2018年中考數(shù)學(xué)考點總動員系列 專題32 圖形的旋轉(zhuǎn)（含解析）

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1、 考點三十二：圖形的旋轉(zhuǎn) 聚焦考點☆溫習(xí)理解 一、旋轉(zhuǎn) 1、定義 把一個圖形繞某一點O轉(zhuǎn)動一個角度的圖形變換叫做旋轉(zhuǎn)，其中O叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動的角叫做旋轉(zhuǎn)角。 2、性質(zhì) （1）對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等。 （2）對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角。 二、中心對稱 1、定義 把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠和原來的圖形互相重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心。 2、性質(zhì) （1）關(guān)于中心對稱的兩個圖形是全等形。 （2）關(guān)于中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經(jīng)過對稱中心，并且被對稱中心平分。

2、（3）關(guān)于中心對稱的兩個圖形，對應(yīng)線段平行（或在同一直線上）且相等。 3、判定 如果兩個圖形的對應(yīng)點連線都經(jīng)過某一點，并且被這一點平分，那么這兩個圖形關(guān)于這一點對稱。 4、中心對稱圖形 把一個圖形繞某一個點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠和原來的圖形互相重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個店就是它的對稱中心。 三、中心對稱與軸對稱的區(qū)別與聯(lián)系： 1.中心對稱與軸對稱的區(qū)別：中心對稱有一個對稱中心——點；圖形繞中心旋轉(zhuǎn)180°，旋轉(zhuǎn)后與另一個圖形重合．軸對稱有一條對稱軸——直線．圖形沿直線翻折180°，翻折后與另一個圖形重合． 2.中心對稱與軸對稱的聯(lián)系：如果一個軸對稱圖形有

3、兩條互相垂直的對稱軸，那么它必是中心對稱圖形，這兩條對稱軸的交點就是它的對稱中心，但中心對稱圖形不一定是軸對稱圖形． 四、中心對稱與中心對稱圖形區(qū)別與聯(lián)系. 1.中心對稱與中心對稱圖形的區(qū)別：中心對稱是兩個圖形的位置關(guān)系，必須涉及兩個圖形，中心對稱圖形是指一個圖形；中心對稱是指其中一個圖形沿對稱中心旋轉(zhuǎn)180°后，兩個圖形重合；中心對稱圖形是指該圖形繞對稱中心旋轉(zhuǎn)180°，與原圖形重合． 2.中心對稱與中心對稱圖形的聯(lián)系：如果把兩個成中心對稱的圖形拼在一起，看成一個整體，那么它就是中心對稱圖形；如果把中心對稱圖形看成以對稱中心為分點的兩個圖形，那么這兩個圖形成中心對稱． 名師點睛☆

4、典例分類 考點典例一、識別中心對稱圖形 【例1】（2017甘肅慶陽第1題）下面四個手機應(yīng)用圖標(biāo)中，屬于中心對稱圖形的是（　?。? A． B． C． D． 【答案】B． 考點：中心對稱圖形. 【點睛】本題考查中心對稱圖形的概念：在同一平面內(nèi)，如果把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180度，旋轉(zhuǎn)后的圖形能和原圖形完全重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形．中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后兩部分重合． 【舉一反三】 1．（2017江蘇無錫第4題）下列圖形中，是中心對稱圖形的是（　?。? A． B． C． D． 【答案】C． 考點：中心對稱圖形． 2. （2017山東煙

5、臺第2題）下列國旗圖案是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形的是（ ） 【答案】A． 【解析】 試題解析：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，符合題意； B、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，不合題意； C、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，不合題意； D、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，不合題意． 故選A． 考點：中心對稱圖形；軸對稱圖形． 考點典例二、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)應(yīng)用 【例2】（2017廣西貴港第11題）如圖，在中， ，將繞頂點逆時針旋轉(zhuǎn)得到是的中點，是的中點，連接，若，則線段的最大值是 （ ） A． B．

