【名校資料】高考理科導學案【第七章】不等式、推理與證明 學案39

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1、◆+◆◆二〇一九高考數學學習資料◆+◆◆ 學案39　數學歸納法 導學目標： 1.了解數學歸納法的原理.2.能用數學歸納法證明一些簡單的數學命題． 自主梳理 1．歸納法 由一系列有限的特殊事例得出________的推理方法叫歸納法．根據推理過程中考查的對象是涉及事物的全體或部分可分為____歸納法和________歸納法． 2．數學歸納法 設{Pn}是一個與正整數相關的命題集合，如果：(1)證明起始命題________(或________)成立；(2)在假設______成立的前提下，推出________也成立，那么可以斷定{Pn}對一切正整數成立． 3．數學歸納法證題的步

2、驟 (1)(歸納奠基)證明當n取第一個值__________時命題成立． (2)(歸納遞推)假設______________________________時命題成立，證明當________時命題也成立．只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數n都成立． 自我檢測 1．用數學歸納法證明：“1＋a＋a2＋…＋an＋1＝ (a≠1)”在驗證n＝1時，左端計算所得的項為(　　) A．1 B．1＋a C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3 2．如果命題P(n)對于n＝k (k∈N*)時成立，則它對n＝k＋2也成立，又若P(n)對于n＝2時成立，則下

3、列結論正確的是(　　) A．P(n)對所有正整數n成立 B．P(n)對所有正偶數n成立 C．P(n)對所有正奇數n成立 D．P(n)對所有大于1的正整數n成立 3．(2011·臺州月考)證明<1＋＋＋＋…＋1)，當n＝2時，中間式子等于(　　) A．1 B．1＋ C．1＋＋ D．1＋＋＋ 4．用數學歸納法證明“2n>n2＋1對于n>n0的正整數n都成立”時，第一步證明中的起始值n0應取(　　) A．2 B．3 C．5 D．6 5．用數學歸納法證明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3 (n∈N*)能被9整除”，要利用歸納假設證

4、n＝k＋1時的情況，只需展開(　　) A．(k＋3)3 B．(k＋2)3 C．(k＋1)3 D．(k＋1)3＋(k＋2)3 探究點一　用數學歸納法證明等式 例1　對于n∈N*，用數學歸納法證明： 1·n＋2·(n－1)＋3·(n－2)＋…＋(n－1)·2＋n·1＝n(n＋1)(n＋2)． 變式遷移1　(2011·金華月考)用數學歸納法證明： 對任意的n∈N*,1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋. 探究點二　用數學歸納法證明不等式 例2　用數學歸納法證明：對一切大于1的自然數，不等式…>均成立．

5、 變式遷移2　已知m為正整數，用數學歸納法證明：當x>－1時，(1＋x)m≥1＋mx. 探究點三　用數學歸納法證明整除問題 例3　用數學歸納法證明：當n∈N*時，an＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除． 變式遷移3　用數學歸納法證明：當n為正整數時，f(n)＝32n＋2－8n－9能被64整除． 從特殊到一般的思想 例　(14分)已知等差數列{an}的公差d大于0，且a2、a5是方程x2－12x＋27＝0的兩

6、根，數列{bn}的前n項和為Tn，且Tn＝1－bn. (1)求數列{an}、{bn}的通項公式； (2)設數列{an}的前n項和為Sn，試比較與Sn＋1的大小，并說明理由． 【答題模板】 解　(1)由已知得，又∵{an}的公差大于0， ∴a5>a2，∴a2＝3，a5＝9.∴d＝＝＝2，a1＝1， ∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.[2分] ∵Tn＝1－bn，∴b1＝，當n≥2時，Tn－1＝1－bn－1， ∴bn＝Tn－Tn－1＝1－bn－， 化簡，得bn＝bn－1，[4分] ∴{bn}是首項為，公比為的等比數列， 即bn＝·n－1＝， ∴an＝2n－1，bn＝.[6

