中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第二部分 熱點(diǎn)專題突破 專題五 幾何探究問題課件

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1、專題五幾何探究問題幾何探究問題主要涉及利用三角形的性質(zhì)進(jìn)行相關(guān)的探索與證明、三角形和四邊形的綜合探索與證明以及幾何動態(tài)問題等.這是中考對幾何推理與證明能力考查的必然體現(xiàn),重在提高學(xué)生對圖形及性質(zhì)的認(rèn)識,訓(xùn)練學(xué)生的推理能力,解題時應(yīng)注意演繹推理與合情推理的結(jié)合.全國各地的中考數(shù)學(xué)試題都把幾何探究問題作為中考的壓軸題之一,安徽省中考也是如此,如2016年的第23題、2015年的第23題、第2014年的第23題、2013年的第23題等.預(yù)計(jì)2017年安徽中考中,這類問題仍是考查的重點(diǎn)之一,需重點(diǎn)復(fù)習(xí). 幾何探究問題是中考必考題型,考查知識全面,綜合性強(qiáng),它把幾何知識與代數(shù)知識有機(jī)結(jié)合起來,滲透數(shù)形結(jié)

2、合思想,重在考查分析問題的能力、邏輯思維推理能力.如折疊類型、探究型、開放型、運(yùn)動型、情境型等,背景鮮活,具有實(shí)用性和創(chuàng)造性,在考查考生計(jì)算能力的同時,考查考生的閱讀理解能力、動手操作能力、抽象思維能力、建模能力,力求引導(dǎo)考生將數(shù)學(xué)知識運(yùn)用到實(shí)際生活中去.需要通過觀察、分析、比較、概括、推理、判斷等來確定所需求的結(jié)論、條件或方法,因而解題的策略是將其轉(zhuǎn)化為封閉性問題.常用的解題策略:1.找特征或模型:如中點(diǎn)、特殊角、折疊、相似結(jié)構(gòu)、三線合一、三角形面積等;2.找思路:借助問與問之間的聯(lián)系,尋找條件和思路;3.照搬:照搬前一問的方法和思路解決問題,如照搬字母、照搬輔助線、照搬全等、照搬相似等;4

3、.找結(jié)構(gòu):尋找不變的結(jié)構(gòu),利用不變結(jié)構(gòu)的特征解決問題.常見的不變結(jié)構(gòu)及方法:有直角,作垂線,找全等或相似;有中點(diǎn),作倍長,通過全等轉(zhuǎn)移邊和角;有平行,找相似,轉(zhuǎn)比例. 題型2題型1題型3題型1與全等三角形有關(guān)的探究典例1(2016山東泰安)(1)已知:ABC是等腰三角形,其底邊是BC,點(diǎn)D在線段AB上,E是直線BC上一點(diǎn),且DEC=DCE,若A=60(如圖),求證:EB=AD;(2)若將(1)中的“點(diǎn)D在線段AB上”改為“點(diǎn)D在線段AB的延長線上”,其他條件不變(如圖),(1)的結(jié)論是否成立,并說明理由;(3)若將(1)中的“若A=60”改為“若A=90”,其他條件不變,則 的值是多少?(直接

4、寫出結(jié)論,不要求寫解答過程) 題型2題型1題型3【解析】(1)作DFBC交AC于F,由已知得ABC和ADF均為等邊三角形,則AD=DF,利用AAS證明DBE CFD,得EB=DF,從而EB=AD;(2)作DFBC交AC的延長線于點(diǎn)F,同(1)證出DBE CFD,得出EB=DF,即可得出結(jié)論;(3)作DFBC交AC于點(diǎn)F,同(1)得:DBE CFD,得出EB=DF,證出ADF是等腰直角三角形,得出DF= AD,即可得出結(jié)果. 題型2題型1題型3【答案】 (1)作DFBC交AC于點(diǎn)F,如圖1所示.ADF=ABC,AFD=ACB,FDC=DCE,ABC是等腰三角形,A=60,ABC是等邊三角形,AB

5、C=ACB=60,DBE=120,ADF=AFD=60=A,ADF是等邊三角形,DFC=120,AD=DF,DEC=DCE,FDC=DEC,ED=CD,DBE CFD(AAS),EB=DF,EB=AD. 題型2題型1題型3(2)EB=AD成立.理由如下:作DFBC交AC的延長線于點(diǎn)F,如圖2所示.由(1)得AD=DF,FDC=ECD,FDC=DEC,ED=CD,又DBE=DFC=60,DBE CFD(AAS),EB=DF,EB=AD. 題型2題型1題型3理由如下:作DFBC交AC于點(diǎn)F,如圖3所示:同(1)得:DBE CFD(AAS),EB=DF,ABC是等腰直角三角形,DFBC,ADF是等腰

