高考數(shù)學(xué) 17-18版 第5章 第28課 課時(shí)分層訓(xùn)練28

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1、 課時(shí)分層訓(xùn)練(二十八) A組　基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) (建議用時(shí)：30分鐘) 1．(2017·淮海中學(xué)模擬)如圖28-11，有一塊半徑為R的半圓形空地，開(kāi)發(fā)商計(jì)劃征地建一個(gè)矩形游泳池ABCD和其附屬設(shè)施，附屬設(shè)施占地形狀是等腰△CDE，其中O為圓心，A，B在圓的直徑上，C，D，E在圓周上． 圖28-11 (1)設(shè)∠BOC＝θ，征地面積記為f(θ)，求f(θ)的表達(dá)式； (2)當(dāng)θ為何值時(shí)，征地面積最大？ 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172154】 [解]　(1)連結(jié)OE，OC，可得OE＝R，OB＝Rcos θ，BC＝Rsin θ；θ∈. ∴f(θ)＝2S梯形OBCE＝R2(sin θcos θ＋c

2、os θ)θ∈. (2)f′(θ)＝－R2(2sin θ－1)(sin θ＋1)． 令f′(θ)＝0， ∴sin θ＋1＝0(舍)或者sin θ＝. ∵θ∈， 當(dāng)θ∈時(shí)， f′(θ)>0；當(dāng)θ∈時(shí)，f′(θ)<0， ∴當(dāng)θ＝時(shí)，f(θ)取得最大值． 答：θ＝時(shí)，征地面積最大． 2. (2017·鎮(zhèn)江期中)廣告公司為某游樂(lè)場(chǎng)設(shè)計(jì)某項(xiàng)設(shè)施的宣傳畫，根據(jù)該設(shè)施的外觀，設(shè)計(jì)成的平面圖由半徑為2m的扇形AOB和三角區(qū)域BCO構(gòu)成，其中C，O，A在一條直線上，∠ACB＝，記該設(shè)施平面圖的面積為S(x) m2，∠AOB＝x rad，其中＜x＜π. 圖28-12 (1)寫出S(x)關(guān)于

3、x的函數(shù)關(guān)系式； (2)如何設(shè)計(jì)∠AOB，使得S(x)有最大值？ [解]　(1)由已知可得∠CBO＝x－，S扇形AOB＝lr＝2x， 在△BCO中，由正弦定理可得： ＝，所以CO＝2(sin x－cos x)， 從而S△CBO＝BO·CO·sin∠BOC＝2sin2x－2sin xcos x， 所以S(x)＝2sin2x－2sin xcos x＋2x＝2sin x(sin x－cos x)＋2x. (2)S′(x)＝2(sin 2x－cos 2x)＋2＝2sin＋2， 由S′(x)＝0，解得x＝， 令S′(x)＞0，解得＜x＜，所以增區(qū)間是； 令S′(x)＜0，解得＜x＜

4、π，所以減區(qū)間是； 所以S(x)在x＝處取得最大值是2＋ m2. 答：設(shè)計(jì)成∠AOB＝時(shí)，該設(shè)施的平面圖面積最大是2＋ m2. B組　能力提升 (建議用時(shí)：15分鐘) 1．(2017·無(wú)錫期中)如圖28-13，某自行車手從O點(diǎn)出發(fā)，沿折線O－A－B－O勻速騎行，其中點(diǎn)A位于點(diǎn)O南偏東45°且與點(diǎn)O相距20千米．該車手于上午8點(diǎn)整到達(dá)點(diǎn)A,8點(diǎn)20分騎至點(diǎn)C，其中點(diǎn)C位于點(diǎn)O南偏東(45°－α)(其中sin α＝，0°＜α＜90°)且與點(diǎn)O相距5千米(假設(shè)所有路面及觀測(cè)點(diǎn)都在同一水平面上)． 圖28-13 (1)求該自行車手的騎行速度； (2)若點(diǎn)O正西方向27.5千米處有個(gè)

5、氣象觀測(cè)站E，假定以點(diǎn)E為中心的3.5千米范圍內(nèi)有長(zhǎng)時(shí)間的持續(xù)強(qiáng)降雨．試問(wèn)：該自行車手會(huì)不會(huì)進(jìn)入降雨區(qū)，并說(shuō)明理由. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172155】 [解]　(1)由題意知，OA＝20，OC＝5，∠AOC＝α，sin α＝. 由于0°＜α＜90°，所以cos α＝＝. 由余弦定理，得AC＝＝5. 所以該自行車手的行駛速度為＝15(千米/小時(shí))． (2)如圖，設(shè)直線OE與AB相交于點(diǎn)M.在△AOC中，由余弦定理，得： cos∠OAC＝＝＝， 從而sin∠OAC＝＝＝. 在△AOM中，由正弦定理，得： OM＝＝＝20. 由于OE＝27.5＞20＝OM，所以點(diǎn)M位于點(diǎn)O和點(diǎn)E之

6、間，且ME＝OE－OM＝7.5. 過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AB于點(diǎn)H，則EH為點(diǎn)E到直線AB的距離. 在Rt△EHM中， EH＝EM·sin∠EMH＝EM·sin∠EMH＝EM·sin(45°－∠OAC)＝7.5×＝＜3.5. 所以該自行車手會(huì)進(jìn)入降雨區(qū)． 2．(2017·啟東中學(xué)高三第一次月考)如圖28-14，某廣場(chǎng)中間有一塊邊長(zhǎng)為2百米的菱形狀綠化區(qū)ABCD，其中BMN是半徑為1百米的扇形，∠ABC＝.管理部門欲在該地從M到D修建小路：在弧MN上選一點(diǎn)P(異于M，N兩點(diǎn))，過(guò)點(diǎn)P修建與BC平行的小路PQ.問(wèn)：點(diǎn)P選擇在何處時(shí)，才能使得修建的小路與PQ及QD的總長(zhǎng)最??？并說(shuō)明理由．

7、圖28-14 [解]　連結(jié)BP，過(guò)P作PP1⊥BC垂足為P1，過(guò)Q作QQ1⊥BC垂足為Q1. 設(shè)∠PBP1＝θ，＝－θ 若0<θ<，在Rt△PBP1中，PP1＝sin θ，BP1＝cos θ， 若θ＝，則PP1＝sin θ，BP1＝cos θ， 若<θ<，則PP1＝sin θ，BP1＝cos(π－θ)＝－cos θ， ∴PQ＝2－cos θ－sin θ. 在Rt△QBQ1中， QQ1＝PP1＝sin θ，CQ1＝sin θ，CQ＝sin θ， DQ＝2－sin θ. 所以總路徑長(zhǎng) f(θ)＝－θ＋4－cos θ－sin θ， f′(θ)＝sin θ－cos θ－1＝2sin－1 令f′(θ)＝0，得θ＝. 當(dāng)0<θ<時(shí)，f′(θ)<0， 當(dāng)<θ<時(shí)，f′(θ)>0. 所以當(dāng)θ＝時(shí)，總路徑最短． 答：當(dāng)BP⊥BC時(shí)，總路徑最短．