2020年中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)總動員 第25講 視圖與投影（含解析）

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1、第25講　視圖與投影 1．三視圖 (1)主視圖：從正面看到的圖形；(2)左視圖：從左面看到的圖形；(3)俯視圖：從上面看到的圖形． 2．畫“三視圖”的原則 (1)位置：主視圖；左視圖；俯視圖． (2)三種視圖邊的關(guān)系：長對正，高平齊，寬相等． (3)虛實：在畫圖時，看得見部分的輪廓線通常畫成實線，看不見部分的輪廓線通常畫成虛線． 3．幾種常見幾何體的三視圖 4.投影 物體在光線的照射下，會在地面或墻壁上留下它的影子，這就是投影現(xiàn)象． (1)平行投影：太陽光線可以看成平行光線，像這樣的光線所形成的投影稱為平行投影． 在同一時刻，物體高度與影子長度成比

2、例． 物體的三視圖實際上就是該物體在某一平行光線(垂直于投影面的平行光線)下的平行投影． (2)中心投影：探照燈、手電筒、路燈和臺燈的光線可以看成是從一點(diǎn)出發(fā)的光線，像這樣的光線所形成的投影稱為中心投影． 5．立體圖形的展開 (1)常見幾何體的展開圖 (2)正方體展開圖的三種類型 第一類：“141”型，特點(diǎn)：四個連成一排，兩側(cè)各有一個正方形．如下圖： 如圖中數(shù)字“1”與“6”相對，“2”與“4”相對，“3”與“5”相對． 第三類：“222”型和“33”型，特點(diǎn)：兩面三行，像樓梯；三面兩行，兩臺階．如圖： 圖中“1”與“4”，“2”與“5”，“3”與“6”相對

3、． 6．立體圖形的折疊 一個幾何體能展開成一個平面圖形，這個平面圖形就可以折疊成相應(yīng)的幾何體，展開與折疊是一對互逆的過程. 考點(diǎn)1：立體圖形的展開與折疊 【例題1】（2019?貴州畢節(jié)?3分）由下面正方體的平面展開圖可知，原正方體“中”字所在面的對面的漢字是（　?。? A．國 B．的 C．中 D．夢 【答案】B 【解答】解：根據(jù)正方體相對的面的特點(diǎn)，“中”字所在的面的對面的漢字是“的”， 故選：B． 歸納：1．可通過具體操作強(qiáng)化空間觀念，即熟練的進(jìn)行平面圖形與立體圖形之間的互相轉(zhuǎn)化．2．折疊與展開是一個互逆的過程，可通過折疊驗證展開，也可通過展開驗證折疊． 考點(diǎn)2：三

4、視圖 【例題2】（2019?甘肅?3分）已知某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖為等邊三角形，則該幾何體的左視圖的面積為?。?8+2）cm2　． 【答案】（18+2）cm2． 【分析】由三視圖想象幾何體的形狀，首先，應(yīng)分別根據(jù)主視圖、俯視圖和左視圖想象幾何體的前面、上面和左側(cè)面的形狀，然后綜合起來考慮整體形狀． 【解答】解：該幾何體是一個三棱柱，底面等邊三角形邊長為2cm，高為cm，三棱柱的高為3，所以，其表面積為3×2×3+2×＝18+2（cm2）． 故答案為（18+2）cm2． 歸納：先要明確俯視圖的觀察方向，再區(qū)分俯視圖中的線段是實線還是虛線．觀察俯視圖時要從上往下看，注

5、意看到的部分用實線，看不到的部分用虛線． 考點(diǎn)3： 涉及三視圖計算問題 【例題3】圖，一透明的敞口正方體容器ABCD－A′B′C′D′中裝有一些液體，棱AB始終在水平桌面上，容器底部的傾斜角為α(∠CBE＝α)． 探究：如圖①，液面剛好過棱CD，并與棱BB′交于點(diǎn)Q，此時液體的形狀為直三棱柱，其三視圖及尺寸如圖②所示． 解決問題： (1)CQ與BE的位置關(guān)系是________，BQ的長是________dm； (2)求液體的體積(提示：V液＝S△BCQ×高AB)； (3)求液面到桌面的高度和傾斜角α的度數(shù). 【解析】：(1)平行　3(4分) (2)V液＝×3×4×4＝24

