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單元質(zhì)檢七 不等式、推理與證明
(時(shí)間:120分鐘 滿分:150分)
一、選擇題(本大題共10小題,每小題4分,共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)
1.已知不等式x2-2x-3<0的解集為A,不等式x2+x-6<0的解集為B,不等式x2+ax+b<0的解集為A∩B,則a+b等于 ( )
A.-3 B.1 C.-1 D.3
答案A
解析由題意,得集合A={x|-1
y B.x0,∴a+b2>ab,2aba+b<2ab2ab=ab.
∴x>y.故選A.
4.(2018寧波效實(shí)中學(xué)高三模擬)“|x-a|0在區(qū)間(1,4)內(nèi)有解,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.(-∞,-2) B.(-2,+∞)
C.(-6,+∞) D.(-∞,-6)
答案A
解析不等式x2-4x-2-a>0在區(qū)間(1,4)內(nèi)有解等價(jià)于a<(x2-4x-2)max,x∈(1,4),令g(x)=x2-4x-2,x∈(1,4),
∴g(x)0時(shí),直線經(jīng)過A時(shí)z取得最大值.即ax+y=10,將A(3,4)代入得3a+4=10,解得a=2.
當(dāng)a≤0時(shí),
直線經(jīng)過A時(shí)z取得最大值.
即ax+y=10,將A(3,4)代入得
3a+4=10,解得a=2.與a≤0矛盾,綜上a=2.
10.(2018浙江嘉興4月模擬)已知x+y=1x+4y+8(x,y>0),則x+y的最小值為( )
A.53 B.9 C.4+26 D.10
答案B
解析因?yàn)閤+y=1x+4y+8,所以x+y-8=1x+4y,兩邊同時(shí)乘“x+y”,得(x+y-8)(x+y)=1x+4y(x+y).
所以(x+y-8)(x+y)=5+yx+4xy≥9,當(dāng)且僅當(dāng)y=2x時(shí)等號成立.
令t=x+y,所以(t-8)t≥9,解得t≤-1或t≥9.
因?yàn)閤+y>0,所以x+y≥9,即(x+y)min=9.故選B.
二、填空題(本大題共7小題,多空題每小題6分,單空題每小題4分,共36分.將答案填在題中橫線上)
11.已知正實(shí)數(shù)x,y滿足x+2y-xy=0,則x+2y的最小值為 ,y的取值范圍是 .
答案8 (1,+∞)
解析∵正實(shí)數(shù)x,y滿足x+2y-xy=0,
∴x+2y=122xy≤12x+2y22,化為(x+2y)(x+2y-8)≥0,解得x+2y≥8,當(dāng)且僅當(dāng)y=2,x=4時(shí)取等號.
則x+2y的最小值為8.由正實(shí)數(shù)x,y滿足x+2y-xy=0,∴x=2yy-1>0,
∴y(y-1)>0,解得y>1.∴y的取值范圍是(1,+∞).
12.已知整數(shù)x,y滿足不等式y(tǒng)≥x,x+y>4,x-2y+8>0,則2x+y的最大值是 ,x2+y2的最小值是 .
答案24 8
解析由約束條件y≥x,x+y>4,x-2y+8>0作出可行域如圖,
由z=2x+y,得y=-2x+z,由圖可知,當(dāng)直線y=-2x+z過點(diǎn)A時(shí),直線在y軸上的截距最大,
由x=y,x-2y+8=0可得x=8,y=8,所以A點(diǎn)坐標(biāo)為(8,8).
z最大值為28+8=24.
x2+y2的最小值是可行域的點(diǎn)B到原點(diǎn)距離的平方,
由x+y=4,y=x可得B(2,2).可得22+22=8.
13.已知點(diǎn)A(3,3),O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)P(x,y)滿足3x-y≤0,x-3y+2≥0,y≥0,則滿足條件的點(diǎn)P所形成的平面區(qū)域的面積為 ,OAOP|OA|的最大值是 .
答案3 3
解析不等式組表示的可行域是以B(-2,0),O(0,0),C(1,3)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域(含邊界)圖略,其面積為1223=3.
設(shè)向量OA與OP的夾角為θ,易知∠AOC=30,∠AOB=150,∴30≤θ≤150.
又OAOP|OA|=|OP|cosθ,要使OAOP|OA|取到最大值,
則30≤θ≤90,此時(shí)0≤cosθ≤32,1≤|OP|≤2,且cosθ取到最大值32時(shí),|OP|也取到最大值2,故OAOP|OA|的最大值為322=3.
14.(2017浙江金華調(diào)研改編)已知不等式|x+1|-|x-3|>a,若該不等式有解,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 ,若該不等式的解集為R,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 .
