12、知實(shí)數(shù)x,y滿足,若目標(biāo)函數(shù)z=x+ay取得最小值的最優(yōu)解有無數(shù)多個(gè),則z=x+ay的最大值為_________.
考向四 利用線性規(guī)劃解決實(shí)際問題
用線性規(guī)劃求解實(shí)際問題的一般步驟為：
（1）模型建立：正確理解題意，將一般文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，進(jìn)而建立數(shù)學(xué)模型，這需要在學(xué)習(xí)有關(guān)例題解答時(shí)，仔細(xì)體會(huì)范例給出的模型建立方法．
（2）模型求解：畫出可行域，并結(jié)合所建立的目標(biāo)函數(shù)的特點(diǎn)，選定可行域中的特殊點(diǎn)作為最優(yōu)解．
（3）模型應(yīng)用：將求解出來的結(jié)論反饋到具體的實(shí)例中，設(shè)計(jì)出最佳的方案．
注意：（1）在實(shí)際應(yīng)用問題中變量除受題目要求的條件制約外，可能還有一些隱含的制約條件不要忽略.
13、
（2）線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)整數(shù)解不一定在可行域的頂點(diǎn)或邊界處取得，此時(shí)不能直接代入頂點(diǎn)坐標(biāo)求最值，可用平移直線法、檢驗(yàn)優(yōu)值法、調(diào)整優(yōu)值法求解.
典例6 下表所示為三種食物的維生素含量及成本，某食品廠欲將三種食物混合，制成至少含44000單位維生素及48000單位維生素的混合物100千克，所用的食物的質(zhì)量分別為（千克），則混合物的成本最少為__________元．
維生素（單位：千克）
400
600
400
維生素（單位：千克）
800
200
400
成本（元/千克）
12
10
8
【答案】960
當(dāng)直線過可行域內(nèi)的點(diǎn)，即千克，千克，
14、千克時(shí)，成本最少，為元．
典例7 某家具廠有方木料，五合板，準(zhǔn)備加工成書桌和書櫥出售.已知生產(chǎn)每張書桌需要方木料、五合板；生產(chǎn)每個(gè)書櫥需要方木料、五合板.出售一張書桌可獲利潤80元，出售一個(gè)書櫥可獲利潤120元，怎樣安排生產(chǎn)可使所得利潤最大？最大利潤為多少？
【解析】設(shè)生產(chǎn)書桌x張，書櫥y個(gè)，利潤總額為z元，則，即，.作出表示的可行域，如圖中陰影部分所示.
4．某企業(yè)生產(chǎn)A,B兩種產(chǎn)品,生產(chǎn)1噸A種產(chǎn)品需要煤4噸、電18千瓦;生產(chǎn)1噸B種產(chǎn)品需要煤1噸、電15千瓦.現(xiàn)因條件限制,該企業(yè)僅有煤10噸,并且供電局只能供電66千瓦,若生產(chǎn)1噸A種產(chǎn)品的利潤為10000元;生產(chǎn)1噸B種
15、產(chǎn)品的利潤是5000元,試問該企業(yè)如何安排生產(chǎn),才能獲得最大利潤?
考向五 非線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題
1．斜率問題是線性規(guī)劃延伸變化的一類重要問題，其本質(zhì)仍然是二元函數(shù)的最值問題，不過是用模型形態(tài)呈現(xiàn)的.因此有必要總結(jié)常見模型或其變形形式.
2．距離問題常涉及點(diǎn)到直線的距離和兩點(diǎn)間的距離，熟悉這些模型有助于更好地求解非線性目標(biāo)函數(shù)的最值.
典例8 已知實(shí)數(shù)x、y滿足不等式組,若x2+y2的最大值為m,最小值為n,則m-n=
A． B．
C．8
16、 D．9
【答案】B
x2+y2表示平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離的平方,觀察圖形可知,原點(diǎn)到直線x+y-3=0的距離|OD|的平方等于n,|OA|2=m,經(jīng)過計(jì)算可得m=13,n=,則m-n=,故選B.
