高考數(shù)學(xué)大二輪刷題首選卷理數(shù)文檔：第一部分 考點十一 等差數(shù)列與等比數(shù)列 Word版含解析

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1、 考點十一　等差數(shù)列與等比數(shù)列 一、選擇題 1．已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，且a3＝－4，a7＝－16，則a5＝(　　) A．－8 B．8 C．±8 D．±4 答案　A 解析　由＝q4得q4＝4，則q2＝2，所以a5＝a3·q2＝－4×2＝－8，故選A. 2．已知正項數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝2,2a＝a＋a，則a6＝(　　) A．16 B．8 C．4 D．2 答案　C 解析　由2a＝a＋a知，數(shù)列{a}是等差數(shù)列，前兩項為1,4，所以公差d＝3，故a＝1＋5×3＝16，所以a6＝4，故選C. 3．在數(shù)列{an}中，“an＝2an－1，n＝2,3,4

2、，…”是“{an}是公比為2的等比數(shù)列”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 答案　B 解析　若an＝2an－1，n＝2,3,4，…，則此數(shù)列可以為0,0,0,0,0，…，此時{an}不是等比數(shù)列；若{an}是公比為2的等比數(shù)列，則由等比數(shù)列的定義可知an＝2an－1，n＝2,3,4，….故選B. 4．(2019·全國卷Ⅰ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和．已知S4＝0，a5＝5，則(　　) A．a(chǎn)n＝2n－5 B．a(chǎn)n＝3n－10 C．Sn＝2n2－8n D．Sn＝n2－2n 答案　A 解析　設(shè)等差數(shù)列{an}的首項為

3、a1，公差為d.由S4＝0，a5＝5可得解得所以an＝－3＋2(n－1)＝2n－5，Sn＝n×(－3)＋×2＝n2－4n.故選A. 5．(2019·湖南六校聯(lián)考)已知公差d≠0的等差數(shù)列{an}滿足a1＝1，且a2，a4－2，a6成等比數(shù)列，若正整數(shù)m，n滿足m－n＝10，則am－an＝(　　) A．10 B．20 C．30 D．5或40 答案　C 解析　由題知(a4－2)2＝a2a6，因為{an}為等差數(shù)列，所以(3d－1)2＝(1＋d)(1＋5d)，因為d≠0，解得d＝3，從而am－an＝(m－n)d＝30，故選C. 6．(2019·河南百校聯(lián)盟仿真試卷)已知等差數(shù)列{an}滿

4、足a1＝32，a2＋a3＝40，則{|an|}的前12項和為(　　) A．－144 B．80 C．144 D．304 答案　D 解析　a2＋a3＝2a1＋3d＝64＋3d＝40?d＝－8，所以an＝40－8n.所以|an|＝|40－8n|＝所以前12項和為＋＝80＋224＝304. 7．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝an2＋bn(a，b∈R)且a2＝3，a6＝11，則S7等于(　　) A．13 B．49 C．35 D．63 答案　B 解析　由Sn＝an2＋bn(a，b∈R)可知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，所以S7＝＝＝＝49.選B. 8．已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，

5、若a1＝－11，a4＋a6＝－6，則當(dāng)Sn取最小值時，n等于(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 答案　A 解析　由a4＋a6＝2a5＝－6得a5＝－3，則公差為＝2，所以由an＝－11＋(n－1)×2＝2n－13≤0得n≤，所以前6項和最小，選A. 二、填空題 9．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若＝2，則＝________. 答案　 解析　設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，＝2，即a3＋3d＝2a3，a3＝3d，＝＝＝＝. 10．等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a3＝，S3＝，則公比q＝________. 答案　1或－ 解析　因為所以即即＝2，所以2q2－q

6、－1＝0，解得q＝1或q＝－. 11．(2019·廣東廣州天河區(qū)綜合測試一)在等差數(shù)列{an}中，首項a1＝0，公差d≠0，若am＝a1＋a2＋a3＋…＋a20，則m＝________. 答案　191 解析　等差數(shù)列{an}中，首項a1＝0，公差d≠0，am＝a1＋a2＋a3＋…＋a20，則am＝d＋2d＋…＋19d＝d＝190d＝a191，m＝191. 12．(2019·河南新鄉(xiāng)第一次模擬)設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項和，且a1＝1，(n＋1)an＋1＝(n－1)Sn，則Sn＝________. 答案　 解析　∵(n＋1)an＋1＝(n－1)Sn，∴nan＋1＋Sn＋1＝nSn，

7、∴n(Sn＋1－Sn)＋Sn＋1＝nSn，∴＝2，∴{nSn}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，則nSn＝2n－1，∴Sn＝. 三、解答題 13．(2019·全國卷Ⅰ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，已知S9＝－a5. (1)若a3＝4，求{an}的通項公式； (2)若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范圍． 解　(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d， 根據(jù)題意有 解得 所以an＝8＋(n－1)×(－2)＝－2n＋10. (2)由(1)知a5＝0，即a5＝a1＋4d＝0，即a1＝－4d， 又a1>0，所以d<0， 由Sn≥an得na1＋d≥a1＋(n－1)d

