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課時作業(yè)(七) 平面
A組 基礎鞏固
1.對于右圖,下列說法正確的是( )
A.可以表示a在α內
B.把平面α延展就可以表示a在平面內
C.因為直線是無限延伸的,所以可以表示直線a在平面α內
D.不可以表示直線a在平面α內,因為畫法不對
答案:D
2.有下列三個判斷:正確的個數(shù)為( )
①兩條相交的直線確定一個平面;
②兩條平行的直線確定一個平面;
③一條直線和直線外一點確定一個平面
A.0 B.1
C.2 D.3
解析:①正確,如圖a所示,l1∩l2
2、=P,分別在l1,l2上取點R,Q,則易知P、Q、R三點不共線,故三點必確定一個平面,故l1與l2必確定一個平面.②正確,如圖b,在l1上任取一點P,在l2上任取兩點Q,R,顯然P,Q,R三點不共線,故可確定一個平面,故②正確,同理可證③正確.
a b
答案:D
3.已知點A,直線a,平面α,以下命題表達正確的個數(shù)是( )
①A∈a,a?α?A?α?、贏∈a,a∈α?A∈α
③A?a,a?α?A?α?、蹵∈a,a?α?A?α
A.0 B.1 C.2 D.3
答案:A
4.給出下列說法:(設α、β表示平面,l表示直線,A、B、C表示點)
①若A∈l,A∈α
3、,B∈α,B∈l,則l?α;
②若A∈α,A∈β,B∈α,B∈β,則α∩β=AB;
③若l?α,A∈l,則A?α.
則正確的個數(shù)是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案:B
5.空間四點A、B、C、D共面而不共線,那么這四點中( )
A.必有三點共線
B.必有三點不共線
C.至少有三點共線
D.不可能有三點共線
解析:如圖(1)(2)所示,A、C、D均不正確,只有B正確.
(1) (2)
答案:B
6.已知平面α∩平面β=l,點M∈α,N∈α,P∈β,P?l且MN∩l=R,過M,N,P三點所確定的平面記為γ,則β∩γ等于( )
A.PR
4、 B.PM C.MR D.PN
解析:如圖,MN?γ,R∈MN,
∴R∈γ.
又R∈l,∴R∈β.
又P∈γ,P∈β,∴β∩γ=PR.
答案:A
7.經(jīng)過空間任意三點可以作________個平面.
解析:若三點不共線,只可以作一個平面;若三點共線,則可以作出無數(shù)個平面.
答案:一個或無數(shù)
8.如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,O為DB的中點,直線A1C交平面C1BD于點M,則下列結論正確的是________.
①C1,M,O三點共線
②C1,M,O,C四點共面
③C1,O,A,M四點共面
④D1,D,O,M四點共面
解析:在題圖中,連接A
5、1C1,AC,則AC∩BD=O,A1C∩平面C1BD=M.
∴三點C1,M,O在平面C1BD與平面ACC1A1的交線上,即C1,M,O三點共線,
∴選項①、②、③均正確,④不正確.
答案:①②③
9.有以下三個命題:
①平面外的一條直線與這個平面最多有一個公共點;
②直線l在平面α內,可以用符號“l(fā)∈α”表示;
③已知平面α與β不重合,若平面α內的一條直線a與平面β內的一條直線b相交,則α與β相交.
其中真命題的序號是________.
解析:若直線與平面有兩個公共點,則這條直線一定在這個平面內,故①正確;直線l在平面α內用符號“?”表示,即l?α,②錯誤;由a與b相交,說明
6、兩個平面有公共點,因此一定相交,故③正確.
答案:①③
10.如圖所示,在空間四邊形各邊AD,AB,BC,CD上分別取E,F(xiàn),G,H四點,如果EF,GH交于一點P,求證:點P在直線BD上.
證明:∵EF∩GH=P,
∴P∈EF且P∈GH.
又∵EF?平面ABD,GH?平面CBD,
∴P∈平面ABD,
且P∈平面CBD,∴P∈平面ABD∩平面CBD,
平面ABD∩平面CBD=BD,由公理3可得P∈BD.
