高三數(shù)學(xué)北師大版理一輪教師用書：第10章 第4節(jié) 變量間的相關(guān)關(guān)系、統(tǒng)計(jì)案例 Word版含解析

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1、 第四節(jié)　變量間的相關(guān)關(guān)系、統(tǒng)計(jì)案例 [最新考綱]　1.會做兩個(gè)有關(guān)聯(lián)變量的數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，并利用散點(diǎn)圖認(rèn)識變量間的相關(guān)關(guān)系.2.了解最小二乘法的思想，能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程(線性回歸系數(shù)公式不要求記憶).3.了解回歸分析的基本思想、方法及其簡單應(yīng)用.4.了解獨(dú)立性檢驗(yàn)(只要求2×2列聯(lián)表)的思想、方法及其初步應(yīng)用． 1．相關(guān)性 (1)線性相關(guān) 若兩個(gè)變量x和y的散點(diǎn)圖中，所有點(diǎn)看上去都在一條直線附近波動，則稱變量間是線性相關(guān)的． (2)非線性相關(guān) 若所有點(diǎn)看上去都在某條曲線(不是一條直線)附近波動，則稱此相關(guān)為非線性相關(guān)的． (3)不相關(guān) 如

2、果所有的點(diǎn)在散點(diǎn)圖中沒有顯示任何關(guān)系，則稱變量間是不相關(guān)的． 2．最小二乘估計(jì) (1)最小二乘法 如果有n個(gè)點(diǎn)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)可以用下面的表達(dá)式來刻畫這些點(diǎn)與直線y＝a＋bx的接近程度：[y1－(a＋bx1)]2＋[y2－(a＋bx2)]2＋…＋[yn－(a＋bxn)]2. 使得上式達(dá)到最小值的直線y＝a＋bx就是我們所要求的直線，這種方法稱為最小二乘法． (2)線性回歸方程 方程y＝bx＋a是兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的線性回歸方程，其中a，b是待定參數(shù)． 3．回歸分析 (1)定

3、義：對具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種常用方法． (2)樣本點(diǎn)的中心 對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中，(，)稱為樣本點(diǎn)的中心． (3)相關(guān)系數(shù)r ①r＝； ②當(dāng)r>0時(shí)，稱兩個(gè)變量正相關(guān)． 當(dāng)r<0時(shí)，稱兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)． 當(dāng)r＝0時(shí)，稱兩個(gè)變量線性不相關(guān)． 4．獨(dú)立性檢驗(yàn) 若一個(gè)2×2列聯(lián)表為： B A　　　　 B1 B2 總計(jì) A1 a b a＋b A2 c d c＋d 總計(jì) a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d 則統(tǒng)計(jì)量χ2為： χ2＝. (1)當(dāng)χ2≤2.706時(shí)，可以認(rèn)

4、為變量A，B是沒有關(guān)聯(lián)的； (2)當(dāng)χ2>2.706時(shí)，有90%的把握判定變量A，B有關(guān)聯(lián)； (3)當(dāng)χ2>3.841時(shí)，有95%的把握判定變量A，B有關(guān)聯(lián)； (4)當(dāng)χ2>6.635時(shí)，有99%的把握判定變量A，B有關(guān)聯(lián)． 1．回歸直線必過樣本點(diǎn)的中心(，)． 2．當(dāng)兩個(gè)變量的相關(guān)系數(shù)|r|＝1時(shí)，兩個(gè)變量呈函數(shù)關(guān)系． 一、思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)“名師出高徒”可以解釋為教師的教學(xué)水平與學(xué)生的水平成正相關(guān)關(guān)系．(　　) (2)通過回歸直線方程＝x＋可以估計(jì)預(yù)報(bào)變量的取值和變化趨勢．(　　) (3)因?yàn)橛扇魏我唤M觀測值都可以求得一個(gè)線性回歸方

5、程，所以沒有必要進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)．(　　) (4)事件X，Y關(guān)系越密切，則由觀測數(shù)據(jù)計(jì)算得到的χ2的觀測值越大．(　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 二、教材改編 1．已知變量x與y正相關(guān)，且由觀測數(shù)據(jù)算得樣本平均數(shù)＝3，＝3.5，則由該觀測數(shù)據(jù)算得的線性回歸方程可能是(　　) A．y＝0.4x＋2.3 B．y＝2x－2.4 C．y＝－2x＋9.5 D．y＝－0.3x＋4.4 A　[因?yàn)樽兞縳和y正相關(guān)，排除選項(xiàng)C，D.又樣本中心(3,3.5) 在回歸直線上，排除B，選項(xiàng)A滿足．] 2．下面是2×2列聯(lián)表： y1 y2 總計(jì) x1 a 21

