2015屆高考數(shù)學(xué) 考前三個(gè)月 必考題型過關(guān)練 第44練 矩陣與變換 理

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1、 2015屆高考數(shù)學(xué) 考前三個(gè)月 必考題型過關(guān)練 第44練 矩陣與變換 理 第44練 矩陣與變換 題型一 常見矩陣變換的應(yīng)用 例1 已知曲線C：xy＝1. (1)將曲線C繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后，求得到的曲線C′的方程； (2)求曲線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)和漸近線方程． 破題切入點(diǎn) 把握常見矩陣變換類型，比用一般矩陣運(yùn)算處理要方便得多，同時(shí)，從前后曲線性質(zhì)分析上，可以加深對曲線性質(zhì)的理解． 解 (1)設(shè)P(x0，y0)是曲線C：xy＝1上的任一點(diǎn)， 點(diǎn)P(x0，y0)在旋轉(zhuǎn)變換后對應(yīng)的點(diǎn)為 P′(x′0，

2、y′0)，則 ?x0′??cos 45° －sin 45°??x0???＝???? ?y0′??sin 45° cos 45°??y0? ?22 22?x?22－22???????. ＝??＝?2 2??y?2x2y??22?22?0000 00 22?x′＝－，?22∴?22y′x＋，??22000000 0002?x＝?x′＋y′?，?2∴?2y＝y(tǒng)′－x′?.??2000 又x0y0＝1，∴ 2222(y′0＋x′0)3y′0－x′0)＝1. 2222∴y′0 －x′0 ＝2，即曲線C：xy＝1旋轉(zhuǎn)后所得到的曲線C′

3、的方程為y－x＝2. (2)曲線C′的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(0，－2)，F(xiàn)2(0,2)，漸近線方程為y＝±x. 再順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后，即可得到曲線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(－2，－2)和(2，2)；漸近線方程為x＝0，y＝0. 題型二 二階矩陣的逆矩陣 - 1 - ?a 例2 設(shè)矩陣M＝??0 0?b??(其中a>0，b>0)． －1(1)若a＝2，b＝3，求矩陣M的逆矩陣M； (2)若曲線C：x＋y＝1在矩陣M所對應(yīng)的線性變換作用下得到曲線Cy＝1，求a，b4 的值． 破題切入點(diǎn) 對于二階矩陣，若有AB＝B

4、A＝E，則稱B為A的逆矩陣．因而求一個(gè)二階矩陣的逆矩陣，可用待定系數(shù)法求解． 22x22 ?x1 y1?解 (1)設(shè)矩陣M的逆矩陣M＝??， ?x2 y2? ?1 0?－1則MM＝??. ?0 1? ?2 0?又M＝??， ?0 3? ?2 0??x1 y1??1 0?所以????＝??. ?0 3??x2 y2??0 1?－1 所以2x1＝1,2y1＝0,3x2＝0,3y2＝1， 11即x1＝，y1＝0，x2＝0，y2＝， 23 1 02－1故所求的逆矩陣M＝. 10 3??????(2)設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)P(x，y)，它

5、在矩陣M所對應(yīng)的線性變換作用下得到點(diǎn)P′(x′，y′)， ??ax＝x′，?a 0??x??x′?則? ???＝??，即??by＝y(tǒng)′.?0 b??y??y′?? 又點(diǎn)P′(x′，y′)在曲線C′上，所以 則x′24＋y′＝1. 2a2x24by＝1為曲線C的方程． 2222又已知曲線C的方程為x＋y＝1， 2???a＝4，?a＝2，故?2又a>0，b>0，所以????b＝1.?b＝1. 題型三 求矩陣的特征值與特征向量 ?1 －1?例3 已知矩陣A＝?－3)． ?，其中a∈R，若點(diǎn)P(1,1)在矩陣A的變換下得

6、到點(diǎn)P′(0，?a 1? (1)求實(shí)數(shù)a的值； (2)求矩陣A的特征值及特征向量． 破題切入點(diǎn) (1)注意特征值與特征向量的求法及特征向量的幾何意義：從幾何上看，特征向 - 2 - 量的方向經(jīng)過變換矩陣M的作用后，保持在同一條直線上，這時(shí)特征向量或者方向不變(λ>0)，或者方向相反(λ<0)．特別地，當(dāng)λ＝0時(shí)，特征向量就被變成了零向量． ?a b?(2)計(jì)算矩陣M＝??的特征向量的步驟如下： ?c d? ?λ－a －b?2①由矩陣M得到特征多項(xiàng)式f(λ)＝?②求特征多項(xiàng)式的根，即求λ－(a＋d)λ?；?－c λ－d?

