《2018屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí): 選修4-5 第2節(jié) 不等式的證明》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2018屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí): 選修4-5 第2節(jié) 不等式的證明(8頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、
第二節(jié) 不等式的證明
[考綱傳真] 通過一些簡單問題了解證明不等式的基本方法:比較法、綜合法、分析法.
1.基本不等式
定理1:設(shè)a,b∈R,則a2+b2≥2ab,當且僅當a=b時,等號成立.
定理2:如果a,b為正數(shù),則≥,當且僅當a=b時,等號成立.
定理3:如果a,b,c為正數(shù),則≥,當且僅當a=b=c時,等號成立.
定理4:(一般形式的算術(shù)—幾何平均不等式)如果a1,a2,…,an為n個正數(shù),則≥,當且僅當a1=a2=…=an時,等號成立.
2.不等式證明的方法
(1)比較法是證明不等式最基本的方法,可分為作差比較法和作商比較法兩種.
名稱
作差比較法
2、
作商比較法
理論依據(jù)
a>b?a-b>0
a<b?a-b<0
a=b?a-b=0
b>0,>1?a>b
b<0,>1?a<b
(2)綜合法與分析法
①綜合法:利用某些已經(jīng)證明過的不等式和不等式的性質(zhì),推導(dǎo)出所要證明的不等式,這種方法叫綜合法.即“由因?qū)Ч钡姆椒ǎ?
②分析法:從求證的不等式出發(fā),分析使這個不等式成立的充分條件,把證明不等式轉(zhuǎn)化為判定這些充分條件是否具備的問題,如果能夠肯定這些充分條件都已經(jīng)具備,那么就可以判定原不等式成立,這種方法叫作分析法.即“執(zhí)果索因”的方法.
1.(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)比較
3、法最終要判斷式子的符號得出結(jié)論.( )
(2)綜合法是從原因推導(dǎo)到結(jié)果的思維方法,它是從已知條件出發(fā),經(jīng)過逐步推理,最后達到待證的結(jié)論.( )
(3)分析法又叫逆推證法或執(zhí)果索因法,是從待證結(jié)論出發(fā),一步一步地尋求結(jié)論成立的必要條件,最后達到題設(shè)的已知條件或已被證明的事實.( )
(4)使用反證法時,“反設(shè)”不能作為推理的條件應(yīng)用.( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×
2.(教材改編)若a>b>1,x=a+,y=b+,則x與y的大小關(guān)系是( )
A.x>y B.x<y
C.x≥y D.x≤y
A [x-y=a+-
=a-b+=.
由
4、a>b>1得ab>1,a-b>0,
所以>0,即x-y>0,所以x>y.]
3.(教材改編)已知a≥b>0,M=2a3-b3,N=2ab2-a2b,則M,N的大小關(guān)系為________.
M≥N [2a3-b3-(2ab2-a2b)=2a(a2-b2)+b(a2-b2)=(a2-b2)(2a+b)=(a-b)(a+b)(2a+b).
因為a≥b>0,所以a-b≥0,a+b>0,2a+b>0,
從而(a-b)(a+b)(2a+b)≥0,故2a3-b3≥2ab2-a2b.]
4.已知a>0,b>0且ln(a+b)=0,則+的最小值是________.
4 [由題意得,a+b=1,a>
5、0,b>0,
∴+=(a+b)=2++
≥2+2=4,
當且僅當a=b=時等號成立.]
5.已知x>0,y>0,證明:(1+x+y2)(1+x2+y)≥9xy.
[證明] 因為x>0,y>0,
所以1+x+y2≥3>0,1+x2+y≥3>0,8分
故(1+x+y2)(1+x2+y)≥3·3=9xy.10分
比較法證明不等式
已知a>0,b>0,求證:+≥+.
[證明] 法一:-(+)
=+=+
==≥0,
∴+≥+.10分
法二:由于=
==-1≥-1=1.8分
又a>0,b>0,>0,∴+≥+.10分
[規(guī)律方法] 1.在法一中,采用局部通分,
6、優(yōu)化了解題過程;在法二中,利用不等式的性質(zhì),把證明a>b轉(zhuǎn)化為證明>1(b>0).
2.作差(商)證明不等式,關(guān)鍵是對差(商)式進行合理的變形,特別注意作商證明不等式,不等式的兩邊應(yīng)同號.
提醒:在使用作商比較法時,要注意說明分母的符號.
[變式訓(xùn)練1] (2017·莆田模擬)設(shè)a,b是非負實數(shù),
求證:a2+b2≥(a+b).
【導(dǎo)學(xué)號:01772447】
[證明] 因為a2+b2-(a+b)
=(a2-a)+(b2-b)
=a(-)+b(-)
=(-)(a-b)
=.6分
因為a≥0,b≥0,所以不論a≥b≥0,還是0≤a≤b,都有a-b與同號,所以(a-b)≥0,
7、
所以a2+b2≥(a+b).10分
綜合法證明不等式
設(shè)a,b,c均為正數(shù),且a+b+c=1,證明:
【導(dǎo)學(xué)號:01772448】
(1)ab+bc+ac≤;
(2)++≥1.
