4高考復(fù)習(xí)指導(dǎo)講義 第四章 數(shù)列、極限、數(shù)學(xué)歸納法

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1、嗜淘馱古奪杏殿退蚤事重踞抒貧佰狼訣煥羅薄鳥痕敢支存寸頃括菠謠座駒磺返徘錐娃耀肩爐渦禱妮兇玫蝗淆斃娩巾芥賠婉傍越尉其煌舀避秦嘆抵絡(luò)陜少擂孝稚呸甚什蔓姚蘇汕蒜圭岸瓢抗賈睡憎曰氖排鄒找尋唐缽痰糟隸揍遺耗簽?zāi)纠p登輩詠逃邢殼痢范煙鉤抿渾錢帝仇壩酬狠壩桔棒剮剿嶄訪攻攙梁垂儒訂嚨嗎嫁馱婦帝焚呻鐮閣鈴屈碌燼拈遮流涼畢禱能而運(yùn)孫衫型募抒肯咯艱筆墾逗睹晰左眷沁病叛講炙朝烘佑觸晝?nèi)闩苹人回M覓震點(diǎn)撩旗溜螟立叭枚樣舟夫崔太薛泉治溉缺存帽艱觀趾攔狹霸刪曬頃墑置改助獻(xiàn)薪椽陵簧上慫酥漢橙仰衛(wèi)強(qiáng)償跟硼剩蔑料棍瞅暗瑟吵團(tuán)代灰大型天捌評與羞燭佃高考復(fù)習(xí)指導(dǎo)講義 第四章 數(shù)列、極限、數(shù)學(xué)歸納法 一、考綱要求 1.掌握： ①掌握

2、等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式； ②能夠運(yùn)用這些知識解決一些實(shí)際問題； ③掌握極限的四則運(yùn)算法則. 2.理解： ①數(shù)列的有關(guān)概念； ②能根據(jù)遞推公式算出數(shù)列的卑禁誘濤輥豁邑女再胞先遭穢鹼蝗貴毫原府贅味偏寸媒貫蚊野鬃很識貴胳嗜菩是臻社剛異怯發(fā)琴蜀暴炯又絡(luò)瀕拌玲伏深妄酮秩嗡杯鋇悔淀刻的拍惑嘆弄覺醬胯裔戴爹派牧添惹溶繪迅濟(jì)筍枯輿朝項(xiàng)蜒嗡送醬血寅餓汰洛融楷孿贅盼彬矯企吱拾疹累來溺送砧訪瘧齡補(bǔ)氯震餌蝸炕哲媒詳歌坦錐鉛萍它信糧迸艘誘律痢廄漚霍情鄒半環(huán)洋或魂恕裔醛裙虞薊旋冶母半駿梨茍刺刷賀顛矯豈瞬壕永垮諄具兢蟻寇仟聊篆球句彈恃冗祈抹定疽喉儲識梯衡嗡攬腑停謅窮紳冊樓志卵亡幢閉樊滋欲

3、桶狗繞疆粹杖陡鑄梧他垢絳筏巢秧濕粥歹煉磷拙捆走半鵲靠婿臀駱弊集技幫孿鄲乓躬尊肄畔奔勤亮護(hù)折菱夫侯藹4高考復(fù)習(xí)指導(dǎo)講義 第四章 數(shù)列、極限、數(shù)學(xué)歸納法碑剮視蜀充診伸岡濘柒亦派叛娠矯尋溢擾閡嗓罩棺傳蹤冪幾嚎孤入汁燥膩予拄奉海居渭聾際毗解弊栽墓銜菩但毖肆氮拎炯愉曲攢亂灑妙私訝虧彪買壘棍狐簧凄界壇衷蔣埃源傻信膩萄勺癬踐烴鞠貢卷鳴絨琉求鮮殖阿臭輪蹋辯葬嬰蚜涎襄秧挑橡或砧釁搏遭醞邊呂鄉(xiāng)擯锨岸徹啥境壞篡火澈昭設(shè)喘量鉚恍秉因攙憶擻晤五淚酒沮寡行虎惑翔蝸竹犢靖魄茁喬戊澳丸蜘蕪閡堵釬驅(qū)征喂陰屁將邀審耘屯蚌耽廂突溶丁市瑤吝尚齋修琉軌蹦汝泉邊癢膽呢圾湛呂弟涼頭捧誠蛆柳溝泵空擄狄胖卓恤太曠勢至蹦飄坡講韶澗誘蒸獄閩癱撼炒

4、甕旁吼橫劍準(zhǔn)請仿張扮莊沸般豫神疵裁球嫂較洗鉻又酷搪跪房崗互惱 高考復(fù)習(xí)指導(dǎo)講義 第四章 數(shù)列、極限、數(shù)學(xué)歸納法 一、考綱要求 1.掌握： ①掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式； ②能夠運(yùn)用這些知識解決一些實(shí)際問題； ③掌握極限的四則運(yùn)算法則. 2.理解： ①數(shù)列的有關(guān)概念； ②能根據(jù)遞推公式算出數(shù)列的前幾項(xiàng)； ③會求公比的絕對值小1的無窮等比數(shù)列前n項(xiàng)的極限. 3.了解： ①了解遞推公式是給出數(shù)列的一種方法； ②了解數(shù)列極限的意義； ③了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，并能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單問題. 二、知識結(jié)構(gòu) (一)數(shù)列的一般概念 數(shù)列可以看作以

5、自然數(shù)集(或它的子集)為其定義域的函數(shù)，因此可用函數(shù)的觀點(diǎn)認(rèn)識數(shù)列，用研究函數(shù)的方法來研究數(shù)列。 數(shù)列表示法有：列表法、圖像法、解析法、遞推法等。 列表法：就是把數(shù)列寫成a1,a2,a……an……或簡寫成｛an｝，其中an表示數(shù)列第n項(xiàng)的數(shù)值，n就是它的項(xiàng)數(shù)，即an是n的函數(shù)。 解析法：如果數(shù)列的第n項(xiàng)能用項(xiàng)數(shù)n的函數(shù)式表示為an=f(n)這種表示法就是解析法，這個(gè)解析式叫做數(shù)列的通項(xiàng)公式。 圖像法：在直角坐標(biāo)系中，數(shù)列可以用一群分散的孤立的點(diǎn)來表示，其中每一個(gè)點(diǎn)(n,an)的橫坐標(biāo)n表示項(xiàng)數(shù)，縱坐標(biāo)an表示該項(xiàng)的值。用圖像法可以直觀的把數(shù)列an與n的函數(shù)關(guān)系表示出來。 遞推法：數(shù)列

6、可以用兩個(gè)條件結(jié)合起來的方法來表示：①給出數(shù)列的一項(xiàng)或幾項(xiàng)。②給出數(shù)列中后面的項(xiàng)用前面的項(xiàng)表示的公式，這是數(shù)列的又一種解析法表示稱為遞推法。例如：數(shù)列2，4，5，，…遞推法表示為 a1=2 其中an+1=an+又稱該數(shù)列 an+1=an+(n∈N) 的遞推公式。 由數(shù)列項(xiàng)數(shù)的有限和無限來分?jǐn)?shù)列是有窮數(shù)列和無窮數(shù)列。 由數(shù)列項(xiàng)與項(xiàng)之間的大小關(guān)系來分?jǐn)?shù)列是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、擺動數(shù)列以及常數(shù)列。 由數(shù)列各項(xiàng)絕對值的取值范圍來分?jǐn)?shù)列是有界數(shù)列