6、直角三角形, 題型2題型1題型3題型2與相似三角形有關(guān)的探究典例2(2016內(nèi)蒙古包頭)如圖,已知一個直角三角形紙片ACB,其中ACB=90,AC=4,BC=3,E,F分別是AC,AB邊上的點(diǎn),連接EF.(1)如圖1,若將紙片ACB的一角沿EF折疊,折疊后點(diǎn)A落在AB邊上的點(diǎn)D處,且使S四邊形ECBF=3SEDF,求AE的長.(2)如圖2,若將紙片ACB的一角沿EF折疊,折疊后點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)M處,且使MFCA.試判斷四邊形AEMF的形狀,并證明你的結(jié)論;求EF的長. 題型2題型1題型3題型2題型1題型3題型2題型1題型3【答案】 (1)如圖1,ACB的一角沿EF折疊,折疊后點(diǎn)A落在AB邊

7、上的點(diǎn)D處,EFAB,AEF DEF,SAEF SDEF,S四邊形ECBF=3SEDF,SABC=4SAEF,在RtABC中,ACB=90,AC=4,BC=3, 題型2題型1題型3(2)四邊形AEMF為菱形.理由如下:如圖2,ACB的一角沿EF折疊,折疊后點(diǎn)A落在AB邊上的點(diǎn)M處,AE=EM,AF=MF,AFE=MFE,MFAC,AEF=MFE,AEF=AFE,AE=AF,AE=EM=MF=AF,四邊形AEMF為菱形.連接AM交EF于點(diǎn)O,如圖2,設(shè)AE=x,則EM=x,CE=4-x,四邊形AEMF為菱形,EMAB,CMECBA, 題型2題型1題型3(3)如圖3,作FHBC于點(diǎn)H,ECFH,N

8、CENHF,設(shè)FH=4x,NH=7x,則CH=7x-1,BH=3-(7x-1)=4-7x,FHAC,BFHBAC, 題型2題型1題型3題型2題型1題型3題型3與全等和相似三角形有關(guān)的探究典例3(2016湖北黃石)在ABC中,AB=AC,BAC=2DAE=2.(1)如圖1,若點(diǎn)D關(guān)于直線AE的對稱點(diǎn)為F,求證:ADFABC.(2)如圖2,在(1)的條件下,若=45,求證:DE2=BD2+CE2.(3)如圖3,若=45,點(diǎn)E在BC的延長線上,則等式DE2=BD2+CE2還能成立嗎?請說明理由. 題型2題型1題型3【解析】本題考查軸對稱的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、同角的余角相等、全等三角形的判定

9、與性質(zhì)及勾股定理.(1)根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得DAE=FAE,AD=AF,再得出BAC=DAF,然后根據(jù)兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩三角形相似得以證明;(2)根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得EF=DE,AD=AF,再求出BAD=CAF,然后利用邊角邊證明ABD和ACF全等,根據(jù)全等三角形性質(zhì)可得CF=BD,ACF=ABD,然后求出ECF=90,最后利用勾股定理證明即可;(3)作點(diǎn)D關(guān)于AE的對稱點(diǎn)F,連接AF,EF,CF,根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得EF=DE,AF=AD,再根據(jù)同角的余角相等求出BAD=CAF,再結(jié)合(2)即可. 題型2題型1題型3【答案】 (1)D,F關(guān)于直線AE對稱,DE=EF,DAE=FAE

10、=,DAF=2=BAC,又AB=AC,AD=AF,ADFABC.(2)DAF=2=BAC,DAF-DAC=BAC-DAC,即BAD=CAF,又AB=AC,AD=AF,BAD CAF,BD=CF,且ACF=ABD=45,即ECF=90,在ECF中,結(jié)合已證明的得DE2=BD2+CE2. 題型2題型1題型3(3)解法1:將CAE順時針旋轉(zhuǎn)90得BAF,連接DF,如圖2所示.BF=CE,AF=AE,ACE=135=ABF,ABC=45,FBD=90,即DF2=BF2+BD2,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),BAF=CAE,BAF+FAC=CAE+FAC=2,DAF=FAE-DAE=2-=,AF=AE,又AD為公共邊,

11、DAF DAE,即DF=DE.將代入式,得DE2=BD2+CE2. 題型2題型1題型3解法2:作點(diǎn)D關(guān)于直線AE的對稱點(diǎn)F,連接AF,EF,CF,如圖3所示.AD=AF,DE=EF,DAE=FAE=,DAF=2=BAC,即DAF-DAC=BAC-DAC,BAD=CAF.又AB=AC,AD=AF.BAD CAF,BD=CF,且ACF=ABD=45,DCF=DCA+ACF=90,CFCE,EF2=FC2+CE2,將代入得DE2=BD2+CE2. 213456781.(1)問題發(fā)現(xiàn)如圖1,ABC和ADE均為等邊三角形,點(diǎn)D在BC的延長線上,連接CE,請?zhí)羁?ACE的度數(shù)為;線段AC,CD,CE之間的

