（課標通用）甘肅省2019年中考數(shù)學總復習優(yōu)化設計 專項突破練7 二次函數(shù)壓軸題

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1、專項突破練7　二次函數(shù)壓軸題 1.(2018四川達州)“綠水青山就是金山銀山”的理念已融入人們的日常生活中,因此,越來越多的人喜歡騎自行車出行.某自行車店在銷售某型號自行車時,以高出進價的50%標價.已知按標價的九折銷售該型號自行車8輛與將標價直降100元銷售7輛獲利相同. (1)求該型號自行車的進價和標價分別是多少元? (2)若該型號自行車的進價不變,按(1)中的標價出售,該店平均每月可售出51輛;若每輛自行車每降價20元,每月可多售出3輛,求該型號自行車降價多少元時,每月獲利最大?最大利潤是多少? 解(1)設進價為x元,則標價是1.5x元,由題意得 1.5x×0.9×8-8x=(

2、1.5x-100)×7-7x, 解得x=1000,1.5×1000=1500(元), 答:進價為1000元,標價為1500元; (2)設該型號自行車降價a元,利潤為w元,由題意得w=51+a20×3(1500-1000-a), =-320(a-80)2+26460, ∵-320<0,∴當a=80時,w最大=26460, 答:該型號自行車降價80元出售每月獲利最大,最大利潤是26460元. 2.(2018福建)如圖,在足夠大的空地上有一段長為a米的舊墻MN,某人利用舊墻和木欄圍成一個矩形菜園ABCD,其中AD≤MN,已知矩形菜園的一邊靠墻,另三邊一共用了100米木欄. (1)

3、若a=20,所圍成的矩形菜園的面積為450平方米,求所利用舊墻AD的長; (2)求矩形菜園ABCD面積的最大值. 解(1)設AB=xm,則BC=(100-2x)m, 根據(jù)題意得x(100-2x)=450,解得x1=5,x2=45, 當x=5時,100-2x=90>20,不合題意舍去; 當x=45時,100-2x=10,答:AD的長為10m. (2)設AD=xm, ∴S=12x(100-x)=-12(x-50)2+1250, 當a≥50時,則x=50時,S的最大值為1250; 當0

4、綜上所述,當a≥50時,S的最大值為1250;當0

5、0,c=3,解得a=-1,c=3, 二次函數(shù)的解析是為y=-x2+2x+3. (2)若四邊形POP'C為菱形,則點P在線段CO的垂直平分線上, 圖1 如圖1,連接PP',則PE⊥CO,垂足為E, ∵C(0,3), ∴E0,32, ∴點P的縱坐標32,當y=32時, 即-x2+2x+3=32, 解得x1=2+102,x2=2-102(不合題意,舍),∴點P的坐標為2+102,32. 圖2 (3)如圖2, P在拋物線上,設P(m,-m2+2m+3), 設直線BC的解析式為y=kx+b, 將點B和點C的坐標代入函數(shù)解析式,得3k+3=0,b=3,解得k=-1,b=

6、3. 直線BC的解析為y=-x+3,過點P作x軸的垂線,交BC于點Q,交x軸于點F, 設點Q的坐標為(m,-m+3), PQ=-m2+2m+3-(-m+3)=-m2+3m. 當y=0時,-x2+2x+3=0, 解得x1=-1,x2=3,OA=1,AB=3-(-1)=4, S四邊形ABPC=S△ABC+S△PCQ+S△PBQ =12AB·OC+12PQ·OF+12PQ·FB =12×4×3+12(-m2+3m)×3 =-32m-322+758, 當m=32時,四邊形ABPC的面積最大. 當m=32時,-m2+2m+3=154,即P點的坐標為32,154. 當點P的坐標為3

7、2,154時,四邊形ACPB的最大面積值為758. 4.(2018湖南懷化)如圖,在平面直角坐標系中,拋物線y=ax2+2x+c與x軸交于A(-1,0),B(3,0)兩點,與y軸交于點C,點D是該拋物線的頂點. (1)求拋物線的解析式和直線AC的解析式; (2)請在y軸上找一點M,使△BDM的周長最小,求出點M的坐標; (3)試探究:在拋物線上是否存在點P,使以點A,P,C為頂點,AC為直角邊的三角形是直角三角形?若存在,請求出符合條件的點P的坐標;若不存在,請說明理由. 解(1)設拋物線解析式為y=a(x+1)(x-3), 即y=ax2-2ax-3a, ∴-2a=2,解得a

8、=-1, ∴拋物線解析式為y=-x2+2x+3; 當x=0時,y=-x2+2x+3=3,則C(0,3), 設直線AC的解析式為y=px+q, 把A(-1,0),C(0,3)代入得-p+q=0,q=3,解得p=3,q=3,∴直線AC的解析式為y=3x+3. (2)∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4, ∴頂點D的坐標為(1,4), 作B點關于y軸的對稱點B',連接DB'交y軸于M,如圖1,則B'(-3,0), ∵MB=MB', ∴MB+MD=MB'+MD=DB',此時MB+MD的值最小,而BD的值不變, ∴此時△BDM的周長最小, 易得直線DB'的解析式為y=x+3,

