八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 專題突破講練 三角形的內(nèi)外角關(guān)系試題 （新版）青島版

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1、 三角形的內(nèi)外角關(guān)系 一、三角形的內(nèi)角和定理 1. 定理：三角形的內(nèi)角和是180° 要點(diǎn)：① 定理的證明根據(jù)是平行線的性質(zhì)。 ② 定理的證明方法有多種，選取以下兩種方法加以掌握。 證明方法 把三個(gè)角“湊”到A處，過點(diǎn)A作直線PQ//BC，這樣就相當(dāng)于把∠B移到了∠1的位置，把∠C移到了∠2的位置。 延長(zhǎng)BC到D，過點(diǎn)C作射線CE//BA，這樣就相當(dāng)于把∠Ａ移到了∠1的位置，把∠Ｂ移到了∠2的位置。 2. 推論：①直角三角形的兩個(gè)銳角互余。 ∵∠A＋∠B＋∠C＝180° 又∠C＝90° ∴∠A＋∠B＝90° ∴∠A與∠B互余。 ② 等邊三

2、角形的每一個(gè)內(nèi)角都是60°。 ∵∠D＋∠E＋∠F＝180°，又∠D=∠E=∠F，∴3∠D＝180°，∴∠D=∠E=∠F=60° 定理的應(yīng)用： ① 在三角形中，已知兩個(gè)內(nèi)角可以求出第三個(gè)內(nèi)角。 如：在△ABC中，∠C＝180°－（∠A＋∠B） ② 在三角形中，已知三個(gè)內(nèi)角和的比或它們之間的關(guān)系，求各內(nèi)角。 如：在△ABC中，已知∠A：∠B：∠C＝2：3：4，則可設(shè)∠A、∠B、∠C為2x、3x、4x，利用方程求得度數(shù)。 二、三角形的外角 1. 外角的定義：三角形一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角，叫做三角形的外角。 如∠ACD與∠BCE均為外角。 2. 三角形外角的性質(zhì)

3、 （1）三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和。 （2）三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角。 提示：三角形每個(gè)頂點(diǎn)處有兩個(gè)外角，它們是對(duì)頂角，所以三角形共有六個(gè)外角。通常每個(gè)頂點(diǎn)處取一個(gè)外角，因此，我們常說三角形有三個(gè)外角。因?yàn)槿切蔚拿總€(gè)外角與它相鄰的內(nèi)角是鄰補(bǔ)角，由三角形的內(nèi)角和是180°，可推出三角形的外角和是360°。 三、三角形的外角與內(nèi)角的關(guān)系 1. 三角形的一個(gè)外角與它相鄰的內(nèi)角互補(bǔ)，如圖：∠1與∠4是鄰補(bǔ)角，即∠1＋∠4＝180o； 2. 三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，如圖：∠1＝∠2＋∠3； 3. 三角形的一個(gè)外角大于與它不相鄰

4、的任何一個(gè)內(nèi)角，如圖：∠1>∠2，∠1>∠3。 【拓展】 兩種圖形的認(rèn)識(shí) （1）對(duì)頂三角形：有一個(gè)角是對(duì)頂角的兩個(gè)三角形。特點(diǎn)是：每個(gè)三角形中除對(duì)頂角外，另兩個(gè)角的和與另一個(gè)三角形中其余兩個(gè)角的和相等。如圖：∠A＋∠B＝∠D＋∠E （2）圖形的折疊：將圖形沿某條線折疊，使其一部分與圖形中某部分重合，可以形成邊、角等多個(gè)相等關(guān)系。如圖：∠1＝∠2＝∠3 方法歸納：三角形的內(nèi)、外角關(guān)系的知識(shí)點(diǎn)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)： （1）實(shí)際應(yīng)用中，題目中往往把∠A＋∠B＋∠C＝180°這個(gè)條件隱藏，要時(shí)時(shí)注意想到這個(gè)條件。 （2）外角關(guān)系強(qiáng)調(diào)的是“不相鄰”三個(gè)字，不要被題目偷換概念。

