高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十三章 第6講 離散型隨機(jī)變量的均值與方差課件 理 蘇教版

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1、考點梳理考點梳理 若離散型隨機(jī)變量X的概率分布為 (1)均值 稱E(X)_為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平第第6講離散型隨機(jī)變量的均值與方差講離散型隨機(jī)變量的均值與方差X x1x2xixnPp1p2pipn1離散型隨機(jī)變量的均值與方差離散型隨機(jī)變量的均值與方差x1p1x2p2xnpn (1)E(aXb)_； (2)D(aXb) _ (a、b為常數(shù)) (1)若X服從兩點分布，則E(X)p，D(X) _ (2)若XB(n，p)，則E(X)np，D(X) _2均值與方差的性質(zhì)均值與方差的性質(zhì)3兩點分布與二項分布的均值、方差兩點分布與二項分布的均值、方差aE(X)ba

2、2D(X)p(1p)np(1p) 一個復(fù)習(xí)指導(dǎo) 本節(jié)內(nèi)容為近幾年高考的熱點與重點內(nèi)容求簡單的離散型隨機(jī)變量的分布列以及由此求其均值與方差，特別是二項分布，這部分內(nèi)容與現(xiàn)實生活聯(lián)系密切，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，特別是與排列、組合、二項式定理和概率等知識相結(jié)合綜合考查分析問題、解決實際問題的能力和閱讀理解能力 隨機(jī)變量均值、方差的求法 若隨機(jī)變量X不服從特殊的分布時，求法為： (1)先求出X的分布列 (2)求E(X)x1p1x2p2xnpn. (3)利用公式D(X)x1E(X)2p1x2E(X)2p2 xnE(X)2pn，求方差D(X) 若隨機(jī)變量X服從兩點分布或二項分布，則直接利用均值方差公式可求

3、【助學(xué)【助學(xué)微博】微博】1(2010山東卷改編)樣本中共有五個個體，其值分別為a,0,1,2,3.若該樣本的平均值為1，則樣本方差為_ 答案2考點自測考點自測 已知X的數(shù)學(xué)期望E(X)8.9，則y的值為_ 解析x0.10.3y1，即xy0.6. 又7x0.82.710y8.9，化簡得7x10y5.4 由聯(lián)立解得x0.2，y0.4. 答案0.43(2010湖北卷湖北卷)某射手射擊所得環(huán)數(shù)某射手射擊所得環(huán)數(shù)X的概率分布如下：的概率分布如下：X78910Px0.10.3y 4設(shè)隨機(jī)變量XB(n，p)，且E(X)1.6，D(X)1.28， 則n，p的值分別為_ 答案8,0.2 5(2010上海卷)隨機(jī)

4、變量X的概率分布列由下表給出： 該隨機(jī)變量X的均值是_ 解析由分布列可知E(X)70.380.3590.2 100.158.2. 答案8.2x78910P(Xx)0.30.350.20.15【例1】 (2011天津改編)學(xué)校游園活動有這樣一個游戲項目：甲箱子里裝有3個白球、2個黑球，乙箱子里裝有1個白球、2個黑球，這些球除顏色外完全相同每次游戲從這兩個箱子里各隨機(jī)摸出2個球，若摸出的白球不少于2個，則獲獎(每次游戲結(jié)束后將球放回原箱)(1)求在1次游戲中，摸出3個白球的概率；獲獎的概率；(2)求在2次游戲中獲獎次數(shù)X的概率分布表及數(shù)學(xué)期望E(X)、方差D(X)考向一離散型隨機(jī)變量的均值與方差的

