新教材2021-2022學(xué)年人教A版必修第一冊 1.5.1　全稱量詞與存在量詞 學(xué)案.docx

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1、1.5全稱量詞與存在量詞 1. 5.1全稱量詞與存在量詞 核心知識目標 核心素養(yǎng)目標 1. 通過已知的數(shù)學(xué)實例，理解全稱量詞、存在量詞和全稱量詞命題、存在量詞命題的意義. 2. 掌握判斷全稱量詞命題和存在量詞命題真假的基本原則和方法. 1. 通過對全稱量詞與存在量詞、全稱量詞命題和存在量詞命題等概念的學(xué)習(xí)，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng). 2. 通過判斷全稱量詞命題和存在量詞命題的真假，增強邏輯推理的核心素養(yǎng). ④知識探究?素養(yǎng)啟迪?情境導(dǎo)入 在某個城市中有一位理發(fā)師，他的廣告詞是這樣寫的：“本人的理發(fā)技藝十分高超，譽滿全城.我將為本城所有不給自己刮臉的人刮臉，我也只給這些人刮臉

2、.我對各位表示熱誠歡迎！”來找他刮臉的人絡(luò)繹不絕，自然都是那些不給自己刮臉的人.可是，有一天,這位理發(fā)師從鏡子里看見自己的胡子長了，他本能地抓起了剃刀，你們說他能不能給他自己刮臉呢?如果他不給自己刮臉，他就屬于“不給自己刮臉的人”，他就要給自己刮臉，而如果他給自己刮臉呢?他又屬于“給自己刮臉的人”，他就不該給自己刮臉.這就是著名的“羅素理發(fā)師悖論”問題. |(2)含參數(shù)的存在量詞命題為真時，常轉(zhuǎn)化為方程或不等式有解的問|題來處理，最終借助根的判別式或函數(shù)等相關(guān)知識獲得解決. 翅備用例題［例1］用量詞符號“V”“親表述下列命題. ⑴所有實數(shù)x都能使x2+x+l>0成立；對所有實數(shù)a,b,方

3、程ax+b=O恰有一個解； (2) 有些整數(shù)既能被2整除,又能被3整除；某個四邊形不是平行四邊形. 解：(l)VxER,x2+x+l>0. (2) Va,b￡R,ax+b二0恰有一個解. ⑶3x￡Z,x既能被2整除又能被3整除. (4)北￡｛四邊形｝,x不是平行四邊形. ［例2］判斷下列命題的真假. (1) 3x,y為正實數(shù)，使x2+y2=0;存在一個四邊形不是平行四邊形； (2) 在平面直角坐標系中，任意有序?qū)崝?shù)對(x,y)都對應(yīng)一點P;存在兩個無理數(shù)，它們的乘積是有理數(shù). 解：⑴由于x2+y2=0時,x二y=0,因此不存在正實數(shù)x,y使x2+y2=0,故為假命題. (2

4、) 真命題，如梯形. (3) 由有序?qū)崝?shù)對與平面直角坐標系中的點的對應(yīng)關(guān)系知，它是真命題. ⑷由于x=V3+l,y=V3-l時，xy=(V3+1)(V3-l)=2,因此是真命題. ［例3］若“VxE{x|x3a},x2Nl”是真命題,求實數(shù)a的取值范圍.解：因為乂償1,所以xNl或xWT. 又xE{x|xNa}，則{x|xNa}呈{x|xNl}. 故a31.即實數(shù)a的取值范圍為{a|aNl}. ［例4］已知命題FxER,2齊*1)x+：W0”是假命題,則實數(shù)a的取值范圍是. 解析：由題意可得“對VxER,2x2+(a-l)x+|>0恒成立”是真命題，令△-(a_l)2_4<0得T

5、

6、) 3xeR,x2+l=O3x￡Q,|x|+x，0 (B) Vx￡R,4x2>2x~1+3x2解析：由于方程x2-3x+2=0只對x=2和x=l成立,不能對VxGR成立，故A不對,B中不存在x￡R滿足方程,D中x2-2x+l>0僅對x尹1時成立,故選C. 4, 若存在x￡(x|x〉0}，使方程x-a=O有解是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是. 解析：由x~a=O知a6(x|x>0},因此a>0. 答案:(a|a>0) 探究1:文中理發(fā)師說：“我將為本城所有不給自己刮臉的人刮臉”. 對“所有”這一詞語,你還能用其他詞語代替嗎？ 提示：“任意一個”“一切”“每一個”“任給”“凡是”等.