7、分] (2)∵Sn＝n＝n2，∴Sn＋1＝(n＋1)2，＝. 以下比較與Sn＋1的大小： 當n＝1時，＝，S2＝4，∴S5. 猜想：n≥4時，>Sn＋1.[9分] 下面用數學歸納法證明： ①當n＝4時，已證． ②假設當n＝k (k∈N*，k≥4)時，>Sk＋1，即>(k＋1)2.[10分] 那么，n＝k＋1時，＝＝3·>3(k＋1)2＝3k2＋6k＋3＝(k2＋4k＋4)＋2k2＋2k－1>[(k＋1)＋1]2＝S(k＋1)＋1，∴n＝k＋1時，>Sn＋1也成立

8、．[12分] 由①②可知n∈N*，n≥4時，>Sn＋1都成立． 綜上所述，當n＝1,2,3時，Sn＋1.[14分] 【突破思維障礙】 1．歸納——猜想——證明是高考重點考查的內容之一，此類問題可分為歸納性問題和存在性問題，本例中歸納性問題需要從特殊情況入手，通過觀察、分析、歸納、猜想，探索出一般規(guī)律． 2．數列是定義在N*上的函數，這與數學歸納法運用的范圍是一致的，并且數列的遞推公式與歸納原理實質上是一致的，數列中有不少問題常用數學歸納法解決． 【易錯點剖析】 1．嚴格按照數學歸納法的三個步驟書寫，特別是對初始值的驗證不可省略，有時要取兩個(或兩個以上)

9、初始值進行驗證；初始值的驗證是歸納假設的基礎． 2．在進行n＝k＋1命題證明時，一定要用n＝k時的命題，沒有用到該命題而推理證明的方法不是數學歸納法． 1．數學歸納法：先證明當n取第一個值n0時命題成立，然后假設當n＝k (k∈N*，k≥n0)時命題成立，并證明當n＝k＋1時命題也成立，那么就證明了這個命題成立．這是因為第一步首先證明了n取第一個值n0時，命題成立，這樣假設就有了存在的基礎，至少k＝n0時命題成立，由假設合理推證出n＝k＋1時命題也成立，這實質上是證明了一種循環(huán)，如驗證了n0＝1成立，又證明了n＝k＋1也成立，這就一定有n＝2成立，n＝2成立，則n＝3成立，n＝3成立，

10、則n＝4也成立，如此反復以至無窮，對所有n≥n0的整數就都成立了． 2．(1)第①步驗證n＝n0使命題成立時n0不一定是1，是使命題成立的最小正整數． (2)第②步證明n＝k＋1時命題也成立的過程中一定要用到歸納遞推，否則就不是數學歸納法． (滿分：75分) 一、選擇題(每小題5分，共25分) 1．用數學歸納法證明命題“當n是正奇數時，xn＋yn能被x＋y整除”，在第二步時，正確的證法是(　　) A．假設n＝k(k∈N*)時命題成立，證明n＝k＋1命題成立 B．假設n＝k(k是正奇數)時命題成立，證明n＝k＋1命題成立 C．假設n＝2k＋1 (k∈N*)時命題成立，證

11、明n＝k＋1命題成立 D．假設n＝k(k是正奇數)時命題成立，證明n＝k＋2命題成立 2．已知f(n)＝＋＋＋…＋，則(　　) A．f(n)中共有n項，當n＝2時，f(2)＝＋ B．f(n)中共有n＋1項，當n＝2時，f(2)＝＋＋ C．f(n)中共有n2－n項，當n＝2時，f(2)＝＋ D．f(n)中共有n2－n＋1項，當n＝2時，f(2)＝＋＋ 3．如果命題P(n)對n＝k成立，則它對n＝k＋1也成立，現(xiàn)已知P(n)對n＝4不成立，則下列結論正確的是(　　) A．P(n)對n∈N*成立 B．P(n)對n>4且n∈N*成立 C．P(n)對n<4且n∈N*成立 D．P(n