7、 ???λ－a?x－by＝0＋(ad－bc)＝0的根；③將特征多項(xiàng)式的根(特征值)代入特征方程?，求??－cx＋?λ－d?y＝0 解得非零解對應(yīng)的向量，即是矩陣M對應(yīng)的特征向量． ?1 －1??1?? 0?解 (1)由題意得????＝??， ?a 1??1??－3? 所以a＋1＝－3，所以a＝－4. ? 1 －1?(2)由(1)知A＝??， ?－4 1? ?λ－1 1?2令f(λ)＝??＝(λ－1)－4＝0. ? 4 λ－1? 解得A的特征值為λ＝－1或3. ??－2x＋y＝0?1?當(dāng)λ＝－1時(shí)，由?得矩陣A的

8、屬于特征值－1的一個(gè)特征向量為??； ?4x－2y＝0?2?? ??2x＋y＝0當(dāng)λ＝3時(shí)，由???4x＋2y＝0 ? 1?得矩陣A的屬于特征值3的一個(gè)特征向量為??. ?－2? 總結(jié)提高 (1)在解決通過矩陣進(jìn)行平面曲線的變換問題時(shí)，變換矩陣可以通過待定系數(shù)法解決，在變換時(shí)一定要把變換前后的變量區(qū)別清楚，防止混淆． (2)對于二階矩陣，要能夠熟練地根據(jù)常見的幾種變換的坐標(biāo)形式和矩陣形式相互轉(zhuǎn)化的規(guī)則，直接指明對應(yīng)的變換． (3)對于常見的變換，要能夠根據(jù)前后的圖形中的點(diǎn)的坐標(biāo)變換規(guī)律準(zhǔn)確寫出變換矩陣． (4)對于二階矩陣A而言，至多有兩個(gè)特征

9、值，將特征值λ代入Aα＝λα，即可求得對應(yīng)的特征向量α. (5)關(guān)于特征值與特征向量的討論與矩陣變換性質(zhì)、矩陣的乘積、行列式以及線性方程組的解等有密切的聯(lián)系，或說是所學(xué)知識的一個(gè)綜合運(yùn)用． 1．求將曲線y＝x繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后所得的曲線方程． 解 由題意得旋轉(zhuǎn)變換矩陣 ?cos 90° －sin 90°??0 －1?M＝??＝??， ?sin 90° cos 90°??1 0? - 3 - 2 設(shè)P(x0，y0)為曲線y＝x上任意一點(diǎn)，變換后變?yōu)榱硪稽c(diǎn)(x，y)， ?x??0 －1??x0?則??＝????， ?y

10、??1 0??y0? ???x＝－y0，?y0＝－x，即?所以? ??y＝x，x＝y(tǒng).00??2 又因?yàn)辄c(diǎn)P在曲線y＝x上，所以y0＝x0， 故(－x)＝y(tǒng)，即y＝x為所求的曲線方程． 2．在直角坐標(biāo)系中，已知△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(0,0)、B(1,1)、C(0,2)，求△ABC在矩陣MN ?0 1??0 －1?作用下變換所得到的圖形的面積，其中M＝??，N＝??. ?1 0??1 0? ?0 －1?解 由在矩陣線性變換下的幾何意義可知，在矩陣N＝??作用下，一個(gè)圖形變換為其繞?1 0? ?0 1?原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90

11、°得到的圖形；在矩陣M＝??作用下，一個(gè)圖形變換為與之關(guān)于直線y?1 0? ＝x對稱的圖形，因此，△ABC在矩陣MN作用下變換所得到的圖形與△ABC全等，從而其面積等于△ABC的面積，即為1. 2222 ?1 3．(20132福建)已知直線l：ax＋y＝1在矩陣A＝??0 ＋by＝1. (1)求實(shí)數(shù)a，b的值； 2??對應(yīng)的變換作用下變?yōu)橹本€l′：x1? (2)若點(diǎn)P(x0，y0)在直線l上，且A??＝??，求點(diǎn)P的坐標(biāo)． 解 (1)設(shè)直線l：ax＋y＝1上任意點(diǎn)M(x，y)在矩陣A對應(yīng)的變換作用下的像是M′(x′，y′)．

12、 ??x′＝x＋2y，?x′??1 2??x??x＋2y?由??＝? ???＝??，得??y′＝y(tǒng).?y′??0 1??y?? y???x0??x0??y0??y0? 又點(diǎn)M′(x′，y′)在l′上， 所以x′＋by′＝1，即x＋(b＋2)y＝1， ???a＝1，?a＝1，依題意得?解得? ??b＋2＝1，b＝－1.?? ??x0＝x0＋2y0，?x0??x0?(2)由A??＝??，得??y0＝y(tǒng)0，?y0??y0?? 解得y0＝0. 又點(diǎn)P(x0，y0)在直線l上，所以x0＝1. 故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,0)． 4．已知在二

