（浙江專用）2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十章 計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布 考點(diǎn)規(guī)范練56 離散型隨機(jī)變量的均值與方差.docx

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考點(diǎn)規(guī)范練56　離散型隨機(jī)變量的均值與方差 基礎(chǔ)鞏固組 1.已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為 X 1 2 3 P 35 310 110 則X的數(shù)學(xué)期望E(X)=(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.32 B.2 C.52 D.3 答案A 解析E(X)=135+2310+3110=32.故選A. 2.若隨機(jī)變量X的分布列如下表,且E(X)=2,則D(2X-3)= (　　) X 0 2 a P 16 p 13 A.2 B.3 C.4 D.5 答案C 解析由題意可得16+p+13=1,解得p=12,因?yàn)镋(X)=2,所以016+212+a13=2,解得a=3.所以D(X)=(0-2)216+(2-2)212+(3-2)213=1.所以D(2X-3)=4D(X)=4.故選C. 3.若ξ~B(n,p),且E(ξ)=6,D(ξ)=3,則P(ξ=1)的值為(　　) A.32-2 B.32-10 C.2-4 D.2-8 答案B 解析E(ξ)=np=6,D(ξ)=np(1-p)=3?p=12,n=12,P(ξ=1)=C1211212=3210. 4.隨機(jī)變量X的分布列為 X 1 2 4 P 0.4 0.3 0.3 則E(5X+4)=(　　) A.11 B.15 C.35 D.39 答案B 解析E(X)=10.4+20.3+40.3=2.2. 所以E(5X+4)=5E(X)+4=15.故選B. 5.(2017浙江紹興期中)已知隨機(jī)變量ξ的分布列為下表所示,若E(ξ)=14,則D(ξ)=(　　) ξ -1 0 1 P 13 a b A.56 B.4148 C.1 D.23 答案B 解析由E(ξ)=-113+0a+1b=14,整理得b=712, 由13+a+b=1,得a=1-13-712=112,所以D(ξ)=-1-14213+0-142112+1-142712=4148. 6.設(shè)一隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果只有A和A,且P(A)=p,令隨機(jī)變量X=1,A出現(xiàn),0,A不出現(xiàn),則X的方差D(X)等于　　　　　. 答案p(1-p) 解析X服從兩點(diǎn)分布,故D(X)=p(1-p). 7.隨機(jī)變量ξ的分布列如下: ξ -1 0 1 P a b c 其中a,b,c成等差數(shù)列,若E(ξ)=13,則D(ξ)的值是　　　　　. 答案59 解析由題意得a+b+c=12b=a+c?b=13,a+c=23,又E(ξ)=-a+c=13,所以a+c=23-a+c=13?a=16,c=12. 故D(ξ)=E(ξ2)-E(ξ)2=16+12-19=59. 8.盒中有大小相同的5個(gè)白球和3個(gè)黑球,從中隨機(jī)摸出3個(gè)小球,記摸到黑球的個(gè)數(shù)為X,則P(X=2)=　　　　　,E(X)=　　　　　. 答案1556　98 解析P(X=2)=C51C32C83=1556,P(X=0)=C53C83=1056, P(X=1)=C52C31C83=3056,P(X=3)=C33C83=156, 所以ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 P 1056 3056 1556 156 E(X)=130+215+3156=6356=98. 能力提升組 9.已知X的分布列為 X -1 0 1 P 12 13 16 且Y=aX+3,E(Y)=73,則a的值為(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案B 解析E(X)=-112+013+116=-13,E(Y)=E(aX+3)=aE(X)+3=-13a+3=73,所以a=2.故選B. 10.若p為非負(fù)實(shí)數(shù),隨機(jī)變量ξ的分布列為 ξ 0 1 2 P 12-p p 12 則E(ξ)的最大值為(　　) A.1 B.32 C.52 D.2 答案B 解析由0≤p≤12,0≤12-p≤12,得0≤p≤12,E(ξ)=p+1≤32. 11.