12、數(shù)量關(guān)系為.(2)拓展探究如圖2,ABC和ADE均為等腰直角三角形,BAC=DAE=90,點(diǎn)D在邊BC的延長線上,連接CE,請判斷ACE的度數(shù)及線段AC,CD,CE之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.(3)問題解決如圖3,在RtABC中,AC=3,BC=5,ACB=90,若點(diǎn)P滿足PA=PB,APB=90,請直接寫出線段PC的長度. 21345678解:(1)ABC為等邊三角形,AB=AC=BC,BAC=60,ADE為等邊三角形,AD=AE,DAE=60,BAC+DAC=DAE+DAC,即BAD=CAE,ABD ACE(SAS),ACE=B=60.ABD ACE,BD=CE,BC=BD-CD=CE-C

13、D,AC=CE-CD. 21345678(2)ABC和ADE均為等腰直角三角形,AB=AC,BAD=CAE,AD=AE,ACE ABD(SAS),ACE=B=45,BD=CE,即BC+CD=CE,BC=CE-CD, 213456782134567821345678如圖(2),點(diǎn)C,P在AB的異側(cè)時,過點(diǎn)A作ADPC于點(diǎn)D,ACB=APB=90,A,B,P,C四點(diǎn)共圓,ACD=ABC=45,APD=ABC, 213456782.如圖1,在平行四邊形ABCD中,AEBC于點(diǎn)E,E恰為BC的中點(diǎn),tan B=2.(1)求證:AD=AE;(2)如圖2,點(diǎn)P在線段BE上,作EFDP于點(diǎn)F,連接AF,求證

14、:DF-EF= AF. 21345678解:(1)如圖1,AEBC,AEB=90,tan B=2, =2,AE=2BE,E為BC的中點(diǎn),BC=2BE,AE=BC.四邊形ABCD是平行四邊形,AD=BC,AD=AE.(2)如圖,作AMAF,交DP于點(diǎn)M,則MAF=90.四邊形ABCD是平行四邊形,ADBC,AEBC,AEAD,DAE=MAF=90,DAM=FAE=90-MAE.AEBC,EFDP,AEP=EFP=90, 21345678AEF+PEF=90,PEF+FPE=90,AEF=FPE,ADBC,ADM=FPE,ADM=AEF,在ADM和AEF中,AM=AF,DM=EF,DF-EF=MF

15、. 213456783.(2016武漢)在ABC中,P為AB上一點(diǎn).(1)如圖1,若ACP=B,求證:AC2=APAB.(2)若M為CP的中點(diǎn),AC=2.如圖2,若PBM=ACP,AB=3,求BP的長;如圖3,若ABC=45,A=BMP=60,直接寫出BP的長. 21345678(2)如圖,取AP中點(diǎn)G,連接MG.設(shè)AG=x,則PG=x,BG=3-x. 21345678213456784.(2016北京)在等邊ABC中,(1)如圖1,P,Q是BC邊上的兩點(diǎn),AP=AQ,BAP=20,求AQB的度數(shù);(2)點(diǎn)P,Q是BC邊上的兩個動點(diǎn)(不與點(diǎn)B,C重合),點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左側(cè),且AP=AQ,點(diǎn)Q關(guān)于

16、直線AC的對稱點(diǎn)為M,連接AM,PM.依題意將圖2補(bǔ)全;小茹通過觀察、實(shí)驗(yàn)提出猜想:在點(diǎn)P,Q運(yùn)動的過程中,始終有PA=PM.小茹把這個猜想與同學(xué)們進(jìn)行交流,通過討論,形成了證明該猜想的幾種想法:想法1:要證明PA=PM,只需證APM是等邊三角形;想法2:在BA上取一點(diǎn)N,使得BN=BP,要證明PA=PM,只需證ANP PCM;想法3:將線段BP繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)60,得到線段BK,要證PA=PM,只需證PA=CK,PM=CK請你參考上面的想法,幫助小茹證明PA=PM(一種方法即可). 21345678解:(1)AP=AQ,APQ=AQP,APB=AQC,ABC是等邊三角形,B=C=60,BAP

17、=CAQ=20,AQB=APQ=BAP+B=80. 21345678(2)如圖所示.如圖,AP=AQ,APQ=AQP,APB=AQC,ABC是等邊三角形,B=C=60,BAP=CAQ,點(diǎn)Q關(guān)于直線AC的對稱點(diǎn)為M,AQ=AM,QAC=MAC,MAC=BAP,BAP+PAC=MAC+CAP=60,PAM=60,AP=AQ,AP=AM,APM是等邊三角形,PA=PM. 213456785.(2016貴陽)(1)閱讀理解:如圖,在ABC中,若AB=10,AC=6,求BC邊上的中線AD的取值范圍.解決此問題可以用如下方法:延長AD到點(diǎn)E使DE=AD,再連接BE(或?qū)CD繞著點(diǎn)D逆時針旋轉(zhuǎn)180得到E

