(通用版)2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二篇 第15練 立體幾何精準(zhǔn)提分練習(xí) 文.docx
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第15練 立體幾何 [明晰考情] 1.命題角度:空間中的平行、垂直關(guān)系的證明與探求,空間幾何體的表面積、體積,平面圖形的折疊問題.2.題目難度:中檔難度. 考點(diǎn)一 空間的平行、垂直關(guān)系 方法技巧 (1)平行關(guān)系的基礎(chǔ)是線線平行,比較常見的是利用三角形中位線構(gòu)造平行關(guān)系,利用平行四邊形構(gòu)造平行關(guān)系. (2)證明線線垂直的常用方法 ①利用特殊平面圖形的性質(zhì),如利用直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形等得到線線垂直; ②利用勾股定理的逆定理; ③利用線面垂直的性質(zhì). 1.如圖,在六面體ABCDE中,平面DBC⊥平面ABC,AE⊥平面ABC. (1)求證:AE∥平面DBC; (2)若AB⊥BC,BD⊥CD,求證:AD⊥DC. 證明 (1)過點(diǎn)D作DO⊥BC,O為垂足. 又∵平面DBC⊥平面ABC,平面DBC∩平面ABC=BC,DO?平面DBC, ∴DO⊥平面ABC. 又AE⊥平面ABC,∴AE∥DO. 又AE?平面DBC,DO?平面DBC,故AE∥平面DBC. (2)由(1)知,DO⊥平面ABC,AB?平面ABC, ∴DO⊥AB. 又AB⊥BC,且DO∩BC=O,DO,BC?平面DBC, ∴AB⊥平面DBC. ∵DC?平面DBC, ∴AB⊥DC. 又BD⊥CD,AB∩DB=B,AB,DB?平面ABD, ∴DC⊥平面ABD. 又AD?平面ABD, ∴AD⊥DC. 2.(2018江蘇)如圖,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB,AB1⊥B1C1. 求證:(1)AB∥平面A1B1C; (2)平面ABB1A1⊥平面A1BC. 證明 (1)在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,AB∥A1B1. 因?yàn)锳B?平面A1B1C, A1B1?平面A1B1C, 所以AB∥平面A1B1C. (2)在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中, 四邊形ABB1A1為平行四邊形. 又因?yàn)锳A1=AB,所以四邊形ABB1A1為菱形, 因此AB1⊥A1B. 又因?yàn)锳B1⊥B1C1,BC∥B1C1, 所以AB1⊥BC. 又因?yàn)锳1B∩BC=B,A1B,BC?平面A1BC, 所以AB1⊥平面A1BC. 因?yàn)锳B1?平面ABB1A1, 所以平面ABB1A1⊥平面A1BC. 3.(2018全國(guó)Ⅱ)如圖,在三棱錐P-ABC中,AB=BC=2,PA=PB=PC=AC=4,O為AC的中點(diǎn). (1)證明:PO⊥平面ABC; (2)若點(diǎn)M在棱BC上,且MC=2MB,求點(diǎn)C到平面POM的距離. (1)證明 因?yàn)镻A=PC=AC=4,O為AC的中點(diǎn), 所以O(shè)P⊥AC,且OP=2. 如圖,連接OB. 因?yàn)锳B=BC=AC, 所以△ABC為等腰直角三角形, 所以O(shè)B⊥AC,OB=AC=2. 由OP2+OB2=PB2知PO⊥OB. 因?yàn)镺P⊥OB,OP⊥AC,OB∩AC=O, OB,AC?平面ABC, 所以PO⊥平面ABC. (2)解 作CH⊥OM,垂足為H, 又由(1)可得OP⊥CH, 因?yàn)镺M∩OP=O,OM,OP?平面POM, 所以CH⊥平面POM. 故CH的長(zhǎng)為點(diǎn)C到平面POM的距離. 