6、(dm3)．(7分) (3)過點(diǎn)B作BF⊥CQ，垂足為F. ∵S△BCQ＝×3×4＝×5×BF， ∴BF＝dm， ∴液面到桌面的高度是dm. ∵在Rt△BCQ中，tan∠BCQ＝＝， ∴∠BCQ≈37°.由(1)可知CQ∥BE， ∴α＝∠BCQ≈37°. 歸納：一般把左視圖畫在主視圖的右方，俯視圖畫在主視圖的下方，并使得視圖各部分的比例恰當(dāng)。其中主視圖、左視圖的高度相等；主視圖、俯視圖的長度相等；左視圖的寬度（橫向）與俯視圖的寬度（縱向）相等。寫成口訣就是：“主俯長對正，主左高平齊、左俯寬相等”。 一、選擇題： 1. （2018年江蘇省泰州市?3分）下列幾何體中，主視圖

7、與俯視圖不相同的是（　　） A． B． C． D． 正方體 四棱錐 圓柱 球 【答案】B 【解答】解：四棱錐的主視圖與俯視圖不同． 故選：B． 2. （ 2019?廣西池河?3分）某幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體是（　?。? A．圓錐 B．圓柱 C．三棱錐 D．球 【答案】A 【解答】解：由已知三視圖得到幾何體是以圓錐；故選：A． 3. （2018·湖南省常德·3分）把圖1中的正方體的一角切下后擺在圖2所示的位置，則圖2中的幾何體的主視圖為（　?。? A． B． C． D． 【答案】D

8、【解答】解：從正面看是一個等腰三角形，高線是虛線， 故選：D． 4. （2018·山東臨沂·3分）如圖是一個幾何體的三視圖（圖中尺寸單位：cm），根據(jù)圖中所示數(shù)據(jù)求得這個幾何體的側(cè)面積是（　?。? A．12cm2 B．（12+π）cm2 C．6πcm2 D．8πcm2 【答案】C 【解答】解：先由三視圖確定該幾何體是圓柱體，底面半徑是2÷2=1cm，高是3cm． 所以該幾何體的側(cè)面積為2π×1×3=6π（cm2）． 故選：C． 5. （2019?山東省濟(jì)寧市 ?3分）如圖，一個幾何體上半部為正四棱錐，下半部為立方體，且有一個面涂有顏色，該幾何體的表面展開圖是（　?。? A．B

9、． C．D． 【答案】B 【解答】解：選項A和C帶圖案的一個面是底面，不能折疊成原幾何體的形式； 選項B能折疊成原幾何體的形式； 選項D折疊后下面帶三角形的面與原幾何體中的位置不同． 故選：B． 二、填空題： 6. （2019?山東青島?3分）如圖，一個正方體由27個大小相同的小立方塊搭成，現(xiàn)從中取走若干個小立方塊，得到一個新的幾何體．若新幾何體與原正方體的表面積相等，則最多可以取走　4　個小立方塊． 【答案】4 【解答】解：若新幾何體與原正方體的表面積相等，則新幾何體的三視圖與原來的幾何體的三視圖相同，所以最多可以取走4個小立方塊． 故答案為：4 7. （2018?

10、齊齊哈爾）三棱柱的三視圖如圖所示，已知△EFG中，EF=8cm，EG=12cm，∠EFG=45°．則AB的長為　4　cm． 【答案】4 【解答】解：過點(diǎn)E作EQ⊥FG于點(diǎn)Q， 由題意可得出：EQ=AB， ∵EF=8cm，∠EFG=45°， ∴EQ=AB=×8=4（cm）． 故答案為：4． 8. （2018?青島）一個由16個完全相同的小立方塊搭成的幾何體，其最下面一層擺放了9個小立方塊，它的主視圖和左視圖如圖所示，那么這個幾何體的搭法共有　10　種． 【答案】10 【解答】解：設(shè)俯視圖有9個位置分別為： 由主視圖和左視圖知：①第1個位置一定是4，第6個位置一

