陜西省周至縣高中數(shù)學(xué) 第一章 推理與證明 1.4 數(shù)學(xué)歸納法 第二課時(shí)教案 北師大版選修2-2.doc

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1.4數(shù)學(xué)歸納法 教學(xué)目標(biāo): 1、知識(shí)與技能 (1)了解歸納法，理解數(shù)學(xué)歸納法的原理與實(shí)質(zhì)，掌握數(shù)學(xué)歸納法證題的兩個(gè)步驟。 (2)會(huì)證明簡(jiǎn)單的與正整數(shù)有關(guān)的命題。 2、過(guò)程與方法 努力創(chuàng)設(shè)課堂愉悅的情境，使學(xué)生處于積極思考，大膽質(zhì)疑的氛圍，提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和課堂效率，讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的構(gòu)建過(guò)程，體會(huì)類(lèi)比的數(shù)學(xué)思想。 3、情感態(tài)度價(jià)值觀 通過(guò)本節(jié)課的教學(xué)，使學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想和辯證唯物主義觀點(diǎn)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情，提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生大膽猜想，小心求證的辯證思維素質(zhì)，以及發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題的意見(jiàn)和數(shù)學(xué)交流能力。 教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn): 教學(xué)重點(diǎn)：借助具體實(shí)例了解數(shù)學(xué)歸納法的基本思想，掌握它的基本步驟，運(yùn)用它證明一些簡(jiǎn)單的與正整數(shù)n（n取無(wú)限多個(gè)值）有關(guān)的數(shù)學(xué)命題。 教學(xué)難點(diǎn): (1)學(xué)生不易理解數(shù)學(xué)歸納法的思想實(shí)質(zhì)，具體表現(xiàn)在不了解第二個(gè)步驟的作用，不易根據(jù)歸納假設(shè)作出證明。 (2)運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)，在“歸納遞推”的步驟中發(fā)現(xiàn)具體問(wèn)題的遞推關(guān)系。 第2課時(shí) 一、復(fù)習(xí)鞏固 數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟 二、實(shí)例應(yīng)用 例1、平面內(nèi)有n個(gè)圓，其中每?jī)蓚€(gè)圓都相交于兩點(diǎn)，且無(wú)3個(gè)圓交于一點(diǎn)。求證：這n個(gè)圓將平面分成個(gè)部分。 解析：當(dāng)時(shí)，一個(gè)圓將平面分成2個(gè)部分，，結(jié)論成立； 假設(shè)當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立，即n個(gè)圓將平面分成個(gè)部分， 當(dāng)時(shí)，第（k+1）個(gè)圓與前面k個(gè)圓有2k個(gè)交點(diǎn)，這2k個(gè)交點(diǎn)將 第（k+1）個(gè)圓分成2k段，每段將各自所在區(qū)域一分為二，于是增加了2k 個(gè)區(qū)域，所以k+1個(gè)圓將平面分成了個(gè)部分，； 所以，當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立。 綜上所述，這n個(gè)圓將平面分成個(gè)部分。 例2、對(duì)于，求證：，可被整除。 證明：（1）當(dāng)時(shí)，左成立 （2）假設(shè)n=k時(shí)成立 即： 當(dāng)時(shí)， ∴ 時(shí)成立 綜上所述由（1）（2）對(duì)一切 例3、用數(shù)學(xué)歸納法證明：（其中是正整數(shù)）. 例4、若不等式對(duì)一切正整數(shù)n都成立，求正整數(shù)a的最大值，并證明你的結(jié)論。 解析：從特例入手，探求正整數(shù)a的最大值，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明。 證明：取n=1，， 令 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：。 (1)n=1，已證結(jié)論正確； (2)假設(shè)n=k時(shí)，成立， 則當(dāng)n=k+1時(shí)，有 即n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立。 由(1)(2)可知，對(duì)一切n∈N+，都有 故a的最大值為25。 三、課堂練習(xí) 課本19頁(yè)練習(xí) 四、課堂小結(jié) 1、用數(shù)學(xué)歸納法證明命題的一般步驟： 2、在證明遞推步驟時(shí)，要有目標(biāo)意識(shí)（恒等變形、不等式的縮放）。