12、)對n≤4且n∈N*不成立 4．(2011·日照模擬)用數學歸納法證明1＋2＋3＋…＋n2＝，則當n＝k＋1時左端應在n＝k的基礎上加上(　　) A．k2＋1 B．(k＋1)2 C. D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2 5．(2011·湛江月考)已知f(x)是定義域為正整數集的函數，對于定義域內任意的k，若f(k)≥k2成立，則f(k＋1)≥(k＋1)2成立，下列命題成立的是(　　) A．若f(3)≥9成立，且對于任意的k≥1，均有f(k)≥k2成立 B．若f(4)≥16成立，則對于任意的k≥4，均有f(k)

13、對于任意的k<7，均有f(k)的過程中，由n＝k推導n＝k＋1時，不等式的左邊增加的式子是______________． 8．凸n邊形有f(n)條對角線，凸n＋1邊形有f(n＋1)條對角線，則f(n＋1)＝f(n)＋________. 三、解答題(共38分)

14、9．(12分)用數學歸納法證明1＋≤1＋＋＋…＋≤＋n (n∈N*)． 10．(12分)(2011·新鄉(xiāng)月考)數列{an}滿足an>0，Sn＝(an＋)，求S1，S2，猜想Sn，并用數學歸納法證明． 11．(14分)(2011·鄭州月考)已知函數f(x)＝e－(其中e為自然對數的底數)． (1)判斷f(x)的奇偶性； (2)在(－∞，0)上求函數f(x)的極值； (3)用數學歸納法證明：當x>0時，對任意正整數n都有f()

15、般結論　完全　不完全　2.(1)P1　P0　(2)Pk　Pk＋1 3．(1)n0 (n0∈N*)　(2)n＝k (k≥n0，k∈N*)　n＝k＋1 自我檢測 1．C　[當n＝1時左端有n＋2項，∴左端＝1＋a＋a2.] 2．B　[由n＝2成立，根據遞推關系“P(n)對于n＝k時成立，則它對n＝k＋2也成立”，可以推出n＝4時成立，再推出n＝6時成立，…，依次類推，P(n)對所有正偶數n成立”．] 3．D　[當n＝2時，中間的式子 1＋＋＋＝1＋＋＋.] 4．C　[當n＝1時，21＝12＋1； 當n＝2時，22<22＋1；當n＝3時，23<32＋1； 當n＝4時，24<42＋1

16、.而當n＝5時，25>52＋1，∴n0＝5.] 5．A　[假設當n＝k時，原式能被9整除， 即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除． 當n＝k＋1時，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3為了能用上面的歸納假設，只需將(k＋3)3展開，讓其出現(xiàn)k3即可．] 課堂活動區(qū) 例1　解題導引　用數學歸納法證明與正整數有關的一些等式命題，關鍵在于弄清等式兩邊的構成規(guī)律：等式的兩邊各有多少項，由n＝k到n＝k＋1時，等式的兩邊會增加多少項，增加怎樣的項． 證明　設f(n)＝1·n＋2·(n－1)＋3·(n－2)＋…＋(n－1)·2＋n·1. (1)當n＝1時，左邊＝1，右邊＝1，等式

17、成立； (2)假設當n＝k (k≥1且k∈N*)時等式成立， 即1·k＋2·(k－1)＋3·(k－2)＋…＋(k－1)·2＋k·1 ＝k(k＋1)(k＋2)， 則當n＝k＋1時， f(k＋1)＝1·(k＋1)＋2[(k＋1)－1]＋3[(k＋1)－2]＋…＋[(k＋1)－1]·2＋(k＋1)·1 ＝f(k)＋1＋2＋3＋…＋k＋(k＋1) ＝k(k＋1)(k＋2)＋(k＋1)(k＋1＋1) ＝(k＋1)(k＋2)(k＋3)． 由(1)(2)可知當n∈N*時等式都成立． 變式遷移1　證明　(1)當n＝1時， 左邊＝1－＝＝＝右邊， ∴等式成立． (2)假設當n＝k (k

