2020年中考數(shù)學(xué)考點總動員 第11講 一次函數(shù)及其應(yīng)用（含解析）

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1、第11講　一次函數(shù)及其應(yīng)用 1．一次函數(shù)的概念 一般地，形如y＝kx＋b(k≠0) 的函數(shù)叫做一次函數(shù)，當(dāng)b＝0時，y＝kx＋b即為y＝kx叫做正比例函數(shù)，所以說正比例函數(shù)是一種特殊的一次函數(shù)． 2．一次函數(shù)的圖象與性質(zhì) (1)一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)的圖象是一條直線， 它與x軸的交點坐標(biāo)為(－，0)，與y軸的交點坐標(biāo)為原點，正比例函數(shù)y＝kx(k≠0)的圖象是過(0，b) 的一條直線． (2)一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)的圖象所經(jīng)過的象限及增減性． k、b的符號 函數(shù)圖象 圖象的位置 增減性 k＞0 b＞0 圖象過第一、二、三

2、象限 y隨x的增大而增大 b＝0 圖象過 第一、三象限 y隨x的增大而增大 b＜0 圖象過第一、三、四象限 y隨x的增大而增大 k＜0 函數(shù)圖象 圖象的位置 增減性 b＞0 圖象過第一、二、四象限 y隨x的增大而減小 b＝0 圖象過第二、四象限 y隨x的增大而減小 b＜0 圖象過 第二、三、四 象限 y隨x的增大而減小 3.待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式的一般步驟 (1)設(shè)：設(shè)出一次函數(shù)解析式一般形式y(tǒng)＝kx＋b(k≠0); (2)代：將已知條件中函數(shù)圖象上的兩點坐標(biāo)代入y＝kx＋b得到方程(

3、組); (3)求：解方程(組)求出k，b的值； (4)寫：寫出一次函數(shù)的解析式． 4．一次函數(shù)與方程(組)的關(guān)系 (1)一次函數(shù)的解析式y(tǒng)＝kx＋b就是一個二元一次方程； (2)一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象與x軸交點的__橫坐標(biāo)__就是方程kx＋b＝0的解； (3)一次函數(shù)y＝k1x＋b1與y＝k2x＋b2的圖象交點的橫、縱坐標(biāo)值就是方程組的解． 5．一次函數(shù)與不等式的關(guān)系 (1)函數(shù)y＝kx＋b的函數(shù)值y大于0時，自變量x的取值范圍就是不等式kx＋b＞0的解集，即函數(shù)圖象位于x軸的上方部分對應(yīng)點的橫坐標(biāo)的取值范圍； (2)函數(shù)y＝kx＋b的函數(shù)值y小于0時，自變量x的

4、取值范圍 就是不等式kx＋b<0的解集，即函數(shù)圖象位于x軸的下方部分對應(yīng)點的橫坐標(biāo)的取值范圍． 6．一次函數(shù)的實際應(yīng)用 (1)常見類型：①費用問題；②銷售問題；③行程問題；④容量問題； ⑤方案問題． (2)解一次函數(shù)實際問題的一般步驟： ①設(shè)出實際問題中的變量； ②建立一次函數(shù)關(guān)系式； ③利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)關(guān)系式； ④確定自變量取值范圍； ⑤利用一次函數(shù)的性質(zhì)求相應(yīng)的值，對所得到的解進(jìn)行檢驗，是否符合實際意義； ⑥答． 考點1： 一次函數(shù)的圖象與性質(zhì) 【例題1】（2018?江蘇揚州?3分）如圖，在等腰Rt△ABO，∠A=90°，點B的坐標(biāo)為（0，2），若直線

5、l：y=mx+m（m≠0）把△ABO分成面積相等的兩部分，則m的值為　?。? 【分析】根據(jù)題意作出合適的輔助線，然后根據(jù)題意即可列出相應(yīng)的方程，從而可以求得m的值． 【解答】解：∵y=mx+m=m（x+1）， ∴函數(shù)y=mx+m一定過點（﹣1，0）， 當(dāng)x=0時，y=m， ∴點C的坐標(biāo)為（0，m）， 由題意可得，直線AB的解析式為y=﹣x+2， ，得， ∵直線l：y=mx+m（m≠0）把△ABO分成面積相等的兩部分， ∴， 解得，m= ∵m<2（舍去）， 故答案為：． 考點2： 一次函數(shù)與方程、不等式的關(guān)系 【例題2】．(2018·河北T24·10分)如圖，直