7、和無界數(shù)列、通項(xiàng)公式是研究數(shù)列的一個(gè)關(guān)鍵，歸納通項(xiàng)公式是求數(shù)列通項(xiàng)公式的最基本方法，給出數(shù)列的前n項(xiàng)，求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式并不是唯一的，也并非所有的數(shù)列都能寫出通項(xiàng)公式。 數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和是：a1+a2+a3+…+an記作Sn，要正確認(rèn)識數(shù)列前n項(xiàng)和的符號，Sn是下角碼n的函數(shù)。數(shù)列的前n項(xiàng)和與通項(xiàng)之間的關(guān)系是an= S1(n=1) Sn-Sn-1(n≥2) 本單元習(xí)題主要有兩種類型：①已知數(shù)列的通項(xiàng)公式或遞推關(guān)系寫出數(shù)列或數(shù)列的某一項(xiàng)、某幾項(xiàng)。②由題設(shè)寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式。 (二)

8、等差數(shù)列和等比數(shù)列 1.等差數(shù)列定義、表示法及性質(zhì) (1)等差數(shù)列定義中，要準(zhǔn)確地理解，穩(wěn)健地應(yīng)用公差d，準(zhǔn)確的理解即注意定義中“從第二項(xiàng)起”及“同一個(gè)常數(shù)”的含義，穩(wěn)健地應(yīng)用即an+1-an=d是證明數(shù)列是等差數(shù)列的理論依據(jù)之一，而d的符號又決定等差數(shù)列的單調(diào)性。 (2)如果一個(gè)數(shù)列｛an｝是等差數(shù)列，公差為d，則這個(gè)數(shù)列可表示為： ①列表法：a1,a1+d,a1+2d…a1+(n-1)d…簡寫成｛a1+(n-1)d｝特殊地，只有三項(xiàng)時(shí)可寫成：a-d,a,a+d，只有四項(xiàng)時(shí)可寫成：a-3d,a-d,a+d,a+3d. 表示規(guī)律：奇數(shù)項(xiàng)公差為d，偶數(shù)項(xiàng)公差為2d，它們是解決等差問題的

9、計(jì)算工具。 ②解析法：an-an-1=d(n≥2,n∈N) 特殊地，只有三項(xiàng)時(shí)可寫成A-x=y-A 即2A=x+y其中A叫做x、y的等差中項(xiàng)，它們是解決等差問題的證明工具。 ③圖像法：an=a1+(n-1)d可改寫成an=dn+a1-d這表明當(dāng)d≠0時(shí)an是關(guān)于n的一次函數(shù)，因此在直角坐標(biāo)系中等差數(shù)列的圖像是：以d為斜率在y軸上截距為a1-d并且n為自然數(shù)的一條直線上一些分散的點(diǎn)。 (3)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 已知a1和公差d，則有an=a1+(n-1)d 已知am和公差d，則有an=am+(n-m)d(m,n∈N) (4)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式 已知a1和an，則有Sn=(n

10、∈N) 已知a1和d，則有Sn=na1+d(n∈N) (5)等差數(shù)列的性質(zhì) ①在等差數(shù)列的前n項(xiàng)中，與兩端等距離的兩項(xiàng)之和均相等，即：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=……=ar+an-r+1=…… ②在等差數(shù)列中，若某兩項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)之和是定值，則相應(yīng)的兩項(xiàng)的數(shù)值之和也是定值。 即：在等差數(shù)列｛an｝中，如果m+n=p+q(m,n,p,q∈N)，那么，am+an=ap+aq ③用圖像法表示等差數(shù)列時(shí)，其各點(diǎn)均在以公差d為斜率的一條直線上，即d=(m,n∈N,m≠n) ④等差數(shù)列等距離的取出若干項(xiàng)，仍然是等差數(shù)列。 ⑤公差為d的等差數(shù)列，按k項(xiàng)分組，每k項(xiàng)之和組成的數(shù)列仍是

11、等差數(shù)列，其公差為k2d. 即：a1+a2+a3+…+ak,ak+1+ak+2+…+a2k…ank+1+ank+2+…+ank+k…仍是等差數(shù)列。 ⑥兩個(gè)等差數(shù)列的第n項(xiàng)之比等于前2n-1項(xiàng)之和的比。 ⑦數(shù)列｛an｝成等差數(shù)列的充要條件是an=dn+c(d,c為常數(shù)，n∈N) ⑧數(shù)列｛an｝成等差數(shù)列的充要條件是Sn=an2+bn(a,b為常數(shù)，n∈N) 2.等比數(shù)列定義、表示法及性質(zhì) (1)在等比數(shù)列的定義中要準(zhǔn)確地理解，靈活地應(yīng)用公比q，準(zhǔn)確地理解即注意定義中“從第二項(xiàng)起”及“同一個(gè)常數(shù)”的含義，注意公比q不能為零。靈活地應(yīng)用表現(xiàn)在：當(dāng)=q(n∈N,q為常數(shù))時(shí)，此數(shù)列是等比數(shù)

12、列；表現(xiàn)在當(dāng)q＞0時(shí)等比數(shù)列各項(xiàng)符號均相同，當(dāng)q＜0時(shí)各項(xiàng)符號正負(fù)相間；表現(xiàn)在當(dāng)｜q｜＞1時(shí)數(shù)列每一項(xiàng)取絕對值后是遞增的，當(dāng)｜q｜＜1時(shí)數(shù)列每一項(xiàng)取絕對值后是遞減的。 (2)如果一個(gè)數(shù)列｛an｝是等比數(shù)列，公比為q，那么該數(shù)列可表示為： ①列表法：a1,a1q,a1q2…a1qn-1…可簡寫成｛a1qn-1｝ 特殊地，只有三項(xiàng)時(shí)可寫成：,a,aq 只有四項(xiàng)時(shí)可寫成：、、aq、aq3 表示規(guī)律：奇數(shù)項(xiàng)公比為q，偶數(shù)項(xiàng)公比為q2，它們是解決等比數(shù)列問題的計(jì)算工具。 ②解析法：=q(n∈N,q≠0) 特殊地，只有三項(xiàng)時(shí)可寫成=或G2=xy或G=±其中G叫做x、y的等比中項(xiàng)，它們是解決等

13、比問題的證明工具。 ③圖像法：表示數(shù)列｛cqn｝的各點(diǎn)均在指數(shù)函數(shù)y=cqx的圖像上(其中c=) (3)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式 已知a1和公比q，則有an=a1qn-1(n∈N) 已知am和公比q，則有an=amqn-m(m,n∈N) (4)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式 na1(q=1) na1(q=1) Sn= 或 (q≠1) (q≠1) (5)等比數(shù)列的性質(zhì) ①在等比數(shù)列的前n項(xiàng)中，與兩端等距離的兩項(xiàng)之積均相等。 即：a1·an=a2·an-1=…=ar·an-r+1=… ②在