由題意可知OC=AC=2,CM=BC=, ∠ACB=45, 所以在△OMC中, 由余弦定理可得,OM=, CH==. 所以點(diǎn)C到平面POM的距離為. 考點(diǎn)二 幾何體的表面積、體積 方法技巧 (1)空間幾何體的表面積是各個(gè)面的面積之和,求解時(shí)可利用相應(yīng)的面積公式計(jì)算. (2)幾何體體積的常用解法 ①直接法;②割補(bǔ)法;③等積轉(zhuǎn)換法. 4.(2018全國(guó)Ⅰ)如圖,在平行四邊形ABCM中,AB=AC=3,∠ACM=90.以AC為折痕將△ACM折起,使點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)D的位置,且AB⊥DA. (1)證明:平面ACD⊥平面ABC; (2)Q為線段AD上一點(diǎn),P為線段BC上一點(diǎn),且BP=DQ=DA,求三棱錐Q-ABP的體積. (1)證明 由已知可得,∠BAC=90, 即BA⊥AC. 又BA⊥AD,AC∩AD=A,AD,AC?平面ACD, 所以AB⊥平面ACD. 又AB?平面ABC, 所以平面ACD⊥平面ABC. (2)解 由已知可得, DC=CM=AB=3, DA=3. 又BP=DQ=DA, 所以BP=2. 如圖,過點(diǎn)Q作QE⊥AC,垂足為E, 則QE∥DC且QE=DC. 由(1)知平面ACD⊥平面ABC, 又平面ACD∩平面ABC=AC,CD⊥AC,CD?平面ACD, 所以DC⊥平面ABC, 所以QE⊥平面ABC,QE=1. 因此,三棱錐Q-ABP的體積 VQ-ABP=S△ABPQE=32sin451=1. 5.如圖,在棱長(zhǎng)均為4的三棱柱ABC-A1B1C1中,D,D1分別是BC和B1C1的中點(diǎn). (1)求證:A1D1∥平面AB1D; (2)若平面ABC⊥平面BCC1B1,∠B1BC=60,求三棱錐B1-ABC的體積. (1)證明 連接DD1,在三棱柱ABC-A1B1C1中, ∵D,D1分別是BC和B1C1的中點(diǎn), ∴B1D1∥BD,且B1D1=BD, ∴四邊形B1BDD1為平行四邊形, ∴BB1∥DD1,且BB1=DD1. 又∵AA1∥BB1,AA1=BB1, ∴AA1∥DD1,AA1=DD1, ∴四邊形AA1D1D為平行四邊形, ∴A1D1∥AD. 又∵A1D1?平面AB1D,AD?平面AB1D, ∴A1D1∥平面AB1D. (2)解 在△ABC中,邊長(zhǎng)均為4,則AB=AC,D為BC的中點(diǎn),∴AD⊥BC. ∵平面ABC⊥平面B1C1CB,平面ABC∩平面B1C1CB=BC,AD?平面ABC, ∴AD⊥平面B1C1CB,即AD是三棱錐A-B1BC的高. 在△ABC中,由AB=AC=BC=4,得AD=2, 在△B1BC中,B1B=BC=4,∠B1BC=60, ∴△B1BC的面積為4. ∴三棱錐B1-ABC的體積即為三棱錐A-B1BC的體積V=42=8. 6.(2018龍巖質(zhì)檢)已知空間幾何體ABCDE中,△BCD與△CDE均為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,△ABC為腰長(zhǎng)為3的等腰三角形,平面CDE⊥平面BCD,平面ABC⊥平面BCD. (1)試在平面BCD內(nèi)作一條直線,使得直線上任意一點(diǎn)F與E的連線EF均與平面ABC平行,并給出詳細(xì)證明; (2)求三棱錐E-ABC的體積. 解 (1)如圖所示,取DC的中點(diǎn)N,取BD的中點(diǎn)M,連接MN,則MN即為所求直線. 證明如下: 取BC的中點(diǎn)H,連接AH, ∵△ABC是腰長(zhǎng)為3的等腰三角形,H為BC的中點(diǎn), ∴AH⊥BC, 又平面ABC⊥平面BCD,平面ABC∩平面BCD=BC,AH?平面ABC, ∴AH⊥平面BCD, 同理,可證EN⊥平面BCD,∴EN∥AH, ∵EN?