}. (XA1,⑵根據(jù)題意得n即1>-￡，(2x+5>0,2 I

9、%>0. 解得x>0且x尹1. 所以X的取值范圍是(x|x>0且xHl}. 即時訓(xùn)練2T:求下列各式中x的取值范圍. (1) lg(x+2T;(2)log(i-2x)(3x+2). 解：⑴由(x+2)2>0得x^-2,故x的取值范圍是(x|xeR且x乂?2}. 3%+2>0,由1-2%>0,解得--

10、)log8[log7(log2x)]=0;⑵log2[log3(log2x)]=l. 解：⑴由log8[log7(log2x)]=0,得log7(log2X)=1,即log2x=7,所以x=27. ⑵由log2[log3(log2X)]=l,所以log3(log2x)=2,所以log2x=9,所以x=29. 即時訓(xùn)練3-1:求下列各式中x的值. (1) lg(lnx)=l;lg(lnx)=0. 解：⑴由lg(lnx)=l得Inx=10,所以x=e,0. ⑵由lg(lnx)=0得Inx=l,所以x=e. 寸方法總結(jié)有關(guān)“底數(shù)”和“1”的對數(shù)，可利用對數(shù)的性質(zhì)知其值為“1”和“0”,

11、化為常數(shù). 三Q探究點三對數(shù)恒等式及其應(yīng)用［例4］求下列各式的值. (1)3logs4.2log23_2+24+log25(2)51+1°g53+102Hg2+eln七解：(1)因為3典34二4,2庭23-2二空竺旦 224，24+iog25=2^.2】°g25=i6X5=80. 所以原式=4X-+80=83. 4⑵因為51+10^3=5?5旋53=5X3=15, 102+lg2=102?10lg2=100X2=200,eln3=3,所以原式=15+200+3=218. 即時訓(xùn)練4-1:己知f(x)=2\則f(2+log23)=. 解析：因為f(x)=2>,所以f(2+log2

12、3)=22+lo^3=22?2,O^3=4X3=12. 答案：12孑方法總結(jié) 形如*0gaN所子可直接利用對數(shù)恒等式片。ga牛N求解(此處a〉0且a"l,N>0). ?課堂達標 1. (多選題)下列指數(shù)式與對數(shù)式互化正確的有(ACD)e°=l與In1=0 (A) log39=2與9「38與三與1ogs|=-i (B) log?7=l與7=7解析:對于A:e°=l可化為0=In1,所以A正確； 對于B:log39=2可化為32=9,所以B不正確；對于C:8土:可化為log^-i所以C正確；對于D:log77=l可化為7*=7,所以D正確.故選ACD. 2. 若x=logil6,則x等于(A)2 (A)-4(B)-3(03(D)4解析:由《)x=16知x=-4.故選A. 3. 在M=log3(x2-x-6)中，要使式子有意義,x的取值范圍是. 解析：由題意,x2-x-6>0,解得x<-2或x>3. 答案：｛xx<-2或x>3)計算:2log23+21og31-31og77+31n1=. 解析：原式二3+2X0-3X1+3X0=0. 答案：0