∴點P在直線BD上.
B組 能力提升
11.在三棱錐A-BCD的邊AB、BC、CD、DA上分別取E、F、G、H四點,如果EF∩HG=P,則點P( )
A.一定在直線
7、BD上
B.一定在直線AC上
C.在直線AC或BD上
D.不在直線AC上,也不在直線BD上
解析:
如圖所示,
∵EF?平面ABC,HG?平面ACD,
EF∩HG=P,
∴P∈平面ABC,
P∈平面ACD.
又∵平面ABC∩平面ACD=AC,
∴P∈AC,
故選B.
答案:B
12.在下列命題中,不是公理的是( )
A.平行于同一個平面的兩個平面相互平行
B.過不在同一條直線上的三點,有且只有一個平面
C.如果一條直線上的兩點在一個平面內,那么這條直線上所有的點都在此平面內
D.如果兩個不重合的平面有一個公共點,那么它們有且只有一條過該點的公共直線
解析
8、:本題考查平面的基本性質及面面平行的常用結論.選項A是面面平行的性質定理,是由公理推證出來的,而公理是不需要證明的,故選A.
答案:A
13.如圖,已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為3,M,N分別是棱AA1,AB上的點,且AM=AN=1.
(1)證明:M,N,C,D1四點共面;
(2)平面MNCD1將此正方體分為兩部分,求這兩部分的體積之比.
解析:(1)證明:連接A1B
在四邊形A1BCD1中,A1D1∥BC且A1D1=BC
所以四邊形A1BCD1是平行四邊形
所以A1B∥D1C
在△ABA1中,AM=AN=1,AA1=AB=3
所以=
所以MN∥A1
9、B
所以MN∥D1C
所以M,N,C,D1四點共面.
(2)解法一:記平面MNCD1將正方體分成兩部分的下部分體積為V1,上部分體積為V2,連接D1A,D1N,DN,則幾何體D1-AMN,D1-ADN,D1-CDN均為三棱錐
所以V1=VD1-AMN+VD1-ADN+VD1-CDN
=S△AMN·D1A1+S△ADN·D1D+S△CDN·D1D
=××3+××3+××3
=.
從而V2=VABCD-A1B1C1D1-VAMN-DD1C=27-=
所以=
所以平面MNCD1分此正方體的兩部分體積的比為.
解法二:記平面MNCD1將正方體分成兩部分的下部分體積為V1,上部
10、分體積為V2
因為平面ABB1A1∥平面DCC1D1,所以平面AMN∥平面DD1C
延長CN與DA相交于點P
因為AN∥DC
所以=,即=,解得PA=
延長D1M與DA相交于點Q,同理可得QA=
所以點P與點Q重合
所以D1M,DA,CN三線相交于一點
所以幾何體AMN-DD1C是一個三棱臺
所以V1=VAMN-DD1C=××3=
從而V2=VABCD-A1B1C1D1-VAMN-DD1C=27-=
所以=
所以平面MNCD1分此正方體的兩部分體積的比為.
14.求證:兩兩相交且不共點的四條直線a、b、c、d共面.
證明:(1)無三線共點情況,如圖(1).
設a∩
11、d=M,b∩d=N,c∩d=P,a∩b=Q,a∩c=R,b∩c=S.
因為a∩d=M,所以a,d可確定一個平面α.
因為N∈d,Q∈a,所以N∈α,Q∈α,
所以NQ?α,即b?α.
圖(1) 圖(2)
同理c?α,所以a,b,c,d共面.
(2)有三線共點的情況,如圖(2).
設b,c,d三線相交于點K,與a分別交于N,P,M且K?a,
因為K?a,所以K和a確定一個平面,設為β.
因為N∈a,a?β,所以N∈β.
所以NK?β,即b?β.
同理c?β,d?β.
所以a,b,c,d共面.
由(1)、(2)知a、b、c、d共面.
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