某抽簽盒中有編號(hào)為1,2,3,4,5,6的六支簽,從中任意取3支,設(shè)X為這3支簽的號(hào)碼中最大的一個(gè),則X的數(shù)學(xué)期望為(　　) A.5 B.5.25 C.5.8 D.4.6 答案B 解析由題意可知,X可以取3,4,5,6, P(X=3)=1C63=120,P(X=4)=C32C63=320, P(X=5)=C42C63=310,P(X=6)=C52C63=12. 由數(shù)學(xué)期望的定義可求得E(X)=3120+4320+5310+612=5.25. 12.設(shè)0p2,E(ξ1)E(ξ2) C.p1>p2,E(ξ1)>E(ξ2) D.p10,所以p1>p2. 14. 如圖,將一個(gè)各面都涂了油漆的正方體,切割為125個(gè)同樣大小的小正方體,經(jīng)過(guò)攪拌后,從中抽取一個(gè)小正方體,記它的涂漆面數(shù)為X,則X的均值E(X)=　　　　　. 答案65 解析由題意知,X可能的取值為0,1,2,3. 若X=0,觀察知題圖中位于大正方體內(nèi)部的27個(gè)小正方體無(wú)涂漆面,則P(X=0)=27125; 若X=1,觀察知題圖中位于各面中部的9個(gè)小正方體涂1面漆,則P(X=1)=69125=54125; 若X=2,觀察知題圖中位于各棱中部的3個(gè)小正方體涂2面漆,則P(X=2)=123125=36125; 若X=3,觀察知題圖中位于大正方體頂點(diǎn)處的8個(gè)小正方體涂3面漆,則P(X=3)=8125. 故E(X)=027125+154125+236125+38125=65. 15.某人喜歡玩有三個(gè)關(guān)卡的通關(guān)游戲,根據(jù)他的游玩經(jīng)驗(yàn),每次開啟一個(gè)新的游戲,這三個(gè)關(guān)卡他能夠通過(guò)的概率分別為12,13,14(這個(gè)游戲的游戲規(guī)則是:如果玩者沒(méi)有通過(guò)上一個(gè)關(guān)卡,他照樣可以玩下一個(gè)關(guān)卡,但玩該游戲的得分會(huì)有影響).則此人在開啟一個(gè)這種新的游戲時(shí),他能夠通過(guò)兩個(gè)關(guān)卡的概率為　　　　　,設(shè)X表示他能夠通過(guò)此游戲的關(guān)卡的個(gè)數(shù),則隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為　　　　　. 答案14　1312 解析隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,3. 又P(X=2)=1-121314+121-1314+12131-14=14, P(X=0)=1-121-131-14=14, P(X=1)=121-131-14+1-12131-14+1-121-1314=1124, P(X=3)=121314=124.所以隨機(jī)變量X的分布列為 X 0 1 2 3 P 14 1124 14 124 隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=014+11124+214+3124=1312. 16.一個(gè)口袋里裝有大小相同的6個(gè)小球,其中紅色、黃色、綠色的球各2個(gè),現(xiàn)從中任意取出3個(gè)小球,其中恰有2個(gè)小球同顏色的概率是　　　　　.若取到紅球得1分,取到黃球得2分,取到綠球得3分,記變量ξ為取出的三個(gè)小球得分之和,則ξ的期望為　　　　　. 答案35　6 解析根據(jù)題意,知任取3個(gè)小球共有C63=20(種)取法,而其中恰有2個(gè)小球同顏色的有3C22C41=12(種)取法,故所求概率為P=1220=35. 由題意得,隨機(jī)變量ξ的可能取值為4,5,6,7,8,P(ξ=4)=C22C2120=110,P(ξ=5)=2C22C2120=15,P(ξ=6)=C21C21C2120=25,P(ξ=7)=2C22C2120=15,P(ξ=8)=C22C2120=110, 因此E(ξ)=4110+515+625+715+8110=6. 17.為迎接2022年北京冬奧會(huì),推廣滑雪運(yùn)動(dòng),某滑雪場(chǎng)開展滑雪促銷活動(dòng).該滑雪場(chǎng)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是:滑雪時(shí)間不超過(guò)1小時(shí)免費(fèi),超過(guò)1小時(shí)的部分每小時(shí)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為40元(不足1小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算).