2018屆中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 專題五 函數(shù)壓軸題試題
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1、 專題五 函數(shù)壓軸題 類型一 動(dòng)點(diǎn)函數(shù)圖象問題 此類問題一般是通過(guò)分析動(dòng)點(diǎn)在幾何圖形邊上的運(yùn)動(dòng)情況,確定出有關(guān)動(dòng)點(diǎn)函數(shù)圖象的變化情況.分析此類問題,首先要明確動(dòng)點(diǎn)在哪條邊上運(yùn)動(dòng),在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中引起了哪個(gè)量的變化,然后求出在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式,最后根據(jù)函數(shù)表達(dá)式判別圖象的變化. (2016·濟(jì)南)如圖,在四邊形ABCD中,AB∥CD,∠B=90°,AB=AD=5,BC=4,M,N,E分別是AB,AD,CB上的點(diǎn),AM=CE=1,AN=3.點(diǎn)P從點(diǎn)M出發(fā),以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿折線MB-BE向點(diǎn)E運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)N出發(fā),以相同的速度沿折線ND-DC-CE向點(diǎn)E運(yùn)動(dòng),當(dāng)
2、其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)后,另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng).設(shè)△APQ的面積為S,運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t s,則S與t之間的函數(shù)關(guān)系的大致圖象為( ) 【分析】 由點(diǎn)Q從點(diǎn)N出發(fā),沿折線ND-DC-CE向點(diǎn)E運(yùn)動(dòng),確定出點(diǎn)Q分別在ND,DC,CE運(yùn)動(dòng)時(shí)對(duì)應(yīng)的t的取值范圍,再根據(jù)t所在的取值范圍分別求出其對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式,最后根據(jù)函數(shù)關(guān)系式確定對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象. 1.(2017·白銀)如圖1,在邊長(zhǎng)為4 cm的正方形ABCD中,點(diǎn)P以每秒2 cm的速度從點(diǎn)A出發(fā),沿AB→BC的路徑運(yùn)動(dòng),到點(diǎn)C停止.過(guò)點(diǎn)P作PQ∥BD,PQ與邊AD(或邊CD)交于點(diǎn)Q,PQ的長(zhǎng)度y(cm)與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間x(s)
3、的函數(shù)圖象如圖2所示.當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)2.5 s時(shí),PQ的長(zhǎng)是( ) 圖1 圖2 A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.5 cm 2.(2017·葫蘆島)如圖,菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2,∠A=60°,點(diǎn)P和點(diǎn)Q分別從點(diǎn)B和點(diǎn)C出發(fā),沿射線BC向右運(yùn)動(dòng),且速度相同,過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥BD,垂足為H,連接PH.設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的距離為x(0<x≤2),△BPH的面積為S,則能反映S與x之間的函數(shù)關(guān)系的圖象大致為 ( ) 類型二 二次函數(shù)綜合題 二次函數(shù)的綜合題是中考數(shù)學(xué)的必考問題,一般作為壓軸題出現(xiàn),常與動(dòng)點(diǎn)、存在點(diǎn)、相似等相結(jié)
4、合,難度較大,是考生失分的重災(zāi)區(qū). 1.二次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)問題 (2017·濱州)如圖,直線y=kx+b(k,b為常數(shù))分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A(-4,0),B(0,3),拋物線y=-x2+2x+1與y軸交于點(diǎn)C. (1)求直線y=kx+b的函數(shù)表達(dá)式; (2)若點(diǎn)P(x,y)是拋物線y=-x2+2x+1上的任意一點(diǎn),設(shè)點(diǎn)P到直線AB的距離為d,求d關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式,并求d取最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo); (3)若點(diǎn)E在拋物線y=-x2+2x+1的對(duì)稱軸上移動(dòng),點(diǎn)F在直線AB上移動(dòng),求CE+EF的最小值. 【分析】 (1)利用待定系數(shù)法可求得直線表達(dá)式; (2)過(guò)P作PH⊥A
5、B于點(diǎn)H,過(guò)H作HQ⊥x軸,過(guò)P作PQ⊥y軸,兩垂線交于點(diǎn)Q,則可證明△PHQ∽△BAO,設(shè)H(m,m+3),利用相似三角形的性質(zhì)可得到d與x的函數(shù)表達(dá)式,再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得d取得最小值時(shí)的P點(diǎn)的坐標(biāo); (3)設(shè)C點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為C′,由對(duì)稱的性質(zhì)確定出C′點(diǎn)的坐標(biāo),利用(2)中所求函數(shù)關(guān)系式求得d的值,即可求得CE+EF的最小值. 解決二次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)問題,首先要明確動(dòng)點(diǎn)在哪條直線或拋物線上運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)速度是多少,結(jié)合直線或拋物線的表達(dá)式設(shè)出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)或表示出與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的線段長(zhǎng)度,最后結(jié)合題干中與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的條件進(jìn)行計(jì)算. 3.(2016·東營(yíng))在