6、 C. D． 【答案】B 【解析】 試題解析：如圖連接PC． 在Rt△ABC中，∵∠A=30°，BC=2， ∴AB=4， 根據(jù)旋轉(zhuǎn)不變性可知，A′B′=AB=4， ∴A′P=PB′， ∴PC=A′B′=2， ∵CM=BM=1， 又∵PM≤PC+CM，即PM≤3， ∴PM的最大值為3（此時P、C、M共線）． 故選B． 考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)． 【點睛】此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的應(yīng)用．通常在解決此類問題時要注意：(1)抓住旋轉(zhuǎn)中的“變”與“不變”；(2)找準(zhǔn)旋轉(zhuǎn)前后的對應(yīng)點和對應(yīng)線段、旋轉(zhuǎn)角等；(3)充分利用旋轉(zhuǎn)過程中線段、角之

7、間的關(guān)系． 【舉一反三】 1. （2017湖北孝感第8題） 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點的坐標(biāo)為 ，以原點為中心，將點順時針旋轉(zhuǎn)得到點，則點坐標(biāo)為（ ） A． B． C. D． 【答案】D 【解析】 試題分析：作AB⊥x軸于點B， ∴AB= 、OB=1，則tan∠AOB==，∴∠AOB=60°，∴∠AOy=30° ∴將點A順時針旋轉(zhuǎn)150°得到點A′后，如圖所示， OA′=OA= =2，∠A′OC=30°， ∴A′C=1、OC=，即A′（，﹣1）， 故選D． 考點：坐標(biāo)與圖形的變化﹣旋轉(zhuǎn). 2. （201

8、7廣西貴港第16題）如圖，點 在等邊的內(nèi)部，且，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，則的值為 ． 【答案】 【解析】 試題解析：連接PP′，如圖， ∵線段PC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到P'C， ∴CP=CP′=6，∠PCP′=60°， ∴△CPP′為等邊三角形， ∴PP′=PC=6， ∵△ABC為等邊三角形， ∴CB=CA，∠ACB=60°， ∴∠PCB=∠P′CA， 在△PCB和△P′CA中 ∴△PCB≌△P′CA， ∴PB=P′A=10， ∵62+82=102， ∴PP′2+AP2=P′A2， ∴△APP′為直角三角形，∠APP′

9、=90°， ∴sin∠PAP′=． 考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；解直角三角形． 考點典例三、與旋轉(zhuǎn)有關(guān)的作圖 【例3】. （2017浙江寧波第20題）在的方格紙中，的三個頂點都在格點上. (1)在圖1中畫出與成軸對稱且與有公共邊的格點三角形(畫出一個即可)； (2)將圖2中的繞著點按順時針方向旋轉(zhuǎn)，畫出經(jīng)旋轉(zhuǎn)后的三角形. 【答案】（1）作圖見解析；（2）作圖見解析. 【解析】 試題分析：根據(jù)題意畫出圖形即可. 試題解析：（1）如圖所示： 或 （2）如圖所示： 考點：1.軸對稱圖形；2.旋轉(zhuǎn). 【點睛】本題考查了利用旋轉(zhuǎn)變換作圖，利用軸對稱變

10、換作圖，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)準(zhǔn)確找出對應(yīng)點的位置是解題的關(guān)鍵． 【舉一反三】 （2017黑龍江齊齊哈爾第21題）如圖，平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，小正方形網(wǎng)格的邊長為1個單位長度，的三個頂點的坐標(biāo)分別為，，． （1）畫出關(guān)于軸的對稱圖形； （2）畫出將繞原點逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到的； （3）求（2）中線段掃過的圖形面積． 【答案】（1）畫圖見解析；（2）畫圖見解析；（3）線段OA掃過的圖形面積為π． 【解析】 考點：1.作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換；2.扇形面積的計算；3.作圖﹣軸對稱變換． 課時作業(yè)☆能力提升 1. （2017郴州第2題）下列圖形既是對稱圖形又是中心對稱圖形的是（ ）

11、 【答案】B． 【解析】 試題分析：根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念可得選項A是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形； 選項B既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形；選項C不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形；選項D是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形．故選B． 考點：軸對稱圖形和中心對稱圖形. 2. （2017四川自貢第6題0下列圖形中，是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形的是（　?。? 【答案】A. 考點：1.軸對稱圖形；2.中心對稱圖形. 3. （2017甘肅蘭州第14題）如圖，在正方形和正方形中，點在上，，將正方形繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得到正方形，此時點在上，連接，則( ) A.

