精修版高中數(shù)學(xué) 第二章 點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系質(zhì)量評估檢測 人教A版必修2

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1、精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理 高中數(shù)學(xué) 第二章 點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系質(zhì)量評估檢測 新人教A版必修2 時(shí)間：120分鐘　滿分：150分 一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的． 1．下列說法不正確的是(　　) A．空間中，一組對邊平行且相等的四邊形一定是平行四邊形 B．同一平面的兩條垂線一定共面 C．過直線上一點(diǎn)可以作無數(shù)條直線與這條直線垂直，且這些直線都在同一平面內(nèi) D．過一條直線有且只有一個平面與已知平面垂直 解析：如圖所示，在正方體ABC

2、D－A1B1C1D1中，AD⊥平面DCC1D1，因此平面ABCD、平面AA1D1D均與平面DCC1D1垂直而且平面AA1D1D∩平面ABCD＝AD，顯然選項(xiàng)D不正確，故選D. 答案：D 2.設(shè)a，b是兩條直線，α，β是兩個平面，若a∥α，a?β，α∩β＝b，則α內(nèi)與b相交的直線與a的位置關(guān)系是(　　) A．平行　　　B．相交 C．異面 D．平行或異面 解析：因?yàn)閍∥α，a?β，α∩β＝b， 所以a∥b.又因?yàn)閍與α無公共點(diǎn)，所以α內(nèi)與b相交的直線與a異面． 答案：C 3.如圖，長方體ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，E，F(xiàn)，G分別是DD1，

3、AB，CC1的中點(diǎn)，則異面直線A1E與GF所成角為(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 解析： 連接EG，B1G，B1F， 則：A1E∥B1G， 故∠B1GF為異面直線A1E與GF所成的角． 由AA1＝AB＝2，AD＝1可得B1G＝，GF＝，B1F＝， ∴B1F2＝B1G2＋GF2，∴∠B1GF＝90°，即異面直線A1E與GF所成的角為90°. 答案：D 4.下列四個正方體圖形中，A，B為正方體的兩個頂點(diǎn)，M，N，P分別為其所在棱的中點(diǎn)，能得出AB∥平面MNP的圖形的序號是(　　) ① ② ③ ④ A．①③ B．①④ C．②

4、③ D．②④ 解析： 如圖所示：平面ABC∥平面MNP， 所以AB∥平面MNP， 故①正確． ④中易證NP∥AB，故AB∥平面MNP.②③不正確． 答案：B 5.設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，下列命題中正確的是(　　) A．若α⊥β，m?α，n?β，則m⊥n B．若α∥β，m?α，n?β，則m∥n C．若m⊥n，m?α，n?β，則α⊥β D．若m⊥α，m∥n，n∥β，則α⊥β 解析： 如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，平面BCC1B1⊥平面ABCD，BC1?平面BCC1B1，BC?平面ABCD，而BC1不垂直于BC，故A錯誤． 平面A

5、1B1C1D1∥平面ABCD，B1D1?平面A1B1C1D1，AC?平面ABCD，但B1D1和AC不平行，故B錯誤． AB⊥A1D1，AB?平面ABCD，A1D1?平面A1B1C1D1，但平面A1B1C1D1∥平面ABCD，故C錯誤．故選D. 答案：D 6．設(shè)直線l?平面α，過平面α外一點(diǎn)A與l，α都成30°角的直線有且只有(　　) A．1條 B．2條 C．3條 D．4條 解析：如圖，和α成30°角的直線一定是以A為頂點(diǎn)的圓錐的母線所在直線，當(dāng)∠ABC＝∠ACB＝30°，直線AC，AB都滿足條件，故選B. 答案：B 7.已知三棱柱ABC－A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直，體

6、積為，底面積是邊長為的正三角形，若P為底面A1B1C1的中心，則PA與平面ABC所成角的大小為(　　) A. B. C. D. 解析：取正三角形ABC的中心O，連結(jié)OP，則∠PAO是PA與平面ABC所成的角． 因?yàn)榈酌孢呴L為，所以AD＝×＝，AO＝AD＝×＝1.三棱柱的體積為×()2×AA1＝，解得AA1＝，即OP＝AA1＝，所以tan∠PAO＝＝，即∠PAO＝. 答案：B 8．已知三棱柱ABC－A1B1C1的側(cè)棱與底面邊長都相等，A1在底面ABC內(nèi)的射影為△ABC的中心，則AB1與底面ABC所成角的正弦值為(　　) A. B. C. D. 解析：由題意知三棱錐