18、≥1，k∈N*)時，等式成立，即 1－＋－＋…＋－ ＝＋＋…＋. 則當n＝k＋1時， 1－＋－＋…＋－＋－ ＝＋＋…＋＋－ ＝＋＋…＋＋＋ ＝＋＋…＋＋＋， 即當n＝k＋1時，等式也成立， 所以由(1)(2)知對任意的n∈N*等式都成立． 例2　解題導引　用數學歸納法證明不等式問題時，從n＝k到n＝k＋1的推證過程中，證明不等式的常用方法有比較法、分析法、綜合法、放縮法等． 證明　(1)當n＝2時，左邊＝1＋＝；右邊＝. ∵左邊>右邊，∴不等式成立． (2)假設當n＝k (k≥2，且k∈N*)時不等式成立， 即…>. 則當n＝k＋1時， … >·＝＝ >＝＝

19、. ∴當n＝k＋1時，不等式也成立． 由(1)(2)知，對于一切大于1的自然數n，不等式都成立． 變式遷移2　證明　(1)當m＝1時，原不等式成立； 當m＝2時，左邊＝1＋2x＋x2，右邊＝1＋2x， 因為x2≥0，所以左邊≥右邊，原不等式成立； (2)假設當m＝k(k≥2，k∈N*)時，不等式成立， 即(1＋x)k≥1＋kx，則當m＝k＋1時， ∵x>－1，∴1＋x>0. 于是在不等式(1＋x)k≥1＋kx兩邊同時乘以1＋x得， (1＋x)k·(1＋x)≥(1＋kx)(1＋x)＝1＋(k＋1)x＋kx2 ≥1＋(k＋1)x. 所以(1＋x)k＋1≥1＋(k＋1)x，

20、 即當m＝k＋1時，不等式也成立． 綜合(1)(2)知，對一切正整數m，不等式都成立． 例3　解題導引　用數學歸納法證明整除問題，由k過渡到k＋1時常使用“配湊法”．在證明n＝k＋1成立時，先將n＝k＋1時的原式進行分拆、重組或者添加項等方式進行整理，最終將其變成一個或多個部分的和，其中每個部分都能被約定的數(或式子)整除，從而由部分的整除性得出整體的整除性，最終證得n＝k＋1時也成立． 證明　(1)當n＝1時，a2＋(a＋1)＝a2＋a＋1能被a2＋a＋1整除． (2)假設當n＝k (k≥1且k∈N*)時， ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除， 則當n＝k＋1時，

21、 ak＋2＋(a＋1)2k＋1＝a·ak＋1＋(a＋1)2(a＋1)2k－1 ＝a·ak＋1＋a·(a＋1)2k－1＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1 ＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1， 由假設可知a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]能被a2＋a＋1整除， ∴ak＋2＋(a＋1)2k＋1也能被a2＋a＋1整除， 即n＝k＋1時命題也成立． 綜合(1)(2)知，對任意的n∈N*命題都成立． 變式遷移3　證明　(1)當n＝1時，f(1)＝34－8－9＝64， 命題顯然成立． (2)假設當n＝k (k≥1，k∈N*)時， f(k)＝32k＋

22、2－8k－9能被64整除． 則當n＝k＋1時， 32(k＋1)＋2－8(k＋1)－9＝9(32k＋2－8k－9)＋9·8k＋9·9－8(k＋1)－9＝9(32k＋2－8k－9)＋64(k＋1) 即f(k＋1)＝9f(k)＋64(k＋1) ∴n＝k＋1時命題也成立． 綜合(1)(2)可知，對任意的n∈N*，命題都成立． 課后練習區(qū) 1．D　[A、B、C中，k＋1不一定表示奇數，只有D中k為奇數，k＋2為奇數．] 2．D 3．D　[由題意可知，P(n)對n＝3不成立(否則P(n)對n＝4也成立)．同理可推P(n)對n＝2，n＝1也不成立．] 4．D　[∵當n＝k時，左端＝1＋2