8、， 整理得(n2－9n)d≥(2n－10)d， 因為d<0，所以n2－9n≤2n－10， 即n2－11n＋10≤0，解得1≤n≤10， 所以n的取值范圍是1≤n≤10(n∈N*)． 14．已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a2＝6，前n項和為Sn，{bn}是等比數(shù)列，b2＝2，a1b3＝12，S3＋b1＝19. (1)求{an}，{bn}的通項公式； (2)求數(shù)列{bncos(anπ)}的前n項和Tn. 解　(1)∵數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a2＝6， ∴S3＋b1＝3a2＋b1＝18＋b1＝19，∴b1＝1， ∵b2＝2，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，∴bn＝2n－1. ∴b3＝4，

9、∵a1b3＝12，∴a1＝3， ∵a2＝6，數(shù)列{an}是等差數(shù)列， ∴an＝3n. (2)由(1)得，令Cn＝bncos(anπ)＝(－1)n2n－1， ∴Cn＋1＝(－1)n＋12n， ∴＝－2，又C1＝－1， ∴數(shù)列{bncos(anπ)}是以－1為首項、－2為公比的等比數(shù)列， ∴Tn＝＝－[1－(－2)n]＝. 一、選擇題 1．設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若Sn＝2n＋1＋λ，則λ＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 答案　A 解析　解法一：a2＝S2－S1＝23－22＝4，a3＝S3－S2＝24－23＝8， 所以a1＝＝2，所以S1＝

10、22＋λ＝2，故λ＝－2. 解法二：Sn＝2n＋1＋λ＝2·2n＋λ，根據(jù)等比數(shù)列前n項和公式的結(jié)構(gòu)知λ＝－2. 2．《張丘建算經(jīng)》卷上第22題為：“今有女善織，日益功疾．初日織五尺，今一月日織九匹三丈．”其意思為今有女子善織布，且從第2天起，每天比前一天多織相同量的布，若第一天織5尺布，現(xiàn)在一個月(按30天計)共織390尺布．則該女最后一天織多少尺布？(　　) A．18 B．20 C．21 D．25 答案　C 解析　依題意得，織女每天所織的布的尺數(shù)依次排列形成一個等差數(shù)列，設(shè)為{an}，其中a1＝5，前30項和為390，于是有＝390，解得a30＝21，即該織女最后一天織21尺布

11、，選C. 3．若等比數(shù)列的前n項和，前2n項和，前3n項和分別為A，B，C，則(　　) A．A＋B＝C B．B2＝AC C．A＋B－C＝B3 D．A2＋B2＝A(B＋C) 答案　D 解析　由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，當(dāng)公比q≠－1時，A，B－A，C－B成等比數(shù)列，所以(B－A)2＝A(C－B)，所以A2＋B2＝AC＋AB＝A(B＋C)，當(dāng)q＝－1時，易驗證此等式成立，故選D. 4．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝4，S5≥S4≥S6，則公差d的取值范圍是(　　) A． B． C． D． 答案　A 解析　因為S5≥S4≥S6，所以S4＋a5≥S4≥S4＋a5＋a6，所以a

12、5≥0≥a5＋a6，又a1＝4，所以解得－1≤d≤－. 5．?dāng)?shù)列{an}中，已知對任意自然數(shù)n，a1＋a2＋…＋an＝2n－1，則a＋a＋…＋a等于(　　) A．(2n－1)2 B．(2n－1) C．4n－1 D．(4n－1) 答案　D 解析　當(dāng)n＝1時，a1＝2－1＝1；當(dāng)n≥2，n∈N*時，an＝(2n－1)－(2n－1－1)＝2n－1，n＝1時也符合，所以an＝2n－1(n∈N*)．所以a＝4n－1(n∈N*)也是等比數(shù)列，所以a＋a＋…＋a＝1＋4＋42＋…＋4n－1＝＝，故選D. 6．已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，r，s，t為正整數(shù)，則“r＋t＝2s”是“ar＋at＝2as

13、”的(　　) A．充要條件 B．必要不充分條件 C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件 答案　C 解析　設(shè){an}的公差為d，由ar＋at＝2as得(r＋t－2)d＝(2s－2)d，即r＋t＝2s或d＝0，則“r＋t＝2s”是“r＋t＝2s或d＝0”的充分不必要條件．故選C. 7．已知在公比不為1的等比數(shù)列{an}中，a2a4＝9，且2a3為3a2和a4的等差中項，設(shè)數(shù)列{an}的前n項積為Tn，則T8＝(　　) A．×37－ B．310 C．318 D．320 答案　D 解析　由題意，得a＝9，設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由2a3為3a2和a4的等差中項，得3·＋a3q＝4

