2018-2019版高中數(shù)學 第四講 數(shù)學歸納法證明不等式 二 用數(shù)學歸納法證明不等式學案 新人教A版選修4-5.docx

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二　用數(shù)學歸納法證明不等式 學習目標　1.會用數(shù)學歸納法證明與正整數(shù)有關的不等式.2.了解貝努利不等式，并會證明貝努利不等式.3.體會歸納—猜想—證明的思想方法． 知識點　用數(shù)學歸納法證明不等式 思考1　用數(shù)學歸納法證明問題必須注意的步驟是什么？ 答案　(1)歸納奠基：驗證初始值n＝n0. (2)歸納遞推：在假設n＝k(k≥n0，k∈N＋)成立的前提下，證明n＝k＋1時問題成立． 思考2　證明不等式與證明等式有什么不同？ 答案　證明不等式需注意的是對式子進行“放縮”． 梳理　(1)利用數(shù)學歸納法證明不等式 在運用數(shù)學歸納法證明不等式時，由n＝k時命題成立，推導n＝k＋1命題成立時，常常要與其他方法，如比較法、分析法、綜合法、放縮法等結(jié)合進行． (2)貝努利(Bernoulli)不等式 如果x是實數(shù)，且x＞－1，x≠0，n為大于1的自然數(shù)，則有(1＋x)n＞1＋nx. (3)貝努利不等式的推廣 事實上，把貝努利不等式中的正整數(shù)n改為實數(shù)α時， 仍有類似不等式成立． ①當α是實數(shù)，并且滿足α＞1或者α＜0時，有(1＋x)α≥1＋αx(x＞－1)； ②當α是實數(shù)，并且滿足0＜α＜1時，有(1＋x)α≤1＋αx(x＞－1)． 類型一　數(shù)學歸納法與放縮法結(jié)合證明不等式 例1　證明：1＋＋＋…＋＜2－(n∈N＋，n≥2)． 證明　(1)當n＝2時，左邊＝1＋＝，右邊＝2－＝，由于＜，因此命題成立． (2)假設當n＝k(k∈N＋，k≥2)時，命題成立， 即1＋＋＋…＋＜2－. 當n＝k＋1時，1＋＋＋…＋＋＜2－＋＜2－＋＝2－＋＝2－， 即當n＝k＋1時，命題成立． 由(1)(2)可知，不等式對一切n∈N＋，n≥2都成立． 反思與感悟　在歸納遞推過程中常用到放縮法，這也是在用數(shù)學歸納法證明不等式問題時常用的方法之一． 跟蹤訓練1　用數(shù)學歸納法證明：1＋＋＋…＋＜n(n∈N＋，n＞1)． 證明　(1)當n＝2時，左邊＝1＋＋，右邊＝2， 左邊＜右邊，不等式成立． (2)假設當n＝k(k＞1，k∈N＋)時，不等式成立， 即1＋＋＋…＋2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>.觀察上述結(jié)果，可推測出一般結(jié)論(　　) A．f(2n)> B．f(n2)> C．f(2n)≥ D．以上都不正確 答案　C 解析　由f(2)＝，f(22)＞，f(23)＞， f(24)＞，f(25)＞， 可推測出f(2n)≥. 二、填空題 7．證明：＜1＋＋＋…＋＜n＋1(n＞1)，當n＝2時，要證明的式子為________________． 答案　2＜1＋＋＋＜3 解析　當n＝2時， 要證明的式子為2＜1＋＋＋＜3. 8．以下是用數(shù)學歸納法證明“n∈N＋時，2n＞n2”的過程，證明： (1)當n＝1時，21＞12，不等式顯然成立． (2)假設當n＝k(k∈N＋)時不等式成立，即2k＞k2. 那么，當n＝k＋1時，2k＋1＝22k＝2k＋2k＞k2＋k2≥k2＋2k＋1＝(k＋1)2. 即當n＝k＋1時不等式也成立． 根據(jù)(1)和(2)可知，對任何n∈N＋不等式都成立． 其中錯誤的步驟為________．(填序號) 答案　(2) 解析　在2k＋1＝22k＝2k＋2k＞k2＋k2≥k2＋2k＋1中用了k2≥2k＋1，這是一個不確定的結(jié)論． 如k＝2時，k2＜2k＋1. 9．用數(shù)學歸納法證明“對于足夠大的自然數(shù)n，總有2n>n3”時，驗證第一步不等式成立所取的第一個值n0最小應當是________． 答案　10 10．用數(shù)學歸納法證明“2n＞n2＋1對于n≥n0的正整數(shù)n都成立”時，第一步證明中的起始值n0應取________． 答案　5 解析　n取1,2,3,4時不等式不成立，起始值為5. 三、解答題 11．用數(shù)學歸納法證明：對一切大于1的自然數(shù)n，不等式…>成立． 證明　(1)當n＝2時，左邊＝1＋＝，右邊＝， 左邊>右邊，所以不等式成立． (2)假設當n＝k(k≥2且k∈N＋)時，不等式成立， 即…>， 那么當n＝k＋1時， > ＝＝> ＝＝， 所以當n＝k＋1時，不等式也成立． 由(1)(2)知，對一切大于1的自然數(shù)n，不等式都成立． 12．已知Sn＝1＋＋＋…＋(n＞1，且n∈N＋)，求證：＞1＋. 證明　(1)當n＝2時，＝1＋＋＋＝＞1＋，即n＝2時命題成立． (2)假設當n＝k(k＞2，k∈N＋)時，命題成立， 即＝1＋＋＋…＋＞1＋. 當n＝k＋1時， ＝1＋＋＋…＋＋＋…＋ 共項 ＞1＋＋＋＋…＋ ＞1＋＋ ＝1＋＋ ＝1＋， 故當n＝k＋1時，命題也成立． 由(1)(2)知，對n∈N＋，n＞2，＞1＋成立． 13．已知遞增等差數(shù)列{an}滿足：a1＝1，且a1，a2，a4成等比數(shù)列． (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)若不等式…≤對任意n∈N＋恒成立，試猜想出實數(shù)m的最小值，并證明． 解　(1)設數(shù)列{an}公差為d(d>0)， 由題意可知a1a4＝a，即1(1＋3d)＝(1＋d)2， 解得d＝1或d＝0(舍去)． 所以an＝1＋(n－1)1＝n. (2)不等式等價于…≤， 當n＝1時，m≥； 當n＝2時，m≥； 而>，所以猜想，m的最小值為. 下面證不等式…≤對任意n∈N＋恒成立． 證明：①當n＝1時，≤＝，命題成立． ②假設當n＝k(k≥1，k∈N＋)時， 不等式…≤成立， 當n＝k＋1時， …≤， 只需證≤， 只需證≤， 只需證≤2k＋2， 只需證4k2＋8k＋3≤4k2＋8k＋4， 即證3≤4，顯然成立． 所以，對任意n∈N＋，不等式 …≤恒成立． 四、探究與拓展 14．求證：＋＋…＋＜(n∈N＋)． 證明　(1)當n＝1時， 左邊＝，右邊＝1，左邊＜右邊， 所以不等式成立． (2)假設當n＝k(k≥1，k∈N＋)時不等式成立， 即＋＋…＋＜成立， 則當n＝k＋1時， ＋＋…＋＋ ＜＋， 只需證明＋＜即可， 即證－＞， 即證＞＋， 即證(－1)＞， 而當k≥1時上式顯然成立， 所以當n＝k＋1時，不等式也成立． 由(1)(2)可知，不等式對所有n∈N＋都成立．