5、（3）應(yīng)用三角形的內(nèi)、外角關(guān)系解題時(shí)，經(jīng)常要使用到高、角平分線，注意二者定義中，高有垂直的結(jié)論，即有角是90°，角平分線的作用是將一個(gè)角平分成兩個(gè)相等的角，有角的數(shù)值存在。 （4）三角形的內(nèi)角和定理和三角形的外角的性質(zhì)是求角度及與角有關(guān)的推理論證時(shí)常使用的理論依據(jù)，另外，在證明角的不等關(guān)系時(shí)也常想到外角的性質(zhì)。 技巧歸納：解決本部分習(xí)題時(shí)要注意幾種數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用： 方程的思想 根據(jù)角與角之間的關(guān)系求角的度數(shù)時(shí)可列方程（或方程組）求解。 如：∠A：∠B：∠C＝1：2：3，求三角形的形狀。 整體運(yùn)用的思想 將待解決的問題看作一個(gè)整體，通過研究問題做整體處理后，達(dá)到解決問題的目的。

6、 如：∠A＝40°，求∠3＋∠4＋∠B＋∠C的度數(shù)。 轉(zhuǎn)化的思想 求較復(fù)雜的圖形中多個(gè)角的度數(shù)和的問題。解題的關(guān)鍵是利用有關(guān)性質(zhì)把這些角集中到一個(gè)三角形中，再利用三角形內(nèi)角和的性質(zhì)解決。 如：求五角星的內(nèi)角和問題。 總結(jié)：1. 學(xué)會(huì)綜合運(yùn)用內(nèi)、外角關(guān)系解決圖形的角度計(jì)算問題。 2. 將各種解題思想及方法掌握好，有利于今后幾何的學(xué)習(xí)。 例題1 如圖，將三角尺的直角頂點(diǎn)放在直線a上，a∥b，∠1＝50°，∠2＝60°，則∠3的度數(shù)為（　?。? A. 50° B. 60 ° C. 70° D. 80° 解析：先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求

7、出∠4的度數(shù)，由對(duì)頂角的性質(zhì)可得出∠5的度數(shù)，再由平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論。 答案：∵在△BCD中，∠1＝50°，∠2＝60°， ∴∠4＝180°－∠1－∠2＝180°－50°－60°＝70°， ∴∠5＝∠4＝70°， ∵a∥b， ∴∠3＝∠5＝70°。 故選C。 點(diǎn)撥：本題考查的是平行線的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理。解答此類題目時(shí)往往用到三角形的內(nèi)角和是180°這一隱藏條件。 例題2 如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折疊△CBD，使點(diǎn)B恰好落在AC邊上的點(diǎn)E處。若∠A＝22°，則∠BDC等于（　　） A. 44° B. 60° C. 67°

8、 D. 77° 解析：由△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝22°，可求得∠B的度數(shù)。由折疊的性質(zhì)可得：∠CED＝∠B＝68°，∠BDC＝∠EDC。由三角形外角的性質(zhì)，可求得∠ADE的度數(shù)，繼而求得答案。 答案：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝22°， ∴∠B＝90°－∠A＝68°， 由折疊的性質(zhì)可得：∠CED＝∠B＝68°，∠BDC＝∠EDC， ∴∠ADE＝∠CED－∠A＝46°， ∴∠BDC＝＝67°。 故選C。 點(diǎn)撥：此題考查了折疊的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理以及三角形外角的性質(zhì)。此題注意掌握折疊前后圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系，以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用。 1. 幾何圖形

9、變換的研究 幾何圖形的變換，核心內(nèi)容是首圖形的證明基本思路，變換后的圖形與首圖形的總體證明方法相同。但要注意的是這種題中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想：通過變換掌握舉一反三的能力，將知識(shí)學(xué)活、用活。通過變換，提高面對(duì)試題的研讀能力，從而做到一會(huì)百會(huì)。 （1）充分分析首圖形的條件，在此基礎(chǔ)上將其應(yīng)用到后面的圖形中； （2）在變換時(shí)，認(rèn)清本質(zhì)，對(duì)變換后的結(jié)果依照首圖形結(jié)論加以書寫，注意與第一個(gè)結(jié)論保持格式上的一致，避免評(píng)卷老師的誤判。 （3）注意變換后，結(jié)論的變與不變：基本規(guī)律是線段與角相等的一般來說結(jié)論都會(huì)不變，但和、差類的變換最后其結(jié)論都會(huì)發(fā)生變化。 例題 如圖所示，在△ABC中，∠A＝α，

