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1、98級高等數(shù)學(xué)(上)期中試題
一、填空題（3×8=24分）
1．.
解：∵ ，，
∴。
2．若在內(nèi)連續(xù)，則 -2 。
解：，
∴。
3．若，其中可導(dǎo)，則.
解：
.
4.若，則 1 .
解：
。
5.函數(shù)由方程確定，則。
解：，
，。
6．函數(shù)的帶拉格朗日余項的三階麥克勞林公式為
。
解：，
，，，
∴
（在與之間）。
7．若，則。
解：，。
8．曲線的單增區(qū)間為，下凸區(qū)間為。
解：的定義域為，
，，
令，得；令，得。
1
2、
2
+
0
-
-
-
-
-
-
0
+
二、選擇題（4×4=16分）
9．當(dāng)時，與為等價無窮小，則必有（ A ）
（A），； （B），；
（C），； （D），。
解：，。
10．函數(shù)的不可導(dǎo)點的個數(shù)是（ C ）
（A）3； （B）2； （C）1； （D）0。
解：的可能不可導(dǎo)點為，。
∵，
，
∴。
∵，
，
∴不存在。
11．曲線（ C ）
（A）沒有漸近線； （B）有一條漸近線；
（C）有二條漸近線； （D）有三條漸近線。
3、
解：∵，∴曲線無水平漸近線；
∵， ∴直線是曲線的垂直漸近線；
∵，，
∴直線是曲線的斜漸近線。
12．已知在的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且，則在處（ D ）
（A）不可導(dǎo)； （B）可導(dǎo)且；
（C）取得極大值； （D）取得極小值。
解：∵在連續(xù)，∴，
∵，∴，
∴當(dāng)時，。故應(yīng)選（D）。
三、解答題 （30分）
13．設(shè)，求（6分）
解：，，。
14．求極限：（6分）
解：
。
15．設(shè)函數(shù)由方程確定， 試求它的駐點，并判定
它是否為極值點，如果是極值點，是極大點還是極小點？（8分）
解：，
4、即， ①
令，得，代入原方程，得，
，得唯一駐點，此時，
再對①式兩邊求導(dǎo)，得
，
， ②
把，，代入②式，得，∴是極小值點。
16．試確定的范圍，使方程有實根。（10分）
解題思路：設(shè)，。當(dāng)且僅屬于函數(shù)的值
域時，方程有實根。首先確定在內(nèi)的值
域。為此需要求的極值。
，令，得唯一駐點，
∵，∴是極小值，也是最小值，
又∵，，
∴的值域是，
∴當(dāng)時，直線才能與曲線相交，
這時方程才能有實根。
四、應(yīng)用題（2×10=20分）
17．設(shè)某銀行中的總存款量與銀行付給存戶年利率的平方成正比。
5、若銀行以
的年利率把總存款的貸出，問銀行給存戶的年利率定為多少，它才
能獲得最大利潤？
解：設(shè)銀行付給存戶的年利率為，總存款量為，總利潤為，則
（為常數(shù)），，即
，
，，
令，得，(應(yīng)舍去)。
∵，∴是極大值點，也是最大值點。
∴當(dāng)銀行給存戶的年利率定為時，才能獲得最大利潤。
18.一盞高的路燈照在一個距燈遠(yuǎn)，從高處自由下落的球上，球的影子
沿水平地面移動，求當(dāng)球離地面高時影子移動的速度（空氣阻力忽略不計）。
解：以燈柱與地面的交點為原點，燈柱所在的直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系。
燈的位置為，球的初始位置為。
設(shè)球下落離地面時，
影子距原點的，則有
，，∴，
∵，，
∴當(dāng)時，由，得，。
∴所求影子移動的速度為。
五、證明題（10分）
19．設(shè)在連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，，
試證：，使。
分析：即證。這題是要證明存在兩個中間值，，滿足等
式。由于用一次中值定理只能找到一個中間值，故要用兩次
中值定理才能解決問題。
證明：設(shè) ，，
∵和在上滿足中值定理，
∴，使，，
∵，
∴，從而。
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高等數(shù)學(xué)試卷：98級高等數(shù)學(xué)（上）期中試題