6、角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y＝－x＋5的圖象l1分別與x，y軸交于A，B兩點，正比例函數(shù)的圖象l2與l1交于點C(m，4)． (1)求m的值及l(fā)2的解析式； (2)求S△AOC－S△BOC的值； (3)一次函數(shù)y＝kx＋1的圖象為l3，且l1，l2，l3不能圍成三角形，直接寫出k的值． 【解析】：(1)把C(m，4)代入一次函數(shù)y＝－x＋5，可得4＝－m＋5， 解得m＝2，∴C(2，4)． 設(shè)l2的解析式為y＝ax，則4＝2a，解得a＝2. ∴l(xiāng)2的解析式為y＝2x. (2)過點C作CD⊥AO于點D，CE⊥BO于點E，則CD＝4，CE＝2， ∵y＝－x＋5的圖象與x軸、y

7、軸交于A，B兩點，令x＝0，則y＝5，令y＝0，則x＝10， ∴A(10，0)，B(0，5)． ∴AO＝10，BO＝5. ∴S△AOC－S△BOC＝×10×4－×5×2＝15. (3)k的值為或2或－. 考點3： 一次函數(shù)的實際應(yīng)用 【例題3】（2019?四川省廣安市?8分）為了節(jié)能減排，我市某校準(zhǔn)備購買某種品牌的節(jié)能燈，已知3只A型節(jié)能燈和5只B型節(jié)能燈共需50元，2只A型節(jié)能燈和3只B型節(jié)能燈共需31元． （1）求1只A型節(jié)能燈和1只B型節(jié)能燈的售價各是多少元？ （2）學(xué)校準(zhǔn)備購買這兩種型號的節(jié)能燈共200只，要求A型節(jié)能燈的數(shù)量不超過B型節(jié)能燈的數(shù)量的3倍，請設(shè)計出最省錢

8、的購買方案，并說明理由． 【分析】（1）根據(jù)題意可以列出相應(yīng)的二元一次方程組，從而可以解答本題； （2）根據(jù)題意可以得到費用與購買A型號節(jié)能燈的關(guān)系式，然后根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可解答本題． 【解答】解：（1）設(shè)1只A型節(jié)能燈的售價是x元，1只B型節(jié)能燈的售價是y元， ，解得，， 答：1只A型節(jié)能燈的售價是5元，1只B型節(jié)能燈的售價是7元； （2）設(shè)購買A型號的節(jié)能燈a只，則購買B型號的節(jié)能燈（200﹣a）只，費用為w元， w＝5a+7（200﹣a）＝﹣2a+1400， ∵a≤3（200﹣a）， ∴a≤150， ∴當(dāng)a＝150時，w取得最小值，此時w＝1100，200﹣a＝5

9、0， 答：當(dāng)購買A型號節(jié)能燈150只，B型號節(jié)能燈50只時最省錢． 歸納：　1.對于一次函數(shù)方案設(shè)計題，關(guān)鍵是讀懂題意，然后在列方案時找出其中的數(shù)量關(guān)系并列出不等式；通過解不等式求出未知數(shù)的取值范圍，然后取其整數(shù)解，將每一組符合題意的整數(shù)解定為一種方案，在選擇最優(yōu)方案時，通過將每一組解代入相應(yīng)的關(guān)系式中，滿足題意的最優(yōu)解即可定為最優(yōu)方案．2．在遇到求解一次函數(shù)最值問題時，切入問題的關(guān)鍵點在于確定自變量的取值范圍，通過給定自變量的范圍，選取合適的數(shù)值代入解析式求解即可．同時，一次函數(shù)確定最值時還應(yīng)注意以下兩點： ①當(dāng)在確定一次函數(shù)自變量時，有時需要列不等式解題，對于某些關(guān)鍵字要特別注意，

10、如“不超過”、“不多于”、“最多”等字眼需要使用“≤”；而“至少”、“不少于”等字眼要使用“≥”； ②從方程中得到的解一定要進(jìn)行檢驗，即要符合原方程和實際意義，切不可忽略． 3．涉及圖象問題的實際應(yīng)用要注意： 在觀察函數(shù)圖象時，首先要弄清橫軸與縱軸所表示的函數(shù)變量，然后在分析函數(shù)圖象時應(yīng)注意拐點、交點的實際意義，最后在分析圖象時要考慮到函數(shù)自變量的取值范圍． 一、選擇題： 1. （2019?四川省廣安市?3分）一次函數(shù)y＝2x﹣3的圖象經(jīng)過的象限是（　　） A．一、二、三 B．二、三、四 C．一、三、四 D．一、二、四 【答案】C 【解答】解：∵一次函數(shù)y＝2x﹣3，∴

