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3.6 對數與對數函數
最新考綱
考情考向分析
1.理解對數的概念，掌握對數的運算，會用換底公式．
2.理解對數函數的概念，掌握對數函數的圖象、性質及應用．
3.了解對數函數的變化特征.
以比較對數函數值大小的形式考查函數的單調性；以復合函數的形式考查對數函數的圖象與性質，題型一般為選擇、填空題，中低檔難度.
1．對數的概念
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么數x叫做以a為底N的對數，記作x＝logaN，其中a叫做對數的底數，N叫做真數．
2．對數的性質與運算法則
(1)對數的運算法則
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM (n∈R)．
(2)對數的性質
①＝N；②logaaN＝N(a>0，且a≠1)．
(3)對數的換底公式
logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．
3．對數函數的圖象與性質
y＝logax
a>1
0
1時，y>0；
當01時，y<0；
當00
(6)在(0，＋∞)上是增函數
(7)在(0，＋∞)上是減函數
4．反函數
指數函數y＝ax(a>0且a≠1)與對數函數y＝logax(a>0且a≠1)互為反函數，它們的圖象關于直線y＝x對稱．
概念方法微思考
1．根據對數換底公式：①說出logab，logba的關系？
②化簡.
提示?、賚ogablogba＝1；②＝logab.
2．如圖給出4個對數函數的圖象．比較a，b，c，d與1的大小關系．
提示 00，則loga(MN)＝logaM＋logaN.( )
(2)logaxlogay＝loga (x＋y)．( )
(3)函數y＝log2x及y＝3x都是對數函數．( )
(4)對數函數y＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是增函數．( )
(5)函數y＝ln與y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定義域相同．( √ )
(6)對數函數y＝logax(a>0且a≠1)的圖象過定點(1,0)且過點(a,1)，，函數圖象只在第一、四象限．( √ )
題組二 教材改編
2．[P74T3]lg－＋lg7＝.
答案
解析 原式＝lg4＋lg2－lg7－lg8＋lg7＋lg5
＝2lg2＋(lg2＋lg5)－2lg2＝.
3．[P82A組T6]已知a＝，b＝log2，c＝，則a，b，c的大小關系為．
答案 c>a>b
解析 ∵01.∴c>a>b.
4．[P74A組T7]函數y＝的定義域是．
答案
解析 由(2x－1)≥0，得0<2x－1≤1.∴0，log5b＝a，lgb＝c,5d＝10，則下列等式一定成立的是( )
A．d＝ac B．a＝cd
C．c＝ad D．d＝a＋c
答案 B
6.已知函數y＝loga(x＋c)(a，c為常數，其中a>0，a≠1)的圖象如圖，則下列結論成立的是( )
A．a>1，c>1
B．a>1,01
D．00且a≠1)的圖象如圖所示，則下列函數圖象正確的是( )
答案 B
解析 由題意y＝logax(a>0且a≠1)的圖象過(3,1)點，可解得a＝3.選項A中，y＝3－x＝x，顯然圖象錯誤；選項B中，y＝x3，由冪函數圖象性質可知正確；選項C中，y＝(－x)3＝－x3，顯然與所畫圖象不符；選項D中，y＝log3(－x)的圖象與y＝log3x的圖象關于y軸對稱，顯然不符，故選B.
(2)當01時不滿足條件，當0，
所以a的取值范圍為.
引申探究
若本例(2)變?yōu)榉匠?x＝logax在上有解，則實數a的取值范圍為．
答案
解析 若方程4x＝logax在上有解，
則函數y＝4x和函數y＝logax在上有交點，
由圖象知解得01時，直線y＝－x＋a與y＝log2x只有一個交點．
題型三 對數函數的性質及應用
命題點1 比較對數值的大小
例2設a＝log412，b＝log515，c＝log618，則( )
A．a>b>c B．b>c>a
C．a>c>b D．c>b>a
答案 A
解析 a＝1＋log43，b＝1＋log53，c＝1＋log63，
∵log43>log53>log63，∴a>b>c.
命題點2 解對數方程、不等式
例3(1)方程log2(x－1)＝2－log2(x＋1)的解為．
答案 x＝
解析 原方程變形為log2(x－1)＋log2(x＋1)＝log2(x2－1)＝2，即x2－1＝4，解得x＝，又x>1，所以x＝.
(2)已知不等式logx(2x2＋1)0在區(qū)間(－∞，－2]上恒成立且函數y＝x2－ax－3a在(－∞，－2]上單調遞減，則≥－2且(－2)2－(－2)a－3a>0，解得實數a的取值范圍是[－4,4)，故選D.
