新教材2021-2022學(xué)年人教A版必修第一冊(cè) 5.4.1　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象 學(xué)案.docx

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1、5.4三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 5.4.1正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象 核心知識(shí)目標(biāo) 核心素養(yǎng)目標(biāo) 1.能利用三角函數(shù)的定義，畫出函數(shù) y二sinx,y二cosx的圖象. 2.掌握“五點(diǎn)法”畫y=sinx,y=cosx 通過對(duì)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的 的圖象的步驟和方法，能利用“五點(diǎn) 圖象的學(xué)習(xí)與應(yīng)用，提升直觀 法”作出簡(jiǎn)單的正弦、余弦曲線. 想象、邏輯推理的核心素養(yǎng). 3.理解y=sinx與y=cosx圖象之間 的聯(lián)系. 途知識(shí)探究-素養(yǎng)啟迪 ?情境導(dǎo)入 將塑料瓶底部扎一個(gè)小孔做成一個(gè)漏斗，再掛在架子上,就做成了一個(gè)簡(jiǎn)易單擺，如圖（1）所示.在漏斗下方放一

2、塊紙板，板的中間畫一條直線作為坐標(biāo)系的橫軸.把漏斗灌上細(xì)沙并拉離平衡位置，放手使它擺動(dòng)，同時(shí)勻速拉動(dòng)紙板.這樣就可在紙板上得到一條曲線，它就是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖象物理中把簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖象叫做“正弦曲線”或“余弦曲線”.它表示了漏斗對(duì)平衡位置的位移s（縱坐標(biāo)）隨時(shí)間t（橫坐標(biāo)）變化的情況.圖（2）就是某個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖象. ⑴ ⑴ ⑵ 如圖所示. sinx 0 1 0 -1 0 -1+sinx -1 0 -1 -2 -1 y=sinx^G［O^ir］3rt T2” 0"""1~y* -/-2y=-l+?inxjtGw］ 由圖象可以發(fā)現(xiàn)，把y=sinx,xe［0

3、,2JT］的圖象向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度即可得y二T+sinx,xe［0,2k］的圖象. ［例2］利用正弦曲線，求滿足|

4、0,2Ji)內(nèi)使sinx>|cosx|的x的取值范圍是() (A) (片(B)(J；］(罕,？)(C)§9(D)(?,?) 解析:因?yàn)閟inx>|cosx|,所以sinx>0,所以xe（0,兀）, cosx|,xE(0,兀)的 在同一坐標(biāo)系中畫出y=sinx,xe（0,兀）與y=|圖象,觀察圖象易得（：,?）.故選A. ?課堂達(dá)標(biāo) 1. （多選題）下列對(duì)y=2cosx的圖象描述正確的是（ABD）（A）在［0,2兀］和［4兀，6兀］上的圖象形狀相同，只是位置不同 （B）介于直線y=2與直線y=-2之間（C）關(guān)于x軸對(duì)稱 （D）與y軸僅有一個(gè)交點(diǎn)解析：由y=2cosx

5、的圖象可知A,B,D項(xiàng)正確，y=2cosx圖象的對(duì)稱軸 方程為x=kn,kez,故C項(xiàng)錯(cuò)誤.故選ABD. 2. （2020?吉林實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一月考）函數(shù)y=l-sinx,xe［0,2ji］的大致圖象是（B）解析:當(dāng)x=0時(shí),y=l;當(dāng)時(shí),y=0;當(dāng)x=n時(shí),y=l;當(dāng)爐普時(shí),y=2;當(dāng)x=2H時(shí),y=l,結(jié)合正弦函數(shù)的圖象可知B正確.故選B. (C) (D) 函數(shù)y=sinx的圖象和y二三的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)是 2TT解析:在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)作出兩個(gè)函數(shù)的圖象如圖所示, 由圖可知交點(diǎn)個(gè)數(shù)是3. 答案：34.不等式sinx<-|,xe[0,2n]的解集為解析:如圖所示,不等式sin

6、探究:通過上述實(shí)驗(yàn)，你對(duì)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象的直觀印象是怎樣的？ 提示:正、余弦函數(shù)的圖象是“波浪起伏”的連續(xù)光滑曲線. ?知識(shí)探究 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象［問題1-1］在［0,2II］上任取一個(gè)值X。,如何利用正弦函數(shù)的定義，確定正弦函數(shù)值sinX。,并畫出點(diǎn)T(x0,sinx0)? 提示:在直角坐標(biāo)系中畫出以原點(diǎn)0為圓心的單位圓，與x軸正半軸的交點(diǎn)為A(l,0).在單位圓上，將點(diǎn)A繞著點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)x?；《戎咙c(diǎn)B,根據(jù)正弦函數(shù)的定義，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)y0=sinx0.由此，以x°為橫坐標(biāo),y°為縱坐標(biāo)畫點(diǎn)，即得到函數(shù)圖象上的點(diǎn)T(x0,sinxo). ［問題1-2］你能畫出x。的值分別