23、＋3＋…＋k2， 當n＝k＋1時， 左端＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋…＋(k＋1)2， ∴當n＝k＋1時，左端應在n＝k的基礎上加上 (k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2.] 5．D　[f(4)＝25>42，∴k≥4，均有f(k)≥k2. 僅有D選項符合題意．] 6．2k＋1 解析　∵當n＝k＋1時， 左邊＝1＋2＋…＋k＋(k＋1)＋k＋…＋2＋1， ∴從n＝k到n＝k＋1時，應添加的代數式為(k＋1)＋k＝2k＋1. 7. 解析　不等式的左邊增加的式子是 ＋－＝. 8．n－1 解析　∵f(4)＝f(3)＋2，f(5)＝f(4)＋

24、3， f(6)＝f(5)＋4，…，∴f(n＋1)＝f(n)＋n－1. 9．證明　(1)當n＝1時，左邊＝1＋，右邊＝＋1， ∴≤1＋≤，命題成立．(2分) 當n＝2時，左邊＝1＋＝2；右邊＝＋2＝， ∴2<1＋＋＋<，命題成立．(4分) (2)假設當n＝k(k≥2，k∈N*)時命題成立， 即1＋<1＋＋＋…＋<＋k，(6分) 則當n＝k＋1時， 1＋＋＋…＋＋＋＋…＋>1＋＋2k·＝1＋.(8分) 又1＋＋＋…＋＋＋＋…＋<＋k＋2k·＝＋(k＋1)， 即n＝k＋1時，命題也成立．(10分) 由(1)(2)可知，命題對所有n∈N*都成立．(12分) 10．解　∵an>

25、0，∴Sn>0， 由S1＝(a1＋)，變形整理得S＝1， 取正根得S1＝1. 由S2＝(a2＋)及a2＝S2－S1＝S2－1得 S2＝(S2－1＋)， 變形整理得S＝2，取正根得S2＝. 同理可求得S3＝.由此猜想Sn＝.(4分) 用數學歸納法證明如下： (1)當n＝1時，上面已求出S1＝1，結論成立． (6分) (2)假設當n＝k時，結論成立，即Sk＝. 那么，當n＝k＋1時， Sk＋1＝(ak＋1＋)＝(Sk＋1－Sk＋) ＝(Sk＋1－＋)． 整理得S＝k＋1，取正根得Sk＋1＝. 故當n＝k＋1時，結論成立．(11分) 由(1)、(2)可知，對一切n∈N

26、*，Sn＝都成立． (12分) 11．(1)解　∵函數f(x)定義域為{x∈R|x≠0} 且f(－x)＝＝＝f(x)， ∴f(x)是偶函數．(4分) (2)解　當x<0時，f(x)＝， f′(x)＝＋ (－) ＝－(2x＋1)，(6分) 令f′(x)＝0有x＝－， 當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表： x (－∞，－) － (－，0) f′(x) ＋ 0 － f(x) 增 極大值 減 由表可知：當x＝－時，f(x)取極大值4e－2， 無極小值．(8分) (3)證明　當x>0時f(x)＝，∴f()＝x2e－x. 考慮到：x>0時，不

27、等式f()0)， ∵x>0時，g′(x)＝ex－1>0，∴g(x)是增函數， 故g(x)>g(0)＝1>0，即ex>x(x>0)． 所以當n＝1時，不等式(ⅰ)成立．(10分) ②假設n＝k(k≥1，k∈N*)時，不等式(ⅰ)成立， 即xk0)， h′(x)＝(k＋1)！ex－(k＋1)xk＝(k＋1)(k！ex－xk)>0， 故h(x)＝(k＋1)！·ex－xk＋1(x>0)為增函數， ∴h(x)>h(0)＝(k＋1)！>0， ∴xk＋1<(k＋1)！·ex， 即n＝k＋1時，不等式(ⅰ)也成立，(13分) 由①②知不等式(ⅰ)對一切n∈N*都成立， 故當x>0時，原不等式對n∈N*都成立．(14分) 高考數學復習精品 高考數學復習精品