(2)函數f(x)＝log2log(2x)的最小值為．
答案 －
解析 依題意得f(x)＝log2x(2＋2log2x)＝(log2x)2＋log2x＝2－≥－，當log2x＝
－，即x＝時等號成立，所以函數f(x)的最小值為－.
思維升華利用對數函數的性質，求與對數函數有關的函數值域和復合函數的單調性問題，必須弄清三方面的問題：一是定義域，所有問題都必須在定義域內討論；二是底數與1的大小關系；三是復合函數的構成，即它是由哪些基本初等函數復合而成的．另外，解題時要注意數形結合、分類討論、轉化與化歸思想的應用．
跟蹤訓練2(1)設a＝log32，b＝log52，c＝log23，則( )
A．a>c>b B．b>c>a
C．c>b>a D．c>a>b
答案 D
解析 a＝log32log22＝1，所以c最大．
由1，即a>b，
所以c>a>b.
(2)若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在區(qū)間(－∞，1]上單調遞減，則a的取值范圍為．
答案 [1,2)
解析 令函數g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，對稱軸為x＝a，要使函數在(－∞，1]上單調遞減，則有即
解得1≤a<2，即a∈[1,2)．
(3)已知函數f(x)＝loga(8－ax)(a>0，且a≠1)，若f(x)>1在區(qū)間[1,2]上恒成立，則實數a的取值范圍是．
答案
解析 當a>1時，f(x)＝loga(8－ax)在[1,2]上是減函數，由f(x)>1在區(qū)間[1,2]上恒成立，
則f(x)min＝f(2)＝loga(8－2a)>1，且8－2a>0，
解得11在區(qū)間[1,2]上恒成立，
則f(x)min＝f(1)＝loga(8－a)>1，且8－2a>0.
∴a>4，且a<4，故不存在．
綜上可知，實數a的取值范圍是.
比較指數式、對數式的大小
比較大小問題是每年高考的必考內容之一．
(1)比較指數式和對數式的大小，可以利用函數的單調性，引入中間量；有時也可用數形結合的方法．
(2)解題時要根據實際情況來構造相應的函數，利用函數單調性進行比較，若指數相同而底數不同，則構造冪函數，若底數相同而指數不同，則構造指數函數，若引入中間量，一般選0或1.
例 (1)設a＝0.50.5，b＝0.30.5，c＝log0.30.2，則a，b，c的大小關系是( )
A．clog0.30.3＝1，即c>1.
所以b1，b＝log0.40.5∈(0,1)，c＝log80.4<0，∴a>b>c.故選B.
(3)由loga2log0.21＝0，
b＝log20.3log0.30.4>log0.31＝0，
∴0<<1，∴ab0，b>0，可排除A，D；
設＝t，則a＝bt，若lna－lnb＝a－3b，
則有l(wèi)nt＝bt－3b，b＝，由b＝＞0，
得03，不能確定a0,11，a>b，C正確，故選C.
14．定義區(qū)間[x1，x2](x1＜x2)的長度等于x2－x1.函數y＝|logax|(a＞1)的定義域為[m，n](m＜n)，值域為[0,1]．若區(qū)間[m，n]的長度的最小值為，則實數a的值為．
答案 4
解析 作出函數y＝|logax|的圖象(圖略)，要使定義域區(qū)間[m，n]的長度最小，則[m，n]＝或[m，n]＝[1，a]．若1－＝，則a＝4，此時a－1＝3，符合題意．若a－1＝，則a＝，此時1－＝＜，不符合題意，所以a＝4.
15．(2018浙江杭州二中月考)若函數y＝lg的圖象關于點M對稱，則點M的坐標是( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 設M(m,0)，點P(x，y)是函數y＝lg的圖象上任意一點，則點P(x，y)關于點M(m,0)的對稱點Q(2m－x，－y)也是函數y＝lg的圖象上一點．
從而有y＝lg，且－y＝lg，
所以lg＝－lg，
即lg＝lg＝lg恒成立，
從而有＝，
所以m＝－，故選D.
16．(2018浙江鎮(zhèn)海中學模擬)函數f(x)＝若a，b，c，d互不相同，且f(a)＝f(b)＝f(c)＝f(d)，求abcd的取值范圍．
解 不妨設a＜b＜c＜d，則a，b滿足|log2a|＝|log2b|，即－log2a＝log2b，所以ab＝1；
c，d是二次方程x2－12x＋34＝k，k∈(0,2)在區(qū)間(4，＋∞)上的兩個不相等的根，則cd＝34－k，所以cd∈(32,34)．
故abcd的取值范圍是(32,34)．
（浙江專用）2020版高考數學新增分大一輪復習 第三章 函數概念與基本初等函數Ⅰ3.6 對數與對數函數講義（含解析）.docx
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