典例9 已知x,y滿足,如果目標(biāo)函數(shù)z=的取值范圍為[0,2),則實(shí)數(shù)m的取值范圍為
A．[0,] B．(-∞,]
C．(-∞,) D．(-∞,0]
【答案】C
【解析】作出表示的可行域，如圖中陰影部
17、分所示.
5．已知實(shí)數(shù)x,y滿足條件,則|3x-4y-13|的最小值為_________.
1．在不等式表示的平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)是
A． B．
C． D．
2．若x,y滿足約束條件，則z=x+2y的取值范圍是
A．[0,6] B．[0,4]
C．[6,+∞) D．[4,+∞)
3．在平面直角坐標(biāo)系中，
18、不等式組表示的平面區(qū)域的面積為
A．4 B．8
C．12 D．16
4．已知實(shí)數(shù)x,y滿足，若目標(biāo)函數(shù)z=x-y的最小值為-1,則實(shí)數(shù)m的值為
A．6 B．5
C．4 D．3
5．設(shè)x,y滿足,若M=3x+y,N=()x-,則
A．M>N
19、 B．M=N
C．M0,b>0)的最大值為10,則a2+b2+2a的最小值為
A． B．
C． D．
7．關(guān)于實(shí)數(shù)x，y的不等式組所表示的平面區(qū)域記為M，不等式(x﹣4)2+(y﹣3)2≤1所表示的區(qū)域記為N，若在M內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自N的概率為
20、
A． B．
C． D．
8．某顏料公司生產(chǎn)、兩種產(chǎn)品，其中生產(chǎn)每噸產(chǎn)品需要甲染料噸，乙染料噸，丙染料噸；生產(chǎn)每噸產(chǎn)品需要甲染料噸，乙染料噸，丙染料噸，且該公司一天之內(nèi)甲、乙、丙三種染料的用量分別不超過噸、噸、噸，如果產(chǎn)品的利潤為元/噸，產(chǎn)品的利潤為元/噸，則該顏料公司一天內(nèi)可獲得的最大利潤為
A．元 B．元
C．元
21、D．元
9．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)為邊界及內(nèi)部的任意一點(diǎn)，則的最大值為______________.
10．已知實(shí)數(shù)滿足則的最大值為______________.
11．若函數(shù)（且）的圖象經(jīng)過不等式組所表示的平面區(qū)域，則 的取值范圍是______________.
12．已知x,y滿足約束條件(x-2)(x+2y-4)≤0,則x2+y2的最小值為______________.
13．已知實(shí)數(shù)x,y滿足,則S=的取值范圍是______________.
14．已知點(diǎn)，，．若平面區(qū)域D由所有滿足的點(diǎn)組成，則D的面積為______________.
15．設(shè)變量x,y滿足約束條
22、件,目標(biāo)函數(shù)z=x+6y的最大值為m,則當(dāng)2a+b=(a>0,b>0)時(shí),+ 的最小值為______________.
16．某公司計(jì)劃2017年在甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)做總時(shí)間不超過300分鐘的廣告，廣告總費(fèi)用不超過9萬元，甲、乙電視臺(tái)的廣告收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)分別為500元/分鐘和200元/分鐘.假定甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)為該公司所做的每分鐘廣告能給公司帶來的收益分別為0.3萬元和0.2萬元.問：該公司如何分配在甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)的廣告時(shí)間，才能使公司的收益最大，最大收益是多少萬元？
1．（2017新課標(biāo)全國Ⅰ文科）設(shè)x，y滿足約束條件則z=x+y的最大值為
A．0
23、 B．1
C．2 D．3
2．（2017浙江）若，滿足約束條件，則的取值范圍是
A．[0，6] B．[0，4]
C．[6， D．[4，
3．（2017新課標(biāo)全國Ⅱ文科）設(shè)滿足約束條件則的最小值是
A． B．
C． D．
4．（201
24、6浙江文科）若平面區(qū)域 夾在兩條斜率為1的平行直線之間，則這兩條平行直線間的距離的最小值是
A． B．
C． D．
5．（2016新課標(biāo)全國Ⅰ文科）某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料.生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5個(gè)工時(shí)；生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3個(gè)工時(shí)，生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤為2100元，生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤為900元。該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150 kg，乙材料90 kg，則在不超過600個(gè)工時(shí)的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)
25、品A、產(chǎn)品B的利潤之和的最大值為 元.