6、 73 x2 22 25 47 總計(jì) b 46 120 則表中a，b的值分別為(　　) A．94,72　　　　 B．52,50 C．52,74 D．74,52 C　[∵a＋21＝73，∴a＝52.又a＋22＝b，∴b＝74.] 3．為了判斷高中三年級學(xué)生是否選修文科與性別的關(guān)系，現(xiàn)隨機(jī)抽取50名學(xué)生，得到如下2×2列聯(lián)表： 理科 文科 男 13 10 女 7 20 已知P(χ2≥3.841)≈0.05，P(χ2≥5.024)≈0.025. 根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得到χ2的觀測值k＝≈4.844.則認(rèn)為選修文科與性別有關(guān)系出錯(cuò)的可能性約為______．

7、 5%　[χ2的觀測值k≈4.844，這表明小概率事件發(fā)生．根據(jù)假設(shè)檢驗(yàn)的基本原理，應(yīng)該斷定“是否選修文科與性別之間有關(guān)系”成立，并且這種判斷出錯(cuò)的可能性約為5%.] 4．某同學(xué)家里開了一個(gè)小賣部，為了研究氣溫對某種冷飲銷售量的影響，他收集了一段時(shí)間內(nèi)這種冷飲每天的銷售量y(杯)與當(dāng)天最高氣溫x(℃)的有關(guān)數(shù)據(jù)，通過描繪散點(diǎn)圖，發(fā)現(xiàn)y和x呈線性相關(guān)關(guān)系，并求得其回歸方程＝2x＋60.如果氣象預(yù)報(bào)某天的最高氣溫為34 ℃，則可以預(yù)測該天這種飲料的銷售量為__________杯． 128　[由題意x＝34時(shí)，該小賣部大約能賣出熱飲的杯數(shù)＝2×34＋60＝128杯．] 考點(diǎn)1　相關(guān)關(guān)系的

8、判斷 　判定兩個(gè)變量正、負(fù)相關(guān)的方法 (1)畫散點(diǎn)圖：點(diǎn)的分布從左下角到右上角，兩個(gè)變量正相關(guān)；點(diǎn)的分布從左上角到右下角，兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)． (2)相關(guān)系數(shù)：r＞0時(shí)，正相關(guān)；r＜0時(shí)，負(fù)相關(guān)． (3)線性回歸直線方程中：>0時(shí)，正相關(guān)；<0時(shí)，負(fù)相關(guān)． 　1.已知變量x和y近似滿足關(guān)系式y(tǒng)＝－0.1x＋1，變量y與z正相關(guān)．下列結(jié)論中正確的是(　　) A．x與y正相關(guān)，x與z負(fù)相關(guān) B．x與y正相關(guān)，x與z正相關(guān) C．x與y負(fù)相關(guān)，x與z負(fù)相關(guān) D．x與y負(fù)相關(guān)，x與z正相關(guān) C　[由y＝－0.1x＋1，知x與y負(fù)相關(guān)，即y隨x的增大而減小，又y與z正相關(guān)，所以z隨y的增大

9、而增大，減小而減小，所以z隨x的增大而減小，x與z負(fù)相關(guān)．] 2．對四組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，獲得如圖所示的散點(diǎn)圖，關(guān)于其相關(guān)系數(shù)的比較，正確的是(　　) A．r2＜r4＜0＜r3＜r1 B．r4＜r2＜0＜r1＜r3 C．r4＜r2＜0＜r3＜r1 D．r2＜r4＜0＜r1＜r3 A　[由相關(guān)系數(shù)的定義以及散點(diǎn)圖可知r2＜r4＜0＜r3＜r1.] 3．在一組樣本數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散點(diǎn)圖中，若所有樣本點(diǎn)(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直線y＝－3x＋1上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為(　　) A