10、△ABC的內(nèi)角平分線和外角平分線交于點(diǎn)P，且∠P＝β，試探求下列各圖中α與β的關(guān)系，并選擇一個(gè)加以說明。 解析：本題沒有給出具體角度，所以最后形成的將是一個(gè)關(guān)系式。主要考查角平分線的定義、三角形的內(nèi)角和定理以及外角的性質(zhì)，分析可知圖（1）β＝90°＋α；（2）、（3）變換后圖形道理類似，但過程略有不同，可參考（1）應(yīng)用的定理加以說明。 答案： 解：（1）β＝90°＋α；（2）β＝α；（3）β＝90°－α。 選擇（1）進(jìn)行證明。 在圖（1）中，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得： ∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A。 ∵BP與CP是△ABC的角平分線， ∴∠PBC＝ ∠ABC，∠PC

11、B＝ ∠ACB， ∴∠PBC＋∠PCB＝ （∠ABC＋∠ACB）＝90°－α。 在△PBC中，∠BPC＝180°－（∠PCB＋∠PBC）＝180°－（90°－α）＝90°＋α。 ∴β＝90°＋ α。 2. 化歸思想及對(duì)頂三角形的應(yīng)用 化歸思想是指將不同圖形中的條件轉(zhuǎn)化到同一圖形中，三角形內(nèi)角和的轉(zhuǎn)化是利用有關(guān)性質(zhì)把不同圖形中的角集中到一個(gè)三角形中，再利用三角形的內(nèi)角和定理、外角性質(zhì)進(jìn)行解決。對(duì)頂三角形的其他應(yīng)用包含整體應(yīng)用的思想，將不同三角形的內(nèi)角和整體轉(zhuǎn)化到一個(gè)圖形中，從而解決復(fù)雜圖形中的求值問題。 例題 （1）如圖①所示，線段AD、BC相交于點(diǎn)O，所組成的△ABO與△CD

12、O叫做“對(duì)頂三角形”。已知∠A＝70°，∠B＝25°，求∠C＋∠D的度數(shù)。 （2）如圖②所示，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度數(shù)。 （3）如圖③所示，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度數(shù)。 解析：先根據(jù)對(duì)頂三角形的性質(zhì)求得圖①中 ∠A＋∠B＝∠C＋∠D ＝70°＋25°＝95°，圖②中考慮連接BC，則可將問題轉(zhuǎn)化為對(duì)頂三角形的問題，總和為180°；圖③ 中圖形將三個(gè)三角形中的∠A＋∠B、∠C＋∠D、∠E＋∠F轉(zhuǎn)化到△GIH中，利用對(duì)頂三角形的性質(zhì)得到2（∠GIH＋∠GHI＋∠HGI）＝360° 答案：解：（1）在△ABO與△CDO中 因?yàn)? ∠A＋∠B＋∠AOB＝∠C＋∠

13、D＋∠COD＝180° ∠AOB＝∠COD 所以∠A＋∠B＝∠C＋∠D 因?yàn)椤螦＝70°，∠B＝25° 所以∠C＋∠D＝70°＋25°＝95° （2）連接BC 因?yàn)椤鱁OD與△BOC為對(duì)頂三角形， 所以∠D＋∠E＝∠OBC＋∠OCB 所以∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180° （3）因?yàn)椤鰽BG與△GIH、△EFI與△GIH、△CHD與△GIH都是對(duì)頂三角形， ∠A＋∠B＝∠GIH＋∠GHI ∠C＋∠D＝∠GIH ＋∠HGI ∠E＋∠F＝∠GHI＋∠HGI 所以∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝2（∠GIH＋∠GHI＋∠HGI）＝360° （答題時(shí)間：45

14、分鐘） 一、選擇題 1. 在給定的下列條件中，不能判定三角形是直角三角形的是（　?。? A. ∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3 B. ∠A＋∠B＝∠C C. ∠A＝∠B＝∠C D. ∠A＝2∠B＝3∠C 2. 已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角∠A、∠B、∠C滿足關(guān)系式∠B＋∠C＝3∠A，則此三角形中（ ） A. 一定有一個(gè)內(nèi)角為45° B. 一定有一個(gè)內(nèi)角為60° C. 一定是直角三角形 D. 一定是鈍角三角形 *3. 如圖，在△ABC中，∠C＝70o，沿圖中虛線截去∠C，則∠1＋∠2＝（ ） A.