12、 B. C. D. 【答案】AA 【解析】 試題解析：作G′I⊥CD于I，G′R⊥BC于R，E′H⊥BC交BC的延長線于H．連接RF′．則四邊形RCIG′是正方形． ∵∠DG′F′=∠IGR=90°， ∴∠DG′I=∠RG′F′， 在△G′ID和△G′RF中， ∴△G′ID≌△G′RF， ∴∠G′ID=∠G′RF′=90°， ∴點F在線段BC上， 在Rt△E′F′H中，∵E′F′=2，∠E′F′H=30°， ∴E′H=E′F′=1，F(xiàn)′H=， 易證△RG′F′≌△HF′E′， ∴RF′=E′H，RG′RC=F′H， ∴CH=RF′=E′H，

13、 ∴CE′=， ∵RG′=HF′=， ∴CG′=RG′=， ∴CE′+CG′=+． 故選A． 考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；正方形的性質(zhì)． 4. （2017貴州安順第16題）如圖，一塊含有30°角的直角三角板ABC，在水平桌面上繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)到A′B′C′的位置，若BC=12cm，則頂點A從開始到結(jié)束所經(jīng)過的路徑長為　 　cm． 【答案】16π 考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)． 5. （2017江蘇鹽城第15題）如圖，在邊長為1的小正方形網(wǎng)格中，將△ABC繞某點旋轉(zhuǎn)到△A'B'C'的位置，則點B運動的最短路徑長為 ． 【答案】 【解析】 試題解析

14、：如圖作線段AA′、CC′的垂直平分線相交于點P，點P即為旋轉(zhuǎn)中心， 觀察圖象可知，旋轉(zhuǎn)角為90°（逆時針旋轉(zhuǎn)）時B運動的路徑長最短，PB=， ∴B運動的最短路徑長為=. 考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)． 6. （2017四川宜賓第12題）如圖，將△AOB繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°后得到△COD，若∠AOB=15°，則∠AOD的度數(shù)是　 ?。? 【答案】60°. 【解析】 試題解析：如圖，由題意及旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)得：∠AOC=45°， ∵∠AOB=15°， ∴∠AOD=45°+15°=60°. 考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)． 7. （2017浙江衢州第16題） 如圖，正△ABO的邊長為

15、2，O為坐標(biāo)原點，A在軸上，B在第二象限?！鰽BO沿軸正方向作無滑動的翻滾，經(jīng)第一次翻滾后得△A1B1O，則翻滾3次后點B的對應(yīng)點的坐標(biāo)是__________；翻滾2017次后AB中點M經(jīng)過的路徑長為__________ 【答案】（5，）；. 【解析】 試題解析：如圖，作B3E⊥x軸于E， 易知OE=5，B3E=， ∴B3（5，）， 觀察圖象可知三次一個循環(huán)，一個循環(huán)點M的運動路徑為： ， ∵2017÷3=672…1， ∴翻滾2017次后AB中點M經(jīng)過的路徑長為： 672?（． 考點：點的坐標(biāo). 8. （2017湖南株洲第16題）如圖示直線y=x+與x軸、y軸分