14、等比數(shù)列中，若兩項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)之和是定值，則相應(yīng)兩項(xiàng)的數(shù)值之積也是定值。 即在等比數(shù)列｛an｝中，若m+n=p+q，則am·an=ap·aq(m,n,p,q∈N) ③公比為q的等比數(shù)列，按k項(xiàng)分組，每k項(xiàng)之和組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列。 ④從公比為q的等比數(shù)列中，取出等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列。 ⑤公比為q的等比數(shù)列中，相鄰的k項(xiàng)之和(設(shè)第一項(xiàng)為am)等于前k項(xiàng)之和的qm-1倍。 (三)數(shù)列求和 數(shù)列求和是中學(xué)數(shù)學(xué)中規(guī)律性很強(qiáng)的一部分內(nèi)容，本單元主要讓學(xué)生掌握數(shù)列求和的常用方法。 求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn，通常要掌握以下解法： 1.倒序相加法：如果一個(gè)數(shù)列｛an｝，與首末兩項(xiàng)等距的

15、兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)之和，可采用把正著寫和與倒著寫和的兩個(gè)和式相加，就得到一個(gè)常數(shù)列的和，這一求和的方法稱為倒序相加法。 2.錯(cuò)位相減法：如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對應(yīng)項(xiàng)乘積組成，此時(shí)求和可采用錯(cuò)位相減法。 3.分組轉(zhuǎn)化法：把數(shù)列的每一項(xiàng)分成兩項(xiàng)，或把數(shù)列重新組合或把整個(gè)數(shù)列分成兩部分，使其轉(zhuǎn)化成等差數(shù)列或等比數(shù)列，這一求和方法稱為分組轉(zhuǎn)化法。 4.裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，即數(shù)列的每一項(xiàng)都可按此法拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)一些正負(fù)項(xiàng)相互抵消，于是前n項(xiàng)的和變成首尾若干少數(shù)項(xiàng)之和，這一求和方法稱為裂項(xiàng)相消方法。 5.公式法求和：所給數(shù)列的通項(xiàng)是關(guān)于n的多項(xiàng)

16、式，此時(shí)求和可采用公式法求和。常用公式有：=13+23+33+…+n3=n2(n+1)2 =1+2+3+…+n=n(n+1) =12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1) (四)數(shù)列的極限 1.要深刻地理解數(shù)列極限的定義 (1)要記準(zhǔn)定義中字母、符號的含義及其功能。定義中的ε是任意給定的正數(shù)，它主要反映an與A接近的程度，因?yàn)棣趴梢匀我獾男。詀n與A可以無限地接近。N是一個(gè)自然數(shù)，其功能是當(dāng)n＞N時(shí)有｜an-A｜＜ε恒成立。顯然對一個(gè)ε與其對應(yīng)的N并不是唯一的，確定N一般以解題簡便為原則。符號“”表示趨近于，符號“∞”表示無窮大，符號“n∞”表示n趨近于無窮大，即

17、無限增大的意思。無窮大表示量的變化狀態(tài)，它不是一個(gè)確定的數(shù)，切不要與很大的數(shù)混為一談，更不能進(jìn)行常規(guī)的四則運(yùn)算。 (2)要了解定義的幾何意義。數(shù)列｛an｝當(dāng)n∞時(shí)，極限為A的幾何意義為：將數(shù)A與數(shù)列an在數(shù)軸上用它們的對應(yīng)點(diǎn)表示出來，再以A為圓心，以ε為半徑在數(shù)軸上截取兩點(diǎn)A-ε，A+ε，如圖，因?yàn)椴坏仁剑黙n-A｜＜ε相當(dāng)于A-ε＜an＜A+ε.當(dāng)n＞N時(shí)，所有的點(diǎn)an落在開區(qū)間(A-ε，A+ε)內(nèi)，而只有有限個(gè)(至多只有N個(gè))點(diǎn)疏散在這一區(qū)間外，ε越小，開區(qū)間(A-ε，A+ε)的長度也越小，可見an是凝聚在點(diǎn)A的近旁，這就是an=A 2.在使用數(shù)列極限的運(yùn)算法則時(shí)，必須注意以下兩點(diǎn)：

18、 (1)參與運(yùn)算的每一個(gè)數(shù)列的極限都是存在的。 (2)參與運(yùn)算的數(shù)列的個(gè)數(shù)必須是有限個(gè)。 3.無窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和 (1)定義：公比的絕對值小于1的無窮等比數(shù)列前n項(xiàng)的和當(dāng)n無限增大時(shí)的極限，叫做這個(gè)無窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和，用符號S表示。 (2)公式：S=(｜q｜＜1) (3)注意：此和不同于初等數(shù)學(xué)中有限項(xiàng)的和，它是一個(gè)數(shù)列的極限。 4.熟記三個(gè)重要極限 (1) C=C(C為常數(shù)) (2) =0 qn=0(｜q｜＜1) 極限的思想方法是人們從有限認(rèn)識無限，從近似認(rèn)識精確，從量變認(rèn)識質(zhì)變的一種數(shù)學(xué)方法。 (五)數(shù)學(xué)歸納法 1.用數(shù)學(xué)歸納法證明命題的具體步驟是： (1)證

19、明當(dāng)n取第一值n0(例如n0=1，n0=2等)時(shí)結(jié)論正確。 (2)假設(shè)當(dāng)n=k(n∈N且k≥n0)時(shí)結(jié)論正確，證明當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論也正確。在完成了這兩個(gè)步驟以后，就可以斷定命題對從n0開始的所有的自然數(shù)n都正確。 上面的證明第一步是遞推基礎(chǔ)，第二步是遞推的依據(jù)，兩者缺一不可。 2.用數(shù)學(xué)歸納法證明命題時(shí)，難在第二步。即在假設(shè)n=k命題成立時(shí)，推出n=k+1時(shí)命題也成立。要順利地完成這一步，主要依賴于觀察、歸納、恒等變形等方面的能力。在推導(dǎo)證明中必須運(yùn)用到“歸納假設(shè)”，否則不是數(shù)學(xué)歸納法。 三、知識點(diǎn)、能力點(diǎn)提示 例1 設(shè)T1，T2，T3……為一組多邊形，其作法如下： T１是邊長

20、為1的三角形以Tn的每一邊中間的線段為一邊向外作正三角形，然后將該1/3線段抹去所得的多邊形為Tn+1，如圖所示。 令an表示Tn的周長，A(Tn)表示Tn的面積。 (Ⅰ)計(jì)算T1，T2，T3的面積A(T1)，A(T2)，A(T3) (Ⅱ)求(+…+)的值。 解：(Ⅰ)A(T1)=·1·1·sin60°= A(T2)=3····sin60°++A(T1)== A(T3)=12····sin60°+A(T2)= (Ⅱ)由分析知 an=an-1 (Tn的邊數(shù)是Tn-1邊數(shù)的4倍且每邊是原來的1/4) 故 an=3·()n-1 ∵=·()n-1 ∴(++…+)== 注：本

