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小題專練作業(yè)(三) 不等式與線性規(guī)劃
1.設(shè)函數(shù)f(x)=則不等式f(x)>f(1)的解集是( )
A.(-3,1)∪(3,+∞) B.(-3,1)∪(2,+∞)
C.(-1,1)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(1,3)
解析 由題意得,f(1)=3,所以f(x)>f(1),即f(x)>3。當(dāng)x<0時(shí),x+6>3,解得-3
3,解得x>3或0≤x<1。綜上,不等式的解集為(-3,1)∪(3,+∞)。故選A。
答案 A
2.在R上定義運(yùn)算:x?y=x(1-y)。若不等式(x-a)?(x-b)>0的解集是(2,3),則a+b=( )
A.1 B.2 C.4 D.8
解析 由題知(x-a)?(x-b)=(x-a)[1-(x-b)]>0,即(x-a)[x-(b+1)]<0,由于該不等式的解集為(2,3),所以方程(x-a)[x-(b+1)]=0的兩根之和等于5,即a+b+1=5,故a+b=4。故選C。
答案 C
3.已知正數(shù)a,b的等比中項(xiàng)是2,且m=b+,n=a+,則m+n的最小值是( )
A.3 B.4
C.5 D.6
解析 由正數(shù)a,b的等比中項(xiàng)是2,可得ab=4,又m=b+,n=a+,所以m+n=a+b++=a+b+=(a+b)≥2=5,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)等號(hào)成立,故m+n的最小值為5。故選C。
答案 C
4.(2018北京高考)設(shè)集合A={(x,y)|x-y≥1,ax+y>4,x-ay≤2},則( )
A.對(duì)任意實(shí)數(shù)a,(2,1)∈A
B.對(duì)任意實(shí)數(shù)a,(2,1)?A
C.當(dāng)且僅當(dāng)a<0時(shí),(2,1)?A
D.當(dāng)且僅當(dāng)a≤時(shí),(2,1)?A
解析 若(2,1)∈A,則解得a>,所以當(dāng)且僅當(dāng)a≤時(shí),(2,1)?A。故選D。
答案 D
5.(2018重慶聯(lián)考)已知x,y滿足約束條件若z=y(tǒng)-ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一,則實(shí)數(shù)a的值為( )
A.或-1 B.2或
C.2或1 D.2或-1
解析 畫出約束條件所表示的可行域,如圖中陰影部分所示。令z=0,畫出直線y=ax,a=0顯然不滿足題意。當(dāng)a<0時(shí),要使z=y(tǒng)-ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一,則需使直線y=ax與x+y-2=0平行,此時(shí)a=-1;當(dāng)a>0時(shí),要使z=y(tǒng)-ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一,則需使直線y=ax與2x-y+2=0平行,此時(shí)a=2。綜上,a=-1或2。故選D。
答案 D
6.(2018河北聯(lián)考)某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品均需用A,B兩種原料,已知生產(chǎn)1噸每種產(chǎn)品所需原料及每天原料的可用限額如表所示。如果生產(chǎn)1噸甲、乙產(chǎn)品可獲利潤(rùn)分別為3萬(wàn)元、4萬(wàn)元,則該企業(yè)每天可獲得的最大利潤(rùn)為( )
甲
乙
原料限額
A/噸
3
2
12
B/噸
1
2
8
A.15萬(wàn)元 B.16萬(wàn)元
C.17萬(wàn)元 D.18萬(wàn)元
解析 設(shè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品x噸,乙產(chǎn)品y噸,獲利潤(rùn)z萬(wàn)元,由題意可知,z=3x+4y,畫出可行域如圖中陰影部分所示,直線z=3x+4y過(guò)點(diǎn)M時(shí),z=3x+4y取得最大值,由得所以M(2,3),故z=3x+4y的最大值為18。故選D。
答案 D
7.已知實(shí)數(shù)x,y滿足:若z=x+2y的最小值為-4,則實(shí)數(shù)a=( )
A.1 B.2 C.4 D.8
解析 作出不等式組表示的平面區(qū)域,如圖中陰影部分所示,當(dāng)直線z=x+2y經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí),z取得最小值-4,所以-a+2=-4,解得a=2。故選B。
答案 B
8.(2018全國(guó)卷Ⅰ)若x,y滿足約束條件則z=3x+2y的最大值為________。
解析 解法一:作出可行域?yàn)槿鐖D所示的△ABC所表示的陰影區(qū)域,作出直線3x+2y=0,并平移該直線,當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)A(2,0)時(shí),目標(biāo)函數(shù)z=3x+2y取得最大值,且zmax=32+20=6。
解法二:由題知可行域?yàn)橐?A(2,0),B(-1,0),C(-4,-3)圍成的三角形及內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成,由zA=32+20=6,zB=3(-1)+20=-3,zC=3(-4)+2(-3)=-18,得zmax=zA=6。
答案 6
9.若2x+4y=4,則x+2y的最大值是________。
解析 因?yàn)?=2x+4y=2x+22y≥2=2,所以2x+2y≤4=22,即x+2y≤2,所以當(dāng)且僅當(dāng)2x=22y=2,即x=2y=1時(shí),x+2y取得最大值2。
答案 2
10.已知關(guān)于x的不等式2x+≥7在x∈(a,+∞)上恒成立,則實(shí)數(shù)a的最小值為________。
解析 由x>a,知x-a>0,則2x+=2(x-a)++2a≥2 +2a=4+2a,由題意可知4+2a≥7,解得a≥,即實(shí)數(shù)a的最小值為。
答案
11.(2018聊城一模)已知函數(shù)f(x)=|x|(10x-10-x),不等式f(1-2x)+f(3)>0的解集為( )
A.(-∞,2) B.(2,+∞)
C.(-∞,1) D.(1,+∞)
解析 由于f(-x)=-f(x),所以函數(shù)為奇函數(shù),且為定義域R上的單調(diào)遞增函數(shù),故f(1-2x)+f(3)>0?f(1-2x)>-f(3)=f(-3),所以1-2x>-3,解得x<2。故選A。
答案 A
12.(2018福州聯(lián)考)設(shè)x,y滿足約束條件其中a>0,若的最大值為2,則a的值為( )