7、A1－ABC為正四面體，設(shè)棱長為a，則AB1＝a，棱柱的高A1O＝＝＝a(即點(diǎn)B1到底面ABC的距離)，故AB1與底面ABC所成角的正弦值為＝，故選B. 答案：B 9．在四面體A－BCD中，已知棱AC的長為，其余各棱長都為1，則二面角A－CD－B的平面角的余弦值為(　　) A. B. C. D. 解析：取AC的中點(diǎn)E，CD的中點(diǎn)F，連接EF，BF，BE，∵AC＝，其余各棱長都為1，∴AD⊥CD，∴EF⊥CD. 又∵BF⊥CD， ∴∠BFE是二面角A－CD－B的平面角． ∵EF＝，BE＝，BF＝， ∴EF2＋BE2＝BF2.∴∠BEF＝90°，∴cos∠BFE＝＝

8、，故選C. 答案：C 10.已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，則CD與平面BDC1所成角的正弦值等于(　　) A. B. C. D. 解析：如圖，設(shè)AB＝a，則AA1＝2a，三棱錐C－BDC1的高為h，CD與平面BDC1所成的角為α. 因?yàn)閂C－BDC1＝VC1－BDC，即××a×ah＝×a2×2a，解得h＝a.所以sinα＝＝. 答案：A 11．如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，將△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，構(gòu)成四面體ABCD，則在四面體ABCD中，下列結(jié)論正確的是(　　)

9、 A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDC C．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC 解析：易知：△BCD中，∠DBC＝45°，∴∠BDC＝90°， 又平面ABD⊥平面BCD，而CD⊥BD，∴CD⊥平面ABD，∴AB⊥CD， 而AB⊥AD，∴AB⊥平面ACD，∴平面ABC⊥平面ACD. 答案：D 12．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，在l上取線段AB＝4，AC、BD分別在平面α和平面β內(nèi)，且AC⊥AB，DB ⊥AB，AC＝3，BD＝12，則CD的長度為(　　) A．13 B. C．12 D．15 解析： 如圖，連接AD. ∵α⊥β，∴

10、AC⊥β，DB⊥α， 在Rt△ABD中， AD＝＝＝. 在Rt△CAD中，CD＝＝＝13. 答案：A 二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分． 13．已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，點(diǎn)P是平面AA1D1D的中心，點(diǎn)Q是B1D1上一點(diǎn)，且PQ∥平面AB1D，則線段PQ長為________． 解析：連接AB1，AD1， 因?yàn)辄c(diǎn)P是平面AA1D1D的中心， 所以點(diǎn)P是AD1的中點(diǎn)， 因?yàn)镻Q∥平面AB1，PQ?平面AB1D1，平面AB1D1∩平面AB1＝AB1， 所以PQ∥AB1，所以PQ＝AB1＝. 答案： 14．在直四棱柱ABCD－A1B1

11、C1D1中，當(dāng)?shù)酌嫠倪呅蜛1B1C1D1滿足條件________時(shí)，有A1C⊥B1D1(注：填上你認(rèn)為正確的一種情況即可，不必考慮所有可能的情況)． 解析：由直四棱柱可知CC1⊥面A1B1C1D1，所以CC1⊥B1D1，要使B1D1⊥A1C，只要B1D1⊥平面A1CC1，所以只要B1D1⊥A1C1，還可以填寫四邊形A1B1C1D1是菱形，正方形等條件． 答案：B1D1⊥A1C1(答案不唯一) 15.如圖，在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段D1E上，點(diǎn)P到直線CC1上的距離的最小值為________． 解析：如圖，過點(diǎn)E作EE1⊥平面A1B1C