7、 探究2:上述詞語都有什么含義？ 提示:表示某個范圍內(nèi)的整體或全部. ?知識探究 1. 全稱量詞與全稱量詞命題 ［問題1］觀察下面的兩個語句，思考并回答下列問題： 下面的兩個語句都是命題嗎?兩者之間有什么關(guān)系？ P:xW3; Q：對所有的x￡R,xW3. 提示:語句P無法判斷真假，不是命題;語句Q在語句P的基礎(chǔ)上增加了“所有的”，可以判斷真假，是命題.語句P是命題Q中的一部分.梳理1全稱量詞與全稱量詞命題 全稱量詞 定義 短語“所有的”“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞 符號表 示 V 全稱量詞命題 定義 含有全稱量詞的命題,叫做全稱量詞命題 一般形

8、式 對M中任意一個x,p(x)成立 符號表 Vx^M,p(x) 示 2. 存在量詞與存在量詞命題 ［問題2-1］觀察語句①②:①存在一個xeR,使3x+l=5;②至少有一個x￡Z,x能被2和3整除. ①②是命題嗎?若是命題,判斷其真假. 提示:是,都為真命題. ［問題2-2］你能寫出一些與［問題2-1］中具有相同意義的詞語嗎？提示:某些，有的，有些. 梳理2存在量詞與存在量詞命題?小試身手 存在 定義 短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫 做存在量詞 量詞 符號表 示 a 存在 量 詞命 題 定義 含有存在量詞的命題,叫做存在量詞

9、命題 一般形 式 存在M中的元素x,p(x)成立 符號表 示 北墨虬p(x) 1.下列命題是存在量詞命題的是(B) (A) 任意給定實數(shù)x,x2^0 (B) 存在有理數(shù)x,使得3x-2=0(0每一個有理數(shù)都能寫成分數(shù)的形式 (D)所有的自然數(shù)都大于或等于零下列命題中是全稱量詞命題并且是真命題的是(C) (A) 每個二次函數(shù)的圖象都開口向上存在一條直線與已知直線不平行 (0對任意實數(shù)a,b,若a-bW0,則aWb(D)存在一個實數(shù)x,使等式x2-2x+1=0成立 解析:選項B,D是存在量詞命題，故應(yīng)排除;對于A,二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a<0)的圖象開口向下，

10、也應(yīng)排除，故應(yīng)選C. 2. (教材P28練習(xí)Ti、T2改編)下列命題中是假命題的是. (1) VxGR,2x2-3x>0;Vxe(1,3,0),2x+l>0; (2) 3x^N,使VJWx;3x￡N*,使x為29的約數(shù). 解析：因為當x=0時,2x2-3x=0,故⑴是假命題，易知⑵,(3),(4)均為真命題. 答案：⑴若命題“任意xER,ax?-ax-2WO"是真命題,則實數(shù)a的取值范圍 是?解析：當a=0時，不等式顯然成立. 當a^O時，依題意知｝；上八解得-8Wa〈0.綜上可知-8Wa(J=+8a<0, WO. 答案：(a|-8

11、一全稱量詞命題與存在量詞命題的判定:例1］判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題： (1) 有一個實數(shù)a不能有平方根；所有不等式的解集A,都滿足ACR; (2) 不相交的兩條直線是平行直線；銳角三角形的內(nèi)角是銳角或鈍角； (3) 負數(shù)的平方是正數(shù). 解：(1)中因為含有存在量詞“有一個”，所以命題(1)為存在量詞命題. (2) 含有全稱量詞，所以(2)為全稱量詞命題. (3) 可以改寫為“所有不相交的兩條直線是平行直線”，因此是全稱量詞命題. (4) 省略了“所有”，因此“銳角三角形的內(nèi)角是銳角或鈍角”是全稱量詞命題. (5) 省略了全稱量詞“所有”或“都”，是全稱量詞命題