11、該函數(shù)經(jīng)過第一、三、四象限，故選：C． 2. （2018?湘潭）若b＞0，則一次函數(shù)y=﹣x+b的圖象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：∵一次函數(shù)y=x+b中k=﹣1＜0，b＞0， ∴一次函數(shù)的圖象經(jīng)過一、二、四象限， 故選：C． 3. (2019湖北荊門)（3分）如果函數(shù)y＝kx+b（k，b是常數(shù)）的圖象不經(jīng)過第二象限，那么k，b應(yīng)滿足的條件是（　?。? A．k≥0且b≤0 B．k＞0且b≤0 C．k≥0且b＜0 D．k＞0且b＜0 【答案】A 【解答】解：∵y＝kx+b（k，b是常數(shù)）的圖象不經(jīng)過第二象限， 當(dāng)k＝0，b＜0時成立； 當(dāng)k

12、＞0，b≤0時成立； 綜上所述，k≥0，b≤0； 故選：A． 4. （2019?山東臨沂?3分）下列關(guān)于一次函數(shù)y＝kx+b（k＜0，b＞0）的說法，錯誤的是（　?。? A．圖象經(jīng)過第一、二、四象限 B．y隨x的增大而減小 C．圖象與y軸交于點（0，b） D．當(dāng)x＞﹣時，y＞0 【答案】D 【解答】解：∵y＝kx+b（k＜0，b＞0）， ∴圖象經(jīng)過第一、二、四象限，A正確； ∵k＜0，∴y隨x的增大而減小，B正確； 令x＝0時，y＝b，∴圖象與y軸的交點為（0，b），∴C正確； 令y＝0時，x＝﹣，當(dāng)x＞﹣時，y＜0；D不正確；故選：D． 5

13、. （2018?包頭）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l1：y=﹣x+1與x軸，y軸分別交于點A和點B，直線l2：y=kx（k≠0）與直線l1在第一象限交于點C．若∠BOC=∠BCO，則k的值為（　?。? A． B． C． D．2 【答案】B 【解答】直線l1：y=﹣x+1中，令x=0，則y=1，令y=0，則x=2， 即A（2，0）B（0，1）， ∴Rt△AOB中，AB==3， 如圖，過C作CD⊥OA于D， ∵∠BOC=∠BCO， ∴CB=BO=1，AC=2， ∵CD∥BO， ∴OD=AO=，CD=BO=， 即C（，）， 把C（，）代入直線

14、l2：y=kx，可得 =k， 即k=， 故選：B． 二、填空題： 6. （2019?山東濰坊?3分）當(dāng)直線y＝（2﹣2k）x+k﹣3經(jīng)過第二、三、四象限時，則k的取值范圍是　1＜k＜3　． 【答案】1＜k＜3； 【解答】解：y＝（2﹣2k）x+k﹣3經(jīng)過第二、三、四象限， ∴2﹣2k＜0，k﹣3＜0， ∴k＞1，k＜3， ∴1＜k＜3； 故答案為1＜k＜3； 7. （2018?邵陽）如圖所示，一次函數(shù)y=ax+b的圖象與x軸相交于點（2，0），與y軸相交于點（0，4），結(jié)合圖象可知，關(guān)于x的方程ax+b=0的解是 　． 【答案】x=2． 【解答】解：∵一次函

15、數(shù)y=ax+b的圖象與x軸相交于點（2，0）， ∴關(guān)于x的方程ax+b=0的解是x=2． 故答案為x=2． 8. （2019?廣西河池?3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（2，0），B（0，1），AC由AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°而得，則AC所在直線的解析式是　y＝2x﹣4?。? 【答案】y＝2x﹣4． 【解答】解：∵A（2，0），B（0，1） ∴OA＝2，OB＝1 過點C作CD⊥x軸于點D， 則易知△ACD≌△BAO（AAS） ∴AD＝OB＝1，CD＝OA＝2 ∴C（3，2） 設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+b，將點A，點C坐標(biāo)代入得 ∴ ∴直線AC的解析式

16、為y＝2x﹣4． 故答案為：y＝2x﹣4． 9. （2019?山東省聊城市?3分）如圖，在Rt△ABO中，∠OBA＝90°，A（4，4），點C在邊AB上，且＝，點D為OB的中點，點P為邊OA上的動點，當(dāng)點P在OA上移動時，使四邊形PDBC周長最小的點P的坐標(biāo)為 . 【答案】P（，）， 【解答】解：∵在Rt△ABO中，∠OBA＝90°，A（4，4）， ∴AB＝OB＝4，∠AOB＝45°， ∵＝，點D為OB的中點， ∴BC＝3，OD＝BD＝2， ∴D（0，2），C（4，3）， 作D關(guān)于直線OA的對稱點E，連接EC交OA于P， 則此時，四邊形PDBC