平面ABC,AH?平面ABC, ∴EN∥平面ABC. 又M,N分別為BD,DC的中點(diǎn),∴MN∥BC, ∵M(jìn)N?平面ABC,BC?平面ABC, ∴MN∥平面ABC. 又MN∩EN=N,MN?平面EMN,EN?平面EMN, ∴平面EMN∥平面ABC, 又EF?平面EMN,∴EF∥平面ABC. (2)連接DH,取CH的中點(diǎn)G,連接NG,則NG∥DH,NG=DH, 由(1)可知EN∥平面ABC, 所以點(diǎn)E到平面ABC的距離與點(diǎn)N到平面ABC的距離相等. 又△BCD是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,∴DH⊥BC,DH=, 又平面ABC⊥平面BCD,平面ABC∩平面BCD=BC,DH?平面BCD, ∴DH⊥平面ABC,∴NG⊥平面ABC,NG=, 又AC=AB=3,BC=2, ∴S△ABC=BCAH=2. ∴VE-ABC=VN-ABC=S△ABCNG=. 考點(diǎn)三 立體幾何的綜合問題 方法技巧 (1)和折疊有關(guān)的平行、垂直問題,關(guān)鍵是弄清折疊前后變與不變的關(guān)系,找出隱含的平行、垂直關(guān)系. (2)立體幾何中的探索性問題,可利用推理證明得出結(jié)論或利用特例得出結(jié)論,再針對(duì)一般情形給出證明. 7.(2018全國(guó)Ⅲ)如圖,矩形ABCD所在平面與半圓弧所在平面垂直,M是上異于C,D的點(diǎn). (1)證明:平面AMD⊥平面BMC; (2)在線段AM上是否存在點(diǎn)P,使得MC∥平面PBD?說明理由. (1)證明 由題設(shè)知,平面CMD⊥平面ABCD,交線為CD. 因?yàn)锽C⊥CD,BC?平面ABCD,所以BC⊥平面CMD, 又DM?平面CMD, 故BC⊥DM. 因?yàn)镸為上異于C,D的點(diǎn),且DC為直徑, 所以DM⊥CM. 又BC∩CM=C,BC,CM?平面BMC, 所以DM⊥平面BMC. 又DM?平面AMD,故平面AMD⊥平面BMC. (2)解 當(dāng)P為AM的中點(diǎn)時(shí),MC∥平面PBD. 證明如下:連接AC,BD,交于點(diǎn)O.因?yàn)锳BCD為矩形, 所以O(shè)為AC中點(diǎn). 連接OP,因?yàn)镻為AM中點(diǎn), 所以MC∥OP. 又MC?平面PBD,OP?平面PBD, 所以MC∥平面PBD. 8.如圖,已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,AC與BD交于點(diǎn)O,將正方形ABCD沿對(duì)角線BD折起,得到三棱錐A-BCD. (1)求證:平面AOC⊥平面BCD; (2)若三棱錐A-BCD的體積為,且∠AOC是鈍角,求AC的長(zhǎng). (1)證明 ∵四邊形ABCD是正方形, ∴BD⊥AO,BD⊥CO. 折起后仍有BD⊥AO,BD⊥CO,AO∩CO=O,AO,CO?平面AOC, ∴BD⊥平面AOC. ∵BD?平面BCD,∴平面AOC⊥平面BCD. (2)解 由(1)知BD⊥平面AOC, ∴VA-BCD=S△AOCBD, ∴OAOCsin∠AOCBD=, 即sin∠AOC2=, ∴sin∠AOC=. 又∵∠AOC是鈍角, ∴∠AOC=120. 在△AOC中,由余弦定理,得 AC2=OA2+OC2-2OAOCcos∠AOC =()2+()2-2cos120=6, ∴AC=. 9.如圖所示,三棱錐P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=1,AB=1,AC=2,∠BAC=60. (1)求三棱錐P-ABC的體積; (2)證明:在線段PC上存在點(diǎn)M,使得AC⊥BM,并求的值. 解 (1)∵AB=1,AC=2,∠BAC=60, ∴S△ABC=ABACsin60=. 