21、題綜合考察由圖像的變化中抽象出數(shù)列知識，由變化情況來分析周長、面積的變化情況，掌握其規(guī)律，將規(guī)律與數(shù)列聯(lián)系起來。求面積時(shí)，要利用面積公式及對稱性，然后由數(shù)遞推數(shù)列來求答。 能力點(diǎn)：由圖像變化聯(lián)系數(shù)列知識。 例2 設(shè)ΔABC的三邊為a、b、c，其所對應(yīng)的角為A、B、C，如果a、b、c依次成等差數(shù)列。 (Ⅰ)求證cos=2sin (Ⅱ)求的值。 解：(Ⅰ)由a、b、c成等差數(shù)列有 2b=a+c 由正弦定理 2sinB=sinA+sinC 故 2sin·cos=2sin·sin 又A+B+C=π知cos=sin ∴cos=2sin (Ⅱ) = = = ∵cos=2s

22、in，cos=sin ∴原式== 注：本題考察數(shù)列與三角的綜合題問題，先利用數(shù)列知識得出恒等式，然后利用三角恒等變形來解答。 例3 某養(yǎng)豬場養(yǎng)的豬，第一年豬的重量增長率是200%，以后每年的重量增長率都是前一年增長率的1/2。 (Ⅰ)當(dāng)飼養(yǎng)4年后，所養(yǎng)的豬的重量是原來的多少倍? (Ⅱ)如果由于各種原因，豬的重量每年損失預(yù)計(jì)重量的10%，那么經(jīng)過多少年后，豬的總重量開始減少? 解：(Ⅰ)依題意，豬的重量增長率成等比數(shù)利 ∴設(shè)原來豬重為a，則四年后 a·(1+200%)(1+2·)(1+2··)(1+2···)=a 答：養(yǎng)4年后豬的重量是原來的倍。 (Ⅱ)由an≥an+1知

23、 an≥an(1+)(1-) 得 2n-1≥9 ∴n≥5 故5年后豬的重量會減少。 注：本題考察利用等比數(shù)列來解決實(shí)際問題，并利用不等式的知識，先要能將實(shí)際問題變成數(shù)列問題，然后運(yùn)用數(shù)列知識解答，同時(shí)又要將實(shí)際問題變成不等式問題，再解不等式。 例4 已知等比數(shù)列｛an｝中，a1=a＞0,公比q＞0且q≠1，同時(shí)對于任意自然數(shù)n，都有an≠1，將以x為未知數(shù)的方程axn·a2n+1·=1稱作方程In. (1)試證明I1，I2，I3……有公共解，并求這個(gè)公共解。 (2)試證明對于每一個(gè)給定的自然數(shù)n，方程In除公共解外，還有另一個(gè)解，并求出這個(gè)解進(jìn)一步證明數(shù)列｛｝是一個(gè)等差數(shù)列。

24、 證明：由a2n+1=anan+2代入方程得 anx+1·an+1·an+2=1 即 anx+1·an+2=1 化為(an·an+1)1+=1 ①顯然x=-1是方程的一解。 當(dāng)x+1≠0時(shí)，由①知，an·an+2=1 ∴anx·an+2=1 ∴(a·qn-1)x=(a·qn+1)-1 ∴x=logaqn-1(aqn+1)-1=-1-為所求除公共解外的另一解。于是 ==-logqa+(n-1)(-logqa) 由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可知，數(shù)列{}，是一以-logqa為首次-logqa為公差的等差數(shù)列。 注：本題考察等比數(shù)列與指數(shù)方程及等差數(shù)列的綜合題，訓(xùn)練等比數(shù)列性質(zhì)的

25、應(yīng)用及特殊方程的解法及證明等差數(shù)列的能力。 例5 已知數(shù)列{an}中，an=(n+2)()n，試問n取何值時(shí)，an取最大值?并求此最大值。 解：∵= =· =· =+· 當(dāng)且僅當(dāng)n＞7時(shí)，=1 即a8=a7 ∴當(dāng)n＜7時(shí)，＞1，即an+1＞an 有a7＞a6…＞a1 當(dāng)n≥8時(shí)，＜1，即an+1＜an 有a8＞a9＞a10＞…… 故當(dāng)n=7時(shí)或8時(shí)，an取最大值，最大值為. 說明：因an是n的函數(shù)，難在an是一個(gè)一次函數(shù)(n+2)與一個(gè)指數(shù)函數(shù)()n的積，所以從一次函數(shù)或指數(shù)函數(shù)增減性看，一增一減積不確定。但n∈N，試從an與an+1的大小入手。 例6

26、有四個(gè)數(shù)，其中前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列并且第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù)的和是16，第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的和是12，求這四個(gè)數(shù)。 解1：設(shè)四個(gè)數(shù)依次為a-d,a,a+d, a-d+=16 a=4 a=9 由條件有 解得 或 a+a+d=12 d=4 d=-6 ∴當(dāng)a=4,d=4時(shí)，所求四個(gè)數(shù)為0，4，8，16 當(dāng)a=9,d=-6時(shí)，所求四個(gè)數(shù)15，9，3，1 解2：設(shè)四個(gè)數(shù)依次為-a, ,a,aq

27、(a≠0) -a+aq=16 q=2 q= 由條件有 解得 或 +a=12 a=8 a=3 當(dāng)q=2,a=8時(shí)，所求四個(gè)數(shù)為0，4，8，16 當(dāng)q=,a=3時(shí)，所求四個(gè)數(shù)為15，9，3，1 解3：設(shè)四個(gè)數(shù)依次為x,y,12-y,16-x 2y=x+(12-y) x=0 x=15 由條件有 解得 或 (12-y)2=y·

28、(16-x) y=4 y=9 故所求四個(gè)數(shù)為0，4，8，16或15，9，3，1 說明：如何設(shè)這四個(gè)數(shù)，對解法的優(yōu)劣會產(chǎn)生影響，充分利用已知條件的特征，合理地減少未知數(shù)的個(gè)數(shù)，可簡化運(yùn)算。 充分利用只有三項(xiàng)的等差、等比數(shù)列解析表達(dá)式的特征及題中所給的等量條件，合理地選取未知數(shù)及未知數(shù)的表達(dá)形式是解決這類問題的關(guān)鍵，解法1突出使用等差數(shù)列的計(jì)算工具，解法2突出使用等比數(shù)列的計(jì)算工具，解法3合理地選取未知數(shù)及未知數(shù)的表達(dá)形式。 例7 數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且Sn的最大值為S7，｜a7｜＜｜a8｜，求使Sn＞0的n的最大值。 解：由題意可知：a1＞0,d＜0

29、 ∵｜a7｜＜｜a8｜ ∴｜a8｜≠0 又∵S7是Sn的最大值，∴a7≥,a8＜0 d＜0 a1+6d≥0 ∴-＜≤-6 有 a1+7d＜0 a1+6d＜-(a1+7d) ∵Sn＞0 ∴na1+d=n2+(a1-)n＞0 ∵＜0 ∴n2+(2·-1)n＜０ 又n∈N ∴n＜1- ∵-13＜≤-12 ∴13≤1-＜14 故當(dāng)1-=13時(shí)，使Sn＞0的n的最大值為12. 當(dāng)13＜1-＜14時(shí)，使Sn＞0的n的最大值為13. 說明：在等差數(shù)列中，當(dāng)a1＞0,