13、階矩陣M對應(yīng)變換的作用下，四邊形ABCD變成四邊形A′B′C′D′，其中A(1,1)，B(－1,1)，C(－1，－1)，A′(3，－3)，B′(1,1)，D′(－1，－1)． - 4 - (1)求出矩陣M； (2)確定點(diǎn)D及點(diǎn)C′的坐標(biāo)． ?a b?解 (1)設(shè)M＝??， ?c d? ?a b??1?? 3??a b??－1??1?則有????＝??，????＝??， ?c d??1??－3??c d?? 1??1? a＋b＝3，??c＋d＝－3，故?－a＋b＝1，??－c＋d＝1， a＝1，??b＝2， 解得?c＝－2，??d＝－1

14、， ? 1 ?－2 ? 1 (2)由??－2 ∴M＝? 2??. －1? 2??－1??－3????＝??， －1??－1?? 3? 知C′(－3,3)， 12－ 33?－1?? 1?由??＝??， 21?－1??－1? 33????知D(1，－1)． ?2 1?5．設(shè)A＝??，問A是否可逆？如果可逆，求其逆矩陣． ?4 2? ?2 1??x y?解 設(shè)A＝?是可逆的，其逆矩陣B＝???，那么應(yīng)該有BA＝AB＝E， ?4 2??u v? ?x y??2 1??1 0?即?? ??＝??，① ?u v??4 2?

15、?0 1? ?2 1??x y??1 0??? ??＝??.② ?4 2??u v??0 1? 2x＋4y＝1， ③??x＋2y＝0， ④由①得?2u＋4v＝0， ⑤??u＋2v＝1. ⑥ ④33－③31得(232－431)y＝－1， 即0y＝－1，這說明上面的方程組無解．從而，不存在矩陣B使得BA＝AB＝E，所以，矩陣A?2 1?＝??不可逆． ?4 2? ?－1 0??1 2?－16．(20132江蘇)已知矩陣A＝??，B＝??，求矩陣AB. ? 0 2??0 6? ?a b?－1解 設(shè)矩陣A的逆矩陣A＝??，

16、?c d? - 5 - ?－1 0??a b??1 0?則????＝??， ? 0 2??c d??0 1? ?－a －b??1 0?即??＝?? ? 2c 2d??0 1? 1故a＝－1，b＝0，c＝0，d＝， 2 ?－1 0? 從而A的逆矩陣A＝?－1， ? 0 12??? ?－1 －1所以AB＝?? 0 ? ?－1 －2?＝??. ? 0 3???1 2?? 1??0 6?2?0? 7．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(0,0)，B(－2,0)，C(－

17、2,1)．設(shè)k為非零實(shí)數(shù)，矩陣 k 0?0 1?M＝?，N＝?B、C在矩陣MN對應(yīng)的變換下得到的點(diǎn)分別為A1、B1、C1，△A1B1C1?0 1??1 0?，點(diǎn)A、 的面積是△ABC的面積的2倍，求k的值． 解 由題設(shè)得 k 0??0 1??0 k?MN＝??0 1??1 0?＝?1 0?. 0 k??0??0?由??1 0??0?＝?0?， ?0 k??－2?＝?0?， ?1 0??0??－2? ?0 k??－2?＝?k?， ?1 0??1??－2? 可知A1(0,0)，B1(0，－2)，C1(k，－2)．

18、 計(jì)算得△ABC的面積是1，△A1B1C1的面積是|k|，由題設(shè)知|k|＝231＝2， 所以k的值為－2或2. ? 1 2??5?8．給定矩陣A＝??，B＝??. ?－1 4??3? (1)求A的特征值λ1，λ2及對應(yīng)的特征向量α1，α2； (2)求AB. 解 (1)設(shè)A的一個(gè)特征值為λ， ?λ－1 －2?由題意知??＝0，(λ－2)(λ－3)＝0，λ1＝2，λ2＝3， ? 1 λ－4? ? 1 2??x??x?當(dāng)λ1＝2時(shí)，由????＝2??， ?－1 4??y??y? ?2?得A的屬于特征值2的特征向量為α

19、1＝??， ?1?4 - 6 - ? 1 當(dāng)λ2＝3時(shí)，由??－1 ?x????＝3??， 4??y??y?2??x? 得A的屬于特征值3的特征向量為 ?1?α2＝??. ?1? ?5??2??1?(2)由于B＝??＝2??＋?? ?3??1??1? ＝2α1＋α2， 故AB＝A(2α1＋α2) ＝2(2α1)＋(3α2)＝32α1＋81α2 ?64??81??145?＝??＋??＝??. ?32??81??113?4444 ?1?9．已知二階矩陣M有特征值λ＝8及對應(yīng)的一個(gè)特征向量e1＝??，

20、并且矩陣M對應(yīng)的變換將?1? 點(diǎn)(－1,2)變換成(－2,4)． (1)求矩陣M； (2)求矩陣M的另一個(gè)特征值，及對應(yīng)的一個(gè)特征向量e2的坐標(biāo)之間的關(guān)系； (3)求直線l：x－y＋1＝0在矩陣M的作用下的直線l′的方程． ?a b?解 (1)設(shè)M＝??， ?c d? ?a b??1??1??8?則????＝8??＝??， ?c d??1??1??8? ??a＋b＝8，故? ?c＋d＝8.? ?a ??c ?b??－1??－2??－a＋2b＝－2，???＝??，故??d?? 2?? 4??－c＋2d＝4.