6、平面直角坐標(biāo)系中,平行四邊形ABOC如圖放置,點(diǎn)A,C的坐標(biāo)分別是(0,4 (-1,0),將此平行四邊形繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到平行四邊形A′B′OC′. (1)若拋物線過(guò)點(diǎn)C,A,A′,求此拋物線的表達(dá)式; (2)點(diǎn)M是第一象限內(nèi)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn),問:當(dāng)點(diǎn)M在何處時(shí),△AMA′的面積最大?最大面積是多少?并求出此時(shí)M的坐標(biāo). 2.二次函數(shù)存在點(diǎn)問題 (2017·臨沂)如圖,拋物線y=ax2+bx-3經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,-3),與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)B,與y軸交于點(diǎn)C,且OC=3OB. (1)求拋物線的表達(dá)式; (2)點(diǎn)D在y軸上,且∠BDO=∠BAC,求
7、點(diǎn)D的坐標(biāo); (3)點(diǎn)M在拋物線上,點(diǎn)N在拋物線的對(duì)稱軸上,是否存在以點(diǎn)A,B,M,N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在,求出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由. 【分析】 (1)利用待定系數(shù)法可求得直線表達(dá)式;(2)先求出直線AB的表達(dá)式,然后求出直線AB與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而求出OB=OD,得出點(diǎn)D的坐標(biāo);(3)以AB為對(duì)角線和以AB為邊分別討論,從而得出結(jié)論. 解決二次函數(shù)存在點(diǎn)問題,一般先假設(shè)該點(diǎn)存在,根據(jù)該點(diǎn)所在的直線或拋物線的表達(dá)式,設(shè)出該點(diǎn)的坐標(biāo);然后用該點(diǎn)的坐標(biāo)表示出與該點(diǎn)有關(guān)的線段長(zhǎng)或其他點(diǎn)的坐標(biāo)等;最后結(jié)合題干中其他條件列出等式,
8、求出該點(diǎn)的坐標(biāo),然后判別該點(diǎn)坐標(biāo)是否符合題意,若符合題意,則該點(diǎn)存在,否則該點(diǎn)不存在. 4.(2016·日照)如圖1,拋物線y=-[(x-2)2+n]與x軸交于點(diǎn)A(m-2,0)和B(2m+3,0)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C,連接BC. (1)求m,n的值; (2)如圖2,點(diǎn)M,P分別為線段BC和線段OB上的動(dòng)點(diǎn),連接PM,PC,是否存在這樣的點(diǎn)P,使△PCM為等腰三角形、△PMB為直角三角形同時(shí)成立?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由. 3.二次函數(shù)相似問題 (2017·棗莊)如圖,拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于
9、點(diǎn)A和點(diǎn)B,與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)B坐標(biāo)為(6,0),點(diǎn)C坐標(biāo)為(0,6),點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn),過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線,垂足為E,連接BD. (1)求拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)D的坐標(biāo); (2)點(diǎn)F是拋物線上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)∠FBA=∠BDE時(shí),求點(diǎn)F的坐標(biāo); (3)若點(diǎn)M是拋物線上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)M作MN∥x軸與拋物線交于點(diǎn)N,點(diǎn)P在x軸上,點(diǎn)Q在坐標(biāo)平面內(nèi),以線段MN為對(duì)角線作正方形MPNQ,請(qǐng)寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo). 備用圖 【分析】 (1)由B,C的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法可求得拋物線表達(dá)式,再求其頂點(diǎn)D即可; (2)過(guò)F作FG⊥x軸于點(diǎn)G,可設(shè)出F點(diǎn)
10、坐標(biāo),利用△FBG∽△BDE,由相似三角形的性質(zhì)可得到關(guān)于F點(diǎn)坐標(biāo)的方程,可求得F點(diǎn)的坐標(biāo); (3)由M,N兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱,可知點(diǎn)P為對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn),點(diǎn)Q在對(duì)稱軸上,可設(shè)出Q點(diǎn)的坐標(biāo),則可表示出M的坐標(biāo),代入拋物線表達(dá)式可求得Q點(diǎn)的坐標(biāo). 二次函數(shù)相似問題常與動(dòng)點(diǎn)、存在點(diǎn)相結(jié)合,利用動(dòng)點(diǎn)或存在點(diǎn)的坐標(biāo)表示出與相似三角形有關(guān)的線段長(zhǎng),要注意邊的對(duì)應(yīng)有多種可能,對(duì)每一種情況都要具體分析討論,然后利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例列出方程,通過(guò)解方程求得結(jié)果,還要考慮求出的結(jié)果是否符合題意及實(shí)際情況. 5.(2016·濟(jì)南)如圖1,拋物線y=ax2+(a+3)x+3
11、(a≠0)與x軸交于點(diǎn)A(4,0),與y軸交于點(diǎn)B.在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)E(m,0)(0 12、點(diǎn)D,E為二次函數(shù)圖象上任一點(diǎn).