12、1D1，交直線B1C1于點(diǎn)E1， 連接D1E1，DE，在平面D1DEE1內(nèi)過點(diǎn)P作PH∥EE1交D1E1于點(diǎn)H，連接C1H，則C1H即為點(diǎn)P到直線CC1的距離．當(dāng)點(diǎn)P在線段D1E上運(yùn)動時(shí)，點(diǎn)P到直線CC1的距離的最小值為點(diǎn)C1到線段D1E1的距離，即為△C1D1E1的邊D1E1上的高h(yuǎn). ∵C1D1＝2，C1E1＝1，∴D1E1＝，∴h＝＝. 答案： 16．將正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角A－BD－C，有如下三個結(jié)論． ①AC⊥BD； ②△ACD是等邊三角形； ③AB與平面BCD成60°的角； 說法正確的命題序號是________． 解析： 如圖所示，①取BD中點(diǎn)E

13、，連接AE，CE，則BD⊥AE，BD⊥CE，而AE∩CE＝E，∴BD⊥平面AEC，AC?平面AEC，故AC⊥BD，故①正確． ②設(shè)正方形的邊長為a， 則AE＝CE＝a. 由①知∠AEC＝90°是直二面角A－BD－C的平面角，且∠AEC＝90°，∴AC＝a， ∴△ACD是等邊三角形，故②正確． ③由題意及①知，AE⊥平面BCD，故∠ABE是AB與平面BCD所成的角，而∠ABE＝45°，所以③不正確． 答案：①② 三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟． 17．(本小題滿分10分)如圖，正四棱錐S－ABCD的底面是邊長為a的正方形，側(cè)棱長是底面

14、邊長的倍，O為底面對角線的交點(diǎn)，P為側(cè)棱SD上的點(diǎn)． (1)求證：AC⊥SD； (2)F為SD中點(diǎn)，若SD⊥平面PAC，求證：BF∥平面PAC. 證明：(1)連接SO， ∵四邊形ABCD為正方形， ∴AC⊥BD且O為AC中點(diǎn)， 又∵SA＝SC， ∴SO⊥AC， 又∵SO∩BD＝O， ∴AC⊥平面SBD， 又∵SD?平面SBD， ∴AC⊥SD. (2)連接OP， ∵SD⊥平面ACP，OP?平面ACP， ∴OP⊥SD， 又△SBD中，BD＝a＝SB，且F為SD中點(diǎn)， ∴BF⊥SD， 因?yàn)镺P、BF?平面BDF，所以O(shè)P∥BF， 又∵OP?平面ACP，BF

15、?平面PAC， ∴BF∥平面PAC.  18．(本小題滿分12分)如圖，在三棱錐S－ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB，過A作AF⊥SB，垂足為F，點(diǎn)E，G分別是棱SA，SC的中點(diǎn)． 求證：(1)平面EFG∥平面ABC. (2)BC⊥SA. 證明：(1)因?yàn)锳S＝AB，AF⊥SB，垂足為F，所以F是SB的中點(diǎn)． 又因?yàn)镋是SA的中點(diǎn)，所以EF∥AB. 因?yàn)镋F?平面ABC，AB?平面ABC， 所以EF∥平面ABC. 同理EG∥平面ABC. 又因?yàn)镋F∩EG＝E， 所以平面EFG∥平面ABC. (2)因?yàn)槠矫鍿AB⊥平面SBC，且交線為SB，又

16、因?yàn)锳F?平面SAB，AF⊥SB， 所以AF⊥平面SBC，因?yàn)锽C?平面SBC， 所以AF⊥BC. 又因?yàn)锳B⊥BC，AF∩AB＝A，AF?平面SAB，AB?平面SAB，所以BC⊥平面SAB. 又因?yàn)镾A?平面SAB，所以BC⊥SA. 19．(本小題滿分12分)如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，點(diǎn)E在線段PC上，PC⊥平面BDE. (1)證明：BD⊥平面PAC； (2)若PA＝1，AD＝2，求二面角B－PC－A的正切值． 解析：(1)證明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD ∵PC⊥平面BDE， ∴PC⊥BD. ∴BD⊥平面

17、PAC. (2)設(shè)AC與BD交點(diǎn)為O，連接OE. ∵PC⊥平面BDE，∴PC⊥OE. 又∵BO⊥平面PAC， ∴PC⊥BO， ∴PC⊥平面BOE，∴PC⊥BE， ∴∠BEO為二面角B－PC－A的平面角． ∵BD⊥平面PAC， ∴BD⊥AC， ∴四邊形ABCD為正方形， ∴BO＝. 在△PAC中，＝?＝?OE＝， ∴tan∠BEO＝＝3， ∴二面角B－PC－A的平面角的正切值為3. 20．(本小題滿分12分)如圖，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°. (1)證明：AB⊥A1C； (2)若AB＝CB＝2，A1C＝，求三棱柱