5、求法考向一離散型隨機(jī)變量的均值與方差的求法 方法總結(jié) (1)求離散型隨機(jī)變量的均值與方差的關(guān)鍵是確定隨機(jī)變量的所有可能取值，寫出隨機(jī)變量的概率分布，正確運用均值、方差公式進(jìn)行計算 (2)要注意觀察隨機(jī)變量的概率分布特征，若屬二項分布的，可用二項分布的均值與方差公式計算，則更為簡單 (1)若規(guī)定每投進(jìn)1球得2分，甲同學(xué)投籃4次，求總得分X的概率分布和數(shù)學(xué)期望、方差； (2)假設(shè)連續(xù)3次投籃未中或累計7次投籃未中，則停止投籃測試，問：甲同學(xué)恰好投籃10次后，被停止投籃測試的概率是多少？ 解(1)X的概率分布為【例2】 袋中有20個大小相同的球，其中記上0號的有10個，記上n號的有n個(n1,2,3

6、,4)現(xiàn)從袋中任取一球，X表示所取球的標(biāo)號(1)求X的概率分布、均值和方差；(2)若YaXb，E(Y)1，D(Y)11，試求a，b的值解(1)X的概率分布為考向二均值與方差性質(zhì)的應(yīng)用考向二均值與方差性質(zhì)的應(yīng)用 方法總結(jié) 若X是隨機(jī)變量，則Yf(X)一般仍是隨機(jī)變量，在求Y的均值和方差時，熟練應(yīng)用均值和方差的性質(zhì)，可以避免再求Y的概率分布帶來的繁瑣運算【訓(xùn)練2】 (2013蘇北四市調(diào)研)A，B兩個投資項目的利潤分別為隨機(jī)變量X1和X2，根據(jù)市場分析，X1和X2的概率分布表分別為：X15%10%P0.80.2X22%8%12%P0.20.50.3(1)在在A，B兩個項目上各投資兩個項目上各投資10

7、0萬元，萬元，Y1和和Y2分別表示投分別表示投資項目資項目A和和B所獲得的利潤，求方差所獲得的利潤，求方差D(Y1)，D(Y2)；(2)將將x(0 x100)萬元投資萬元投資A項目，項目，100 x萬元投資萬元投資B項項目，目，f(x)表示投資表示投資A項目所得利潤的方差與投資項目所得利潤的方差與投資B項目所得項目所得利潤的方差的和求利潤的方差的和求f(x)的最小值，并指出的最小值，并指出x為何值時，為何值時，f(x)取到最小值取到最小值 解(1)由題設(shè)可知Y1和Y2的概率分布表為 E(Y1)50.8100.26(萬元)， D(Y1)(56)20.8(106)20.24， E(Y2)20.28

8、0.5120.38(萬元)， D(Y2)(28)20.2(88)20.5(128)20.312.Y1510P0.80.2Y22812P0.20.50.3【例3】 (2012新課標(biāo)全國卷)某花店每天以每枝5元的價格從農(nóng)場購進(jìn)若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的價格出售如果當(dāng)天賣不完，剩下的玫瑰花作垃圾處理(1)若花店一天購進(jìn)16枝玫瑰花，求當(dāng)天的利潤y(單位：元)關(guān)于當(dāng)天需求量n(單位：枝，nN)的函數(shù)解析式；(2)花店記錄了100天玫瑰花的日需求量(單位：枝)，整理得下表：以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率考向三均值與方差的實際應(yīng)用考向三均值與方差的實際應(yīng)用日需求量日需求量n14

9、151617181920頻數(shù)頻數(shù)10201616151310 ()若花店一天購進(jìn)16枝玫瑰花，X表示當(dāng)天的利潤(單位：元)，求X的分布列、數(shù)學(xué)期望及方差； ()若花店計劃一天購進(jìn)16枝或17枝玫瑰花，你認(rèn)為應(yīng)購進(jìn)16枝還是17枝？請說明理由 解(1)當(dāng)日需求量n16時，利潤y80.當(dāng)日需求量n16時，利潤y10n80. (2)()X可能的取值為60,70,80，并且P(X60)0.1，P(X70)0.2，P(X80)0.7. X的分布列為 X的數(shù)學(xué)期望為 E(X)600.1700.2800.776(元) X的方差為 D(X)(6076)20.1(7076)20.2(8076)20.744. (