(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式;
(2)若點(diǎn)E在直線BC的上方,過(guò)點(diǎn)E分別作BC和y軸的垂線,交直線BC于不同的兩點(diǎn)F,G(F在G的左側(cè)),求△EFG的周長(zhǎng)的最大值;
(3)是否存在點(diǎn)E,使得△EDB是以BD為直角邊的直角三角形,如果存在,求點(diǎn)E的坐標(biāo);如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
參考答案
【例1】 如圖,過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)Q作QG⊥AB于點(diǎn)G,
當(dāng)0≤t≤2時(shí),點(diǎn)Q在線段ND上.
∵AB∥CD,∠B=90°,
∴四邊形BCDF是矩形,
∴DF=BC=4,
∴AF==3,
∴DC=BF=2,
∴AQ=A 13、N+NQ=3+t,AP=AM+MP=1+t.
∵QG∥DF,∴△AQG∽△ADF,
∴=,即=,
∴QG=(3+t),∴S=AP·QG=×(1+t)×(3+t)=t2+t+,且當(dāng)t=2時(shí),點(diǎn)Q恰好運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D,S=6;
當(dāng)2<t≤4時(shí),點(diǎn)Q在線段DC上,
∴S=AP·BC=×(1+t)×4=2t+2;
當(dāng)4<t≤5時(shí),點(diǎn)P,Q均在BC上運(yùn)動(dòng),BP=CQ=t-4,
∴PQ=BC-BP-CQ=12-2t,
∴S=AB·PQ=×5×(12-2t)=-5t+30,且當(dāng)t=5時(shí),點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E后停止運(yùn)動(dòng),此時(shí)S=5.
綜上所述,S=
由函數(shù)關(guān)系式,S與t之間的函數(shù)關(guān)系的大致圖象為C或D 14、.
∵t=2時(shí),S=6;t=5時(shí),S=5,6>5,
∴S與t之間的函數(shù)關(guān)系的大致圖象為D.故選D.
【變式訓(xùn)練】
1.B 2.A
【例2】 (1)∵y=kx+b經(jīng)過(guò)A(-4,0),B(0,3),
∴解得
∴直線的函數(shù)表達(dá)式為y=x+3.
(2)如圖,過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AB于點(diǎn)H,過(guò)點(diǎn)H作x軸的平行線MN,分別過(guò)點(diǎn)A,P作MN的垂線段,垂足分別為M,N.
設(shè)H(m,m+3),則M(-4,m+3),N(x,m+3),P(x,-x2+2x+1).
∵PH⊥AB,∴∠PHN+∠AHM=90°.
∵AM⊥MN,∴∠MAH+∠AHM=90°,
∴∠MAH=∠PHN.
∵∠AMH 15、=∠PNH=90°,∴△AMH∽△HNP.
∵M(jìn)A∥y軸,∴△MAH∽△OBA,
∴△OBA∽△NHP,∴==,
∴==,
整理得d=x2-x+,
當(dāng)x=時(shí),d最小,即P(,).
(3)如圖,作點(diǎn)C關(guān)于直線x=1的對(duì)稱點(diǎn)C′,過(guò)點(diǎn)C′作C′F⊥AB于F,交拋物線的對(duì)稱軸x=1于點(diǎn)E,此時(shí)CE+CF的值最?。?
根據(jù)對(duì)稱性,易知點(diǎn)C′(2,1).
∵點(diǎn)C′在拋物線上,
∴由(2)得,C′F=×22-2+=,
即CE+EF的最小值為.
【變式訓(xùn)練】
3.解:(1)∵平行四邊形ABOC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到平行四邊形A′B′OC′,A(0,4),C(-1,0),
16、∴A′(4,0),B(1,4).
設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=ax2+bx+c(a≠0),又拋物線過(guò)點(diǎn)C,A,A′,
∴解得
∴拋物線的表達(dá)式為y=-x2+3x+4.