10、．－3　 B．0　　　 C．－1　 D．1 C　[在一組樣本數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖中，所有樣本點(diǎn)(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直線y＝－3x＋1上，所以b＝－3<0，即這組樣本數(shù)據(jù)的兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)，且相關(guān)系數(shù)為－1.故選C.] 4．x和y的散點(diǎn)圖如圖所示，則下列說法中所有正確命題的序號為________． ①x，y是負(fù)相關(guān)關(guān)系； ②在該相關(guān)關(guān)系中，若用y＝c1ec2x擬合時(shí)的相關(guān)系數(shù)為r1，用＝x＋擬合時(shí)的相關(guān)指數(shù)為r2，則|r1|＞|r2|； ③x，y之間不能建立線性回歸方程． ①②　[在散點(diǎn)圖中，點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域，因此x，y是負(fù)相關(guān)關(guān)系，故①正確；由散點(diǎn)圖知

11、用y＝c1ec2x擬合比用＝x＋擬合效果要好，則|r1|＞|r2|，故②正確；x，y之間可以建立線性回歸方程，但擬合效果不好，故③錯(cuò)誤．] 　相關(guān)關(guān)系的直觀判斷方法就是作出散點(diǎn)圖，若散點(diǎn)圖呈帶狀且區(qū)域較窄，說明兩個(gè)變量有一定的線性相關(guān)性，若呈曲線型也是有相關(guān)性，若呈圖形區(qū)域且分布較亂則不具有相關(guān)性． 考點(diǎn)2　回歸分析 　線性回歸分析 　求線性回歸直線方程的步驟 (1)用散點(diǎn)圖或進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)判斷兩個(gè)變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系； (2)利用公式＝＝， ＝－求得回歸系數(shù)； (3)寫出回歸直線方程． 　如圖是某企業(yè)2012年至2018年的污水凈化量(單位：噸)的折線圖． 注：年份

12、代碼1～7分別對應(yīng)年份2012～2018. (1)由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y和t的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明； (2)建立y關(guān)于t的回歸方程，預(yù)測2021年該企業(yè)的污水凈化量； (3)請用數(shù)據(jù)說明回歸方程預(yù)報(bào)的效果． 參考數(shù)據(jù)：＝54， (ti－)(yi－)＝21， ≈3.74， (yi－i)2＝. 參考公式：相關(guān)系數(shù)r＝， 線性回歸方程＝＋t， ＝，＝－. 反映回歸效果的公式為：R2＝1－， 其中R2越接近于1，表示回歸的效果越好． [解]　(1)由折線圖中的數(shù)據(jù)得， ＝4， (ti－)2＝28， (yi－)2＝18， 所以r＝≈0.935. 因?yàn)閥

13、與t的相關(guān)系數(shù)近似為0.935，說明y與t的線性相關(guān)程度相當(dāng)大，所以可以用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系． (2)因?yàn)椋?4，＝＝＝， 所以＝－＝54－×4＝51， 所以y關(guān)于t的線性回歸方程為＝t＋＝t＋51. 將2021年對應(yīng)的t＝10代入得＝×10＋51＝58.5， 所以預(yù)測2021年該企業(yè)污水凈化量約為58.5噸． (3)因?yàn)镽2＝1－＝1－×＝1－＝＝0.875， 所以“污水凈化量的差異”有87.5%是由年份引起的，這說明回歸方程預(yù)報(bào)的效果是良好的． 　在線性回歸分析中，只需利用公式求出回歸直線方程并利用其進(jìn)行預(yù)測即可(注意回歸直線過樣本點(diǎn)的中心(，))，利用回歸方程進(jìn)

14、行預(yù)測，常把線性回歸方程看作一次函數(shù)，求函數(shù)值． [教師備選例題] 某地隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，居民收入逐年增長，下表是該地一建設(shè)銀行連續(xù)五年的儲蓄存款(年底余額)，如下表1： 年份x 2013 2014 2015 2016 2017 儲蓄存款y(千億元) 5 6 7 8 10 表1 為了研究計(jì)算的方便，工作人員將上表的數(shù)據(jù)進(jìn)行了處理，t＝x－2 012，z＝y(tǒng)－5得到下表2： 時(shí)間代號t 1 2 3 4 5 z 0 1 2 3 5 表2 (1)求z關(guān)于t的線性回歸方程； (2)通過(1)中的方程，求出y關(guān)于x的回歸方程； (3)用所