21、 聯(lián)立以上兩方程組解得a＝6，b＝2，c＝4，d＝4， ?6 2?故M＝??. ?4 4? (2)由(1)知，矩陣M的特征多項(xiàng)式為 ?λ－6 －2?2f(λ)＝??＝(λ－6)(λ－4)－8＝λ－10λ＋16，故其另一個(gè)特征值為λ＝2.? －4 λ－4? ?x??6x＋2y??x?設(shè)矩陣M的另一個(gè)特征向量是e2＝??，則Me2＝??＝2??，解得2x＋y＝0. y4x＋4y?????y? (3)設(shè)點(diǎn)(x，y)是直線l上的任一點(diǎn)，其在矩陣M的變換下對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(x′，y′)， ?6 2??x??x′?則????＝??， ?4 4??y??y′

22、? 1113即x＝y(tǒng)′，y＝－x′，代入直線l的方程后并化簡得x′－y′＋2＝0，即x4848 - 7 - －y＋2＝0. ?1 10．已知曲線C：y＝2x，在矩陣M＝??0 20??0 －1?C1在矩陣N＝??對應(yīng)的變換作用下得到曲線C1，?2??1 0? 對應(yīng)的變換作用下得到曲線C2，求曲線C2的方程． ?0 －1??1 0??0 －2?解 設(shè)A＝NM，則A＝????＝??， ?1 0??0 2??1 0? 設(shè)P(x′，y′)是曲線C上任一點(diǎn)，在兩次變換下，在曲線C2上的對應(yīng)的點(diǎn)為P(x，y)， ??x?0 －2??x′

23、??－2y′?則?＝????＝??， ?y1 0y′ x′??????? ??x＝－2y′，即??y＝x′，? x′＝y(tǒng)，??∴?1y′＝－.?2? 2 又點(diǎn)P(x′，y′)在曲線C：y＝2x上， 1212)＝2y，即y＝x. 28 ?a 11．設(shè)曲線2x＋2xy＋y＝1在矩陣A＝??b 220??(a>0)對應(yīng)的變換作用下得到的曲線為x＋y＝1?22 1. (1)求實(shí)數(shù)a，b的值； (2)求A的逆矩陣． 解 (1)設(shè)曲線2x＋2xy＋y＝1上任意點(diǎn)P(x，y)在矩陣A對應(yīng)的變換作用下的像是P′(x′，22

24、2 y′)． ?x′??a 由??＝??y′??b 0??x??x′＝ax，?? ax??＝，得??????1??y??bx＋y??y′＝bx＋y. 222 2又點(diǎn)P′(x′，y′)在x＋y＝1上，所以x′＋y′＝1， 即ax＋(bx＋y)＝1， 整理得(a＋b)x＋2bxy＋y＝1. 22???a＋b＝2，?a＝1，?依題意得解得??2b＝2，?b＝1，?? ??a＝1，因?yàn)閍>0，所以??b＝1.?2222222 0? ??a＝－1，或??b＝1.? 0??1 0??1 0??1 2，A＝?????

25、＝?1??1 1??1 1??2 ?1 0?22－1所以|A|＝1，(A)＝??. ?－2 1? ? 1 －3??1 2?12．已知矩陣A＝??，B＝??. ?－1 －1??0 1?(2)由(1)知，A＝? ?1 ?1 ?. 1?- 8 - (1)求(AB)； (2)求直線2x＋y－5＝0在(AB)對應(yīng)變換作用下的直線方程． ? 1 －3??1 2?? 1 －1?解 (1)AB＝????＝??， ?－1 －1??0 1??－1 －3? 又|AB|＝－3－1＝－4， 31 －44－1∴(AB)＝. 11－ －44－1－1????(2)設(shè)P(x0，y0)是直線2x＋y－5＝0上任一點(diǎn)，P′(x，y)是在變換作用下點(diǎn)P的像， 31 －44?x0?x0?x?－1??則有??＝(AB)??＝??. yy11???0??y0?－ －44????31x＝x－y，??44∴?11y＝－x??44.0000 ∴???x0＝x－y， ??y0＝－x－3y. 代入直線方程2x＋y－5＝0，得2(x－y)－(x＋3y)－5＝0，即x－5y－5＝0，即為所求的直線方程． - 9 -