10、)答案一： 花店一天應(yīng)購進(jìn)16枚玫瑰花理由如下： 若花店一天購進(jìn)17枝玫瑰花，Y表示當(dāng)天的利潤(單位：元)，那么Y的分布列為X607080P0.10.20.7Y55657585P0.10.20.160.54 Y的數(shù)學(xué)期望為 E(Y)550.1650.2750.16850.5476.4(元) Y的方差為 D(Y)(5576.4)20.1(6576.4)20.2(7576.4)20.16(8576.4)20.54112.04. 由以上的計算結(jié)果可以看出，D(X)D(Y)，即購進(jìn)16枝玫瑰花時利潤波動相對較小另外，雖然E(X)E(Y)，但兩者相差不大故花店一天應(yīng)購進(jìn)16枝玫瑰花 答案二： 花店一天應(yīng)

11、購進(jìn)17枝玫瑰花理由如下： 若花店一天購進(jìn)17枝玫瑰花，Y表示當(dāng)天的利潤(單位：元)，那么Y的分布列為 Y的數(shù)學(xué)期望為 E(Y)550.1650.2750.16850.5476.4(元) 由以上的計算結(jié)果可以看出，E(X)P(A2)，甲應(yīng)選擇L1； P(B1)0.10.20.30.20.8， P(B2)0.10.40.40.9， P(B2)P(B1)，乙應(yīng)選擇L2. (2)A，B分別表示針對(1)的選擇方案，甲、乙在各自允許的時間內(nèi)趕到火車站， 由(1)知P(A)0.6，P(B)0.9， 又由題意知，A，B獨立， P(X2)P(AB)P(A)P(B)0.60.90.54. X的分布列為 E(X

12、)00.0410.4220.541.5.X012P0.040.420.54 概率與統(tǒng)計知識的綜合問題，在求解離散型隨機(jī)變量分布列和計算離散型隨機(jī)變量的期望值的問題中，考查考生分析問題、處理數(shù)據(jù)、解答問題的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力設(shè)問的開放性、答題的多樣性以及根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)提供的頻率估計相應(yīng)的概率，作出科學(xué)決策等是命題的亮點，較好地體現(xiàn)了新課標(biāo)理念熱點突破熱點突破34 關(guān)注高考概率與統(tǒng)計新視角關(guān)注高考概率與統(tǒng)計新視角 已知這100位顧客中一次購物量超過8件的顧客占55%. (1)確定x，y的值，并求顧客一次購物的結(jié)算時間X的分布列與數(shù)學(xué)期望； (2)若某顧客到達(dá)收銀臺時前面恰有2位顧客需結(jié)算，且各顧客的結(jié)算相

13、互獨立，求該顧客結(jié)算前的等候時間不超過2.5分鐘的概率 (注：將頻率視為概率)【示例示例】 (2012湖南卷湖南卷)某超市為了解顧客的購物量及結(jié)算時間某超市為了解顧客的購物量及結(jié)算時間等信息，安排一名員工隨機(jī)收集了在該超市購物的等信息，安排一名員工隨機(jī)收集了在該超市購物的100位顧位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表所示客的相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表所示.一次購物量一次購物量1至至4件件 5至至8件件 9至至12件件 13至至16件件17件及件及以上以上顧客數(shù)顧客數(shù)(人人)x3025y10結(jié)算結(jié)算時間時間(分鐘分鐘/人人)11.522.53 審題與轉(zhuǎn)化 第一步：(1)根據(jù)100位顧客中一次購物超過8件的有55人，即

14、可求出x，y；同時一次購物結(jié)算時間x對應(yīng)概率即可求出X的分布列與數(shù)學(xué)期望(2)不超過2.5分鐘有3種情況，x11且x21，x11且x21.5，x11.5且x21，利用相互獨立事件即可求出 規(guī)范解答 第二步：(1)由已知得25y1055，x3045，x15，y20. 該超市所有顧客一次購物的結(jié)算時間組成一個總體，所收集的100位顧客一次購物的結(jié)算時間可視為總體的一個容量為100的簡單隨機(jī)樣本，將頻率視為概率得 反思與回顧 第三步：(1)求分布列和期望，首先求出x取值的對應(yīng)概率；(2)明確哪種類型的事件，根據(jù)公式求解1(2009陜西卷)某食品企業(yè)一個月內(nèi)被消費者投訴的次數(shù)用表示據(jù)統(tǒng)計，隨機(jī)變量的概