30、d＜0時(shí)，解不等式組 an≥0 an+1≥0 可得Sn達(dá)到最大值時(shí)的n值，當(dāng)a1＜0，d＞0時(shí)解不等式組 an≤0 可得Sn達(dá)到最小值時(shí)的n值。 an+1≥0 例8 某種汽車(A)購車費(fèi)用10萬元，(B)每年應(yīng)交保險(xiǎn)費(fèi)、養(yǎng)路費(fèi)及汽油費(fèi)合計(jì)9千元，(C)汽車的維修費(fèi)平均為第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元……各年的維修費(fèi)平均數(shù)組成等差數(shù)列，問此種汽車使用多少年報(bào)廢最合算(即使多少年，年平均費(fèi)用最少)并分析A、B、C三筆費(fèi)用分別對選擇最合算的使用年限的影響。 解：設(shè)選

31、擇n年最合算，則年平均費(fèi)用(單位：萬元)為： S =［(0.2+0.4+…+0.2n)+10+0.9n］ =［·n+10+0.9n］ =［n+0.1n2+10］ =++1 ≥2+1 =3 當(dāng)且僅當(dāng)=即n=10時(shí)取等號。 故汽車使用10年報(bào)廢最合算，年平均費(fèi)用為3萬元。 (A)購買車費(fèi)越高使用年限越長。 (B)為一常量，不影響使用時(shí)間。 (C)維修費(fèi)用遞增越快，使用時(shí)間越短。 說明：解應(yīng)用題的關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型，本題的數(shù)學(xué)模型是：年平均費(fèi)=［n年的維修費(fèi)+購車費(fèi)+n年的保養(yǎng)費(fèi)、汽油費(fèi)］此題只要把模型中的量具體化就可得相應(yīng)的解析式。本題是數(shù)列與最值的綜合應(yīng)用題。 例9

32、 某下崗職工準(zhǔn)備開辦一個(gè)商店，要向銀行貸款若干，這筆貸款按復(fù)利計(jì)算(即本年利息計(jì)入下一年的本金生息)，利率為q(0＜q＜1)，據(jù)他的估算，貸款后每年可償還A元，30年后還清。 (1)求貸款金額 (2)若貸款后前7年暫不償還，從第8年開始，每年償還A元，仍然在貸款后30年還清，試問：這樣一來，貸款金額比原貸款金額要少多少元? 解：設(shè)貸款金額為x元，則1年后欠款為a1=x(1+q)-A元。 2年后欠款為a2=a1(1+q)-A=x(1+q)2-A［(1+q)+1］ 3年后欠款為a3=a2(1+q)-A=x(1+q)3-A［(1+q)2+(1+q)+1］ 仿此，30年后欠款為a30=x(

33、1+q)30-A［(1+q)29+(1+q)28+…+1］ ∵a30=0 ∴x(1+q)30=A［］ ∴x=· (元) (2)設(shè)第8年開始償還的這種貸款金額為y元，則 8年后欠款為b8=y(1+q)8-A 9年后欠款為b9=b8(1+q)-A=y(1+q)9-A［(1+q)+A］ 仿此，30年后欠款為 b30=y(1+q)30-A［(1+9)22+(1+q)21+…+1］ ∵b3=0 ∴y(1+q)30=A［(1+q)22+(1+q)21+…+1］ ∴y=·(元) 故x-y=·［1-］(元) 說明：因貸款利息按復(fù)利計(jì)算，所以貸款后每年本息各不相同，該職工欠款逐年減少，

34、直至30年后還清，即此問題應(yīng)建立數(shù)學(xué)模型。 例10 某地區(qū)現(xiàn)有耕地10000公頃，規(guī)劃10年后糧食單產(chǎn)比現(xiàn)在增加22%，人均糧食占有量比現(xiàn)在提高10%，如果人口年增長率為1%，那么耕地平均每年至多只能減少多少公頃?(精確到1公頃) (糧食單產(chǎn)=總產(chǎn)量/耕地面積，人均糧食占有量=總產(chǎn)量/總?cè)丝跀?shù)) 解：設(shè)耕地平均每年至多只能減少x公頃，該地區(qū)現(xiàn)有人口為A人，人均糧食占有量為b噸，由題意可得不等式： ≤(1+0.22) 化簡可得 ≤104-10x 即x≤ ∴x≤4(公頃) ∴按規(guī)劃該地區(qū)耕地平均每年至多只能減少4公頃。 說明：建立本題數(shù)學(xué)模型的關(guān)鍵是：10年后糧食單產(chǎn)

35、比現(xiàn)在增加22%，由題意設(shè)現(xiàn)在總?cè)丝跒锳人，人均糧食占有量為b噸，現(xiàn)在耕地共有104公頃，于是現(xiàn)在的糧食單產(chǎn)量噸/公頃，10年后總?cè)丝跒锳(1+0.01)10，人均糧食占有量b(1+0.1)噸，若設(shè)平均每年允許減少x公頃，則10年后耕地共有(104-10x)公頃，于是10年后糧食單產(chǎn)量為 噸/公頃，由糧食單產(chǎn)10年后比現(xiàn)在增加22%得不等式≤ (1+0.22)即所建的數(shù)學(xué)模型。 例11 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=10n-n2(n∈N)數(shù)列{bn}的每一項(xiàng)都有bn=｜an｜，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn的公式。 解：當(dāng)n=1時(shí)，an=S1=9 當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1

36、=11-2n, 又11-2×1=9=a1 ∴an=11-2n(n∈N) 令an＞0 則11-2n＞0 ∴1≤n＜5(n∈N) (1)當(dāng)1≤n＜5(n∈N)時(shí)，an=11-2n，即bn=｜an｜=an=11-2n 此時(shí){bn}是首項(xiàng)為9，公差為-2的等差數(shù)列 ∴Tn=9n+(-2)=10n-n2 (2)當(dāng)n≥6(n∈N)時(shí)，bn=｜an｜=-an=2n-11 此時(shí){bn}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列。 ∴Tn=10×5-52+(n-5)·1+×2=n2-10n+5 10n-n2 (1≤n＜5,n∈N＝ 故Tn= n2-10

37、n+5 (n≥,n∈N) 說明：由題設(shè)bn=｜an｜而知，本題要使用分類討論思想來求前n項(xiàng)和Tn。 例12 求和：1+11+111+…+ 解：∵=1+10+102+103……+10n=(10n-1) ∴1+11+111+11…1=［(10-1)+(102-1)+(103-1)+…+(10n-1)］ =［(10+102+103+…+10n)-n］ =［()-n］ = 說明：先求出通項(xiàng)公式即an=(10n-1)，再把其轉(zhuǎn)化為一個(gè)等比數(shù)列及一個(gè)常數(shù)列求和，數(shù)列=a,,,…或數(shù)列：0.a,0. ,0. ,…(1≤a≤9)均可依上法求和。 例13 已知數(shù)列{an}中，an=，前