11、定是3； ②一定有2個2，其余有5個1； ③最后一行至少有一個2，當(dāng)中一列至少有一個2； 根據(jù)2的排列不同，這個幾何體的搭法共有10種：如下圖所示： 故答案為：10． 9. （2019?河北省?2分）圖2是圖1中長方體的三視圖，若用S表示面積，S主＝x2+2x，S左＝x2+x，則S俯是 . 【答案】x2+3x+2， 【解答】解：∵S主＝x2+2x＝x（x+2），S左＝x2+x＝x（x+1）， ∴俯視圖的長為x+2，寬為x+1， 則俯視圖的面積S俯＝（x+2）（x+1）＝x2+3x+2， 三、解答題： 10. 一個幾何體的三視圖如圖所示(單位：mm)，你

12、能畫出這個幾何體的圖形嗎？并求出其表面積和體積． 【解析】：該幾何體如圖所示．(4分)表面積為2×π×＋8π×10＋5×8－π××5＝(92π＋40)(mm2)；(8分)體積為π××10－π××5＝120π(mm3)．(12分) 11. 如圖，花叢中有一路燈桿AB，在燈光下，大華在點(diǎn)D處的影長DE＝3米，他沿BD方向行走到點(diǎn)G，DG＝5米，這時他的影長GH＝5米．如果大華的身高為2米，求路燈桿AB的高度． 【解析】：∵CD∥AB，∴△ECD∽△EAB， ∴＝，即＝①. ∵FG∥AB，∴△HFG∽△HAB， ∴＝，即＝②. 由①②得＝， 解得BD＝7.5，∴＝，解得A

13、B＝7. 答：路燈桿AB的高度為7 m. 12. 小明想利用太陽光測量樓高，他帶著皮尺來到一棟樓下，發(fā)現(xiàn)對面墻上有這棟樓的影子，針對這種情況，他設(shè)計了一種測量方案，具體測量情況如下： 如示意圖，小明邊移動邊觀察，發(fā)現(xiàn)站到點(diǎn)E處時，可以使自己落在墻上的影子與這棟樓落在墻上的影子重疊，且高度恰好相同．此時，測得小明落在墻上的影子高度CD＝1.2 m，CE＝0.8 m，CA＝30 m(點(diǎn)A、E、C在同一直線上)． 已知小明的身高EF是1.7 m，請你幫小明求出樓高AB(結(jié)果精確到0.1 m)． 【解析】：如題圖，過點(diǎn)D作DG⊥AB，分別交AB，EF于點(diǎn)G，H，則 EH＝AG＝CD＝1

14、.2， DH＝CE＝0.8，DG＝CA＝30. ∵EF∥AB，∴＝. 由題意，知FH＝EF－EH＝1.7－1.2＝0.5. ∴＝，解之，得BG＝18.75. ∴AB＝BG＋AG＝18.75＋1.2＝19.95≈20.0， ∴樓高AB約為20.0米． 13. 如圖，在一座大廈(圖中BC所示)前面30m的地面上，有一盞地?zé)鬉照射大廈，身高為1.6m的小亮(圖中EF所示)站在大廈和燈之間，若小亮從現(xiàn)在所處位置徑直走向大廈，當(dāng)他走到距離大廈只有5m的D處時停下． (1)請在圖中畫出此時小亮的位置(可用線段表示)及他在地?zé)粽丈湎峦对诖髲BBC上的影子； (2)請你求出此時小亮的影長． 【解析】：(1)如圖，DG為小亮的位置，BH為他在地?zé)粽丈湎峦对诖髲BBC上的影子； (2)設(shè)此時小亮的影長BH為xm.依題意得GD⊥AB，CB⊥AB， ∴∠ADG＝∠ABH＝90°. 又∵∠DAG＝∠BAH，∴△ADG∽△ABH，∴＝. 由題意得AB＝30m，DG＝1.6m，BD＝5m， ∴AD＝AB－BD＝25m， ∴BH＝＝＝1.92(m)． 答：小亮此時的影長是1.92m. 11