18、ABC－A1B1C1的體積． 解析：(1)取AB的中點(diǎn)O，連接OC，OA1，A1B. 因?yàn)镃A＝CB，所以O(shè)C⊥AB. 由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，故△AA1B為等邊三角形， 所以O(shè)A1⊥AB. 因?yàn)镺C∩OA1＝O，所以AB⊥面OA1C. 又A1C?平面OA1C，故AB⊥A1C. (2)由題設(shè)知△ABC與△AA1B都是邊長為2的等邊三角形，所以O(shè)C＝OA1＝，又A1C＝，則A1C2＝OC2＋OA，故OA1⊥OC. 因?yàn)镺C∩AB＝O，所以O(shè)A1⊥面ABC，OA1為三棱柱ABC－A1B1C1的高． 又S△ABC＝AB·OC＝，故三棱柱ABC－A1B1C1的體積V

19、＝S△ABC×OA1＝×＝3. 21．(本小題滿分12分)如圖，在直棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝，AA1＝3，D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在棱BB1上運(yùn)動． (1)證明：AD⊥C1E； (2)當(dāng)異面直線AC，C1E所成的角為60°時(shí)，求三棱錐C1－A1B1E的體積． 解析：(1)證明：因?yàn)锳B＝AC，D是BC的中點(diǎn)，所以AD⊥BC，① 又在直三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥平面ABC， 而AD?平面ABC，所以AD⊥BB1，② 由①②可得AD⊥平面BB1C1C，因?yàn)辄c(diǎn)E在棱BB1上運(yùn)動． 得C1E?平面BB1C1C，所以AD⊥C1E. (2)因

20、為AC∥A1C1，所以∠A1C1E是異面直線AC與C1E所成的角，所以∠A1C1E＝60°，因?yàn)椤螧1A1C1＝∠BAC＝90°，所以A1C1⊥A1B1， 又AA1⊥A1C1，從而A1C1⊥平面A1ABB1，于是A1C1⊥A1E， 故C1E＝＝2，又B1C1＝2，所以B1E＝2， 從而VC1－A1B1E＝S△A1B1E×A1C1＝××2××＝. 22．(本小題滿分12分)如圖，在側(cè)棱垂直底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝，AD＝2，BC＝4，AA1＝2，E是DD1的中點(diǎn)，F(xiàn)是平面FB1C1E與直線AA1的交點(diǎn)． (1)證明：①EF∥A1D1；

21、②BA1⊥平面B1C1EF. (2)求BC1與平面B1C1EF所成的角的正弦值． 解析：(1)證明：①由AD∥BC，BC∥B1C1可得AD∥B1C1， 又B1C1?平面AA1D1D，AD?平面AA1D1D， ∴B1C1∥平面AA1D1D， 又平面B1C1E∩平面AA1D1D＝EF， ∴B1C1∥EF，又A1D1∥B1C1，∴EF∥A1D1. ②在Rt△FA1B1和Rt△A1B1B中，＝＝， ∴Rt△FA1B1∽Rt△A1B1B， ∴∠A1FB1＝∠BA1B1， ∵∠A1FB1＋∠A1B1F＝90°， ∴∠BA1B1＋∠A1B1F＝90°， ∴A1B⊥B1F， 由AD⊥AB可得B1C1⊥A1B1， 又B1C1⊥BB1， ∴B1C1⊥平面A1B1B， 又A1B?平面A1B1B，可得BA1⊥B1C1， 又BA1⊥B1F，且B1F∩B1C1＝B1， ∴BA1⊥平面B1C1EF. (2)設(shè)A1B∩B1F＝O，連接C1O， 由(1)可知BC1與平面B1C1EF所成的角為∠BC1O， 在Rt△A1B1B中，BB＝BO·BA1， 即22＝BO·，解得BO＝， ∴sin∠BC1O＝＝＝， ∴BC1與平面B1C1EF所成的角的正弦值為. 最新精品資料