16、別交于點A、B，當(dāng)直線繞著點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)到與x軸首次重合時，點B運動的路徑的長度為　?。? 【答案】. 【解析】 試題分析：y=0時，x+=0，解得x=﹣1，則A（﹣1，0）， 當(dāng)x=0時，y=x+=，則B（0，）， 在Rt△OAB中，∵tan∠BAO==，∴∠BAO=60°， ∴AB= ， ∴當(dāng)直線繞著點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)到與x軸首次重合時，點B運動的路徑的長度=． 故答案為． 考點：一次函數(shù)圖象與幾何變換；軌跡． 9．（2017湖北咸寧第15題） 如圖，邊長為的正六邊形的中心與坐標(biāo)原點重合，軸，將正六邊形繞原點順時針旋轉(zhuǎn)次，每次旋轉(zhuǎn)，當(dāng)時，頂點的坐標(biāo)為

17、 ． 【答案】（2，2） 考點：坐標(biāo)與圖形變化﹣旋轉(zhuǎn)；規(guī)律型：點的坐標(biāo)． 10. （2017上海第16題）一副三角尺按如圖的位置擺放（頂點C 與F 重合，邊CA與邊FE疊合，頂點B、C、D在一條直線上）．將三角尺DEF繞著點F按順時針方向旋轉(zhuǎn)n°后（0＜n＜180 ），如果EF∥AB，那么n的值是　　． 【答案】45 【解析】 試題分析：①如圖1中，EF∥AB時，∠ACE=∠A=45°，∴旋轉(zhuǎn)角n=45時，EF∥AB． ②如圖2中，EF∥AB時，∠ACE+∠A=180°，∴∠ACE=135°∴旋轉(zhuǎn)角n=360°﹣135°=225°， ∵0＜n°＜180，∴此

18、種情形不合題意， 故答案為45 考點：1.旋轉(zhuǎn)變換；2.平行線的性質(zhì) 11（2017湖南張家界第14題）如圖，在正方形ABCD中，AD=，把邊BC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)30°得到線段BP，連接AP并延長交CD于點E，連接PC，則三角形PCE的面積為 ． 【答案】． 【解析】 試題分析：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，∵把邊BC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)30°得到線段BP，∴PB=BC=AB，∠PBC=30°，∴∠ABP=60°，∴△ABP是等邊三角形，∴∠BAP=60°，AP=AB=，∵AD=，∴AE=4，DE=2，∴CE=﹣2，PE=4﹣，過P作PF⊥CD于F，∴

19、PF=PE=﹣3，∴三角形PCE的面積=CE?PF=×（﹣2）×（﹣3）=，故答案為：． 考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；正方形的性質(zhì)；綜合題． 12. （2017貴州六盤水第22題）如圖，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，的頂點均在格點上. (1)畫出關(guān)于原點成中心對稱的，并直接寫出各頂點的坐標(biāo). (2)求點旋轉(zhuǎn)到點的路徑(結(jié)果保留). 【答案】(1) ;(2) . 試題分析：(1)利用中心對稱畫出圖形并寫出坐標(biāo)；(2)利用弧線長計算公式計算點旋轉(zhuǎn)到點的路徑． 試題解析： （1）圖形如圖所示， （2）由圖可知，OB=, ∴=. 考點：坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)（中心對稱）；弧線長計算

20、公式． 13.（2017遼寧大連第24題）如圖，在中，，，點分別在上（點與點不重合），且.將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到.當(dāng)?shù)男边?、直角邊與分別相交于點（點與點不重合）時，設(shè). （1）求證：； （2）求關(guān)于的函數(shù)解析式，并直接寫出自變量的取值范圍. 【答案】（1）見解析；（2） 【解析】 試題分析：（1）根據(jù)等角的余角相等即可證明； （2）分兩種情形①如圖1中，當(dāng)C′E′與AB相交于Q時，即時，過P作MN∥DC′，設(shè)∠B=α．②當(dāng)DC′交AB于Q時，即時，如圖2中，作PM⊥AC于M，PN⊥DQ于N，則四邊形PMDN是矩形，分別求解即可； 試題解析：（1）證明：如圖1中， ∵∠