18、BD),把AB,AC,2AD集中在ABE中,利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線AD的取值范圍是;(2)問題解決:如圖,在ABC中,D是BC邊上的中點(diǎn),DEDF于點(diǎn)D,DE交AB于點(diǎn)E,DF交AC于點(diǎn)F,連接EF,求證:BE+CFEF;(3)問題拓展:如圖,在四邊形ABCD中,B+D=180,CB=CD,BCD=140,以C為頂點(diǎn)作一個70角,角的兩邊分別交AB,AD于E,F兩點(diǎn),連接EF,探索線段BE,DF,EF之間的數(shù)量關(guān)系,并加以證明. 21345678解:(1)延長AD至E,使DE=AD,連接BE,如圖所示:AD是BC邊上的中線,BD=CD,BDE CDA(SAS),BE=AC=6,在AB

19、E中,由三角形的三邊關(guān)系得:AB-BEAEAB+BE,10-6AE10+6,即4AE16,2ADEM,BE+CFEF. 21345678(3)BE+DF=EF.理由如下:延長AB至點(diǎn)N,使BN=DF,連接CN,如圖所示:ABC+D=180,NBC+ABC=180,NBC=D,NBC FDC(SAS),CN=CF,NCB=FCD,BCD=140,ECF=70,BCE+FCD=70,ECN=70=ECF, 21345678NCE FCE(SAS),EN=EF,BE+BN=EN,BE+DF=EF. 213456786.(2016福建莆田)若正方形有兩個相鄰頂點(diǎn)在三角形的同一條邊上,其余兩個頂點(diǎn)分別在

20、三角形的另兩條邊上,則正方形稱為三角形該邊上的內(nèi)接正方形,ABC中,設(shè)BC=a,AC=b,AB=c,各邊上的高分別記為ha,hb,hc,各邊上的內(nèi)接正方形的邊長分別記為xa,xb,xc(1)模擬探究:如圖,正方形EFGH為ABC的BC邊上的內(nèi)接正方形,(3)拓展延伸:若ABC為銳角三角形,bc,請判斷xb與xc的大小,并說明理由. 21345678解:(1)正方形EFGH中,EHFG,AEHABC,ADBC, 21345678213456787.如圖,ABC中,ADBC,DEAC于E,AFBE于H,交DE于F,(1)求證:ADFBCE;(2)若AB=AC,求證:DF=EF;(3)在(2)的條件

21、下,若EAF=30,直接寫出cos EBC的值. 21345678解:(1)如圖,ADBC,ADC=90,即1+EDC=90,DEAC,DEC=90,EDC+C=90,1=C,AHBE,SAH+ASH=90,又2+BSD=90,BSD=ASH,SAH=2,ADFBCE. 21345678(2)如圖2,DCE=ACD,RtCDERtCAD, 21345678提示:如圖3,設(shè)EF=x,則DF=EF=x,在RtAEF中,EAF=30,AF=2EF=2x,AE= 213456788.如圖,在矩形ABCD中,AB=8,BC=6,對角線AC,BD交于點(diǎn)O,點(diǎn)E在AB的延長線上,連接CE,AFCE,AF分別

22、交線段CE,邊BC,對角線BD于點(diǎn)F,G,H(點(diǎn)F不與點(diǎn)C,E重合).(1)當(dāng)點(diǎn)F是線段CE的中點(diǎn)時,求GF的長;(2)設(shè)BE=x,OH=y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并寫出它的自變量的取值范圍;(3)當(dāng)BHG是等腰三角形時,求BE的長. 21345678解:(1)AB=8,BC=6,AC=10,AFCE,AFC=AFE=90,點(diǎn)F是線段CE的中點(diǎn),CF=EF.在ACF和AEF中,AE=AC=10,BE=2.CGF=AGB,GFC=ABG,FCG=GAB,CBE=ABG,CBEABG, 2134567821345678(2)如圖所示,作BMAF,ONAF,垂足分別為點(diǎn)M,N,AFCE,ONBMCE,ONHBMH,ANOAFC,BMGCFG, 21345678(3)BHG是等腰三角形,當(dāng)BH=BG時,AHDGHB, 即BE=3;當(dāng)GH=GB時,得出AHD=ADH,AH=AD=6,設(shè)BG=t,則AB2+BG2=AG2,即82+t2=(6+t)2, 21345678當(dāng)HG=HB時,得出HGB=HBG=OCB,即點(diǎn)F與點(diǎn)C重合(不符合題意).綜上所述,當(dāng)BHG為等腰三角形時,BE=3或BE= .