有甲、乙兩人相互獨(dú)立地來(lái)該滑雪場(chǎng)運(yùn)動(dòng),設(shè)甲、乙不超過(guò)1小時(shí)離開的概率分別為14,16;1小時(shí)以上且不超過(guò)2小時(shí)離開的概率分別為12,23;兩人滑雪時(shí)間都不會(huì)超過(guò)3小時(shí). (1)求甲、乙兩人所付滑雪費(fèi)用相同的概率; (2)設(shè)甲、乙兩人所付的滑雪費(fèi)用之和為隨機(jī)變量ξ,求ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望E(ξ),方差D(ξ). 解(1)兩人所付費(fèi)用相同,相同的費(fèi)用可能為0,40,80元, 兩人都付0元的概率為P1=1416=124, 兩人都付40元的概率為P2=1223=13, 兩人都付80元的概率為 P3=1-14-121-16-23=1416=124, 則兩人所付費(fèi)用相同的概率為P=P1+P2+P3=124+13+124=512. (2)設(shè)甲、乙所付費(fèi)用之和為ξ,則ξ的可能取值為0,40,80,120,160,則 P(ξ=0)=1416=124, P(ξ=40)=1423+1216=14, P(ξ=80)=1416+1223+1416=512, P(ξ=120)=1216+1423=14, P(ξ=160)=1416=124. 所以ξ的分布列為 ξ 0 40 80 120 160 P 124 14 512 14 124 E(ξ)=0124+4014+80512+12014+160124=80, D(ξ)=(0-80)2124+(40-80)214+(80-80)2512+(120-80)214+(160-80)2124=40003. 18.某公司采用招考的方式引進(jìn)人才,規(guī)定必須在B,C,D三個(gè)測(cè)試點(diǎn)中任意選取兩個(gè)進(jìn)行測(cè)試,若在這兩個(gè)測(cè)試點(diǎn)都測(cè)試合格,則可參加面試,否則不被錄用,已知考生在每個(gè)測(cè)試點(diǎn)測(cè)試結(jié)果互不影響,若考生小李和小王一起前來(lái)參加招考,小李在測(cè)試點(diǎn)B,C,D測(cè)試合格的概率分別為23,13,12,小王在上述三個(gè)測(cè)試點(diǎn)測(cè)試合格的概率都是23. (1)小李選擇哪兩個(gè)測(cè)試點(diǎn)測(cè)試才能使得可以參加面試的可能性最大?請(qǐng)說(shuō)明理由; (2)假設(shè)小李選擇測(cè)試點(diǎn)B,C進(jìn)行測(cè)試,小王選擇測(cè)試點(diǎn)B,D進(jìn)行測(cè)試,記X為兩人在各測(cè)試點(diǎn)測(cè)試合格的測(cè)試點(diǎn)個(gè)數(shù)之和,求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X). 解(1)設(shè)考生小李在B,C,D各測(cè)試點(diǎn)測(cè)試合格記為事件B,C,D,且各個(gè)事件相互獨(dú)立,由題意P(B)=23,P(C)=13,P(D)=12. 若選擇在B,C測(cè)試點(diǎn)測(cè)試,則參加面試的概率為P1=P(BC)=P(B)P(C)=2313=29;若選擇在B,D測(cè)試點(diǎn)測(cè)試,則參加面試的概率為P2=P(BD)=P(B)P(D)=2312=13;若選擇在C,D測(cè)試點(diǎn)測(cè)試,則參加面試的概率為P3=P(CD)=P(C)P(D)=1312=16.因?yàn)镻2>P1>P3,所以小李選擇在B,D測(cè)試點(diǎn)測(cè)試參加面試的可能性最大. (2)記小李在B,C測(cè)試點(diǎn)測(cè)試合格為事件X1,X2,記小王在B,D測(cè)試點(diǎn)測(cè)試合格為事件Y1,Y2, 則P(X1)=P(Y1)=P(Y2)=23,P(X2)=13,且X的所有可能取值為0,1,2,3,4, 所以P(X=0)=P(X1X2Y1Y2)=1323232=281; P(X=1)=P(X1X2Y1Y2+XX2Y1Y2+X1X2Y1Y2+X1X2Y1Y2)=3232133+234=1381; P(X=2)=P(X1X2Y1Y2+X1X2Y1Y2+X1X2Y1Y2+X1X2Y1Y2+X1X2Y1Y2+X1X2Y1Y2)=323133+313233=1027; P(X=3)=P(X1X2Y1Y2+X1X2Y1Y2+X1X2Y1Y2+X1X2Y1Y2)=3232133+234=2881; P(X=4)=P(X1X2Y1Y2)=13232=881. 所以X的分布列為 X 0 1 2 3 4 P 281 1381 1027 2881 881 E(X)=0281+11381+21027+32881+4881=73.