創(chuàng)新方案高考人教版數學理總復習練習：選修4－4 坐標系與參數方程 課時作業(yè)73 Word版含解析

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1、 課時作業(yè)73　參數方程 1．(2016·全國卷Ⅲ)在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數方程為(α為參數)．以坐標原點為極點，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρsin＝2. (1)寫出C1的普通方程和C2的直角坐標方程； (2)設點P在C1上，點Q在C2上，求|PQ|的最小值及此時P的直角坐標． 解：(1)C1的普通方程為＋y2＝1. C2的直角坐標方程為x＋y－4＝0. (2)由題意，可設點P的直角坐標為(cos α，sin α)．因為C2是直線，所以|PQ|的最小值即為P到C2的距離d(α)的最小值， d(α)＝＝. 當且僅當α＝2kπ＋(k∈Z

2、)時，d(α)取得最小值，最小值為，此時P的直角坐標為. 2．(2019·南昌一模)在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為(φ為參數)．以坐標原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為ρsin θ－kρcos θ＋k＝0(k∈R)． (1)請寫出曲線C的普通方程與直線l的一個參數方程； (2)若直線l與曲線C交于點A，B，且點M(1,0)為線段AB的一個三等分點，求|AB|. 解：(1)由題意知，曲線C的普通方程為＋＝1. 直線l的直角坐標方程為y＝k(x－1)，其一個參數方程為(t為參數)． (2)聯立(1)中直線l的參數方程與曲線C的普通方程并化

3、簡得(3＋sin2α)t2＋6tcos α－9＝0， 設點A，B對應的參數分別為t1，t2， ∴① 不妨設t1>0，t2<0，t1＝－2t2，代入①中得cos2α＝，sin2α＝. |AB|＝|t1－t2|＝＝＝. 3．(2019·河北衡水中學模擬)在極坐標系中，曲線C1的極坐標方程是ρ＝，在以極點為原點O，極軸為x軸正半軸(兩坐標系取相同的單位長度)的直角坐標系xOy中，曲線C2的參數方程為(θ為參數)． (1)求曲線C1的直角坐標方程與曲線C2的普通方程； (2)將曲線C2經過伸縮變換后得到曲線C3，若M、N分別是曲線C1和曲線C3上的動點，求|MN|的最小值． 解：(1)

4、∵C1的極坐標方程是 ρ＝， ∴4ρcos θ＋3ρsin θ＝24， ∴4x＋3y－24＝0， 故C1的直角坐標方程為4x＋3y－24＝0. ∵曲線C2的參數方程為 ∴x2＋y2＝1， 故C2的普通方程為x2＋y2＝1. (2)將曲線C2經過伸縮變換后得到曲線C3，則曲線C3的參數方程為(α為參數)．設N(2·cos α，2sin α)，則點N到曲線C1的距離 d＝ ＝ ＝ . 當sin(α＋φ)＝1時，d有最小值， 所以|MN|的最小值為. 4．已知直線l的參數方程為(t為參數)，以坐標原點為極點，x軸的非負半軸為極軸，建立極坐標系，圓C的極坐標方程為ρ＝4c

5、os θ，直線l與圓C交于A，B兩點． (1)求圓C的直角坐標方程及弦AB的長； (2)動點P在圓C上(不與A，B重合)，試求△ABP的面積的最大值． 解：(1)由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ， 所以x2＋y2－4x＝0，所以圓C的直角坐標方程為(x－2)2＋y2＝4. 設A，B對應的參數分別為t1，t2. 將直線l的參數方程代入圓C： (x－2)2＋y2＝4，并整理得t2＋2t＝0， 解得t1＝0，t2＝－2. 所以直線l被圓C截得的弦AB的長為 |t1－t2|＝2. (2)由題意得，直線l的普通方程為x－y－4＝0. 圓C的參數方程為(θ為參數)， 可設

6、圓C上的動點P(2＋2cos θ，2sin θ)， 則點P到直線l的距離 d＝＝， 當cos＝－1時，d取得最大值，且d的最大值為2＋. 所以S△ABP＝×2×(2＋)＝2＋2， 即△ABP的面積的最大值為2＋2. 5．(2019·鄭州測試)在直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為(t為參數，α∈[0，π))．以原點O為極點，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系．設曲線C的極坐標方程為ρcos2θ＝4sin θ. (1)設M(x，y)為曲線C上任意一點，求x＋y的取值范圍； (2)若直線l與曲線C交于不同的兩點A，B，求|AB|的最小值． 解：(1)將曲線C的極坐標方程ρcos

