2020年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 重難題型突破 類型三 其他探究題

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1、類型三 其他探究題 例1、已知正方形ABCD中，E為對角線BD上一點(diǎn)，過E點(diǎn)作EF⊥BD交BC于F，連接DF，G為DF中點(diǎn)，連接EG，CG． （1）直接寫出線段EG與CG的數(shù)量關(guān)系； （2）將圖1中△BEF繞B點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)45o，如圖2所示，取DF中點(diǎn)G，連接EG，CG． 你在（1）中得到的結(jié)論是否發(fā)生變化？寫出你的猜想并加以證明． （3）將圖1中△BEF繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖3所示，再連接相應(yīng)的線段，問（1）中的結(jié)論是否仍然成立？（不要求證明） F B A C E 圖3 D F B A D C E G 圖2 F B A D C E

2、 G 圖1 【答案】解：（1）CG=EG （2）（1）中結(jié)論沒有發(fā)生變化，即EG=CG． 證明：連接AG，過G點(diǎn)作MN⊥AD于M，與EF的延長線交于N點(diǎn)． F B A D C E G M N N 圖 2 在△DAG與△DCG中， ∵ AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG， ∴ △DAG≌△DCG． ∴ AG=CG． 在△DMG與△FNG中， ∵ ∠DGM=∠FGN，F(xiàn)G=DG，∠MDG=∠NFG， ∴ △DMG≌△FNG． ∴ MG=NG F B A D C E 圖3③ G 在矩形AENM中，AM=

3、EN． 在Rt△AMG 與Rt△ENG中， ∵ AM=EN， MG=NG， ∴ △AMG≌△ENG． ∴ AG=EG． ∴ EG=CG． （3）（1）中的結(jié)論仍然成立． 例2、請閱讀下列材料 問題：如圖1，在等邊三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，且PA=2， PB=， PC=1．求∠BPC度數(shù)的大小和等邊三角形ABC的邊長． 李明同學(xué)的思路是：將△BPC繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)60°，畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形（如圖2）．連接PP′，可得△P′PC是等邊三角形，而△PP′A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可證）．所以∠AP′C=150°，而∠BPC=∠AP′C=150°．進(jìn)而求出等邊△ABC的邊

4、長為．問題得到解決． 請你參考李明同學(xué)的思路，探究并解決下列問題：如圖3，在正方形ABCD內(nèi)有一點(diǎn)P，且PA=，BP=，PC=1．求∠BPC度數(shù)的大小和正方形ABCD的邊長． 圖2 圖3 圖1  【答案】解：（1）如圖，將△BPC繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得△BP′A，則△BPC≌△BP′A． ∴AP′=PC=1，BP=BP′=． 連結(jié)P P′， 在Rt△BP′P中， ∵ BP=BP′=，∠PBP′=90°， ∴ P P′=2，∠BP′P=45°． 在△AP′P中， AP′=1，P P′=2，AP=， ∵ ，即AP′ 2 + PP′ 2

5、= AP2． ∴ △AP′P是直角三角形，即∠A P′ P=90°． ∴ ∠AP′B=135°． ∴ ∠BPC=∠AP′B=135°． （2）過點(diǎn)B作BE⊥AP′ 交AP′ 的延長線于點(diǎn)E． ∴ ∠EP′ B=45°. ∴ EP′=BE=1. ∴ AE=2. ∴ 在Rt△ABE中，由勾股定理，得AB=． ∴ ∠BPC=135°，正方形邊長為． 例3、如圖1，已知∠ABC=90°，△ABE是等邊三角形，點(diǎn)P為射線BC上任意一點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)B不重合），連結(jié)AP，將線段AP繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AQ，連結(jié) QE并延長交射線BC于點(diǎn)F. （1）如圖2，當(dāng)BP=BA時

6、，∠EBF=　　°，猜想∠QFC= °； （2）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P為射線BC上任意一點(diǎn)時，猜想∠QFC的度數(shù)，并加以證明； 圖1 A C B E Q F P （3）已知線段AB=，設(shè)BP=，點(diǎn)Q到射線BC的距離為y，求y關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式． 圖2 A B E Q P F C 【答案】解: （1） 30° = 60° ?。?）=60° 不妨設(shè)BP＞, 如圖1所示 ∵∠BAP=∠BAE+∠EAP=60°+∠EAP ∠EAQ=∠QAP+∠EAP=60°+∠EAP ∴∠BAP=∠EAQ

