新編高考數(shù)學理科總復習【第二章】函數(shù)、導數(shù)及其應用 第十三節(jié)

《新編高考數(shù)學理科總復習【第二章】函數(shù)、導數(shù)及其應用 第十三節(jié)》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《新編高考數(shù)學理科總復習【第二章】函數(shù)、導數(shù)及其應用 第十三節(jié)（9頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、新編高考數(shù)學復習資料 第十三節(jié)　導數(shù)在研究函數(shù)中的應用(一） 1．了解函數(shù)單調性和導數(shù)的關系；能利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，會求函數(shù)的單調區(qū)間，對多項式函數(shù)一般不超過三次． 2．了解函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件；會用導數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值，對多項式函數(shù)一般不超過三次；會求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值，對多項式函數(shù)一般不超過三次． 知識梳理 一、函數(shù)的導數(shù)與函數(shù)的單調性的關系 1．函數(shù)單調性的充分條件． 設函數(shù)y＝f(x)在某個區(qū)間內有導數(shù)，如果在這個區(qū)間內y′>0，那么函數(shù)y＝f(x)在這個區(qū)間內為_______

2、_；如果在這個區(qū)間內y′<0，那么函數(shù)y＝f(x)在這個區(qū)間內為________． 2．函數(shù)單調性的必要條件． 設函數(shù)y＝f(x)在某個區(qū)間內有導數(shù)，如果函數(shù)y＝f(x)在這個區(qū)間內為增函數(shù)，那么在這個區(qū)間內______；如果函數(shù)y＝f(x)在這個區(qū)間內為______，那么在這個區(qū)間內______． 3．求可導函數(shù)的單調區(qū)間的一般步驟和方法． (1)確定函數(shù)f(x)的定義域． (2)計算導數(shù)________，令________，解此方程，求出它們在定義域區(qū)間內的一切實根． (3)把函數(shù)f(x)的間斷點的橫坐標和上面的各實根按由小到大的順序排列起來，然后用這些點把f(x)的定義域分成

3、若干個小區(qū)間． (4)確定f′(x)在各個開區(qū)間內的符號，根據f′(x)的符號判定函數(shù)f(x)在每個相應小區(qū)間的增減性[若f′(x)>0，則f(x)在相應區(qū)間內為增函數(shù)；若f′(x)<0，則f(x)在相應區(qū)間內為減函數(shù)]． 二、函數(shù)的極值 1．函數(shù)極值的定義． 一般地，設函數(shù)f(x)在點x0附近有定義，如果對x0附近的所有的點，都有f(x)＜f(x0)，就說f(x0)是_______，記作_________，x0是________． 如果對x0附近的所有的點，都有f(x)＞f(x0)．就說f(x0)是________，記作_________，x0是極小值點．極大值與極小值統(tǒng)稱為___

4、_____． 2．判別f(x0)是極大值、極小值的方法． 若x0滿足f′(x0)＝0，且在x0的兩側f(x)的導數(shù)異號，則x0是f(x)的極值點，f(x0)是極值，并且如果f′(x)在x0兩側滿足“左正右負”，那么x0是f(x)的________，f(x0)是________；如果f′(x)在x0兩側滿足“________”，那么x0是f(x)的極小值點，f(x0)是極小值． 3．求可導函數(shù)f(x)的極值的步驟． (1)確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導數(shù)________． (2)求方程________的根． (3)用函數(shù)的導數(shù)為0的點和函數(shù)定義域的邊界點，順次將函數(shù)的定義域分成___

5、_____，并列成表格．檢查f′(x)在______，如果________，那么f(x)在這個根處取得極大值；如果________，那么f(x)在這個根處取得極小值；如果左右________，那么f(x)在這個根處________． 三、函數(shù)的最大值與最小值 1．函數(shù)的最大值與最小值． 在閉區(qū)間上圖象連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)在上________最大值與最小值． 2．利用導數(shù)求函數(shù)的最值的步驟． 設函數(shù)f(x)在(a，b)內可導，在閉區(qū)間上圖象連續(xù)不斷，求函數(shù)f(x)在上的最大值與最小值的步驟如下： (1)求f(x)在(a，b)內的________． (2)將f(x)的各_____

6、___與________比較，得出函數(shù)f(x)在上的最值，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值． 基礎自測 1．函數(shù)y＝xsin x＋cos x在(π，3π)內的單調增區(qū)間為(　　)[來源:] A.　　　 B. C. D．(π，2π) 解析：∵y＝xsin x＋cos x，∴y′＝xcos x.[來源:] 當x∈(π，3π)時，要使y′＝xcos x＞0，只要cos x＞0，結合選項知，只有B滿足． 答案：B 2．函數(shù)f(x)＝ax3＋x＋1有極值的充要條件是(　　) A．a≥0

7、 B．a>0 C．a≤0 D．a<0 解析：f′(x)＝3ax2＋1，若函數(shù)有極值，則方程3ax2＋1＝0必有實數(shù)根，顯然a≠0，所以x2＝－>0，所以a<0.故選D. 答案：D 3． 函數(shù)f(x)＝x3－x2＋ax－5在區(qū)間[－1,2]上不單調，則實數(shù)a的取值范圍是________． 解析：∵f(x)＝x3－x2＋ax－5， ∴f′(x)＝x2－2x＋a＝(x－1)2＋a－1. 如果函數(shù)f(x)＝x3－x2＋ax－5在區(qū)間[－1,2]上單調，那么a－1≥0或解得a≥1或a≤－3.于是滿足條件的a∈(－3,1)． 答案：(－3,1)