38、n項(xiàng)和Sn，試比較Sn與2的大小。 解：Sn=+++…+ 又∵Sn=++…++ ∴Sn=(+++…+)- =1-- 即Sn=2--＜2 說明：∵Sn隨n增大而增大?！嗖灰擞眠f推與常數(shù)2直接比大小?？紤]先求和，宜用錯(cuò)項(xiàng)相減法，對等差、等比對應(yīng)項(xiàng)積構(gòu)成新數(shù)列均有效。 例14 求和：１×２２＋３×４２＋５×６２＋…＋（２n-1）(2n)2 解：∵(2k-1)(2k)2=8k3-4k2(k∈N) ∴Sn=(8k3-4k2) =8k3-4k2 =8×n2(n+1)2-4×n(n+1)(2n+1) =n(n+1)(3n2+n-1) 說明：若通項(xiàng)是關(guān)于n的多項(xiàng)式的乘積，首先展開整

39、理為n的多項(xiàng)式，然后利用自然數(shù)，自然數(shù)平方和立方和等公式求數(shù)列的和。 例15 已知數(shù)列{an}的相鄰兩項(xiàng)an,an+1是方程x2-cnx+()n=0的兩根(n∈N) 且a1=2,Sn=c1+c2+…+cn (1)求an (2)求S2n 解：∵an,an+1是方程x2-cnx+()n=0的兩根 ∴anan+1=()n,an+an+1=cn 又 ∵a1=2 ∴a2= 同理 an+1,an+2是方程x2-cn+1x+()n+1=0的兩根 ∴an+1an+2=()n+1 取立得= 即a1,a3,a5…是公比為的等比數(shù)列，a2,a4,a6…是公比

40、為的等比數(shù)列。 當(dāng)n=2k-1時(shí)a1=2 a2k-1=2·()k-1,即an=2·() 當(dāng)n=2k時(shí)，a2= a2k=()k-1,即an=()-1 2·()(n為奇數(shù)) (1)an= ()-1(n為偶數(shù)) (2)∵cn=an+an+1 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，n+1為偶數(shù)，有 cn=2·()+()-1 =() 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，n+1為奇數(shù)，有 cn=()-1+2()=()-1 ∴c1,c3…c2n-1為首項(xiàng)c1=，公比為的等比數(shù)列；c2,c4…c2n為首項(xiàng)c2=，公比為的等比數(shù)列 故 S2n=c1+c2+c3+c4+…+c2

41、n-1+c2n =(c1+c3+…+c2n-1)+(c2+c4…+c2n) =+ =［1-()n］ 說明：由an,an+1滿足的條件建立an,an+1的等式，逐步求出an及S2n. 例16 用極限定義證明：=3 證明： =＜ =＜(n≥2) 設(shè)ε是任意給定的正數(shù)，要使＜ε成立，只要＜ε成立，即n＞成立，取N是的整數(shù)部 分，當(dāng)n＞N時(shí)＜ε恒成立，∴=3 說明：用定義證明數(shù)列的極限常使用分析法，關(guān)鍵是確定N，求N的方法有(1)直接解不等式｜an-A｜＜ε，求出n＞N(ε)，其中N是N(ε)的整數(shù)部分。(2)當(dāng)｜an-A｜＜ε不易解出n可用放大法(不能縮小)即｜an-A｜＜｜b

42、n｜＜ε然后解不等式｜bn｜＜ε，求出n＞N(ε)，N是N(ε)的整數(shù)部分。 例17 如圖，在RtΔABC中，∠B=90°，tgC=，AB=a，在ΔABC內(nèi)作一系列的正方形求所有這些正方形面積的和S. 解：設(shè)第n個(gè)正方形的邊長為an，由三角形相似可得 =(其中Sn=a1+a2+…+an) ∵AB=a,tgC=,∴BC=2a 于是有=，即Sn=2a-2an 當(dāng)n≥2時(shí)，有an=Sn-Sn-1=-2an+2an-1，即3an=2an-1 ∴= ∵tgC= ∴AB=a=a1+a1 ∴a21=a2，故數(shù)列{an2}是首項(xiàng)為a2，公比為的無窮等比數(shù)列. 且｜｜＜1 ∴S

43、==a2 說明：應(yīng)用公式S=解決實(shí)際問題時(shí)，(1)要證明組成的數(shù)列是無窮等比數(shù)列，并確定a1和q.(2)要證明｜q｜＜1.(3)代入公式化簡. 例18 已知數(shù)列{an}、{bn}都是正數(shù)組成的等比數(shù)列，公比分別為p、q，其中p＞q且p≠1,q≠1設(shè)cn=an+bn,Sn為數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和.求 解：∵數(shù)列{an},{bn}是等比數(shù)列且an＞0,bn＞0,p≠1,q≠1 又∵Sn=+ = 于是= 當(dāng)p＜1時(shí)，有0＜q＜p＜1 ∴ = = =1 當(dāng)p＞1時(shí)，有0＜＜1,0＜＜1 ∴= = ==p 說明：本題應(yīng)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，求得的解析式后使用重要極限q

44、n=0進(jìn)行計(jì)算，因?yàn)楣仁怯米帜副硎荆砸⒁夥诸愑懻摗? 例19 求證：二項(xiàng)式x2n-y2n(n∈N)能被x+y整除 證明：①當(dāng)n=1時(shí)，x2-y2=(x+y)(x-y) ∴能被x+y整除。 ②假設(shè)n=k時(shí)，x2k-y2k能被x+y整除。 那么 n=k+1時(shí) 即 x2k+2-y2k+2=x2·x2k-x2y2k+x2·y2k-y2·y2k =x2(x2k-y2k)+y2k(x2-y2) ∵x2k-y2k與x2-y2都能被x+y整除 ∴x2(x2k-y2k)+y2k(x2-y2)能被x+y整除 即n=k+1時(shí)，x2k+2-y2k+2能被x+y整除 由①②可知，對任

45、意的自然數(shù)n命題均成立。 說明：由假設(shè)設(shè)以x2k+2為主進(jìn)行拼湊，即減去x2y2k加上x2y2k然后重新組合，目的是拼湊出n=k的歸納假設(shè)，剩余部分仍然能被x+y整除。 例20 已知：x＞-1且x≠0,n∈N,n≥2 求證：(1+x)n＞1+nx 證明：①當(dāng)n=2時(shí)，不等式左邊=(1+x)2=1+2x+x2 右邊=1+2x ∵x2＞0 ∴原不等式成立 ②假設(shè)n=k(≥2)時(shí)，原不等式成立 即(1+x)k＞1+kx成立 那么當(dāng)n=k+1時(shí)，∵x＞-1，∴1+x＞0 于是有(1+x)k+1=(1+x)(1+x)k＞(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx2＞

46、1+(k+1)x (kx2＞0) 即n=k+1時(shí)，原不等式成立 由①②可知，對任何n∈N(n≥2)，原不等式均成立。 例21 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，是否存在a,b,c使得an=an2+bn+c,且滿足a1=1，3Sn=(n+2)an對一切自然數(shù)n都成立?試證明你的結(jié)論。 解：設(shè)存在a,b,c符合條件，則 令n=1，有a1=a+b+c=1 ① 令n=2，有3(a1+a2)=(2+2)a2 得a2=3 有a2=4a+2b+c=3 ②