15、求回歸方程預(yù)測到2022年年底，該地儲蓄存款額可達(dá)多少？ (附：對于線性回歸方程＝x＋， 其中＝，＝－) [解]　(1)＝3，＝2.2，tizi＝45，t＝55， ＝＝1.2， ＝－＝2.2－3×1.2＝－1.4，所以＝1.2t－1.4. (2)將t＝x－2 012，z＝y(tǒng)－5，代入＝1.2t－1.4， 得y－5＝1.2(x－2 012)－1.4，即＝1.2x－2 410.8. (3)因?yàn)椋?.2×2 022－2 410.8＝15.6，所以預(yù)測到2022年年底，該地儲蓄存款額可達(dá)15.6千億元． 　1.(2017·山東高考)為了研究某班學(xué)生的腳長x(單位：厘米)和身高y(單位

16、：厘米)的關(guān)系，從該班隨機(jī)抽取10名學(xué)生，根據(jù)測量數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖可以看出y與x之間有線性相關(guān)關(guān)系．設(shè)其回歸直線方程為＝x＋.已知xi＝225，yi＝1 600，＝4.該班某學(xué)生的腳長為24，據(jù)此估計(jì)其身高為(　　) A．160　 B．163　　　 C．166　 D．170 C　[∵xi＝225，∴＝xi＝22.5. ∵yi＝1 600，∴＝y(tǒng)i＝160. 又＝4，∴＝－＝160－4×22.5＝70. ∴回歸直線方程為＝4x＋70. 將x＝24代入上式得＝4×24＋70＝166.故選C.] 2．某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用x萬元與銷售額y萬元的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表： 廣告費(fèi)用x(萬元) 2 3

17、 4 5 銷售額y(萬元) 26 m 49 54 根據(jù)上表可得回歸方程＝9x＋10.5，則m的值為(　　) A．36 B．37 C．38 D．39 D　[由回歸方程的性質(zhì)，線性回歸方程過樣本點(diǎn)的中心，則＝×9＋10.5， 解得m＝39.故選D.] 　可線性化的回歸方程 　可線性化的回歸方程的求法 (1)根據(jù)原始數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖． (2)根據(jù)散點(diǎn)圖，選擇恰當(dāng)?shù)臄M合函數(shù)． (3)作恰當(dāng)變換，將其轉(zhuǎn)化成線性函數(shù)，求線性回歸方程． (4)在(3)的基礎(chǔ)上通過相應(yīng)變換，即可得可線性化的回歸方程． 　某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi)x(單位：千

18、元)對年銷售量y(單位：t)和年利潤z(單位：千元)的影響．對近8年的年宣傳費(fèi)xi和年銷售量yi(i＝1,2，…，8)數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值． (xi－)2 (wi－)2 (xi－)(yi－) (wi－)· (yi－) 46.6 563 6.8 289.8 1.6 1 469 108.8 表中wi＝，w]＝wi. (1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，y＝a＋bx與y＝c＋d哪一個(gè)適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類型；(給出判斷即可，不必說明理由) (2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程； (3

19、)已知這種產(chǎn)品的年利潤z與x，y的關(guān)系為z＝0.2y－x.根據(jù)(2)的結(jié)果回答下列問題： ①年宣傳費(fèi)x＝49時(shí)，年銷售量及年利潤的預(yù)報(bào)值是多少？ ②年宣傳費(fèi)x為何值時(shí)，年利潤的預(yù)報(bào)值最大？ 附：對于一組數(shù)據(jù)(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回歸直線＝＋u的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為＝，＝－. [解]　(1)由散點(diǎn)圖可以判斷，y＝c＋d適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類型． (2)令w＝，先建立y關(guān)于w的線性回歸方程． 由于＝＝＝68， ＝－ ＝563－68×6.8＝100.6， 所以y關(guān)于w的線性回歸方程為＝100.6＋68w， 因此y關(guān)于x

