版一輪復習理科數(shù)學習題：第三篇　三角函數(shù)、解三角形必修4、必修5 第6節(jié)　正弦定理和余弦定理及其應用 Word版含解析

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1、 第6節(jié) 正弦定理和余弦定理及其應用 【選題明細表】 知識點、方法 題號 利用正、余弦定理解三角形 1,2,7 與三角形面積有關的計算 6,8 三角形形狀的判斷 3 幾何計算問題 12,13 實際問題與綜合問題 4,5,9,10,11,14 基礎鞏固(時間:30分鐘) 1.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知a=,c=2,cos A=,則b等于(　D　) (A) (B) (C)2 (D)3 解析:由余弦定理得5=b2+4-2×b×2×,解得b=3（b=-舍去）,選D. 2.在△ABC中,B=,BC邊上的高等于BC,則sin A等

2、于(　D　) (A) (B) (C) (D) 解析: 如圖,設BC邊上的高為AD, 因為B=, 所以∠BAD=. 所以BD=AD, 又AD=BC,所以DC=2AD, 所以sin∠BAC=sin(∠BAD+∠DAC) =sin 45°cos∠DAC+cos 45°sin∠DAC =×+× =. 故選D. 3.(2018·杭州模擬)在△ABC中,cos =,則△ABC一定是(　A　) (A)等腰三角形 (B)直角三角形 (C)等腰直角三角形 (D)無法確定 解析:由cos =得 2cos2-1=cos A=cos B, 所以A=B,故選A. 4.(20

3、18·通遼模擬)海面上有A,B,C三個燈塔,AB=10n mile,從A望C和B成60°視角,從B望C和A成75°視角,則BC等于(　D　) (A)10n mile (B)n mile (C)5n mile (D)5n mile 解析:由題意可知,∠CAB=60°,∠CBA=75°, 所以∠C=45°,由正弦定理得=, 所以BC=5. 5.(2018·南寧模擬)在△ABC中,若sin2A≤sin2B+sin2C-sin Bsin C,則A的取值范圍是(　C　) (A)(0,］ (B)［,π) (C)(0, ］ (D)［,π) 解析:由正弦定理角化邊,得a2≤b2+c2

4、-bc. 所以b2+c2-a2≥bc, 所以cos A=≥, 所以0

5、, 由正弦定理得a∶b∶c=(-1)∶∶(+1). 因為a+b+c=2+, 所以a=-1,b=,c=+1. 所以ac=2-1=1.c2+a2-b2=1. 所以S==.故選A. 7.(2017·全國Ⅲ卷)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知C=60°,b=,c=3,則A=　　　　.? 解析:由正弦定理=得=, 所以sin B=, 又b

6、,cos∠BDC=　　　　.? 解析:依題意作出圖形,如圖所示. 則sin∠DBC=sin∠ABC. 由題意知AB=AC=4,BC=BD=2, 則cos∠ABC=, sin∠ABC=. 所以S△BDC=BC·BD·sin∠DBC =×2×2× =. 因為cos∠DBC=-cos∠ABC=- = =, 所以CD=. 由余弦定理,得cos∠BDC==. 答案:　 能力提升(時間:15分鐘) 9.(2018·寧波模擬)在△ABC中,a,b,c分別是內(nèi)角A,B,C所對的邊,且cos 2B+3cos (A+C)+2=0,b=,則c∶sin C等于(　D　) (A)3

7、∶1 (B)∶1 (C)∶1 (D)2∶1 解析:由cos 2B+3cos (A+C)+2=0,得2cos2B-3cos B+1=0,解得cos B=1(舍去)或cos B=, 所以sin B=, 所以由正弦定理知c∶sin C=b∶sin B=2∶1. 10.(2018·石家莊一模)在△ABC中,AB=2,C=,則AC+BC的最大值為(　D　) (A) (B)2 (C)3 (D)4 解析:由正弦定理可得, ====4. 因為A+B=. 所以AC+BC=4sin B+4sin A =4sin B+4sin(-B) =4sin B+4(cos B+sin B) =2co

8、s B+10sin B =4sin(B+θ)(tan θ=), 因為0

9、n 15°=10 500(-)(m). 因為CD⊥AD, 所以CD=BC·sin ∠DBC=10 500(-)×=10 500(-1)≈7 350(m). 故山頂?shù)暮０胃叨萮=10 000-7 350=2 650(m). 答案:2 650 12. (2018·四川瀘州二珍)如圖,在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c.a=b(sin C+cos C).若A=,D為△ABC外一點,DB=2,DC=1,則四邊形ABDC面積的最大值為　　　　.? 解析:因為a=b(sin C+cos C), 所以由正弦定理得sin A=sin∠ABC(sin C+cos C). 即si

10、n(∠ABC+C)=sin∠ABC(sin C+cos C), 所以cos∠ABCsin C=sin∠ABCsin C. 因為C∈(0,π),所以sin C≠0, 所以tan∠ABC=1. 又∠ABC∈(0,π),所以∠ABC=. 在△BCD中,因為DB=2,DC=1, 所以BC2=12+22-2×2×1·cos D=5-4cos D. 又因為A=,∠ABC=, 所以△ABC為等腰直角三角形. 所以S△ABC=BC2=-cos D. 又因為S△BCD=·BD·CD·sin D=sin D. 所以S四邊形ABDC=-cos D+sin D =+sin(D-). 所以當D

11、=時,S四邊形ABDC最大. 最大值為+. 答案:+ 13. (2018·福建寧德一檢)如圖,△ABC中,D為AB邊上一點,BC=1, B=. (1)若△BCD的面積為,求CD的長; (2)若A=,=,求的值. 解:(1)BC=1,B=,S△BCD=BC·BD·sin B=×1×BD×=,BD=. 在△BCD中,由余弦定理得 CD2=BC2+BD2-2BC·BD·cos B =1+2-2×1×× =1, 所以CD=1. (2)在△ACD中,由正弦定理得 =, 所以sin ∠ACD===, 在△BCD中,由正弦定理得=, 所以sin ∠DCB===, 所以

12、==×=. 14.(2018·江西聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=2sin 2x-2sin 2(x-),x∈R. (1)求函數(shù)y=f(x)的對稱中心; (2)已知在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且f（+）=,△ABC的外接圓半徑為,求△ABC周長的最大值. 解:由f(x)=1-cos 2x-（1-cos[2（x-）］=cos(2x-)-cos 2x=cos 2x+sin 2x-cos 2x=sin 2x-cos 2x=sin(2x-). (1)令2x-=kπ(k∈Z), 則x=+(k∈Z), 所以函數(shù)y=f(x)的對稱中心為(+,0),k∈Z. (2)由f(+)=得

13、sin（B+）=? sin B+cos B=?asin B+acos B=b+c, 由正弦定理得sin Asin B+sin Acos B=sin B+sin C?sin Asin B=sin B+cos Asin B, 又因為sin B≠0, 所以sin A-cos A=1?sin(A-)=. 由0