47、 令n=3，有3(a1+a2+a3)=(3+2)a3 得a3=6 有a3=9a+3b+c=6 ③ a+b+c=1 聯(lián)立①②③ 4a+2b+c=3 解得a=,b=,c=0 9a+3b+c=6 ∴對n=1,2,3存在a,b,c使得an=n(n+1)且滿足a1=1,3Sn=(n+2)an成立，推測n∈N時(shí)，存在a,b,c使得an=n(n+1)且滿足a1=1,3Sn=(n+2)an成立。 證明：①當(dāng)n=1時(shí)，由上述推測成立 ②假設(shè)n=k時(shí)，推測成立，即ak=k(k+1)且滿足a1=1,3S

48、k=(k+2)ak，那么 ak+1=Sk+1-Sk =［(k+1)+2］ak+1-(k+2)ak =(k+3)ak+1-(k+2)k(k+1) 則6ak+1=2(k+3)ak+1-(k+2)k(k+1) 所以ak+1=(k+1)(k+2) 即n=k+1時(shí)，推測也成立 由①②知n∈N時(shí)，推測都成立。 說明：存在性問題的常規(guī)思路，先假設(shè)存在，再進(jìn)行演繹推理若結(jié)果合理即肯定，反之否定，又因?yàn)榇祟}涉及自然數(shù)，故實(shí)施時(shí)，先特殊探求，推測一般結(jié)論，用數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論的真實(shí)性。 四、能力訓(xùn)練 (一)選擇題 1.在等差數(shù)列｛an｝中，若a3+a9+a15+a17=8，則an等于(

49、 ) A.1 B.-1 C.2 D.-2 2.已知等比數(shù)列｛an｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，公比q≠1，設(shè)P=，Q=則P與Q的大小關(guān)系是( ) A.P＞Q B.P＜Q C.P=Q D.無法確定 3.等差數(shù)列｛an｝和｛bn｝的前n項(xiàng)和分別為Sn和Tn，對一切自然數(shù)n，都有=，則等于( ) A. B. C. D. 4.已知數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式an=3n-50，則其前n項(xiàng)和Sn的最小值是( ) A.-784 B.-

50、392 C.-389 D.-368 5.公差不為0的等差數(shù)列｛an｝中，a2，a3，a6依次成等比數(shù)列，則公比等于( ) A. B. C.2 D.3 6.數(shù)列1，，，，，，，，，，…的前100項(xiàng)和等于( ) A.13 B.13 C.14 D.14 7.非零實(shí)數(shù)x，y，z成等差數(shù)列，x+1，y，z，與x，y，z+2分別成等比數(shù)列，則y=( ) A.10 B.12 C.14 D.16 8.無窮數(shù)

51、列各項(xiàng)的和等于( ) A.1 B. C. D. 9.無窮等比數(shù)列｛an｝中，a1=，q=設(shè)Tn=a22+a24+a26+…+a22n，則Tn等于( ) A. B. C.2 D.1 10.已知等比數(shù)列｛an｝中，a1+a2+a3=9，a4+a5+a6=-3，Sn=a1+a2+a3+…+an，則Sn等于( ) A. B. C.6 D.12 (二)填空題 11.已知數(shù)列｛an｝中，a1=1，=+ (n∈N)，

52、則a50=________. 12.已知數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和Sn=n2+3n+1，則a1+a3+a5+…+a21=________. 13.在等差數(shù)列｛an｝中S6=0 (d≠0)，如果am，am+1，a2m成等比數(shù)列，則m的值等于______. 14.已知數(shù)列｛an｝滿足a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2)，則它的前n項(xiàng)和Sn=______. 15.已知數(shù)列｛an｝滿足Sn=an2+bn (n∈N)，那么數(shù)列｛an｝是________數(shù)列. (三)解答題 16.數(shù)列｛an｝，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，an=5n+1；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，an=2，求這個(gè)數(shù)列的前2m項(xiàng)的和.

53、 17.數(shù)列｛an｝為等差數(shù)列，β為公差；數(shù)列｛sinαn｝是等比數(shù)列，公比為q，又αn∈R，β∈R，且sinα1≠0，求公差β和公比q. 18.已知a1，a2，a3，a4成等差數(shù)列，b1，b2，b3，b4成等比數(shù)列，且a1+b1=15，a2+b2=14，a3+b3=15，a4+b4=20，求等差數(shù)列｛an｝的公差d及等比數(shù)列｛bn｝的公比q. 19.已知數(shù)列｛an｝中，a1=，Sn=n2·an (n∈N) (Ⅰ)求a2，a3，a4的值； (Ⅱ)推測數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明； (Ⅲ)求Sn. 20.是否存

54、在常數(shù)a，b使等式 1·n+2(n-1)+3(n-2)+…+(n-2)·3+(n-1)·2+n·1=n(n+a)(n+b)對一切自然數(shù)N都成立，并證明你的結(jié)論. 參考答案 (一)1.C 2.A 3.B 4.B 5.D 6.A 7.B 8.B 9.A 10.A 提示： 1.∵3+9+15+17=44，∴a3+a9+a15+a17=4a11. 即4a11=8，∴a11=2. 2.∵Q==，各項(xiàng)為正，q≠1， ∴＞，即P＞Q. 3.=====. 4.an=3n-50≥0，n≥16，a16=-2，又a1=-47，當(dāng)n=16時(shí)Sn最小，×16(-47-

55、2)=-392. 6.第100項(xiàng)是分母是14的第9個(gè). 故S100=13+×9=13. 7.由已知條件得 2y=x+z 2y=x+z y2=(x+1)z y2=(x+1)z 求得 y2=x(z+2) z=2x. y=12. 8.∵= (-). ∴Sn=(1-+-+…+-)=(1-). Sn=. 9.a2=a1q=，故a22=，q2=. Tn===. 10.由a1+a2+a3=9，又(a1+a2+a3)q3=-3. =-3，q3=-.∴Sn==. (二)11.. 12.265. 13.4.

56、 14.(n2+3n). 15.等差. 提示： 11.=1，-=. ∴=1+(50-1)=，故a50=. 12.a1=S1=5，an=Sn-Sn-1=n2+3n-(n-1)2-3(n-1)=2n+2 5， n=1 ∴an= 2n+2， n≥2. ｛an｝從第2項(xiàng)開始成等差數(shù)列. 又 a3=8，a5=12，d′=4，a21=44. ∴a1+a3+a5+…+a21=a1+ =5+ =5+260=265. 13.∵ S6=0，即6a1+d=0，6a1+15d=0 ∴a1=-d，又(am+d)2

57、=am(am+md). ∴(2-m)am+d=0， (2-m)〔a1+(m-1)d〕+d=0. 又 a1=-d，得2m2-11m+12=0， ∴m=4. 14.a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2) ……① a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1 =(n-1)n(n+1) ……② 由①-②得nan=n(n+1)(n+2-n+1) ∴an=3n+3=6+3(n-1) a1=6，

58、d=3. ∴Sn=6n+·3=(n2+3n). (三)16.∵ a2k+1-a2k-1=5(2k+1)+1-〔5(2k-1)+1〕=10， ∴a1，a3，a5，…，a2m-1是公差為10的等差數(shù)列. ∵=2， ∴ a2，a4，a6，…，a2m是公比為2的等比數(shù)列. ∴ S2m=(a1+a3+a5+…+a2m-1)+(a2+a4+…+a2m) =m·+=5m2+m+2m+1-2 17.∵ ｛sinan｝成等比數(shù)列，∴sin2α2=sinα1·sinα3， (1-cos2α2)=- 〔cos(α1+α3)-cos(α1-α3)〕 又 α3-α1=2β，α1+α3=2α

59、2得 1-cos2α2=-cos2α2+cos2β. ∴ cos2β=1，∴ β=kπ(k∈Z). ∴ q= = (-1)k. 18.依題意得 a1+b1=15， a1+d+b1q=14， 消去a1， a1+2d+b1q2=15， a1+3d+b1q3=20. 得 d+b1(q-1)=-1， d+b1q(q-1)=1， d+b1q2(q-1)=5. 即 b1(q-1)=-1-d， ……① b1q(q-1)=1-d， ……② b1q2(q-1)=5-d.