21、EDE′=∠C=90°，∴∠ADP+∠CDE=90°，∠CDE+∠DEC=90°， ∴∠ADP=∠DEC． （2）解：如圖1中，當(dāng)C′E′與AB相交于Q時，即時，過P作MN∥DC′，設(shè)∠B=α ∴MN⊥AC，四邊形DC′MN是矩形， ∴PM=PQ?cosα=y，PN=×（3﹣x）， ∴（3﹣x）+y=x，∴， 當(dāng)DC′交AB于Q時，即時，如圖2中，作PM⊥AC于M，PN⊥DQ于N，則四邊形PMDN是矩形， ∴PN=DM， ∵DM=（3﹣x），PN=PQ?sinα=y， ∴（3﹣x）=y，∴． 綜上所述， 考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；函數(shù)關(guān)系式；矩形的判定與性質(zhì)；解直角三角形

22、. 14. （2017郴州第26題）如圖，是邊長為的等邊三角形，邊在射線上，且，點從點出發(fā)，沿的方向以的速度運動，當(dāng)不與點重合是，將繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到，連接. （1）求證：是等邊三角形； （2）當(dāng)時，的周長是否存在最小值？若存在，求出的最小周長； 若不存在，請說明理由. （3）當(dāng)點在射線上運動時，是否存在以為頂點的三角形是直角三角形？ 若存在，求出此時的值；若不存在，請說明理由. 【答案】（1）詳見解析；（2）存在，2+4；（3）當(dāng)t=2或14s時，以D、E、B為頂點的三角形是直角三角形． 【解析】 試題分析：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠DCE=60°，DC=

23、EC，即可得到結(jié)論；（2）當(dāng)6＜t＜10時，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到BE=AD，于是得到C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到DE=CD，由垂線段最短得到當(dāng)CD⊥AB時，△BDE的周長最小，于是得到結(jié)論；（3）存在，①當(dāng)點D與點B重合時，D，B，E不能構(gòu)成三角形，②當(dāng)0≤t＜6時，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠ABE=60°，∠BDE＜60°，求得∠BED=90°，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠DEB=60°，求得∠CEB=30°，求得OD=OA﹣DA=6﹣4=2，于是得到t=2÷1=2s；③當(dāng)6＜t＜10s時，此時不存在；④當(dāng)t＞10s時，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠DBE=60°，求得

24、∠BDE＞60°，于是得到t=14÷1=14s． 試題解析：（1）證明：∵將△ACD繞點C逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△BCE， ∴∠DCE=60°，DC=EC， ∴△CDE是等邊三角形； （3）存在，①∵當(dāng)點D與點B重合時，D，B，E不能構(gòu)成三角形， ∴當(dāng)點D與點B重合時，不符合題意， ②當(dāng)0≤t＜6時，由旋轉(zhuǎn)可知，∠ABE=60°，∠BDE＜60°， ∴∠BED=90°， 由（1）可知，△CDE是等邊三角形， ∴∠DEB=60°， ∴∠CEB=30°， ∵∠CEB=∠CDA， ∴∠CDA=30°， ∵∠CAB=60°， ∴∠ACD=∠ADC=30°， ∴DA=CA=4， ∴OD=OA﹣DA=6﹣4=2， ∴t=2÷1=2s； ③當(dāng)6＜t＜10s時，由∠DBE=120°＞90°， ∴此時不存在； ④當(dāng)t＞10s時，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，∠DBE=60°， 又由（1）知∠CDE=60°， ∴∠BDE=∠CDE+∠BDC=60°+∠BDC， 而∠BDC＞0°， ∴∠BDE＞60°， ∴只能∠BDE=90°， 從而∠BCD=30°， ∴BD=BC=4， ∴OD=14cm， ∴t=14÷1=14s， 綜上所述：當(dāng)t=2或14s時，以D、E、B為頂點的三角形是直角三角形． 考點：旋轉(zhuǎn)與三角形的綜合題. 21