17、周長最小，E（0，2）， ∵直線OA 的解析式為y＝x， 設(shè)直線EC的解析式為y＝kx+b， ∴， 解得：， ∴直線EC的解析式為y＝x+2， 解得，， ∴P（，）， 三、解答題： 10. （2019?湖北省仙桃市?8分）某農(nóng)貿(mào)公司銷售一批玉米種子，若一次購買不超過5千克，則種子價格為20元/千克，若一次購買超過5千克，則超過5千克部分的種子價格打8折．設(shè)一次購買量為x千克，付款金額為y元． （1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式； （2）某農(nóng)戶一次購買玉米種子30千克，需付款多少元？ 【分析】（1）根據(jù)題意，得①當(dāng)0≤x≤5時，y＝20x；②當(dāng)x＞5，y＝20×0.8（x﹣

18、5）+20×5＝16x+20； （2）把x＝30代入y＝16x+20，即可求解； 【解答】解：（1）根據(jù)題意，得 ①當(dāng)0≤x≤5時，y＝20x； ②當(dāng)x＞5，y＝20×0.8（x﹣5）+20×5＝16x+20； （2）把x＝30代入y＝16x+20， ∴y＝16×30+20＝500； ∴一次購買玉米種子30千克，需付款500元； 11. (2017·臺州改編)如圖，直線l1：y＝2x＋1與直線l2：y＝mx＋4相交于點P(1，b)． (1)求b，m的值； (2)直接寫出關(guān)于x的不等式2x＋1

19、若線段CD長為2，求a的值． 【點撥】　(1)把點P的坐標(biāo)代入l1求出b，再將(1，b)代入l2求出m；(2)觀察圖象，由兩直線的交點P的橫坐標(biāo)可得；(3)C，D兩點橫坐標(biāo)相同時，線段CD的長等于其縱坐標(biāo)的差，但要注意有兩種情況． 【解答】解：(1)∵點P(1，b)在直線l1：y＝2x＋1上， ∴b＝2×1＋1＝3. ∵點P(1，3)在直線l2：y＝mx＋4上， ∴3＝m＋4.∴m＝－1. (2)x<1. (3)當(dāng)x＝a時，yC＝2a＋1，yD＝4－a. ∵CD＝2，∴|2a＋1－(4－a)|＝2，解得a＝或a＝. ∴a的值為或. 12. （2018?重慶）如圖，在

20、平面直角坐標(biāo)系中，直線y=﹣x+3過點A（5，m）且與y軸交于點B，把點A向左平移2個單位，再向上平移4個單位，得到點C．過點C且與y=2x平行的直線交y軸于點D． （1）求直線CD的解析式； （2）直線AB與CD交于點E，將直線CD沿EB方向平移，平移到經(jīng)過點B的位置結(jié)束，求直線CD在平移過程中與x軸交點的橫坐標(biāo)的取值范圍． 【分析】（1）先把A（5，m）代入y=﹣x+3得A（5，﹣2），再利用點的平移規(guī)律得到C（3，2），接著利用兩直線平移的問題設(shè)CD的解析式為y=2x+b，然后把C點坐標(biāo)代入求出b即可得到直線CD的解析式； （2）先確定B（0，3），再求出直線CD與x軸的交點

21、坐標(biāo)為（2，0）；易得CD平移到經(jīng)過點B時的直線解析式為y=2x+3，然后求出直線y=2x+3與x軸的交點坐標(biāo)，從而可得到直線CD在平移過程中與x軸交點的橫坐標(biāo)的取值范圍． 【解答】解：（1）把A（5，m）代入y=﹣x+3得m=﹣5+3=﹣2，則A（5，﹣2）， ∵點A向左平移2個單位，再向上平移4個單位，得到點C， ∴C（3，2）， ∵過點C且與y=2x平行的直線交y軸于點D， ∴CD的解析式可設(shè)為y=2x+b， 把C（3，2）代入得6+b=2，解得b=﹣4， ∴直線CD的解析式為y=2x﹣4； （2）當(dāng)x=0時，y=﹣x+3=3，則B（0，3）， 當(dāng)y=0時，2x﹣4=0

