（把握高考）2013高三數(shù)學 經(jīng)典例題精解分析 2-4-2 拋物線的簡單幾何性質(zhì)

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1、2.4.2　拋物線的簡單幾何性質(zhì) 雙基達標　(限時20分鐘) 1．經(jīng)過拋物線y2＝2x的焦點且平行于直線3x－2y＋5＝0的直線l的方程是 (　　)． A．6x－4y－3＝0 B．3x－2y－3＝0 C．2x＋3y－2＝0 D．2x＋3y－1＝0 解析　設直線l的方程為3x－2y＋c＝0，拋物線y2＝2x的焦點F(，0)，所以3×－2×0 ＋c＝0， 所以c＝－，故直線l的方程是6x－4y－3＝0.選A. 答案　A 2．過點(1，0)作斜率為－2的直線，與拋物線y

2、2＝8x交于A，B兩點，則弦AB的長為 (　　)． A．2 B．2 C．2 D．2 解析　不妨設A，B兩點坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，其中x1>x2.由直線AB斜率為－2， 且過點(1，0)得直線AB的方程為y＝－2(x－1)，代入拋物線方程y2＝8x得4(x－1)2＝8x， 整理得x2－4x＋1＝0，解得x1＝2＋，x2＝2－，代入直線AB方程得y1＝－2－2， y2＝2－2.故A(2＋，－2－2)，B(2－，2－2)． |AB|＝＝2.

3、 答案　B 3．已知拋物線y2＝2px(p>0)，過其焦點且斜率為1的直線交拋物線于A，B兩點，若線段AB的中點的縱坐標為2，則該拋物線的準線方程為 (　　)． A．x＝1 B．x＝－1 C．x＝2 D．x＝－2 解析　拋物線的焦點為F(，0)，所以過焦點且斜率為1的直線方程為y＝x－，即x＝y(tǒng) ＋，代入y2＝2px得y2＝2p(y＋)＝2py＋p2，即y2－2py－p2＝0，由根與系數(shù)的關(guān)系得 ＝p＝2(y1，y

4、2分別為點A，B的縱坐標)，所以拋物線方程為y2＝4x，準線方程為x ＝－1. 答案　B 4．拋物線頂點在坐標原點，以y軸為對稱軸，過焦點且與y軸垂直的弦長為16，則拋物線方程為________． 解析　∵過焦點且與對稱軸y軸垂直的弦長等于p的2倍． ∴所求拋物線方程為x2＝±16y. 答案　x2＝±16y 5．已知O為坐標原點，F(xiàn)為拋物線y2＝4x的焦點，A是拋物線上一點，若·＝－4，則點A的坐標是________． 解析　∵拋物線的焦點為F(1，0)，設A(，y0)， 則＝(，y0)，＝(1－，－y0)， 由·＝－4，得y0＝±2， ∴點A的坐標是(1，2)或(1，－

5、2)． 答案　(1，2)或(1，－2) 6．求適合下列條件的拋物線的標準方程： (1)頂點在原點，對稱軸為坐標軸，頂點到準線的距離為4； (2)頂點是雙曲線16x2－9y2＝144的中心，準線過雙曲線的左頂點，且垂直于坐標軸． 解　(1)由拋物線的標準方程對應的圖形易知：頂點到準線的距離為，故＝4，p＝8.因此，所求拋物線的標準方程為y2＝±16x或x2＝±16y. (2)雙曲線方程16x2－9y2＝144化為標準形式為－＝1，中心為原點，左頂點為(－3，0)，故拋物線頂點在原點，準線為x＝－3.由題意可設拋物線的標準方程為y2＝2px(p>0)，可得＝3，故p＝6.因此，所求拋物

6、線的標準方程為y2＝12x. 綜合提高（限時25分鐘） 7．已知直線y＝k(x＋2)(k>0)與拋物線C：y2＝8x相交于A，B兩點，F(xiàn)為C的焦點．若|FA|＝2|FB|，則k＝ (　　)． A. B. C. D. 解析　設A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知x1>0，x2>0，y1>0，y2>0， 由得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0， ∴x1x2＝4，

7、 ① ∵|FA|＝x1＋＝x1＋2， |FB|＝x2＋＝x2＋2，且|FA|＝2|FB|， ∴x1＝2x2＋2. ② 由①②得x2＝1， ∴B(1，2)，代入y＝k(x＋2)，得k＝.故選D. 答案　D 8．過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F的直線與拋物線相交于M，N兩點，自M，N向準線l作垂線，垂足分別為M1，N1，則∠M1FN1等于 (　　)． A．45° B．60° C．90° D．

8、120° 解析　如圖，由拋物線的定義， 得|MF|＝|MM1|，|NF|＝|NN1|. ∴∠MFM1＝∠MM1F， ∠NFN1＝∠NN1F. 設準線l與x軸的交點為F1， ∵MM1∥FF1∥NN1， ∴∠MM1F＝∠M1FF1， ∠NN1F＝∠N1FF1. 而∠MFM1＋∠M1FF1＋∠NFN1＋∠N1FF1＝180°， ∴2∠M1FF1＋2∠N1FF1＝180°，即∠M1FN1＝90°. 答案　C 9．邊長為1的等邊三角形AOB，O為原點，AB⊥x軸，以O為頂點，且過A，B的拋物線方程是________． 解析　該等邊三角形的高為.因而A點坐標為或.可設拋物線方

9、程為y2＝2px(p≠0)．A在拋物線上，因而p＝±.因而所求拋物線方程為y2＝±x. 答案　y2＝±x 10．設已知拋物線C的頂點在坐標原點，焦點為F(1，0)．直線l與拋物線C相交于A、B兩點，若AB的中點為(2，2)，則直線l的方程為________． 解析　拋物線的方程為y2＝4x， 設直線l與拋物線C的交點A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則有x1≠x2， 兩式相減得，y12－y22＝4(x1－x2)， ∴＝＝1， ∴直線l的方程為y－2＝x－2，即y＝x. 答案　y＝x 11．已知頂點在原點，焦點在x軸上的拋物線被直線y＝2x＋1截得的弦長為，求拋物線的方程

10、． 解　設拋物線的方程為y2＝2px， 則消去y，得 4x2－(2p－4)x＋1＝0，設A(x1，y1)，B(x2，y2)， x1＋x2 ＝，x1x2＝. |AB|＝|x1－x2|＝ ＝＝. 則＝，p2－4p－12＝0， p＝－2或6.∴y2＝－4x或y2＝12x. 12．(創(chuàng)新拓展)如圖，已知△AOB的一個頂點為拋物線y2＝2x的頂點O，A、B兩點都在拋物線上，且∠AOB＝90°. (1)證明直線AB必過一定點； (2)求△AOB面積的最小值． (1)證明　設OA所在直線的方程為y＝kx(k≠0)，則直線OB的方程為y＝－x， 由解得或 即A點的坐標為(，)． 同樣由解得B點的坐標為(2k2，－2k)． ∴AB所在直線的方程為y＋2k＝(x－2k2)， 化簡并整理，得(－k)y＝x－2. 不論實數(shù)k取任何不等于0的實數(shù)，當x＝2時，恒有y＝0. 故直線過定點P(2，0)． (2)解　由于AB所在直線過定點P(2，0)，所以可設AB所在直線的方程為x＝my＋2. 由消去x并整理得y2－2my－4＝0. ∴y1＋y2＝2m，y1y2＝－4. 于是|y1－y2|＝＝＝＝2. S△AOB＝×|OP|×(|y1|＋|y2|) ＝|OP|·|y1－y2|＝×2×2＝2. ∴當m＝0時，△AOB的面積取得最小值為4.