8、 4．(2013·武漢質檢)已知函數(shù)f(x)的導數(shù)為f′(x)＝x2－x，則當x＝________時，函數(shù)f(x)取得極大值． 解析：當x＜0或x＞1時，f′(x)＞0；當0＜x＜1時，f′(x)＜0，所以當x＝0時，函數(shù)f(x)取得極大值．[來源:] 答案：0  [來源:] 1．(2012·陜西卷)設函數(shù)f(x)＝xex，則(　　) A．x＝1為f(x)的極大值點 B．x＝1為f(x)的極小值點 C．x＝－1為f(x)的極大值點[來源:] D．x＝－1為f(x)的極小值點 解析：f′(x)＝(x＋1)ex，令f′(x)＝0，得x＝－1，當x<－1

9、時，f′(x)<0，f(x)＝xex為減函數(shù)；當x>－1時，f′(x)>0，f(x)=xex為增函數(shù)，所以x＝－1為f(x)的極小值點．故選D. 答案：D 2．(2013·福建卷)已知函數(shù)f(x)＝x－aln x(a∈R)． (1)當a＝2時，求曲線y＝f(x)在點A(1，f(1))處的切線方程； (2)求函數(shù)f(x)的極值． 解析：函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝1－.[來源:] (1)當a＝2時，f(x)＝x－2ln x，f′(x)＝1－(x>0)， 因而f(1)＝1，f′(1)＝－1， 所以曲線y＝f(x)在點A(1，f(1))處的切線方程為

10、y－1＝－(x－1)， 即x＋y－2＝0. (2)由f′(x)＝1－＝(x>0)，知： ①當a≤0時，f′(x)>0，函數(shù)f(x)為(0，＋∞)上的增函數(shù)，函數(shù)f(x)無極值； ②當a>0時，由f′(x)＝0，解得x＝a. 又當x∈(0，a)時，f′(x)<0； 當x∈(a，＋∞)時，f′(x)>0， 從而函數(shù)f(x)在x＝a處取得極小值，且極小值為f(a)＝a－aln a，無極大值． 綜上，當a≤0時，函數(shù)f(x)無極值； 當a>0時，函數(shù)f(x)在x＝a處取得極小值a－aln a，無極大值． 答案：見解析 1．設函數(shù)f(x)＝2ln－2.

11、 (1)求函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間； (2)若關于x的方程f＋x2－3x－a＝0在區(qū)間內恰有兩個相異的實根，求實數(shù)a的取值范圍．[來源:] 解析：(1)函數(shù)f的定義域為， ∵f′(x)＝2＝－(x>1)， 則使f′(x)>0的x的取值范圍為，[來源:] 故函數(shù)f的單調遞增區(qū)間為. (2)(法一)∵f(x)＝2ln－2， ∴f(x)＋x2－3x－a＝0?x＋a＋1－2ln＝0. 令g＝x＋a＋1－2ln. ∵g′(x)＝1－＝，且x>1， 由g′(x)>0，得x>3；由g′(x)<0，得1

12、來源:數(shù)理化網] 故f(x)＋x2－3x－a＝0在區(qū)間內恰有兩個相異實根?即解得2ln 3－5≤a<2ln 2－4. 綜上所述，a的取值范圍是[2ln 3－5,2ln 2－4)． (法二)∵f(x)＝2ln－2， ∴f(x)＋x2－3x－a＝0?x＋a＋1－2ln＝0， 即a＝2ln－x－1， 令h＝2ln－x－1， ∵h′(x)＝－1＝，且x>1，[來源:] 由h′(x)>0，得13. ∴h(x)在區(qū)間[2,3]上單調遞增，在區(qū)間[3,4]上單調遞減． ∵h＝－3，h＝2ln 2－4，h＝2ln 3－5， 又h

13、－3x－a＝0在區(qū)間上恰有兩個相異實根?h≤a

14、＝－1. 所以f(x)＝x2－x＋1； (2)由(1)知f(x)＝x2－x＋1， 關于x的方程f(x)＝kex恰有兩個不同的實根， 即x2－x＋1＝k·ex有兩個不同的實根，也就是k＝e－x(x2－x＋1)有兩個不同的實根． 令g(x)＝e－x(x2－x＋1)， 則g′(x)＝(2x－1)e－x－(x2－x＋1)e－x＝－(x2－3x＋－(x－1)(x－2)e－x. 由g′(x)＝0，得x1＝1，x2＝2. 所以當x∈(－∞，1)時，g′(x)＜0，g(x)在(－∞，1)上為減函數(shù)； 當x∈(1,2)時，g′(x)＞0，g(x)在(1,2)上為增函數(shù)； 當x∈(2，＋∞)時，g′(x)＜0，g(x)在(2，＋∞)上為減函數(shù)； 所以，當x＝1時，g(x)取得極小值g(1)＝，當x＝2時函數(shù)取得極大值g(2)＝. 函數(shù)y＝k與y＝g(x)的圖象的大致形狀如上， 由圖象可知，當k＝和k＝時，關于x的方程f(x)＝kex恰有兩個不同的實根． 答案：見解析