22、，解得x=2，則直線CD與x軸的交點坐標(biāo)為（2，0）； 易得CD平移到經(jīng)過點B時的直線解析式為y=2x+3， 當(dāng)y=0時，2x+3=0，解的x=﹣，則直線y=2x+3與x軸的交點坐標(biāo)為（﹣，0）， ∴直線CD在平移過程中與x軸交點的橫坐標(biāo)的取值范圍為﹣≤x≤2． 13. (2017·河北T24·10分)如圖，直角坐標(biāo)系xOy中，A(0，5)，直線x＝－5與x軸交于點D，直線y＝－x－與x軸及直線x＝－5分別交于點C，E.點B，E關(guān)于x軸對稱，連接AB. (1)求點C，E的坐標(biāo)及直線AB的解析式； (2)設(shè)面積的和S＝S△CDE＋S四邊形ABDO，求S的值； (3)在求(2)中

23、S時，嘉琪有個想法：“將△CDE沿x軸翻折到△CDB的位置，而△CDB與四邊形ABDO拼接后可看成△AOC，這樣求S便轉(zhuǎn)化為直接求△AOC的面積不更快捷嗎？”但大家經(jīng)反復(fù)驗算，發(fā)現(xiàn)S△AOC≠S，請通過計算解釋他的想法錯在哪里． 【解析】：(1)把y＝0代入y＝－x－，得x＝－13. ∴C(－13，0).1分 把x＝－5代入y＝－x－，得y＝－3. ∴E(－5，－3).2分 ∵點B，E關(guān)于x軸對稱，∴B(－5，3)． 設(shè)直線AB的解析式為y＝kx＋b，則 解得 ∴直線AB的解析式為y＝x＋5.5分 (2)∵CD＝8，DE＝DB＝3，OA＝OD＝5. ∴S△CDE＝×8×3＝

24、12， S四邊形ABDO＝×(3＋5)×5＝20. ∴S＝32.8分 (3)當(dāng)x＝－13時，y＝x＋5＝－≠0， ∴點C不在直線AB上，即A，B，C三點不共線． ∴他的想法錯在將△CDB與四邊形ABDO拼接后看成了△AOC. 14. （2019·貴州安順·10分）安順市某商貿(mào)公司以每千克40元的價格購進(jìn)一種干果，計劃以每千克60元的價格銷售，為了讓顧客得到更大的實惠，現(xiàn)決定降價銷售，已知這種干果銷售量y（千元）與每千元降價x（元）（0＜x＜20）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，其圖象如圖所示： （1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式； （2）商貿(mào)公司要想獲利2090元，則這種干果每千克應(yīng)降價多

25、少元？ 【解答】解：（1）設(shè)一次函數(shù)解析式為：y＝kx+b 當(dāng)x＝2，y＝120；當(dāng)x＝4，y＝140； ∴， 解得：， ∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝10x+100； （2）由題意得： （60﹣40﹣x）（10 x+100）＝2090， 整理得：x2﹣10x+9＝0， 解得：x1＝1．x2＝9， ∵讓顧客得到更大的實惠， ∴x＝9， 答：商貿(mào)公司要想獲利2090元，則這種干果每千克應(yīng)降價9元． 15. (2018·唐山樂亭縣一模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過點A(－6，0)的直線l1與直線l2：y＝2x相交于點B(m，4)． (1)求直線l1的解析式；

26、 (2)直線l1與y軸交于點M，求△AOM的面積； (3)過動點P(n，0)且垂直于x軸的直線與l1，l2的交點分別為C，D，當(dāng)點C位于點D上方時，直接寫出n的取值范圍． 【變式】　(4)將(3)中條件“過動點P(n，0)且垂直于x軸的直線l1，l2的交點分別為C，D”保持不變，“當(dāng)點C位于點D上方時”改為“且CD＝2”，求點C的坐標(biāo)． 【點撥】　(1)點B在直線y＝2x上，所以m＝2，即點B(2，4)，利用待定系數(shù)法可得直線l1的解析式；(2)直線l1與y軸的交點坐標(biāo)，利用三角形的面積公式求出三角形的面積；(3)點C位于點D的上方，l1>l2，即當(dāng)n<2時．(4)當(dāng)CD＝2時，需分點C在點D上方和下方進(jìn)行討論． 【自主解答】　解：(1)∵直線y＝2x經(jīng)過點B， ∴4＝2m，∴m＝2，即B(2，4)． 設(shè)直線l1的解析式為y＝kx＋b， ∵直線l1的經(jīng)過點A，B， ∴解得 ∴直線l1的解析式為y＝x＋3. (2)∵當(dāng)x＝0時，y＝3，∴M(0，3)． ∴S△AOM＝×6×3＝9. (3)n<2. (4)①當(dāng)點C在點D上方時，有x＋3－2x＝2，解得x＝. 此時點C的坐標(biāo)為(，)； ②當(dāng)點C在點D下方時，有2x－(x＋3)＝2，解得x＝. 此時點C的坐標(biāo)為(，)． 15