20、的回歸方程為＝100.6＋68. (3)①由(2)知，當(dāng)x＝49時(shí)， 年銷售量y的預(yù)報(bào)值＝100.6＋68＝576.6， 年利潤z的預(yù)報(bào)值＝576.6×0.2－49＝66.32. ②根據(jù)(2)的結(jié)果知，年利潤z的預(yù)報(bào)值 ＝0.2(100.6＋68)－x＝－x＋13.6＋20.12. 所以當(dāng)＝＝6.8，即x＝46.24時(shí)，取得最大值． 故年宣傳費(fèi)為46.24千元時(shí)，年利潤的預(yù)報(bào)值最大． 　對于非線性回歸分析問題，應(yīng)先進(jìn)行變量代換，求出代換后的回歸直線方程，再求非線性回歸方程． [教師備選例題] 某地級市共有200 000名中小學(xué)生，其中有7%的學(xué)生在2017年享受了“國家精準(zhǔn)

21、扶貧”政策，在享受“國家精準(zhǔn)扶貧”政策的學(xué)生中困難程度分為三個(gè)等次：一般困難、很困難、特別困難，且人數(shù)之比為5∶3∶2，為進(jìn)一步幫助這些學(xué)生，當(dāng)?shù)厥姓O(shè)立“專項(xiàng)教育基金”，對這三個(gè)等次的困難學(xué)生每年每人分別補(bǔ)助1 000元、1 500元、2 000元．經(jīng)濟(jì)學(xué)家調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當(dāng)?shù)厝司芍涫杖胼^上一年每增加n%，一般困難的學(xué)生中有3n%會脫貧，脫貧后將不再享受“國家精準(zhǔn)扶貧”政策，很困難的學(xué)生中有2n%轉(zhuǎn)為一般困難，特別困難的學(xué)生中有n%轉(zhuǎn)為很困難．現(xiàn)統(tǒng)計(jì)了該地級市2013年到2017年共5年的人均可支配收入，對數(shù)據(jù)初步處理后得到了如圖所示的散點(diǎn)圖和表中統(tǒng)計(jì)量的值，其中年份x取13時(shí)代表2013年

22、，x與y(萬元)近似滿足關(guān)系式y(tǒng)＝c1·2c2x，其中c1，c2為常數(shù)．(2013年至2019年該市中學(xué)生人數(shù)大致保持不變) (ki －)2 (yi －) (xi－ )(yi－) (xi－)· (ki－) 2.3 1.2 3.1 4.6 2 1 其中ki＝log2yi，＝ki. (1)估計(jì)該市2018年人均可支配收入； (2)求該市2018年的“專項(xiàng)教育基金”的財(cái)政預(yù)算大約為多少． 附：①對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回歸直線方程＝u＋的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為＝，＝－. ②參

23、考數(shù)據(jù)： 2－0.7 2－0.3 20.1 21.7 21.8 21.9 0.6 0.8 1.1 3.2 3.5 3.73 [解]　(1)因?yàn)椋健?13＋14＋15＋16＋17)＝15，所以 (xi－)2＝(－2)2＋(－1)2＋02＋12＋22＝10. 由k＝log2y得k＝log2c1＋c2x， 所以c2＝＝， log2c1＝－c2＝1.2－×15＝－0.3， 所以c1＝2－0.3＝0.8， 所以y＝0.8×2. 當(dāng)x＝18時(shí)，y＝0.8×21.8＝0.8×3.5＝2.8(萬元)． 即該市2018年人均可支配收入為2.8萬元． (2)由題意知201

24、7年時(shí)該市享受“國家精準(zhǔn)扶貧”政策的學(xué)生有200 000×7%＝14 000人， 一般困難、很困難、特別困難的中學(xué)生依次有7 000人、4 200人、2 800人，2018年人均可支配收入比2017年增長＝20.1－1＝0.1＝10%， 所以2018年該市特別困難的學(xué)生有2 800×(1－10%)＝2 520人． 很困難的學(xué)生有4 200×(1－20%)＋2 800×10%＝3 640人， 一般困難的學(xué)生有7 000×(1－30%)＋4 200×20%＝5 740人． 所以2018年的“專項(xiàng)教育基金”的財(cái)政預(yù)算大約為5 740×1 000＋3 640×1 500＋2 520×2 00