答案(-∞,4) (-∞,-4)
解析由||x+1|-|x-3||≤|x+1-(x-3)|=4.
可得-4≤|x+1|-|x-3|≤4.
(1)若不等式有解,則a<4;
(2)若不等式的解集為R,則a<-4.
15.若函數(shù)f(x)=|x+1|+2|x-a|的最小值為5,則實(shí)數(shù)a為 .
答案-6或4
解析∵函數(shù)f(x)=|x+1|+2|x-a|,
∴當(dāng)a<-1時(shí),f(x)=-3x+2a-1,x≤a,x-2a-1,ak的解集為{x|x<-3,或x>-2},求k的值;
(2)若對任意x>0,f(x)≤t恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.
解(1)f(x)>k?kx2-2x+6k<0,
由已知其解集為{x|x<-3,或x>-2},
得x1=-3,x2=-2是關(guān)于x的方程kx2-2x+6k=0的兩根,則-2-3=2k,解得k=-25.
(2)∵x>0,∴f(x)=2xx2+6=2x+6x≤66(當(dāng)且僅當(dāng)x=6時(shí),等號成立),又已知f(x)≤t對任意x>0恒成立,
∴實(shí)數(shù)t的取值范圍是66,+∞.
19.(15分)設(shè)f(x)=11+x,數(shù)列{an}滿足a1=12,an+1=f(an),n∈N*.
(1)若λ1,λ2為方程f(x)=x的兩個不相等的實(shí)根,證明:數(shù)列an-λ1an-λ2為等比數(shù)列;
(2)證明:存在實(shí)數(shù)m,使得對任意n∈N*,a2n-1f(a2k+1)>f(m)>f(a2k+2)>f(a2k),∴a2k>a2k+2>m>a2k+3>a2k+1,
由m>a2k+3>a2k+1,得f(m)1,-(x+1),x<1.
②當(dāng)x>1時(shí),φ(x)>2,a≤2.
③當(dāng)x<1時(shí),φ(x)>-2,此時(shí)a≤-2.
綜合①②③,得所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≤-2.
(2)由題意易知f(x)=x2-ax+a-1,1≤x≤2,x2+ax-a-1,-2≤x<1,f(1)=0,f(2)=3-a,f(-2)=3-3a,
①當(dāng)a≥3時(shí),∵a2≥32,-a2≤-32,
∴f(-2)a,3-a>0,
∴f(-2)≤f(2),f(1)≤f(2)=3-a,即M(a)=3-a;
③當(dāng)a<0時(shí),∵a2<0,-a2>0,
∴f(1)2ln(2an+1).
證明(1)∵an>0,an+1≤32an2-an3,
∴an+1-an≤-an3+32an2-an=-anan2-32an+1<0.
∴an+1an+12an2.要證bnan>an+12an2,只需證bn>an+12an,
∵bn=(2an-an+1)an+1,∴只需證2an-an+1>an+1an,
只需證an+1<2an2an+1,
又∵an+1≤32an2-an3,且32an2-an3<2an2an+1,
∴an+1<2an2an+1.∴bnan>an+12an2,
由累乘法可得b1b2…bna1a2…an>an+12a12=4an+12,
∴l(xiāng)nb1b2…bna1a2…an>an+12a12=ln(4an+12).
∴l(xiāng)nb1a1+lnb2a2+…+lnbnan>2ln(2an+1).
22.(15分)已知數(shù)列{an}中,滿足a1=12,an+1=an+12,記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.
(1)證明:an+1>an;
(2)證明:an=cosπ32n-1;
(3)證明:Sn>n-27+π254.
證明(1)因?yàn)?an+12-2an2=an+1-2an2=(1-an)(1+2an),
所以只需要證明an<1即可.
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:
當(dāng)n=1時(shí),a1=12<1成立,假設(shè)n=k時(shí),ak<1成立,
那么當(dāng)n=k+1時(shí),ak+1=ak+12<1+12=1,
所以綜上所述,對任意的正整數(shù)n,an<1.所以an+1>an.
(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明an=cosπ32n-1.
當(dāng)n=1時(shí),a1=12=cosπ3成立,
假設(shè)n=k時(shí),ak=cosπ32k-1,
那么當(dāng)n=k+1時(shí),ak+1=ak+12=cosπ32k-1+12=cosπ32k.所以綜上所述,對任意n,an=cosπ32n-1.
(3)1-an-12=1-an-1+12=1-an2=sin2π32n-1<π32n-12,得an-1>1-2π294n-1.故Sn>∑i=2n1-2π294i+12=n-12-2π29431161-14n-1>n-27+π254.
（浙江專用）2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第七章 不等式、推理與證明單元質(zhì)檢.docx
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