7、 在△ABP和△AEQ中 AB=AE，∠BAP=∠EAQ， AP=AQ ∴△ABP≌△AEQ（SAS） ∴∠AEQ=∠ABP=90° ∴∠BEF ∴=60° (事實(shí)上當(dāng)BP≤時，如圖2情形，不失一般性結(jié)論仍然成立，不分類討論不扣分） (3)在圖1中，過點(diǎn)F作FG⊥BE于點(diǎn)G ∵△ABE是等邊三角形 　　 ∴BE=AB=，由（1）得30° 在Rt△BGF中， ∴BF= ∴EF=2 ∵△ABP≌△AEQ ∴QE=BP= ∴QF=QE＋EF 過點(diǎn)Q作QH⊥BC，垂足為H 在Rt△QHF中，（x＞0） 即y

8、關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是：. 例4、如圖，將OA= 6，AB = 4的矩形OABC放置在平面直角坐標(biāo)系中，動點(diǎn)M、N以每秒１個單位的速度分別從點(diǎn)A、C同時出發(fā)，其中點(diǎn)M沿AO向終點(diǎn)O運(yùn)動，點(diǎn)N沿CB向終點(diǎn)B運(yùn)動，當(dāng)兩個動點(diǎn)運(yùn)動了t秒時，過點(diǎn)N作NP⊥BC，交OB于點(diǎn)P，連接MP． （1）點(diǎn)B的坐標(biāo)為；用含t的式子表示點(diǎn)P的坐標(biāo)為； （2）記△OMP的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式（0 < t < 6）；并求t為何值時，S有最大值？ （3）試探究：當(dāng)S有最大值時，在y軸上是否存在點(diǎn)T，使直線MT把△ONC分割成三角形和四邊形兩部分，且三角形的面積是△ONC面積的？若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；

9、若不存在，請說明理由． （備用圖） 【答案】解：（1）（6，4）；（）. （2）∵S△OMP =×OM×， ∴S =×（6 -t）×=+2t． ＝（0 < t <6）． ∴當(dāng)時，S有最大值． （3）存在． 由（2）得：當(dāng)S有最大值時，點(diǎn)M、N的坐標(biāo)分別為：M（3，0），N（3，4）， 則直線ON的函數(shù)關(guān)系式為：． （備用圖） R2 T1 T2 R1 D2 D1 設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為（0，b），則直線MT的函數(shù)關(guān)系式為：， 解方程組得 ∴直線ON與MT的交點(diǎn)R的坐標(biāo)為． 例5、如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，點(diǎn)O為A

10、B中點(diǎn)，點(diǎn)P為直線BC上的動點(diǎn)(不與點(diǎn)B、點(diǎn)C重合)，連接OC、OP，將線段OP繞點(diǎn)P逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段PQ，連接BQ. (1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時，請直接寫出線段BQ與CP的數(shù)量關(guān)系； (2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)P在CB延長線上時，(1)中結(jié)論是否成立？若成立，請加以證明；若不成立，請說明理由； (3)如圖③，當(dāng)點(diǎn)P在BC延長線上時，若∠BPO＝45°，AC＝，請直接寫出BQ的長． 第3題圖 【答案】解：(1)CP＝BQ; 【解法提示】如解圖①，連接OQ， 第3題解圖① 由旋轉(zhuǎn)可知，PQ＝OP，∠OPQ＝60°， ∴△POQ是等邊三角形， ∴OP＝OQ，

11、∠POQ＝60°， 在Rt△ABC中，O是AB中點(diǎn)， ∴OC＝OA＝OB， ∴∠BOC＝2∠A＝60°＝∠POQ， ∴∠COP＝∠BOQ， 在△COP和△BOQ中， ∴△COP≌△BOQ(SAS)， ∴CP＝BQ； (2)成立，理由如下： 如解圖②，連接OQ， 第3題解圖② 由旋轉(zhuǎn)知PQ＝OP，∠OPQ＝60°， ∴△POQ是等邊三角形， ∴OP＝OQ，∠POQ＝60°， ∵在Rt△ABC中，O是AB中點(diǎn)， ∴OC＝OA＝OB， ∴∠BOC＝2∠A＝60°＝∠POQ，∴∠COP＝∠BOQ， 在△COP和△BOQ中， ∴△COP≌△BOQ(SAS)， ∴CP＝BQ； (3)BQ＝. 【解法提示】在Rt△ABC中，∠A＝30°，AC＝， ∴BC＝AC·tanA＝， 如解圖③，過點(diǎn)O作OH⊥BC于點(diǎn)H， 第3題解圖③ ∴∠OHB＝90°＝∠BCA，∴OH∥AC， ∵O是AB中點(diǎn)， ∴CH＝BC＝，OH＝AC＝， ∵∠BPO＝45°，∠OHP＝90°， ∴∠BPO＝∠POH，∴PH＝OH＝， ∴CP＝PH－CH＝－＝， 連接OQ，同(1)的方法得，BQ＝CP＝. 6