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第22練 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)問題
訓(xùn)練目標(biāo)
(1)利用導(dǎo)數(shù)處理與函數(shù)零點(diǎn)有關(guān)的題型；(2)解題步驟的規(guī)范訓(xùn)練．
訓(xùn)練題型
(1)利用導(dǎo)數(shù)討論零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(2)利用導(dǎo)數(shù)證明零點(diǎn)的唯一性；(3)根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)借助導(dǎo)數(shù)求參數(shù)范圍．
解題策略
(1)注重?cái)?shù)形結(jié)合；(2)借助零點(diǎn)存在性定理處理零點(diǎn)的存在性問題；結(jié)合單調(diào)性處理零點(diǎn)的唯一性問題；(3)注意參變量分離.
1.設(shè)
3、a>1，函數(shù)f(x)＝(1＋x2)ex－a.
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)證明：f(x)在(－∞，＋∞)上僅有一個(gè)零點(diǎn)．
2．函數(shù)f(x)＝x3－kx，其中實(shí)數(shù)k為常數(shù)．
(1)當(dāng)k＝4時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若曲線y＝f(x)與直線y＝k只有一個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．
3．(20xx·貴陽調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝(a<0)．
(1)當(dāng)a＝－1時(shí)，求函數(shù)f(x)的極值；
(2)若函數(shù)F(x)＝f(x)＋1沒有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
4.設(shè)函數(shù)f(x)＝(x＋a)ln x，g(x)
4、＝. 已知曲線y＝f(x) 在點(diǎn)(1，f(1))處的切線與直線2x－y＝0平行．
(1)求a的值；
(2)是否存在自然數(shù)k，使得方程f(x)＝g(x)在(k，k＋1)內(nèi)存在唯一的根？如果存在，求出k；如果不存在，請(qǐng)說明理由．
5．已知函數(shù)f(x)＝(x＋a)ex，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，a∈R.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)當(dāng)a<1時(shí)，試確定函數(shù)g(x)＝f(x－a)－x2的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由．
答案精析
1．(1)解 f′(x)＝2xex＋(1＋x2)ex＝(x2＋2x＋1)ex
＝(x＋1)2ex，
5、?x∈R，f′(x)≥0恒成立．
∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，＋∞)．
(2)證明 ∵f(0)＝1－a，f(a)＝(1＋a2)ea－a，
∵a>1，∴f(0)<0，f(a)>2aea－a>2a－a＝a>0，
∴f(0)·f(a)<0，∴f(x)在(0，a)上有一個(gè)零點(diǎn)，
又∵f(x)在(－∞，＋∞)上遞增，
∴f(x)在(0，a)上僅有一個(gè)零點(diǎn)，
∴f(x)在(－∞，＋∞)上僅有一個(gè)零點(diǎn)．
2．解 (1)因?yàn)閒′(x)＝x2－k，
當(dāng)k＝4時(shí)，f′(x)＝x2－4，
令f′(x)＝x2－4＝0，
所以x1＝2，x2＝－2.
f′(x)、f(x)隨x的變化情況如下表
6、：
x
(－∞，－2)
－2
(－2，2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
極大值
?
極小值
?
所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－∞，－2)，(2，＋∞)；單調(diào)遞減區(qū)間是(－2,2)．
(2)令g(x)＝f(x)－k，由題意知，g(x)只有一個(gè)零點(diǎn)．
因?yàn)間′(x)＝f′(x)＝x2－k.
當(dāng)k＝0時(shí)，g(x)＝x3，
所以g(x)只有一個(gè)零點(diǎn)0.
當(dāng)k<0時(shí)，g′(x)＝x2－k>0對(duì)x∈R恒成立，所以g(x)單調(diào)遞增，所以g(x)只有一個(gè)零點(diǎn)．
當(dāng)k>0時(shí)，令g′(x)＝f′(x)＝x2－k＝0，解得x1＝
7、或x2＝－.
g′(x)，g(x)隨x的變化情況如下表：
x
(－∞，－)
－
(－，)
(，＋∞)
g′(x)
＋
0
－
0
＋
g(x)
?
極大值
?
極小值
?
g(x)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于g(－)<0，即k－k<0，解得0
8、(x)的極小值為f(2)＝－，函數(shù)f(x)無極大值．
(2)F′(x)＝f′(x)＝＝.
當(dāng)a<0時(shí)，F(xiàn)′(x)，F(xiàn)(x)隨x的變化情況如下表：
x
(－∞，2)
2
(2，＋∞)
F′(x)
－
0
＋
F(x)
?
極小值
?
若使函數(shù)F(x)沒有零點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)F(2)＝＋1>0，
解得a>－e2，所以此時(shí)－e2
9、2)內(nèi)存在唯一的根．
設(shè)h(x)＝f(x)－g(x)＝(x＋1)ln x－，
當(dāng)x∈(0,1]時(shí)，h(x)<0.
又h(2)＝3ln 2－＝ln 8－>1－1＝0，
所以存在x0∈(1,2)，使得h(x0)＝0.
因?yàn)閔′(x)＝ln x＋＋1＋，
所以當(dāng)x∈(1,2)時(shí)，h′(x)>1－>0，
當(dāng)x∈[2，＋∞)時(shí)，h′(x)>0，
所以當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，h(x)單調(diào)遞增，
所以當(dāng)k＝1時(shí)，方程f(x)＝g(x)在(k，k＋1)內(nèi)存在唯一的根．
5．解 (1)因?yàn)閒(x)＝(x＋a)ex，x∈R，所以f′(x)＝(x＋a＋1)ex.
令f′(x)＝0，得x＝－a－1
10、.
當(dāng)x變化時(shí)，f(x)和f′(x)的變化情況如下：
x
(－∞，－a－1)
－a－1
(－a－1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
?
極小值
?
故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，－a－1)，單調(diào)遞增區(qū)間為(－a－1，＋∞)．
(2)結(jié)論：函數(shù)g(x)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．
理由如下：
由g(x)＝f(x－a)－x2＝0，得方程xex－a＝x2，
顯然x＝0為此方程的一個(gè)實(shí)數(shù)解，
所以x＝0是函數(shù)g(x)的一個(gè)零點(diǎn)．
當(dāng)x≠0時(shí)，方程可化簡(jiǎn)為ex－a＝x.
設(shè)函數(shù)F(x)＝ex－a－x，則F′(x)＝ex－a－1，令F′(x)＝0，得x＝a.
當(dāng)x變化時(shí)，F(xiàn)(x)和F′(x)的變化情況如下：
x
(－∞，a)
a
(a，＋∞)
F′(x)
－
0
＋
F(x)
?
極小值
?
即F(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(a，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，a)．
所以F(x)的最小值F(x)min＝F(a)＝1－a.因?yàn)閍<1，
所以F(x)min＝F(a)＝1－a>0，
所以對(duì)于任意x∈R，F(xiàn)(x)>0，
因此方程ex－a＝x無實(shí)數(shù)解．
所以當(dāng)x≠0時(shí)，函數(shù)g(x)不存在零點(diǎn)．
綜上，函數(shù)g(x)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．
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