A. B.
C. D.
解析 設(shè)z=,則y=x,當(dāng)z=2時(shí),y=-x,作出x,y滿足的約束條件
表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示,作出直線y=-x,易知此直線與區(qū)域的邊界線2x-2y-1=0的交點(diǎn)為,當(dāng)直線x=a過(guò)點(diǎn)時(shí)a=,又此時(shí)直線y=x的斜率的最小值為-,即-1+的最小值為-,即z的最大值為2,符合題意,所以a的值為。故選C。
答案 C
13.(2018陜西模擬)已知a>b>1,c<0,在不等式①>;②ln(a+c)>ln(b+c);③(a-c)c<(b-c)c;④bea>aeb中,所有正確命題的序號(hào)是( )
A.①②③ B.①③④
C.②③④ D.①②④
解析 因?yàn)閍>b>1,所以0<<,又c<0,所以>,所以①正確;因?yàn)閍>b>1,c<0,所以不妨取a=3,b=2,c=-4,此時(shí)ln(a+c)>ln(b+c)不成立,所以②錯(cuò)誤;易知函數(shù)y=xα(α<0)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,因?yàn)閍-c>b-c>0,c<0,所以(a-c)c<(b-c)c,所以③正確;令y=(x≠0),則y′=,令y′=0,得x=1,令y′>0,得x>1,故函數(shù)y=在(1,+∞)上單調(diào)遞增,因?yàn)閍>b>1,所以>,即bea>aeb,所以④正確。故選B。
答案 B
14.(2018遼寧重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體模擬)某校的一個(gè)志愿者服務(wù)隊(duì)由高中部學(xué)生組成,成員同時(shí)滿足以下三個(gè)條件:
①高一學(xué)生人數(shù)多于高二學(xué)生人數(shù);
②高二學(xué)生人數(shù)多于高三學(xué)生人數(shù);
③高三學(xué)生人數(shù)的3倍多于高一高二學(xué)生人數(shù)之和。
若高一學(xué)生人數(shù)為7,則該志愿者服務(wù)隊(duì)總?cè)藬?shù)為________。
解析 設(shè)高二、高三人數(shù)分別為x,y(x,y∈N*)人。根據(jù)題意則滿足解得該志愿者服務(wù)隊(duì)總?cè)藬?shù)為x+y+7=5+6+7=18。
答案 18
15.(2018青島模擬)設(shè)a,b為正實(shí)數(shù),現(xiàn)有下列命題:
①若a2-b2=1,則a-b<1;
②若-=1,則a-b<1;
③若|-|=1,則|a-b|<1;
④若|a3-b3|=1,則|a-b|<1。
其中為真命題的是________。(寫出所有真命題的序號(hào))
解析 對(duì)于①,由a2-b2=1,知(a-b)(a+b)=1,因?yàn)閍,b為正實(shí)數(shù),則a+b>a-b>0,所以a-b<1,故①正確。對(duì)于②,不妨取a=2,b=,滿足-=1,但a-b=>1,故②錯(cuò)誤。對(duì)于③,不妨取a=4,b=1,滿足|-|=1,但|a-b|=3>1,故③錯(cuò)誤。對(duì)于④,對(duì)于|a3-b3|=|(a-b)(a2+ab+b2)|=1,若a,b中至少有一個(gè)大于等于1,則a2+ab+b2>1,則|a-b|<1;若a,b都小于1,則|a-b|<1,所以④正確。綜上,①④為真命題。
答案 ①④
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