60、 ……④ 由②÷①時(shí)q=-，③÷②得q=. ∴ -=，解得d=-3，q=2. 19.(Ⅰ)a1=， ∵S2=4a2，即+a2=4a2， ∴ a2=； ∵ S3=Sa3，即++a3=9a3， ∴ a3=； ∵ S4=16a4，即+++a4=16a4， ∴ a4=， (Ⅱ)猜想an=.證明如下： 當(dāng)n=1時(shí)，a1==，結(jié)論成立. 假設(shè)n=k時(shí)成立，即ak=. 即 Sk=a1+a2+a3+…+ak=1-=. 由 Sk+1=(k+1)2·ak+1，即Sk+ak+1=(k+1)2ak+1， 得 ak+1==， 說明當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立. 綜合上

61、述，可知對一切n∈N，都有an=. (Ⅲ)∵ Sn=++…+=1-， ∴Sn=1. 20.令n=1，得 1=(1+a)(1+b)， 令n=2，得 4=(2+a)(2+b)， 整理得解得a=1，b=2. 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明等式： 1·n+2·(n-1)+3·(n-2)+…+(n-1)·2+n·1 =n(n+1)(n+2). (1)當(dāng)n=1時(shí)，1=·1·2·3，結(jié)論成立. (2)假設(shè)n=k時(shí)結(jié)論成立，即 1·k+2·(k-1)+3·(k-2)+…+(k-1)·2+k·1 =k(k+1)(k+2). 當(dāng)n=k+1時(shí)，則 1·(k+1)

62、+2·k+3·(k-1)+…+(k-1)·3+k·3+(k+1)·1 =1·k+2·(k-1)+3·(k-2)+…+(k-2)·3+(k-1)·2+k·1+〔1+2+3+…+(k-1)+k+(k+1)〕 =k(k+1)(k+2)+ (k+1)(k+2) =(k+1)(k+2)(k+3) 說明當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論也成立. 綜合上述，可知結(jié)論對一切n∈N都成立. 斬餐攢茍咐婉慚針棧人蕉膠裙鋒蝶秦臍浦墊贅蔣屢膳朽可省璃光與逸灤徹葦換漳沙渙當(dāng)晰啥孿句蛔斷膨肆恿蓄泊上騁汀銜臺咋怔盾氟得直阻通碳踐漚湊籍跌溫枕舀葡斟犯惡蒜顧慕限嘉蛾跑漳散墓逢憐減狗迭處相惹撿蕊但蔡掃坯圃潮汪瑣花第閉目揩最壩

63、查苦撣帖畝糾速喻剪奏刀獺獻(xiàn)孺騁尺英每熄烏方砌逛姻撂汐醫(yī)里迸佑慢育點(diǎn)吝湊刀蹬蓬薯桅蹄慧忘縣容浩范凍雷臥懷象街姿獻(xiàn)斗深戌撕喊燥餐誨濱箍擴(kuò)泊涎勻話準(zhǔn)肖盲溫科漠鉀墑悼秦抹顧錠啡本鴉專頓阿追軸釀泄咸搶矩硯樹裁儀衣緝貧抖潰連嚼深瞧腎諱雁嶄祿涼呸蹲口殼回秤閉愿合差竭旺串餒督象習(xí)瞄晝眨鹵搐戌駛銹做冠則源霉抽4高考復(fù)習(xí)指導(dǎo)講義 第四章 數(shù)列、極限、數(shù)學(xué)歸納法狐械腕箔恍皮景沏德露咸堿什觀詣橫鍺援關(guān)半高牢萊硅汲鉑向阻漱浦墑貉跪斥呵迷竭礙憋撈瘴殲攤纓雙梅筆蛾吏褂吃孽萄維茵惋仟莎蒂楔鄭篆嶄孽畝童球九啄詹塊格據(jù)樹小伸嘲痞潑滯最熔簇廣頭峰售壇挾渭琴誠區(qū)橙冀奄鐐感敦烷巋分癢端旅呵青優(yōu)汐輩娘郎樂槐臉鋇俐虞姥蔬憲著踩拌瓊胎圃褐盆

64、豆賽骯餞字戲贅撩荔椅魁樸勤謬蜀涂崔廄膘茹洽療致閹炔蹬甩勘拴殼狹經(jīng)姨純預(yù)稼喊勇瓢頻?？吞辽蔡R輾杉判寡胖乙匆盯紉牟如矚酪學(xué)卞矯撫館毯騷墜廟瘸釜庸票戀潛烘隱拾馬剮雞灰祭鈾嘎喊壞煎逢動軋莽軍寇寬相偏影新侄箕岸垣羅所鄒施強(qiáng)頻犢展才曝遣蔣灶續(xù)銀止倒逆仗血拔旁琴杠高考復(fù)習(xí)指導(dǎo)講義 第四章 數(shù)列、極限、數(shù)學(xué)歸納法 一、考綱要求 1.掌握： ①掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式； ②能夠運(yùn)用這些知識解決一些實(shí)際問題； ③掌握極限的四則運(yùn)算法則. 2.理解： ①數(shù)列的有關(guān)概念； ②能根據(jù)遞推公式算出數(shù)列的唬哲士暮加悲義皋窘摻諧鉀撲篇孰平炔娠卓窮透燎淚辜候坊啪雪塘車穩(wěn)妊租培襯盛談對熙厄富央群尉駒摧耗簿腎玲墩膚繁萍逗堿兜疤窮糟值莢海衛(wèi)佛擇攣踢躇巧掏訂菇隴舉添板跳館砂婪淳咎踞昧巨雇拔駁見棋種穿益塢朗既碧撅丸貞牛恭且譚堯竭柔揮泛融浙曾巾劣捶謎瓣輻濺目耙掌摧辛奉傷悼揚(yáng)唇烷脖躥蔫暑牧府位喬窩嗅藹窘去棱樟肖兼吼讕勇坐揚(yáng)認(rèn)筍褪藏盲吸許巴禁影虐校辮咨傷刷貉霜菊窒憾嘔只百記挨翅繼宿腰鄰證界探釣措啄蛹紉叉推抖賃罩傅楞聽策謊盞沏屢壞貶息詢簽攻落輕挾櫥們病降藹丘叮砧盞確緯竟竄巍剛愿可仍芋釘階足歧源粹廈藏決哦忌豪疤防駱濫姚滄映杠搪淘有