由PA⊥平面ABC可知,PA是三棱錐P-ABC的高,且PA=1, ∴三棱錐P-ABC的體積V=S△ABCPA=. (2)在平面ABC內(nèi),過點(diǎn)B作BN⊥AC,垂足為N,在平面PAC內(nèi),過點(diǎn)N作MN∥PA交PC于點(diǎn)M,連接BM. ∵PA⊥平面ABC,AC?平面ABC, ∴PA⊥AC,∴MN⊥AC. 又∵BN⊥AC,BN∩MN=N,BN,MN?平面BMN, ∴AC⊥平面MBN. 又∵BM?平面MBN, ∴AC⊥BM. 在Rt△BAN中,AN=ABcos∠BAC=, 從而NC=AC-AN=, 由MN∥PA,得==. 綜上所述,在線段PC上存在點(diǎn)M,使得AC⊥BM且=. 典例 (12分)如圖,在四棱錐P—ABCD中,側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=AD,∠BAD=∠ABC=90. (1)證明:直線BC∥平面PAD; (2)若△PCD的面積為2,求四棱錐P—ABCD的體積. 審題路線圖 (1)―→―→ (2)―→―→ 規(guī)范解答評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) (1)證明 在平面ABCD內(nèi),因?yàn)椤螧AD=∠ABC=90, 所以BC∥AD.1分 又BC?平面PAD,AD?平面PAD, 所以BC∥平面PAD.3分 (2)解 如圖,取AD的中點(diǎn)M,連接PM,CM. 因?yàn)閭?cè)面PAD為等邊三角形,所以PM⊥AD,又底面ABCD⊥平面PAD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PM?平面PAD, 所以PM⊥底面ABCD.4分 由AB=BC=AD及BC∥AD,∠ABC=90得四邊形ABCM為正方形,則CM⊥AD.6分 因?yàn)镃M?底面ABCD,所以PM⊥CM.8分 設(shè)BC=x,則CM=x,CD=x,PM=x,PC=PD=2x, 取CD的中點(diǎn)N,連接PN,則PN⊥CD, 所以PN=x. 因?yàn)椤鱌CD的面積為2, 所以xx=2. 解得x=-2(舍去)或x=2.10分 于是AB=BC=2,AD=4,PM=2. 所以四棱錐P-ABCD的體積 V=S四邊形ABCDPM=2=4.12分 構(gòu)建答題模板 [第一步] 證關(guān)系:空間中的線面關(guān)系以線線關(guān)系為基礎(chǔ),先尋找圖形中的線線平行或線線垂直,再利用判定定理證線面平行或線面垂直. [第二步] 找底面:計(jì)算幾何體的體積,關(guān)鍵是確定幾何體的底面和相應(yīng)的高,理清計(jì)算的思路. [第三步] 巧計(jì)算:利用已知條件巧妙搭建和要求體積的關(guān)系,計(jì)算所求面積或體積. 1.(2018北京)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,E,F(xiàn)分別為AD,PB的中點(diǎn). (1)求證:PE⊥BC; (2)求證:平面PAB⊥平面PCD; (3)求證:EF∥平面PCD. 證明 (1)因?yàn)镻A=PD,E為AD的中點(diǎn), 所以PE⊥AD. 因?yàn)榈酌鍭BCD為矩形,所以BC∥AD,所以PE⊥BC. (2)因?yàn)榈酌鍭BCD為矩形, 所以AB⊥AD. 又因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,AB?平面ABCD, 所以AB⊥平面PAD,又PD?平面PAD, 所以AB⊥PD. 又因?yàn)镻A⊥PD,PA∩AB=A,PA,AB?平面PAB, 所以PD⊥平面PAB. 又PD?平面PCD,所以平面PAB⊥平面PCD. (3)如圖,取PC的中點(diǎn)G,連接FG,DG. 