15、360o B. 250o C. 180o D. 140o *4. 已知△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線交于點(diǎn)O，則∠BOC一定（ ） A. 小于直角　 B. 等于直角　 C. 大于直角　 D. 不能確定 **5. 如圖△ABC中，∠BAD＝∠CBE＝∠ACF，∠ABC＝50°，∠ACB＝62°，則∠DFE的大小是（ ） A. 50° B. 62° C. 68° D. 70° **6. 如圖，在折紙活動(dòng)中，小明制作了一張△ABC紙片，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，將△ABC沿著DE折疊壓平，A與A′重合，

16、若∠A＝75°，則∠1＋∠2＝（　?。? A. 150°　　 B. 210°　　 C. 105°　　 D. 75° 二、填空題 *7. 如圖，已知△ABC的∠B和∠C的外角平分線交于點(diǎn)D，∠A＝40°，那么∠D＝________。 *8. 如圖，在△ABC中，∠B＝∠C，F(xiàn)D⊥BC，DE⊥AB，∠AFD＝158°， 則∠EDF ＝_________。 **9. 如圖，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分線與∠ACD的平分線交于點(diǎn)A1，∠A1BC的平分線與∠A1CD的平分線交于點(diǎn)A2，…，∠An－1BC的平分線與∠An－1CD的平分線交于點(diǎn)An。設(shè)∠A＝θ。則：

17、 （1）∠A1＝　?。唬?）∠An＝　　。 三、解答題 10. 判斷適合下列條件的△ABC是銳角三角形、直角三角形還是鈍角三角形？ （1）∠A＝20°，∠B＝75°； （2）∠A－∠B＝30°，∠B－∠C＝30°； （3）∠A＝∠B＝∠C *11. 一個(gè)零件的形狀如圖，按規(guī)定∠A應(yīng)等于90°，∠B、∠D應(yīng)分別是20°和30°，李叔叔量得∠BCD＝142°就判定這個(gè)零件不合格，你能說出道理嗎? *12. 如圖，已知在△ABC中，∠B＝70°，∠BAC︰∠BCA＝3︰2，CD⊥AD于D，且∠ACD＝35°，求∠BAE的度數(shù)。 *13. 如圖，點(diǎn)C為Rt△ABE的邊

18、AE延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，BE⊥AC，點(diǎn)D為邊AB上一點(diǎn)，DC交BE于點(diǎn)F，已知∠ADC＝80°，∠B＝35°，求∠C的度數(shù)。 **14. 如圖所示，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠C＝32°，∠D＝28°， （1）求∠P的度數(shù)。 （2）請(qǐng)推斷∠P與∠C、∠D的關(guān)系。 **15. 已知△ABC中，∠BAC＝100°。 （1）若∠ABC和∠ACB的平分線交于點(diǎn)O，如圖①所示，試求∠BOC的大??； （2）若∠ABC和∠ACB的三等分線（即將一個(gè)角平均分成三等份的射線）相交于O、O1，如圖②所示，試求∠BOC的大??； （3）以此類推，若∠ABC和∠ACB的n等分線自下而上依次相交于O、

19、O1、O2、……，如圖③所示，試探求∠BOC的大小與n的關(guān)系，并判斷當(dāng)∠BOC＝170°時(shí)，是幾等分線的交線所成的角。 1. C 解析：利用比例設(shè)方程，A、B、D中都有直角，C選項(xiàng)中三角相等則每一角為60°，則選C。 2. A 解析：題目中隱含的條件為∠A＋∠B＋∠C＝180°，將∠B＋∠C＝3∠A代入，則可知∠A＝45°。 3. B 解析：利用整體運(yùn)用的思想，∠C＝70°，則∠1、∠2外角的和為110°，∠1＋∠2＝360°－110°＝250°。 4. C 解析：∠ABC＋∠ACB＋∠BAC＝180°，∠ABC＋∠ACB＝180°－∠BAC，∠ABC和∠ACB

20、的平分線交于點(diǎn)O，則∠BOC＝180°－（180°－∠BAC）＝90°＋∠BAC，所以選C。 5. C 解析：因?yàn)椤螪FE＝∠ACF＋∠CAF，∠BAD＝∠CBE＝∠ACF，所以∠DFE＝∠BAC，因?yàn)椤螦BC＝50°，∠ACB＝62°，則∠BAC＝180°－50°－62°＝68°。 6. A 解析：連接A A′，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，∠1＋∠2＝2∠A，所以∠1＋∠2＝150°。 7. 70° 解析：因?yàn)椤螦＋∠ABC＋∠ACB＝180°，∠A＝40°，所以∠ABC＋∠ACB＝140°，所以∠ABC與∠ACB的外角和 ＝360°－140°＝220°，因?yàn)镃D、BD是角平分線，所以