25、0＝16 240 000(元)＝1 624(萬元)． 　十九大報(bào)告指出，必須樹立“綠水青山就是金山銀山”的生態(tài)文明發(fā)展理念，這一理念將進(jìn)一步推動新能源汽車產(chǎn)業(yè)的迅速發(fā)展．以下是近幾年我國新能源汽車的年銷量數(shù)據(jù)及其散點(diǎn)圖(如圖所示)： 年份 2013 2014 2015 2016 2017 年份代碼x 1 2 3 4 5 新能源汽車的 年銷量y/萬輛 1.5 5.9 17.7 32.9 55.6 (1)請根據(jù)散點(diǎn)圖判斷＝x＋與＝x2＋中哪個(gè)更適宜作為新能源汽車年銷量y關(guān)于年份代碼x的回歸方程模型；(給出判斷即可，不必說明理由) (2)根據(jù)(1)的

26、判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程，并預(yù)測2020年我國新能源汽車的年銷量．(精確到0.1) ＝，＝－. 附：令wi＝x. (xi－)2 (wi －)2 (xi－)· (yi－) (wi－)· (yi－) 22.72 10 374 135.2 851.2 [解]　(1)根據(jù)散點(diǎn)圖得，＝x2＋更適宜作為年銷量y關(guān)于年份代碼x的回歸方程． (2)依題意得，＝＝11，＝＝≈2.28， 則＝－＝22.72－2.28×11＝－2.36， ∴＝2.28x2－2.36. 令x＝8，則＝2.28×64－2.36＝143.56≈143.6， 故預(yù)測20

27、20年我國新能源汽車的年銷量為143.6萬輛． 考點(diǎn)3　獨(dú)立性檢驗(yàn) 　1.比較幾個(gè)分類變量有關(guān)聯(lián)的可能性大小的方法 (1)通過計(jì)算χ2的大小判斷：χ2越大，兩變量有關(guān)聯(lián)的可能性越大． (2)通過計(jì)算|ad－bc|的大小判斷：|ad－bc|越大，兩變量有關(guān)聯(lián)的可能性越大． 2．獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟 (1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2×2列聯(lián)表． (2)根據(jù)公式χ2＝計(jì)算χ2的觀測值k. (3)比較觀測值k與臨界值的大小關(guān)系，作統(tǒng)計(jì)推斷． 　(2018·全國卷Ⅲ)某工廠為提高生產(chǎn)效率，開展技術(shù)創(chuàng)新活動，提出了完成某項(xiàng)生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式．為比較兩種生產(chǎn)方式的效率，選取40名工人，將

28、他們隨機(jī)分成兩組，每組20人．第一組工人用第一種生產(chǎn)方式，第二組工人用第二種生產(chǎn)方式．根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時(shí)間(單位：min)繪制了如圖所示的莖葉圖： (1)根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高？并說明理由； (2)求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)m，并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間超過m和不超過m的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表： 超過m 不超過m 第一種生產(chǎn)方式 第二種生產(chǎn)方式 (3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表，能否有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異？ 附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d. P(χ2≥k) 0.050 0.010 0.001 k

29、 3.841 6.635 10.828 [解]　(1)第二種生產(chǎn)方式的效率更高． 理由如下： (i)由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人中，有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間至少80分鐘，用第二種生產(chǎn)方式的工人中，有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間至多79分鐘．因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高． (ⅱ)由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)為85.5分鐘，用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)為73.5分鐘．因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高． (ⅲ)由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時(shí)間高于80分鐘；用第二種生產(chǎn)方式的工人完成

30、生產(chǎn)任務(wù)平均所需時(shí)間低于80分鐘．因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高． (ⅳ)由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布在莖8上的最多，關(guān)于莖8大致呈對稱分布；用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布在莖7上的最多，關(guān)于莖7大致呈對稱分布．又用兩種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布的區(qū)間相同，故可以認(rèn)為用第二種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時(shí)間比用第一種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時(shí)間更少．因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高． (以上給出了4種理由，答出其中任意一種或其他合理理由均可) (2)由莖葉圖知m＝＝80. 列聯(lián)表如下： 超過m 不超過m 第一種生產(chǎn)方式

31、15 5 第二種生產(chǎn)方式 5 15 (3)由于χ2＝＝10＞6.635，所以有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異． 　獨(dú)立性檢驗(yàn)是判斷兩個(gè)分類變量之間是否有關(guān)系的一種方法．在判斷兩個(gè)分類變量之間是否有關(guān)系時(shí)，作出等高條形圖只能近似地判斷兩個(gè)分類變量是否有關(guān)系，而獨(dú)立性檢驗(yàn)可以精確地得到可靠的結(jié)論． [教師備選例題] (2017·全國卷Ⅱ)海水養(yǎng)殖場進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對比，收獲時(shí)各隨機(jī)抽取了100個(gè)網(wǎng)箱，測量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量(單位：kg)，其頻率分布直方圖如下： (1)設(shè)兩種養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量相互獨(dú)立，記A表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg，新