9、 當x=0時,y=x+3=3, ∴點M的坐標為(0,3). (3)存在. 過點C作AC的垂線交拋物線于另一點P,如圖2, ∵直線AC的解析式為y=3x+3, ∴直線PC的解析式可設為y=-13x+b, 把C(0,3)代入得b=3, ∴直線PC的解析式為y=-13x+3, 解方程組y=-x2+2x+3,y=-13x+3,解得x=0,y=3或x=73,y=209,則此時P點坐標為73,209; 過點A作AC的垂線交拋物線于另一點P,直線PC的解析式可設為y=-13x+b, 把A(-1,0)代入得13+b=0,解得b=-13, ∴直線PC的解析式為y=-13x-13, 解方

10、程組y=-x2+2x+3,y=-13x-13,解得x=-1,y=0或y=103,y=-139,則此時P點坐標為103,-139,綜上所述,符合條件的點P的坐標為73,209或103,-139. 5.(2018上海)在平面直角坐標系xOy中(如圖).已知拋物線y=-12x2+bx+c經(jīng)過點A(-1,0)和點B0,52,頂點為C,點D在其對稱軸上且位于點C下方,將線段DC繞點D按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°,點C落在拋物線上的點P處. (1)求這條拋物線的表達式; (2)求線段CD的長; (3)將拋物線平移,使其頂點C移到原點O的位置,這時點P落在點E的位置,如果點M在y軸上,且以O,D,

11、E,M為頂點的四邊形面積為8,求點M的坐標. 解(1)把A(-1,0)和點B0,52代入y=-12x2+bx+c得-12-b+c=0,c=52,解得b=2,c=52, ∴拋物線解析式為y=-12x2+2x+52. (2)∵y=-12(x-2)2+92, ∴C2,92,拋物線的對稱軸為直線x=2, 如圖,設CD=t, 則D2,92-t, ∵線段DC繞點D按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°,點C落在拋物線上的點P處, ∴∠PDC=90°,DP=DC=t, ∴P2+t,92-t, 把P2+t,92-t代入y=-12x2+2x+52得-12(2+t)2+2(2+t)+52=92-t, 整

12、理得t2-2t=0,解得t1=0(舍去),t2=2, ∴線段CD的長為2. (3)P點坐標為4,92,D點坐標為2,52, ∵拋物線平移,使其頂點C2,92移到原點O的位置,∴拋物線向左平移2個單位,向下平移92個單位, 而P點4,92向左平移2個單位,向下平移92個單位得到點E, ∴E點坐標為(2,-2),設M(0,m), 當m>0時,12·m+52+2·2=8, 解得m=72,此時M點坐標為0,72; 當m<0時,12·-m+52+2·2=8,解得m=-72,此時M點坐標為0,-72; 綜上所述,M點的坐標為0,72或0,-72. 6.(2018廣西南寧)如圖,拋物

13、線y=ax2-5ax+c與坐標軸分別交于點A,C,E三點,其中A(-3,0),C(0,4),點B在x軸上,AC=BC,過點B作BD⊥x軸交拋物線于點D,點M,N分別是線段CO,BC上的動點,且CM=BN,連接MN,AM,AN. (1)求拋物線的解析式及點D的坐標; (2)當△CMN是直角三角形時,求點M的坐標; (3)試求出AM+AN的最小值. 解(1)把A(-3,0),C(0,4)代入y=ax2-5ax+c得9a+15a+c=0,c=4,解得a=-16,c=4, ∴拋物線解析式為y=-16x2+56x+4; ∵AC=BC,CO⊥AB, ∴OB=OA=3,∴B(3,0), ∵B

14、D⊥x軸交拋物線于點D, ∴D點的橫坐標為3, 當x=3時,y=-16×9+56×3+4=5, ∴D點坐標為(3,5). (2)在Rt△OBC中,BC=OB2+OC2=32+42=5, 設M(0,m),則BN=4-m,CN=5-(4-m)=m+1,∵∠MCN=∠OCB, ∴當CMCO=CNCB時,△CMN∽△COB,則∠CMN=∠COB=90°,即4-m4=m+15,解得m=169,此時M點坐標為0,169; 當CMCB=CNCO時,△CMN∽△CBO, 則∠CNM=∠COB=90°,即4-m5=m+14,解得m=119,此時M點坐標為0,119; 綜上所述,M點的坐標為0,169或0,119. (3)連接DN,AD,如圖, ∵AC=BC,CO⊥AB, ∴OC平分∠ACB, ∴∠ACO=∠BCO, ∵BD∥OC,∴∠BCO=∠DBC, ∵DB=BC=AC=5,CM=BN, ∴△ACM≌△DBN,∴AM=DN, ∴AM+AN=DN+AN, 而DN+AN≥AD(當且僅當點A,N,D共線時取等號), ∴DN+AN的最小值=62+52=61, ∴AM+AN的最小值為61. 8