14、·a3，由公比不為1，解得q＝3，所以T8＝a1·a2·…·a8＝aq28＝aq16·q12＝(a1q2)8·q12＝(a)4q12＝94×312＝320. 8．已知正項數(shù)列{an}滿足a－2a－an＋1an＝0，設(shè)bn＝log2，則數(shù)列{bn}的前n項和為(　　) A．n B． C． D． 答案　C 解析　因為a－2a－an＋1an＝0，所以(an＋1＋an)·(2an－an＋1)＝0，又因為an>0，所以2an－an＋1＝0，即＝2，所以數(shù)列{an}是公比為2的等比數(shù)列，＝＝2n，所以bn＝log2＝log22n＝n，所以數(shù)列{bn}的前n項和Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝. 二、

15、填空題 9．(2019·江西撫州七校聯(lián)考)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S10＝10，S30＝30，則S20＝________. 答案　20 解析　因為等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，所以S10，S20－S10，S30－S20成等比數(shù)列，因為S10＝10，S30＝30，所以(S20－10)2＝10×(30－S20)，解得S20＝20或S20＝－10，因為S20－S10＝q10S10>0，所以S20>0，則S20＝20. 10．(2019·廣東深圳適應(yīng)性考試)等差數(shù)列{an}中，a4＝10且a3，a6，a10成等比數(shù)列，數(shù)列{an}的前20項和S20＝________. 答案　

16、200或330 解析　設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則a3＝a4－d＝10－d，a6＝a4＋2d＝10＋2d，a10＝a4＋6d＝10＋6d，又a3a10＝a，即(10－d)(10＋6d)＝(10＋2d)2，整理得10d2－10d＝0，解得d＝0或d＝1.當(dāng)d＝0時，S20＝20a4＝200；當(dāng)d＝1時，a1＝a4－3d＝10－3×1＝7，于是，S20＝20a1＋d＝20×7＋190＝330. 11．(2019·河北唐山質(zhì)檢)設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，則Sn＝________. 答案　－ 解析　由已知得an＋1＝Sn＋1－Sn＝Sn＋1Sn，兩邊

17、同時除以Sn＋1Sn，得－＝－1，故數(shù)列是以－1為首項，－1為公差的等差數(shù)列，則＝－1－(n－1)＝－n，所以Sn＝－. 12．(2019·山東德州第一次考試)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1＝1，an≠0,3Sn＝anan＋1＋1，則a2019＝________. 答案　3028 解析　數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1＝1,3Sn＝anan＋1＋1　①，當(dāng)n＝1時，整理得3S1＝3a1＝a1·a2＋1，解得a2＝2，當(dāng)n≥2時，3Sn－1＝an－1·an＋1　②，①－②得，3an＝an(an＋1－an－1)，由于an≠0，故an＋1－an－1＝3(常數(shù))，故數(shù)列{an}的奇數(shù)項

18、為首項為1，公差為3的等差數(shù)列，則an＝1＋3.數(shù)列{an}的偶數(shù)項為首項為2，公差為3的等差數(shù)列，an＝2＋3，所以a2019＝1＋3＝3028. 三、解答題 13．(2018·全國卷Ⅲ)等比數(shù)列{an}中，a1＝1，a5＝4a3. (1)求{an}的通項公式； (2)記Sn為{an}的前n項和，若Sm＝63，求m. 解　(1)設(shè){an}的公比為q，由題設(shè)得an＝qn－1. 由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2. 故an＝(－2)n－1或an＝2n－1. (2)若an＝(－2)n－1，則Sn＝. 由Sm＝63得(－2)m＝－188，此方程沒有正整數(shù)解．

19、 若an＝2n－1，則Sn＝2n－1. 由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6. 綜上，m＝6. 14．(2019·全國卷Ⅱ)已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1＝1，b1＝0,4an＋1＝3an－bn＋4,4bn＋1＝3bn－an－4. (1)證明：{an＋bn}是等比數(shù)列，{an－bn}是等差數(shù)列； (2)求{an}和{bn}的通項公式． 解　(1)證明：由題設(shè)得4(an＋1＋bn＋1)＝2(an＋bn)， 即an＋1＋bn＋1＝(an＋bn)．又因為a1＋b1＝1， 所以{an＋bn}是首項為1，公比為的等比數(shù)列． 由題設(shè)得4(an＋1－bn＋1)＝4(an－bn)＋8， 即an＋1－bn＋1＝an－bn＋2. 又因為a1－b1＝1，所以{an－bn}是首項為1，公差為2的等差數(shù)列． (2)由(1)知，an＋bn＝，an－bn＝2n－1， 所以an＝[(an＋bn)＋(an－bn)]＝＋n－， bn＝[(an＋bn)－(an－bn)]＝－n＋.