6．（2016江蘇）已知實(shí)數(shù)滿足 ，則的取值范圍是 ．
7．（2017天津文科）電視臺(tái)播放甲、乙兩套連續(xù)劇，每次播放連續(xù)劇時(shí)，需要播放廣告．已知每次播放甲、乙兩套連續(xù)劇時(shí)，連續(xù)劇播放時(shí)長、廣告播放時(shí)長、收視人次如下表所示：
連續(xù)劇播放時(shí)長（分鐘）
廣告播放時(shí)長（分鐘）
收視人次（萬）
甲
70
5
60
乙
60
5
25
已知電視臺(tái)每周安排的甲、乙連續(xù)劇的總播放時(shí)間不多于600分鐘，廣告的總播放時(shí)間不少于30分鐘，且甲連續(xù)劇播放的次數(shù)不多于乙連續(xù)劇播放次數(shù)的2倍．分別用，表示每周計(jì)劃播出的甲、乙兩
26、套連續(xù)劇的次數(shù)．
（Ⅰ）用，列出滿足題目條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式，并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域；
（Ⅱ）問電視臺(tái)每周播出甲、乙兩套連續(xù)劇各多少次，才能使收視人次最多？
變式拓展
1．【答案】B
【解析】如圖，
由于不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)?，且其面積等于，
2．【答案】B
【解析】畫出不等式組表示的可行域，如圖中陰影部分所示，
平移直線，可知當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最小值，為6.故選B．
3．【答案】
【解析】作出不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示,易得A(3,2),B(1,4),C(,).
4．【解析】設(shè)生產(chǎn)A種產(chǎn)品x噸
27、、B種產(chǎn)品y噸,能夠產(chǎn)生利潤z元,目標(biāo)函數(shù)為
由題意得滿足條件，作出該不等式組表示的可行域，如圖中陰影部分所示：
5．【答案】10
【解析】方法一：設(shè)z=3x-4y,作出約束條件表示的可行域,如圖中陰影部分所示,
通過平移直線l:3x-4y-z=0知,當(dāng)l過點(diǎn)A(1,0)時(shí),zmax=3；當(dāng)l過點(diǎn)C(1,)時(shí),zmin=,
則10≤|3x-4y-13|≤,所以|3x-4y-13|的最小值為10.
方法二：因?yàn)閨3x-4y-13|=5×,所以求|3x-4y-13|的最小值可以轉(zhuǎn)化為求可行域內(nèi)的點(diǎn)P(x,y)到直線3x-4y-13=0的距離的最小值的5倍. 作出約束條件表示
28、的可行域,如方法一的圖中陰影部分所示.由圖可知,當(dāng)點(diǎn)P位于A(1,0)位置時(shí),P到直線3x-4y-13=0的距離最小,為d==2,所以|3x-4y-13|的最小值為10.
考點(diǎn)沖關(guān)
1．【答案】B
2．【答案】D
【解析】作出不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示,
由z=x+2y,得y=x+,∴是直線y=x+在y軸上的截距,根據(jù)圖形知,當(dāng)直線y=x+過A點(diǎn)時(shí),取得最小值.
由得x=2,y=1,即A(2,1),此時(shí)z=4,∴z≥4,故選D.
3．【答案】B
【解析】作出不等式組所表示的平面區(qū)域,如圖中陰影部分所示,
該平面區(qū)域是兩個(gè)全等的等腰直角三角形,
29、所以平面區(qū)域的面積為S=
4．【答案】B
【解析】由得,作出不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示,
5．【答案】A
【解析】作出不等式組表示的平面區(qū)域,如圖中陰影部分所示,
由此可知一定有M>N,選A.
6．【答案】C
【解析】方法一：由題意知,不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示,因?yàn)閍>0,b>0,所以由可行域得當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過點(diǎn)(4,6)時(shí)，z取得最大值,所以4a+6b=10.a2+b2+2a=(a+1)2+b2-1的幾何意義是直線4a+6b=10上任意一點(diǎn)(a,b)到點(diǎn)(-1,0)的距離的平方減去1,那么其最小值是點(diǎn)(-1,0)到直線4a+6b=
30、10的距離的平方減去1,則a2+b2+2a的最小值是()2-1=.