7、2θ＝4sin θ化為直角坐標方程，得x2＝4y. ∵M(x，y)為曲線C上任意一點， ∴x＋y＝x＋x2＝(x＋2)2－1， ∴x＋y的取值范圍是[－1，＋∞)． (2)將代入x2＝4y， 得t2cos2 α－4tsin α－4＝0. ∴Δ＝16sin2α＋16cos2α＝16>0， 設方程t2cos2α－4tsin α－4＝0的兩個根為t1，t2， 則t1＋t2＝，t1t2＝， ∴|AB|＝|t1－t2|＝＝≥4，當且僅當α＝0時，取等號． 故當α＝0時，|AB|取得最小值4. 6．(2019·廣州調研)在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數方程為(α為參數)，將曲線C

8、1經過伸縮變換后得到曲線C2.在以原點為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，直線l的極坐標方程為ρcos θ－ρsin θ－10＝0. (1)說明曲線C2是哪一種曲線，并將曲線C2的方程化為極坐標方程； (2)已知點M是曲線C2上的任意一點，求點M到直線l的距離的最大值和最小值． 解：(1)因為曲線C1的參數方程為 (α為參數)，且 所以曲線C2的參數方程為 所以C2的普通方程為x2＋y2＝4， 所以C2為圓心在原點，半徑為2的圓， 所以C2的極坐標方程為ρ2＝4， 即ρ＝2(θ∈R)． (2)解法一　直線l的直角坐標方程為x－y－10＝0，設M(2cos α，2sin α

9、)(α為參數)． 曲線C2上的點M到直線l的距離 d＝＝. 當cos＝1，即α＝2kπ－(k∈Z)時，d取得最小值，為＝5－2. 當cos＝－1，即α＝＋2kπ(k∈Z)時，d取得最大值，為＝2＋5. 解法二　直線l的直角坐標方程為 x－y－10＝0. 因為圓C2的半徑r＝2，且圓心到直線l的距離d＝＝5>2， 所以直線l與圓C2相離． 所以圓C2上的點M到直線l的距離的最大值為d＋r＝5＋2， 最小值為d－r＝5－2. 7．(2019·洛陽統(tǒng)考)在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數方程為(t為參數，m∈R)，以原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極

10、坐標方程為ρ2＝(0≤θ≤π)． (1)寫出曲線C1的普通方程和曲線C2的直角坐標方程； (2)已知點P是曲線C2上一點，若點P到曲線C1的最小距離為2，求m的值． 解：(1)由曲線C1的參數方程消去參數t，可得C1的普通方程為x－y＋m＝0. 由曲線C2的極坐標方程得 3ρ2－2ρ2cos2θ＝3，θ∈[0，π]， ∴曲線C2的直角坐標方程為 ＋y2＝1(0≤y≤1)． (2)設曲線C2上任意一點P的坐標為 (cos α，sin α)，α∈[0，π]， 則點P到曲線C1的距離 d＝＝. ∵α∈[0，π]，∴cos∈，2cos∈[－2，]， 由點P到曲線C1的最小距離

11、為2得， 若m＋<0，則m＋＝－4， 即m＝－4－. 若m－2>0，則m－2＝4，即m＝6. 若m－2<0，m＋>0， 當|m＋|≥|m－2|，即m≥時， －m＋2＝4，即m＝－2，不合題意，舍去； 當|m＋|<|m－2|，即m<時， m＋＝4，即m＝4－，不合題意，舍去． 綜上，m＝－4－或m＝6. 8．(2019·成都診斷)在直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為(α為參數)，直線l的參數方程為(t為參數)．在以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，過極點O的射線與曲線C相交于不同于極點的點A，且點A的極坐標為(2，θ)，其中θ∈. (1)求θ的值； (2)若射線OA與直線l相交于點B，求|AB|的值． 解：(1)由題意知，曲線C的普通方程為 x2＋(y－2)2＝4， ∵x＝ρcos θ，y＝ρsin θ， ∴曲線C的極坐標方程為 (ρcos θ)2＋(ρsin θ－2)2＝4， 即ρ＝4sin θ. 由ρ＝2，得sin θ＝， ∵θ∈，∴θ＝. (2)易知直線l的普通方程為 x＋y－4＝0， ∴直線l的極坐標方程為 ρcos θ＋ρsin θ－4＝0. 又射線OA的極坐標方程為θ＝(ρ≥0)， 聯立 解得ρ＝4. ∴點B的極坐標為， ∴|AB|＝|ρB－ρA|＝4－2＝2.