21、∠BCD＋∠CBD＝110°，所以∠D＝70°。 8. 68° 解析：因?yàn)椤螦FD＝158°，所以∠CFD＝22°，因?yàn)镕D⊥BC，所以∠C＝68°，又因?yàn)椤螧＝∠C，所以∠B＝68°，因?yàn)镈E⊥AB，所以∠BDE＝22°，所以∠EDF＝180°－90°－22°＝68°。 9. （1），（2） 解析：（1）∵A1B是∠ABC的平分線，A2B是∠A1BC的平分線， ∴∠A1BC＝∠ABC，∠A1CD＝∠ACD，又∵∠ACD＝∠A＋∠ABC，∠A1CD＝∠A1BC＋∠A1， ∴∠A＋∠ABC＝2（∠A1BC＋∠A1），∴∠A1＝∠A，∵∠A＝θ，∴∠A1＝； （2）同理可得∠A2＝∠

22、A1 ＝ ，所以∠An＝。 10. 解：（1）因?yàn)椤螩＝180°－∠A－∠B，∠A＝20°，∠B＝75°；所以∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－20°－75°＝85°，所以三角形為銳角三角形。 （2）因?yàn)椤螦－∠B＝30°，∠B－∠C＝30°，所以∠A＝30°＋∠B，∠C＝∠B－30°，因?yàn)椤螦＋∠B＋∠C＝180°，所以30°＋∠B＋∠B＋∠B－30°＝180°，所以∠B＝60°，∠A＝90°，∠C＝30°，所以此三角形為直角三角形。 （3）因?yàn)椤螦＝∠B＝∠C，所以設(shè)∠A＝x，∠B＝2x，∠C＝6x，因?yàn)椤螦＋∠B＋∠C＝180°，所以x＋2x＋6x＝180°，所以x＝20°，所

23、以6x＝120°，所以該三角形為鈍角三角形。 11. 解：這個(gè)零件不合格。道理如下： 延長(zhǎng)DC交AB與點(diǎn)E，因?yàn)椤螪EB為△ADE的外角，所以∠DEB＝∠A＋∠D，因?yàn)椤螪CB為△BEC外角，所以∠DCB＝∠CEB＋∠B，因?yàn)椤螦應(yīng)等于90°，∠B、∠D應(yīng)分別是20°和30°，所以∠BCD＝140°，所以這個(gè)零件不合格。 12. 解： ∵ ∠B＝70° （已知） ∴ ∠BAC＋∠BCA＝110° ∵ ∠BAC：∠BCA＝3：2（已知） ∴ ∠BAC＝110°/5×3＝66° ∠BCA＝110°/5×2＝44° ∵ CD⊥AD（已知） ∴ ∠ADC＝9

24、0° 又∵∠ACD＝35°（已知） ∴∠DAC＝180°－∠ADC－∠ACD＝55° ∴∠BAE＝180°－∠DAC－∠BAC＝180°－55°－66°＝59° 13. 解：因?yàn)锽E⊥AC，所以∠AEB＝90°，因?yàn)椤螧＝35°，所以∠A＝180°－90°－35°＝55°，因?yàn)椤螦DC＝80°，所以∠C＝180°－∠ADC－∠A＝180°－80°－55°＝45°。 14. 解：（1）因?yàn)椤?、∠C和∠3、∠P是對(duì)頂三角形中的兩對(duì)角 所以，∠1＋∠C＝∠3＋∠P； 因?yàn)椤?、∠D和∠2、∠P是對(duì)頂三角形中的兩對(duì)角 所以，∠4＋∠D＝∠2＋∠P 所以∠1＋∠C＋∠4＋∠D＝∠3＋

25、∠P＋∠2＋∠P 又因?yàn)椤?＝∠2、∠3＝∠4、∠C＝32°、∠D＝28°得到 32°＋28°＝2∠P 所以∠P＝30° （2）同理：∠P＝。 15. 解：∵∠BAC＝100°， ∴∠ABC＋∠ACB＝80°， （1）∵點(diǎn)O是∠ABC與∠ACB的角平分線的交點(diǎn)， ∴∠OBC＋∠OCB＝40°， ∴∠BOC＝140°。 （2）∵點(diǎn)O是∠ABC與∠ACB的三等分線的交點(diǎn)， ∴∠OBC＋∠OCB＝ ∴∠BOC＝ （3）∵點(diǎn)O是∠ABC與∠ACB的n等分線的交點(diǎn)， ∴∠OBC＋∠OCB＝∴∠BOC＝180°－ 當(dāng)∠BOC＝170°時(shí)，是八等分線的交線所成的角。 13