32、養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50 kg”，估計(jì)A的概率； (2)填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)； 箱產(chǎn)量＜50 kg 箱產(chǎn)量≥50 kg 舊養(yǎng)殖法 新養(yǎng)殖法 (3)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，求新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計(jì)值(精確到0.01)． 附： P(χ2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 χ2＝. [解]　(1)記B表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg”，C表示事件“新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50 kg”． 由題意知P(A)＝P(BC)＝P(B)P

33、(C)． 舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg的頻率為 (0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62， 故P(B)的估計(jì)值為0.62. 新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50 kg的頻率為 (0.068＋0.046＋0.010＋0.008)×5＝0.66， 故P(C)的估計(jì)值為0.66. 因此，事件A的概率估計(jì)值為0.62×0.66＝0.409 2. (2)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖得列聯(lián)表： 箱產(chǎn)量＜50 kg 箱產(chǎn)量≥50 kg 舊養(yǎng)殖法 62 38 新養(yǎng)殖法 34 66 χ2＝≈15.705. 由于15.705>6.635，故有99%

34、的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)． (3)因?yàn)樾吗B(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量頻率分布直方圖中，箱產(chǎn)量低于50 kg的直方圖面積為 (0.004＋0.020＋0.044)×5＝0.34<0.5， 箱產(chǎn)量低于55 kg的直方圖面積為 (0.004＋0.020＋0.044＋0.068)×5＝0.68>0.5， 故新養(yǎng)殖法產(chǎn)量的中位數(shù)的估計(jì)值為 50＋≈52.35(kg)． 　1.黨的十九大報(bào)告明確提出：在共享經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域培育增長點(diǎn)、形成新動能．共享經(jīng)濟(jì)是公眾將閑置資源通過社會化平臺與他人共享，進(jìn)而獲得收入的經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象．為考察共享經(jīng)濟(jì)對企業(yè)經(jīng)濟(jì)活躍度的影響，在四個(gè)不同的企業(yè)各取兩個(gè)部門進(jìn)行共享經(jīng)濟(jì)對比試驗(yàn)，

35、根據(jù)四個(gè)企業(yè)得到的試驗(yàn)數(shù)據(jù)畫出如下四個(gè)等高條形圖，最能體現(xiàn)共享經(jīng)濟(jì)對該部門的發(fā)展有顯著效果的圖形是(　　) A　　　　　　　　　　B C　　　　　　　　　　D D　[根據(jù)四個(gè)選項(xiàng)中的等高條形圖可知，選項(xiàng)D中共享與不共享的企業(yè)經(jīng)濟(jì)活躍度的差異較大，且最能體現(xiàn)共享經(jīng)濟(jì)對該部門的發(fā)展有顯著效果，故選D.] 2．(2019·全國卷Ⅰ)某商場為提高服務(wù)質(zhì)量，隨機(jī)調(diào)查了50名男顧客和50名女顧客，每位顧客對該商場的服務(wù)給出滿意或不滿意的評價(jià)，得到下面列聯(lián)表： 滿意 不滿意 男顧客 40 10 女顧客 30 20 (1)分別估計(jì)男、女顧客對該商場服務(wù)滿意的概率； (2)能否有95%的把握認(rèn)為男、女顧客對該商場服務(wù)的評價(jià)有差異？ 附：χ2＝， P(χ2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 [解]　(1)由調(diào)查數(shù)據(jù)知，男顧客中對該商場服務(wù)滿意的比率為＝0.8，因此男顧客對該商場服務(wù)滿意的概率的估計(jì)值為0.8.女顧客中對該商場服務(wù)滿意的比率為＝0.6，因此女顧客對該商場服務(wù)滿意的概率的估計(jì)值為0.6. (2)χ2的觀測值k＝≈4.762. 由于4.762>3.841，故有95%的把握認(rèn)為男、女顧客對該商場服務(wù)的評價(jià)有差異.