7、為0,；,：,2兀時(shí)對(duì)應(yīng)的正弦函632 數(shù)圖象上的點(diǎn)嗎？ 提示:如圖，把X軸上從0到2這一段分成12等份，使X。的值分別為0,p…,2Ji,它們所對(duì)應(yīng)的角的終邊與單位圓0的交點(diǎn)將圓周12 632等分,再按上述畫點(diǎn)T(x。,sinxo)的方法，就可畫出自變量取這些值時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象上的點(diǎn). ［問題1-3］你能畫出正弦函數(shù)在［0,2兀］上的圖象嗎? 提示:將上述得到的12個(gè)點(diǎn)用光滑的曲線連接起來. ［問題1-4］你如何得到正弦函數(shù)在R上的圖象呢？ 提示:將函數(shù)y=sinx,xe［0,2ji］的圖象不斷向左、向右平移(每次移動(dòng)2n個(gè)單位長(zhǎng)度)，就可以得到正弦函數(shù)y=sinx,x《

8、R的圖象，如圖. ［問題1-5］以上作圖方法雖然精確，但是太麻煩，你如何快捷的畫出正弦函數(shù)y=sinx,xe［0,2n］的圖象?對(duì)余弦函數(shù)而言呢? 提示:五點(diǎn)作圖法:y=sinx的五點(diǎn)：(0,0),(；,1),(幾，0),號(hào),~1),(2Ji,0);y=cosx的五點(diǎn):(0,1),(?,0),(只，T),(y,0),(2n,1).［問題1-6］正弦函數(shù)和余弦函數(shù)這兩者的圖象能否通過左右平移得到？ 提示:能.將正弦函數(shù)的圖象向左平移?個(gè)單位長(zhǎng)度，得到余弦函數(shù)的圖象. 梳理正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象?小試身手 函數(shù) y=sinx y=cosx 圖象 y 亨 y i -

9、1 圖象 畫法 五點(diǎn)法 五點(diǎn)法 關(guān)鍵 (0,0),(p 1),(兀，o), (0,1),(p0),(叭 五點(diǎn) (￥，-1),(2叭0) -1),(學(xué),o),(2n,D 1.用“五點(diǎn)法”作y=2sinx的圖象時(shí)，首先描出的五個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)是(A)0,pn,|n,2n⑻0,n 2 2424(C)0,ji,2Ji,3n,4Ji(D)0,羅 6323 解析：由五點(diǎn)作圖法可知，首先描出的五個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x=o,兀，： n,2n.故選A. 2. 函數(shù)y=-sinx,xe[-Hy]的簡(jiǎn)圖是(D) (C)(D) 解析:可以用特殊點(diǎn)來驗(yàn)證.當(dāng)x=0時(shí),y=-sin0=0

10、,排除A,C;當(dāng)x=—時(shí),y=-siny=l,排除B.故選D. 3.不等式cosx<0,xG[0,2n]的解集為. 解析：由函數(shù)y=cosx的圖象可知，不等式cosx<0在［0,2n］的解集為寫3）?答案：（；,?）函數(shù)y=cosx,xe［0,2n］的圖象與直線y=的交點(diǎn)有 個(gè). 解析:作y=cosx,xe［0,2n］的圖象及直線y=［（圖略），可知兩函數(shù)圖象有2個(gè)交點(diǎn). 答案：2￡課堂探究?素養(yǎng)培育 點(diǎn)探究點(diǎn)一“五點(diǎn)法”作圖的應(yīng)用 ［例1］用“五點(diǎn)法”作出函數(shù)y=l-2sinx,xe［-n,jt］的簡(jiǎn)圖并觀察函數(shù)圖象,寫出滿足下列條件的x的區(qū)間. ① y>l;②y〈l. 解

11、:按五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，列表如下： X -兀 TC — 2 0 71 2 n sinx 0 -1 0 1 0 l~2sinx 1 3 1 -1 1 描點(diǎn)并連線得 由圖象可知圖象在y=l上方部分時(shí)y>l,在y=l下方部分時(shí)y y=l-2Binx9x 所以①當(dāng)xe(-n,O)時(shí),y>l;②當(dāng)x￡(0,n)時(shí),y