15、率分布如下：高考經(jīng)典題組訓(xùn)練高考經(jīng)典題組訓(xùn)練0123P0.10.32aa(1)求求a的值和的值和的數(shù)學(xué)期望；的數(shù)學(xué)期望；(2)假設(shè)一月份與二月份被消費者投訴的次數(shù)互不影響，假設(shè)一月份與二月份被消費者投訴的次數(shù)互不影響，求該企業(yè)在這兩個月內(nèi)共被消費者投訴求該企業(yè)在這兩個月內(nèi)共被消費者投訴2次的概率次的概率 解(1)由概率分布的性質(zhì)有0.10.32aa1， 解得a0.2. 的概率分布為 E00.110.320.430.21.7. (2)設(shè)事件A表示“兩個月內(nèi)共被投訴2次”；事件A1表示“兩個月內(nèi)有一個月被投訴2次，另外一個月被投訴0次”；事件A2表示“兩個月內(nèi)每個月均被投訴1次” 則由事件的獨立性

16、得 P(A1)CP(2)P(0)20.40.10.08， P(A2)P(1)20.320.09， P(A)P(A1)P(A2)0.080.090.17. 故該企業(yè)在這兩個月內(nèi)共被消費者投訴2次的概率為0.17.0123P0.10.30.40.22(2012安徽卷)某單位招聘面試，每次從試題庫中隨機(jī)調(diào)用一道試題若調(diào)用的是A類型試題，則使用后該試題回庫，并增補一道A類型試題和一道B類型試題入庫，此次調(diào)題工作結(jié)束；若調(diào)用的是B類型試題，則使用后該試題回庫，此次調(diào)題工作結(jié)束試題庫中現(xiàn)共有nm道試題，其中有n道A類型試題和m道B類型試題以X表示兩次調(diào)題工作完成后，試題庫中A類型試題的數(shù)量(1)求Xn2的

17、概率；(2)設(shè)mn，求X的分布列和均值(數(shù)學(xué)期望)3(2012福建卷)受轎車在保修期內(nèi)維修費等因素的影響，企業(yè)生產(chǎn)每輛轎車的利潤與該轎車首次出現(xiàn)故障的時間有關(guān)某轎車制造廠生產(chǎn)甲、乙兩種品牌轎車，保修期均為2年現(xiàn)從該廠已售出的兩種品牌轎車中各隨機(jī)抽取50輛，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下：品牌品牌甲甲乙乙首次出現(xiàn)故障時間首次出現(xiàn)故障時間x(年年)0 x1 12 02轎車數(shù)量轎車數(shù)量(輛輛)2345545每輛利潤每輛利潤(萬元萬元)1231.82.9將頻率視為概率，解答下列問題：將頻率視為概率，解答下列問題：(1)從該廠生產(chǎn)的甲品牌轎車中隨機(jī)抽取一輛，求其首次出現(xiàn)從該廠生產(chǎn)的甲品牌轎車中隨機(jī)抽取一輛，求其首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)的概率；故障發(fā)生在保修期內(nèi)的概率； (2)若該廠生產(chǎn)的轎車均能售出，記生產(chǎn)一輛甲品牌轎車的利潤為X1，生產(chǎn)一輛乙品牌轎車的利潤為X2，分別求X1，X2的分布列； (3)該廠預(yù)計今后這兩種品牌轎車銷量相當(dāng)，由于資金限制，只能生產(chǎn)其中一種品牌的轎車若從經(jīng)濟(jì)效益的角度考慮，你認(rèn)為應(yīng)生產(chǎn)哪種品牌的轎車？說明理由