(2)如圖,連接AA′,設(shè)點(diǎn)M的位置如圖所示,過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線交AA′于點(diǎn)N,連接MA,MA′,
∵點(diǎn)M是第一象限內(nèi)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn),
∴設(shè)點(diǎn)M(x,-x2+3x+4),其中0<x<4.
設(shè)直線AA′的表達(dá)式為y=kx+m,
則解得
∴直線AA′的表達(dá)式為y=-x+4.
∵M(jìn)N⊥x軸,∴點(diǎn)M,N的橫坐標(biāo)相同,
∴點(diǎn)N(x,-x+4),
∴MN=-x2+3x+4-(-x+4)=-x2+4x,
∴S△AMA 17、′=S△AMN+S△A′MN
=(x-0)(-x2+4x)+(4-x)(-x2+4x)
=-2x2+8x=-2(x-2)2+8,
∴當(dāng)x=2時(shí),△AMA′的面積最大,最大面積是8.
當(dāng)x=2時(shí),y=-22+3×2+4=6,即M(2,6).
【例3】 (1)當(dāng)x=0時(shí),y=-3,∴C(0,-3).
∵OC=3OB,∴OB=1,∴B(-1,0),
∴解得
∴拋物線的表達(dá)式為y=x2-2x-3.
(2)設(shè)直線AB的表達(dá)式為y=mx+n,
則解得
∴直線AB的表達(dá)式為y=-x-1,
∴直線AB與y軸的交點(diǎn)E(0,-1),
∴EC=AC=2,∠BAC=45°,∴∠BDO=∠BA 18、C=45°.
∵點(diǎn)D在y軸上,∴OB=OD=1.
∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,1)或(0,-1).
(3)存在.如圖,
①AB為對(duì)角線時(shí),易得平行四邊形AM1BN1,
∴M1(0,-3);
②AB為一邊時(shí),在平行四邊形ABM2N2中,點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是2,點(diǎn)N2的橫坐標(biāo)是1,點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是-1,由圖形平移前后點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系,得點(diǎn)M2的橫坐標(biāo)是
-2.
∴點(diǎn)M2的縱坐標(biāo)y=(-2)2-2×(-2)-3=5,
∴點(diǎn)M2(-2,5);
在平行四邊形ABN3M3中,點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是-1,點(diǎn)N3的橫坐標(biāo)是1,點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是2,由圖形平移前后點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系,得點(diǎn)M3的橫坐標(biāo)是4.
∴點(diǎn)M3的縱坐標(biāo) 19、y=42-2×4-3=5,∴點(diǎn)M3(4,5).
綜上所述,點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0,-3),(-2,5)或(4,5).
【變式訓(xùn)練】
4.解:(1)∵拋物線的對(duì)稱軸是x=2,
∴m-2+2m+3=4,解得m=1.∴A(-1,0), B(5,0).
把A(-1,0)代入拋物線表達(dá)式,
得-(9+n)=0,解得n=-9.∴m=1,n=-9.
(2)假設(shè)點(diǎn)P存在,設(shè)點(diǎn)P(x0,0)(0 20、角頂點(diǎn)時(shí),則 CM=MP.
∵△PMB∽△COB,∴==,
∴PM=(5-x0),BM=(5-x0),
∴CM=-(5-x0)=.
則(5-x0)=,解得x0=.∴P(,0).
綜上所述,滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,0)或(,0).
【例4】 (1)將點(diǎn)B(6,0),C(0,6)代入y=-x2+bx+c,
得解得
∴拋物線的表達(dá)式為y=-x2+2x+6.
∵y=-x2+2x+6=-(x-2)2+8,
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,8).
(2)如圖,當(dāng)點(diǎn)F在x軸上方時(shí),過(guò)F作FG⊥x軸于G,連接BF.
設(shè)F點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,-x2+2x+6),
∵∠FBA=∠BDE,
∠FG 21、B=∠BED=90°,
∴△FBG∽△BDE,
∴=.
∵點(diǎn)B(6,0),點(diǎn)D(2,8),
∴點(diǎn)E(2,0),BE=4,DE=8,OB=6,
∴=,解得x1=-1,x2=6(舍去),
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為(-1,).
當(dāng)點(diǎn)F在x軸下方時(shí),
同理可得點(diǎn)F的坐標(biāo)為(-3,-).
綜上可知,滿足條件的點(diǎn)F為(-1,)或(-3,-).
(3)設(shè)對(duì)角線MN,PQ交于點(diǎn)O′,如圖.