[證明] (1)由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,
得a2+b2+c2≥ab+bc+ca,
由題設(shè)得(a+b+c)2=1,
即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1,
所以3(ab+bc+ca)≤1,即ab+bc+ca≤.5分
(2)因為+b≥2a,+c≥2b,+a≥2c,
故+++(a+b+c)≥2(a+b+c),
則++≥a+b+c,所以++≥
8、1.10分
[規(guī)律方法] 1.綜合法證明的實質(zhì)是由因?qū)Ч?,其證明的邏輯關(guān)系是:A?B1?B2?…?Bn?B(A為已知條件或數(shù)學(xué)定義、定理、公理,B為要證結(jié)論),它的常見書面表達式是“∵,∴”或“?”.
2.綜合法證明不等式,要著力分析已知與求證之間,不等式的左右兩端之間的差異與聯(lián)系.合理進行轉(zhuǎn)換,恰當選擇已知不等式,這是證明的關(guān)鍵.
[變式訓(xùn)練2] (2017·石家莊調(diào)研)已知函數(shù)f(x)=2|x+1|+|x-2|.
(1)求f(x)的最小值m;
(2)若a,b,c均為正實數(shù),且滿足a+b+c=m,求證:++≥3.
[解] (1)當x<-1時,f(x)=-2(x+1)-(x-2)=
9、-3x>3;2分
當-1≤x<2時,f(x)=2(x+1)-(x-2)=x+4∈[3,6);
當x≥2時,f(x)=2(x+1)+(x-2)=3x≥6.
綜上,f(x)的最小值m=3.5分
(2)證明:a,b,c均為正實數(shù),且滿足a+b+c=3,
因為+++(a+b+c)
=++
≥2=2(a+b+c).8分
(當且僅當a=b=c=1時取“=”)
所以++≥a+b+c,即++≥3.10分
分析法證明不等式
(2015·全國卷Ⅱ)設(shè)a,b,c,d均為正數(shù),且a+b=c+d,證明:
(1)若ab>cd,則+>+;
(2)+>+是|a-b|<|c-d|的充要條件.
10、[證明] (1)∵a,b,c,d為正數(shù),且a+b=c+d,
欲證+>+,
只需證明(+)2>(+)2,
也就是證明a+b+2>c+d+2,
只需證明>,即證ab>cd.
由于ab>cd,
因此+>+.5分
(2)①若|a-b|<|c-d|,則(a-b)2<(c-d)2,
即(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd.
因為a+b=c+d,所以ab>cd.
由(1),得+>+.8分
②若+>+,則(+)2>(+)2,
即a+b+2>c+d+2.
因為a+b=c+d,所以ab>cd.
于是(a-b)2=(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd=(c-d)2.
因此|
11、a-b|<|c-d|.
綜上,+>+是|a-b|<|c-d|的充要條件.10分
[規(guī)律方法] 1.本題將不等式證明與充要條件的判定滲透命題,考查推理論證能力和轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法,由于兩個不等式兩邊都是正數(shù),可通過兩邊平方來證明.
2.當要證的不等式較難發(fā)現(xiàn)條件和結(jié)論之間的關(guān)系時,可用分析法來尋找證明途徑,使用分析法證明的關(guān)鍵是推理的每一步必須可逆.
3.分析法證明的思路是“執(zhí)果索因”,其框圖表示為:
→→→…→
[變式訓(xùn)練3] 已知a>b>c,且a+b+c=0,求證:<a.
[證明] 要證<a,只需證b2-ac<3a2.
∵a+b+c=0,只需證b2+a(a+b)<3a2,
12、
只需證2a2-ab-b2>0,4分
只需證(a-b)(2a+b)>0,
只需證(a-b)(a-c)>0.
∵a>b>c,∴a-b>0,a-c>0,
∴(a-b)(a-c)>0顯然成立,
故原不等式成立.10分
[思想與方法]
1.比較法:作差比較法主要判斷差值與0的大小,作商比較法關(guān)鍵在于判定商值與1的大小(一般要求分母大于0).
2.分析法:B?B1?B2?…?Bn?A(結(jié)論).
(步步尋求不等式成立的充分條件)(已知).
3.綜合法:A?B1?B2?…?Bn?B(已知).
(逐步推演不等式成立的必要條件)(結(jié)論).
[易錯與防范]
1.使用平均值不等式時易忽視等號成立的條件.
2.用分析法證明數(shù)學(xué)問題時,要注意書寫格式的規(guī)范性,常常用“要證(欲證)…”“即要證…”“就要證…”等分析到一個明顯成立的結(jié)論,再說明所要證明的數(shù)學(xué)問題成立.