12、-1 0 1 -1-COSX -2 -1 0 -1 -2  (2)描點(diǎn)連線，如圖所示. 拿方法總結(jié) 用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)y=Asinx+b(AKO)或y二Acosx+b(A五0)在［0,2 兀］上簡(jiǎn)圖的步驟 (1)列表: X sinx（或cosx） y 0 0（或1） b（或A+b） 7T 2 1（或0） A+b（或b） 0（或-1） b（或-A+b） 3n T T（或0） -A+b（或b） 2n 0（或1） b（或A+b） (2)描點(diǎn):在平面直角坐標(biāo)系中描出五個(gè)點(diǎn) (0,yi),(py2),3,Y3),(y,y

13、4),(2兀，y5),這里的yi(i=l,2,3,4,5)值是通過函數(shù)解析式計(jì)算得到的. ⑶連線:用光滑的曲線將描出的五個(gè)點(diǎn)連接起來，就得到正(余)弦函 數(shù)y=Asinx+b（y=Acosx+b）（A/0）在［0,2兀］上的圖象. 寸易錯(cuò)警示 用“五點(diǎn)法”作函數(shù)圖象時(shí)，連線要保持光滑，注意凸凹方向. 8探究點(diǎn)二正、余弦函數(shù)圖象的應(yīng)用［例2］函數(shù)y=V2sinx-l的定義域?yàn)? 解析：由2sinxTN0得sinxN=2 畫出y=sinx的圖象和直線匕1。3G\/4ir* -1 匕1。3G\/4ir* -1 可知sinxN：的解集，即函數(shù)定義域?yàn)?x|-+2k兀W

14、xW^+2kir,kez}. 66答案：(x|-+2kJT+2kn,k￡Z) 66［變式訓(xùn)練2-1］本例中的“sinx”改為“cosx”，應(yīng)如何解答? 解：由2cosxTm0得cosxN=畫出y=cosx的圖象和直線y—. 22 觀察圖象可知函數(shù)的定義域?yàn)閧x|2kit二WxW2kn+=kGZ}. 3 3［變式訓(xùn)練2-2］將本例中的函數(shù)變?yōu)閒(x)=Vl-2sinx,求函數(shù)定義域. 解：因?yàn)閒(x)=Vl-2sinx,所以l-2sinxNO, 所以sinxWL2 畫出y=sinx的圖象與直線的圖象如圖所示. 由圖象可知，不等式的解集即函數(shù)的定義域?yàn)? (x12k

15、H--JiWxW2knkeZ). 66［變式訓(xùn)練2-3］將本例中的函數(shù)變?yōu)閒(x)=Vl-2cosx,求函數(shù)的定義域. 解：因?yàn)閒(x)=Vl-2cosx,所以l~2cosxNO, 所以cos畫出y=cosx與的圖象如圖所示. 由圖象可知不等式的解集，即函數(shù)的定義域?yàn)閧x|?+2kJiWxW2kn ° ,kez}. 3寸方法總結(jié) (1) 求解與正、余弦函數(shù)有關(guān)的定義域，首先根據(jù)函數(shù)解析式的特征,列出關(guān)于正、余弦的不等式. (2) 用三角函數(shù)的圖象解sinx>a(或cosx>a)的方法作出y=a,y=sinx(或y=cosx)的圖象. ① 確定sinx二a(或cosx=a

16、)的x值(一般是先求函數(shù)在［0,2兀］或［-兀,兀］內(nèi)的x值). ② 確定sinx>a(或cosx>a)的解集. 3Q探究點(diǎn)三正、余弦曲線的綜合應(yīng)用［例3］在(0,2兀)內(nèi)，使sinx>cosx成立的x的取值范圍是() (A)(拓)u(孔乎)(B)(Hk) 4 244（0馬罕）（D）C）UT） 解析:在同一坐標(biāo)系中作出y=sinx,xe（0,2n）與y=cosx,xE（0,2兀）的圖象如圖所示，由圖象可觀察出當(dāng)x&（?,乎）時(shí)，sinx>cosx. 44 故選C. ［變式訓(xùn)練3-1］函數(shù)f（x）=Vcosx-sinx在（0,2n）內(nèi)的定義域 是. 解析：由題意,cosxNsinx. 在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)y二cosx與y=sinx的圖象（圖略），可知不等式的解集為（0,：］U呼,2n）. 即函數(shù)的定義域?yàn)椋?,：］U［罕,2兀）. 答案：（0,?］胃,2244 寸方法總結(jié) 涉及關(guān)于sinx'cosx（或sinxWcosx）的不等式問題,可以在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)作出兩函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象確定不等式的解集. ⑥備用例題 ［例1］作函數(shù)y=sinx,xG［0,2兀］與函數(shù)y=-l+sinx,xE［0,2n］的簡(jiǎn)圖，并研究它們之間的關(guān)系. 解:按五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)列表： X 0 71 2 兀 3n T 2n