∵點(diǎn)M,N關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱,且四邊形MPNQ為正方形,
∴點(diǎn)P為拋物線對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn),點(diǎn)Q在拋物線對(duì)稱軸上,設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2,2n),則點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2-n,n).
∵點(diǎn)M在拋物線y=-x2+ 22、2x+6的圖象上,
∴n=-(2-n)2+2(2-n)+6,
化簡(jiǎn)得n2+2n-16=0,
解得n1=-1+,n2=-1-,
∴滿足條件的點(diǎn)Q有兩個(gè),坐標(biāo)分別為
Q1(2,-2+2)或Q2(2,-2-2).
【變式訓(xùn)練】
5.解:(1)∵點(diǎn)A(4,0)在拋物線y=ax2+(a+3)x+3上,
∴0=16a+4(a+3)+3,解得a=-.
∴拋物線的表達(dá)式是y=-x2+x+3,
令x=0,得y=3,
∴B(0,3).
設(shè)直線AB的函數(shù)表達(dá)式是y=kx+b,
則解得
故直線AB的函數(shù)表達(dá)式是y=-x+3.
(2)由E(m,0),
則N(m,-m+3),P(m,-m 23、2+m+3),
∴PN=-m2+3m,AE=4-m,NE=-m+3,
∴AN==.
∵∠NEA=∠NMP,∠ENA=∠MNP,
∴△ENA∽△MNP,∴==.
代入整理,得m2-6m+8=0.
解得m=2或m=4(舍去).
(3)如圖,在線段OB上取一點(diǎn)C,使OC=OE′,
連接CE′,AC,
由(2)知,m=2,∴OE′=OE=2.
∵OB=3,∴=.
∵OC=OE′,
∴=.
∵∠COE′=∠E′OB,
∴△COE′∽△E′OB,
∴==,∴CE′=E′B,
∴E′A+E′B=E′A+E′C≥AC,
∴當(dāng)E′恰好在AC上時(shí),E′A+E′B的值最小,最小 24、值為.
6.解:(1)∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-1,0),
B(4,0),C(-2,-3),
∴解得
故這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y=-x2+x+2.
(2)設(shè)BC所在直線的表達(dá)式為y=kx+n,
把B(4,0),C(-2,-3)代入,得
解得
則直線BC的表達(dá)式為y=x-2.
當(dāng)x=0時(shí),y=x-2=-2,即D(0,-2).
在Rt△OBD中,OD=2,BO=4,
∴BD==2.
設(shè)點(diǎn)E(x,-x2+x+2),點(diǎn)G(x0,x0-2),
∵EG⊥y軸,∴-x2+x+2=x0-2,
∴x0=-x2+3x+8,∴EG=x0-x=-x2+2x+8.
∵ 25、EG⊥y軸,∴EG∥x軸,∴∠EGF=∠DBO.
又∵∠EFG=∠DOB=90°,∴△EFG∽△DOB,
∴==,∴EF=EG,F(xiàn)G=EG.
△EFG的周長(zhǎng)=EF+FG+EG
=EG+EG+EG=(+1)(-x2+2x+8)
=(+1)[-(x-1)2+9].
即當(dāng)x=1時(shí),△EFG的周長(zhǎng)最大,最大值是+9.
(3)假設(shè)存在點(diǎn)E,使△EDB是以BD為直角邊的直角三角形.
連接AD,則AD=.
由(2)知,AB=5,BD=2.
∴AD2+BD2=AB2,
∴△ABD是以BD為直角邊的直角三角形.
設(shè)直線AD的表達(dá)式為y=mx+p,代入點(diǎn)A,D坐標(biāo),得解得
故直線AD的表達(dá)式為y=-2x-2.
聯(lián)立解得或
∴當(dāng)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(-1,0)或(8,-18)時(shí),△EDB是以BD為直角邊的直角三角形.
當(dāng)直線AD向上平移q個(gè)單位,使y=-2x-2+q恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)B,
則0=-2×4-2+q,解得q=10,
∴經(jīng)過(guò)點(diǎn)B且恰好與BD垂直的直線表達(dá)式為y=-2x+8.
聯(lián)立
解得或
∴當(dāng)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(3,2)時(shí),△EDB是以BD為直角邊的直角三角形;當(dāng)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(4,0)時(shí),與點(diǎn)B重合,不能構(gòu)成三角形,故舍去.
綜上所述,點(diǎn)E的坐標(biāo)為(-1,0)或(8,-18)或(3,2)時(shí),△EDB是以BD為直角邊的直角三角形.
13
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