方法二：由題意知,不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示,因?yàn)閍>0,b>0,所以
7．【答案】A
【解析】關(guān)于實(shí)數(shù)x，y的不等式組所表示的平面區(qū)域記為M，面積為，不等式(x﹣4)2+(y﹣3)2≤1所表示的區(qū)域記為N，且滿足不等式組，則面積為,
故在M內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自N的概率為，故選A.
8．【答案】A
【解析】依題意，將題中數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下表所示：
每噸產(chǎn)品
每噸產(chǎn)品
染料最高用量
甲染料（單位：噸）
乙染料（單位：噸）
丙染料（單位：噸）
設(shè)該
31、公司一天內(nèi)安排生產(chǎn)產(chǎn)品噸、產(chǎn)品噸，所獲利潤為元.依據(jù)題意得目標(biāo)函數(shù)為，約束條件為，欲求目標(biāo)函數(shù)的最大值，先畫出約束條件表示的可行域，如圖中陰影部分所示，
9．【答案】3
【解析】依題意，作出可行域，設(shè)，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，有最大值3，故填3.
10．【答案】4
【解析】作出不等式組所表示的平面區(qū)域如下圖陰影區(qū)域所示，要想取得最大值，只需取得最大值即可.觀察可知，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，有最大值16，故的最大值為4.
11．【答案】
【解析】作出不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示：
12．【答案】
13．【答案】[,4]
【解析】作出表示的平面區(qū)域，如圖中
32、陰影部分所示.
易知目標(biāo)函數(shù)S=+·,它表示可行域內(nèi)的點(diǎn)與Q(,-)連線的斜率的一半再
加上，易得A(1,3)、B(3,1),所以直線QA的斜率kQA=7,直線QB的斜率kQB=,
數(shù)形結(jié)合可知,+kQB≤S≤+kQA,所以S=的取值范圍是[,4].
14．【答案】3
可得，，，則，
又直線與直線間的距離，
故D的面積為.
15．【答案】9
【解析】作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示.
成立).
16．【解析】設(shè)公司在甲電視臺(tái)和乙電視臺(tái)做廣告的時(shí)間分別為x分鐘和y分鐘，總收益為z元，
由題意得，目標(biāo)函數(shù)為．
二元一次不等式組等價(jià)于，作出該二
33、元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域，如
圖中陰影部分所示：
如圖，作直線，即．
收益為70萬元.
直通高考
1．【答案】D
【解析】如圖，作出不等式組表示的可行域，則目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過時(shí)z取得最大值，故，故選D．
【名師點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃問題，首先由不等式組作出相應(yīng)的可行域，并明確可行域?qū)?yīng)的是封閉區(qū)域還是開放區(qū)域、分界線是實(shí)線還是虛線，其次確定目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，是求直線的截距、兩點(diǎn)間距離的平方、直線的斜率、還是點(diǎn)到直線的距離等等，最后結(jié)合圖形確定目標(biāo)函數(shù)的最值取法或值域范圍．
2．【答案】D
【解析】如圖，可行域?yàn)橐婚_放區(qū)域，所以直線過點(diǎn)時(shí)取最小值4
34、，無最大值，選D．
【名師點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃問題，首先由不等式組作出相應(yīng)的可行域，作圖時(shí)，可將不等式轉(zhuǎn)化為（或），“”取下方，“”取上方，并明確可行域?qū)?yīng)的是封閉區(qū)域還是開放區(qū)域、分界線是實(shí)線還是虛線，其次確定目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，是求直線的截距、兩點(diǎn)間距離的平方、直線的斜率、還是點(diǎn)到直線的距離等等，最后結(jié)合圖形確定目標(biāo)函數(shù)最值取法、值域范圍．
3．【答案】A
【名師點(diǎn)睛】線性規(guī)劃的實(shí)質(zhì)是把代數(shù)問題幾何化，即數(shù)形結(jié)合的思想.需要注意的是：一，準(zhǔn)確無誤地作出可行域；二，畫目標(biāo)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的直線時(shí)，要注意與約束條件中的直線的斜率進(jìn)行比較，避免出錯(cuò)；三，一般情況下，目標(biāo)函數(shù)的最大或
35、最小值會(huì)在可行域的端點(diǎn)或邊界上取得.