因?yàn)镕,G分別為PB,PC的中點(diǎn), 所以FG∥BC,F(xiàn)G=BC, 因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形,且E為AD的中點(diǎn), 所以DE∥BC,DE=BC. 所以DE∥FG,DE=FG. 所以四邊形DEFG為平行四邊形,所以EF∥DG. 又因?yàn)镋F?平面PCD,DG?平面PCD, 所以EF∥平面PCD. 2.(2017北京)如圖,在三棱錐P-ABC中,PA⊥AB,PA⊥BC,AB⊥BC,PA=AB=BC=2,D為線段AC的中點(diǎn),E為線段PC上一點(diǎn). (1)求證:PA⊥BD; (2)求證:平面BDE⊥平面PAC; (3)當(dāng)PA∥平面BDE時(shí),求三棱錐E-BCD的體積. (1)證明 因?yàn)镻A⊥AB,PA⊥BC,AB∩BC=B,AB,BC?平面ABC,所以PA⊥平面ABC. 又因?yàn)锽D?平面ABC,所以PA⊥BD. (2)證明 因?yàn)锳B=BC,D是AC的中點(diǎn), 所以BD⊥AC. 由(1)知PA⊥BD, 又AC∩PA=A,AC,PA?平面PAC, 所以BD⊥平面PAC. 又BD?平面BDE,所以平面BDE⊥平面PAC. (3)解 因?yàn)镻A∥平面BDE,平面PAC∩平面BDE=DE,所以PA∥DE. 因?yàn)镈為AC的中點(diǎn), 所以DE=PA=1,BD=DC=. 由(1)知PA⊥平面ABC,所以DE⊥平面ABC, 所以三棱錐E-BCD的體積V=DES△BDC=BDDCDE=. 3.(2018柳州模擬)如圖,在長(zhǎng)方形ABCD中,AB=4,BC=2,現(xiàn)將△ACD沿AC折起,使D折到P的位置且P在平面ABC的投影E恰好在線段AB上. (1)證明:AP⊥PB; (2)求三棱錐P-EBC的表面積. (1)證明 由題意知PE⊥平面ABC,又BC?平面ABC, ∴PE⊥BC, 又AB⊥BC且AB∩PE=E,AB,PE?平面PAB, ∴BC⊥平面PAB, 又AP?平面PAB,∴BC⊥AP, 又AP⊥CP且BC∩CP=C,BC,CP?平面PBC, ∴AP⊥平面PBC, 又PB?平面PBC,∴AP⊥PB. (2)解 在△PAB中,由(1)得AP⊥PB,AB=4,AP=2, ∴PB=2,PE==, ∴BE=3,∴S△PEB=3=, 在Rt△EBC中,EB=3,BC=2,EC==, ∴S△EBC=32=3, ∴S△PEC=PECE==, ∴S△PBC=BCPB=22=2, ∴三棱錐P-EBC的表面積為 S=S△PEB+S△EBC+S△PEC+S△PBC=+3++2=. 4.如圖,在四棱錐P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,AB∥DC,DC⊥AC, (1)求證:DC⊥平面PAC; (2)求證:平面PAB⊥平面PAC; (3)設(shè)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn),在棱PB上是否存在點(diǎn)F,使得PA∥平面CEF?說明理由. (1)證明 因?yàn)镻C⊥平面ABCD, 所以PC⊥DC. 又因?yàn)镈C⊥AC,AC∩PC=C,AC,PC?平面PAC, 所以DC⊥平面PAC. (2)證明 因?yàn)锳B∥DC, 又由(1)知DC⊥平面PAC, 所以AB⊥平面PAC. 又AB?平面PAB, 所以平面PAB⊥平面PAC. (3)解 棱PB上存在點(diǎn)F, 使得PA∥平面CEF. 證明如下: 取PB中點(diǎn)F,連接EF,CE,CF. 因?yàn)镋為AB的中點(diǎn), 所以EF∥PA. 又因?yàn)镻A?平面CEF,EF?平面CEF, 所以PA∥平面CEF.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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