12、. 即時訓(xùn)練1T：判斷下列語句是全稱量詞命題,還是存在量詞命題. ① 凸多邊形的外角和等于360°;矩形的對角線不相等； ② 若一個四邊形是菱形,則這個四邊形的對角線互相垂直；有些實數(shù)a,b能使|a-b|=|a|+|b|; ③ 方程3x-2y=10有整數(shù)解.解:①可以改為“所有的凸多邊形的外角和等于360?！保蕿槿Q量詞命題. ② 可以改為“所有矩形的對角線不相等”，故為全稱量詞命題. ③ 若一個四邊形是菱形，也就是所有的菱形，故為全稱量詞命題. ④ 含存在量詞“有些”，故為存在量詞命題. ⑤ 可改寫為“存在一對整數(shù)x,y,使3x-2y=10成立”.故為存在量詞命題. 寸方

13、法總結(jié) (1) 判斷一個命題是否為全稱量詞命題或存在量詞命題，關(guān)鍵看命題中是否含有全稱量詞或存在量詞. (2) 要注意有些全稱量詞命題并不含全稱量詞，這時要根據(jù)命岫反的意義去添補量詞再判斷,對于同一個全稱量詞命題或存在量詞命題的表述方法可能不同. 孑易錯警示全稱量詞命題可能省略全稱量詞,存在量詞命題的存在量詞一艘示能省略. 點探究點二全稱量詞命題與存在量詞命題真假的判斷［例2］判斷下列命題的真假： (l)VxER,x2+l>0;(2)VxGN,3x^Z,x30. 因此命題"VxER,x'lX)

14、"是真命題. ⑵由于OGN,而且當x=0時,VO^l不成立. 因此命題“Vx￡N,MN1”是假命題. (3) 由于-lez,而且當x=-l時，有(-1)3<1. 因此命題"mxEZ,xll”是真命題. (4) 由于使x』3成立的數(shù)只有龍和-必，而它們都不是有理數(shù)，因而沒有任何一個有理數(shù)的平方能等于3. 因此命題FxEQ,x?二3"是假命題. 即時訓(xùn)練2-1:(多選題)下面的命題中是真命題的是()(A)VxGR,|x|>0(B)VxUN,xNl (B) 3x￡Z,x30”是假命題.

15、對B,由于0EN,所以命題“VxGN,xNl"是假命題. 對C,由于TGZ,且當x=T時,x3

16、x,使p(x)成立即可;否則，這一存在量詞命題就是假命題. 三Q探究點三由全稱量詞命題與存在量詞命題的真假求參數(shù)［例3］已知命題p:3xeR,x2+x+2-a<0,且p為真命題,求實數(shù)a的取值范圍. 解：因為命題P為真命題，且二次函數(shù)y=x2+x+2-a的圖象是開口向上的拋物線，所以該拋物線與x軸一定有兩個交點，所以二次函數(shù)對應(yīng)的方程有兩個根， 所以△二1-4(2~a)>0,解得a〉；，即實數(shù)a的取值范圍為｛a|a〉；｝. 4［變式訓(xùn)練3-1］將本例中的條件改為FxER,x2+x+2-a=0”，其他條件不變，求實數(shù)a的取值范圍. 解：因為p為真命題，所以方程x2+x+2~a=0有實根

17、，則△=1-4(2-2)N0,解得aN；, 4即實數(shù)a的取值范圍為｛a|aN；｝. 4［變式訓(xùn)練3-2］將本例中的條件改為^VxGR,x2+x+2-a>0"，其他條件不變，求實數(shù)a的取值范圍. 解:法一因為P為真命題,則函數(shù)y=x2+x+2-a的圖象恒在x軸上方,又x2+x+2_a=(x+-)2+--a,則Z-a〉O,故a<-,2444 即實數(shù)a的取值范圍為｛a|a〈；｝4 法二由于VxER,x2+x+2-a>0恒成立，則△=1-4(2~a)<0,解得a〈；， 即實數(shù)a的取值范圍為｛a|a〈；｝. 4即時訓(xùn)練3-1:若對任意x>3,有x>a恒成立，則a的取值范圍是. 解析：由于對任意x>3,有x>a恒成立，即大于3的數(shù)恒大于a,所以aW3. 答案:｛a|aW3｝即時訓(xùn)練3-2:"存在x￡｛x|xWa｝,X?=1”是假命題，則a的取值范圍是. 解析:依題意x2=l在集合(x|x