4．【答案】B
【解析】畫出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，
【名師點(diǎn)睛】先根據(jù)不等式組畫出可行域，再根據(jù)可行域的特點(diǎn)確定取得最值的最優(yōu)解，代入計(jì)算．畫不等式組所表示的平面區(qū)域時(shí)要注意通過特殊點(diǎn)驗(yàn)證，防止出現(xiàn)錯(cuò)誤．
5．【答案】
【解析】設(shè)生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B分別為、件，利潤之和為元，那么由題意得約束條件 目標(biāo)函數(shù).
約束條件等價(jià)于 ①
作出二元一次不等式組①表示的平面區(qū)域，即可行域，如圖中陰影部分所示.
將變形，得，作直線：并平移，當(dāng)直線經(jīng)
【名師點(diǎn)睛】線性規(guī)劃也是高考中?？嫉闹R(shí)點(diǎn),一般以客觀題的形式出現(xiàn),基本題型是給
36、出約束條件求目標(biāo)函數(shù)的最值,常見的結(jié)合方式有：縱截距、斜率、兩點(diǎn)間的距離、點(diǎn)到直線的距離,解決此類問題常利用數(shù)形結(jié)合.本題運(yùn)算量較大,失分的一個(gè)主要原因是運(yùn)算失誤.
6．【答案】
【解析】畫出不等式組表示的平面區(qū)域（圖略），由圖可知原點(diǎn)到直線的距離的平方為 的最小值，計(jì)算得最小值為，原點(diǎn)到直線與的交點(diǎn) 的距離的平方為的最大值，計(jì)算得最大值為，因此的取值范圍為
【名師點(diǎn)睛】線性規(guī)劃問題，首先明確可行域?qū)?yīng)的是封閉區(qū)域還是開放區(qū)域、分界線是實(shí)線還是虛線（一般不涉及虛線），其次確定目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，是求直線的截距、兩點(diǎn)間距離的平方、直線的斜率、還是點(diǎn)到直線的距離等，最后結(jié)合圖形確定目標(biāo)函
37、數(shù)的最值或值域.
7．【思路分析】（Ⅰ）根據(jù)甲、乙連續(xù)劇總的播放時(shí)間不多于600分鐘，可得，根據(jù)廣告時(shí)間不少于30分鐘，得到，根據(jù)甲連續(xù)劇播放的次數(shù)不多于乙連續(xù)劇播放次數(shù)的2倍，可得，同時(shí)注意，需滿足，這一隱含條件，建立不等式組，畫出平面區(qū)域；（Ⅱ）根據(jù)的幾何意義即可求最值，同時(shí)注意，．
【解析】（Ⅰ）由已知，滿足的數(shù)學(xué)關(guān)系式為，即．
該二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)閳D1中陰影部分內(nèi)的整點(diǎn)（包括邊界）：
（圖1） （圖2）
所以，電視臺(tái)每周播出甲連續(xù)劇6次、乙連續(xù)劇3次時(shí)才能使總收視人次最多．
【名師點(diǎn)睛】本題主要考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃．解決此類問題的關(guān)鍵是正確畫出不等式組表示的平面區(qū)域，然后根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求最值．求目標(biāo)函數(shù)的最值的一般步驟為：一畫、二移、三求，其關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出可行域，理解目標(biāo)函數(shù)的幾何意義．常見的目標(biāo)函數(shù)有：①截距型：形如，求這類目標(biāo)函數(shù)的最值常將函數(shù)轉(zhuǎn)化為直線的斜截式：，通過求直線的截距的最值間接求出的最值；②距離型：形如；③斜率型：形如．本題屬于截距型，同時(shí)應(yīng)注意實(shí)際問題中的最優(yōu)解一般是整數(shù)．
- 35 -
（全國通用）2018年高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)一遍過 專題25 二元一次不等式（組）與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題（含解析）文
