susu整理版人教版初中數(shù)學常用概念、公式和定理.doc
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初中數(shù)學 常用的概念、公式和定理 1.整數(shù)(包括:正整數(shù)、0、負整數(shù))和分數(shù)(包括:有限小數(shù)和無限環(huán)循小數(shù))都是有理數(shù). 如:－3, ,0.231,0.737373…, , . 無限不環(huán)循小數(shù)叫做 .. 如:π,－, 0.1010010001…(兩個1之間依次多1個0).有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為. 2.絕對值:a≥0 丨a丨= a≤0 丨a丨= 如:丨－ 丨= ; 丨3.14－π丨= 3.一個近似數(shù),從左邊笫一個不是0的數(shù)字起,到最末一個數(shù)字止,所有的數(shù)字,都叫做這個 近似數(shù)的有效數(shù)字.如:0.05972精確到0.001得0.060,結果有兩個有效數(shù)字6,0. 4.把一個數(shù)寫成a10n 的形式(其中1≤a<10,n是整數(shù)),這種記數(shù)法叫做科學記數(shù)法. 如:－40700= ,0.000043= 5.被開方數(shù)的小數(shù)點每移動2位,算術平方根的小數(shù)點就向相同方向移動1位;被開方數(shù)的 小數(shù)點每移動3位,立方根的小數(shù)點就向相同方向移動1位. 如:已知 =0.4858, 則 = 已知 =1.558,則 = 6.整式的乘除法:①幾個單項式相乘除,系數(shù)與系數(shù)相乘除,同底數(shù)的冪結合起來相乘除. ②單項式乘以多項式,用單項式乘以多項式的每一個項.③多項式乘以多項式,用一個多 項式的每一項分別乘以另一個多項式的每一項.④多項式除以單項式,將多項式的每一項分別除以這個單項式. 7.冪的運算性質: ① aman= ②aman= . ③(am)n= . ④(ab)n= . ⑤( )n= ⑥a－n= ,特別:( )－n= . ⑦ a0= 如:a3a2= , a6a2= (a3)2= , (3a3 )3= , (－3)－1= 5－2= = , (－3.14)0= ( － )0= 8.乘法公式(反過來就是因式分解的公式): ①(a+b)(a－b)= 擴展： ②(ab)2= 擴展： 同理：或 ③ (a+b)(a2－ab+b2)= ④(a－b)(a2+ab+b2)= ; a2+b2= , (a－b)2= 公式拓展：⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ 9.選擇因式分解方法的原則是:先看能否提公因式.在沒有公因式的情況下:二項式用平方 差公式或立方和差公式,三項式用十字相乘法(特殊的用完全平方公式),三項以上用分 組分解法.注意:因式分解要進行到每一個多項式因式都不能再分解為止. 10.分式的運算:乘除法要先把分子、分母都分解因式,并顛倒除式,約分后相乘;加減法應 先把分母分解因式,再通分(不能去分母).注意:結果要化為最簡分式. 11.二次根式:① ( )2= ,② = ,③ = ,④ = 如:① (3 )2= .② = .③a<0時, = .④ 的平方根=4的平方根. 注：①如果一個數(shù)的平方是a，那么，這個數(shù)就在于叫a的平方根（或叫二次方根）。a叫被開方數(shù)。開平方中被開方數(shù)a必須大于等于零。 ②正數(shù)的平方根有兩個，它們的絕對值相等，符號相反（它們是互為相反的數(shù)）。這兩個根中的正數(shù)根，叫做算術平方根。零的算術平方根是零。負數(shù)沒有平方根。 ③如果一個數(shù)的立方等于a，那么這個數(shù)就叫a的立方根。3開立方的根指數(shù)。正數(shù)、負數(shù)和零都能開立方，正數(shù)的立方根是正數(shù)；負數(shù)的立方根是負數(shù)；零的立方根是零。 12.一元二次方程:對于方程:ax2+bx+c=0 ①求根公式是x= ,其中 叫做根 的判別式. 當Δ>0時,方程有兩個不相等的實數(shù)根;當Δ=0時,方程有個相等的實數(shù)根;當 Δ<0時,方程沒有實數(shù)根.注意:當Δ≥0時,方程有實數(shù)根. ②若方程有兩個實數(shù)根x1和x2,則x1+x2=－ , x1x2= ,并且二次三項式ax2+bx+c可分解為 ③以a和b為根的一元二次方程是 13.解分式方程(去分母或換元)和無理方程(兩邊平方或換元)必須檢驗.形如: 的方程組,用代入法解;形如: 的方程組,先把一個方程分解為兩個一次方程, 再把這兩個方程分別與另一個方程組合成兩個方程組,再用代入法分別解這兩個方程組. 14.不等式兩邊都乘以或除以同一個負數(shù),不等號要改變方向. 15.平面直角坐標系:①各限象內點的坐標如圖所示. ②橫軸(x軸)上的點,縱坐標是0;縱軸(y軸)上的點,橫坐標是0. ③對稱性： 若直角坐標系內一點P（a，b），則P關于x軸對稱的點為P1 P關于y軸對稱的點為P2（－a，b），關于原點對稱的點為P3 ④坐標平移：若直角坐標系內一點P（a，b）向左平移h個單位，坐標變?yōu)镻 向右平移h個單位，坐標變?yōu)镻 向上平移h個單位，坐標變?yōu)镻 向下平移h個單位，坐標變?yōu)镻 .如：點A（2，－1）向上平移2個單位，再向右平移5個單位，則坐標變?yōu)锳. 16.一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象是一條直線(b是直線與y軸的交點的縱坐標).當k>0時,y 隨x的增大而增大(直線從左向右上升);當k<0時,y隨x的增大而減小(直線從左向右下降).特別:當b=0時,y=kx 又叫做正比例函數(shù)(y與x成正比例),圖象必過原點. 補充：斜率： b為直線在y軸上的截距 ①直線的斜截式方程，簡稱斜截式: y＝ ②由直線上兩點確定的直線的兩點式方程，簡稱兩點式: ③由直線在軸和軸上的截距確定的直線的截距式方程，簡稱截距式： ④設兩條直線分別為，： ： 若，則有 。 若 ⑤點P（x0，y0）到直線y=kx+b(即：kx-y+b=0) 的距離: 17.反比例函數(shù)y= (k≠0)的圖象叫做雙曲線.當k>0時,雙曲線在一、三象限(從左向右降);當k<0時,雙曲線在二、四象限(從左向右上升).因此,它的增減性與一次函數(shù)相反. 18.直線與拋物線的交點 （1）軸與拋物線得交點為 （2）拋物線與軸的交點 二次函數(shù)的圖像與軸的兩個交點的橫坐標、，是對應一元二次方程 的兩個實數(shù)根.拋物線與軸的交點情況可以由對應的一元二次方程的根的判別式判定： ①有兩個交點()拋物線與軸相交； ②有一個交點（頂點在軸上）()拋物線與軸相切； ③沒有交點()拋物線與軸相離. （3）平行于軸的直線與拋物線的交點 同（2）一樣可能有0個交點、1個交點、2個交點.當有2個交點時，兩交點的縱坐標相等，設縱坐標為，則橫坐標是的兩個實數(shù)根. （4）一次函數(shù)的圖像與二次函數(shù)的圖像的交點，由方程組 的解的數(shù)目來確定：①方程組有兩組不同的解時與有兩個交點; ②方 程組只有一組解時與只有一個交點；③方程組無解時與沒有交點. （5）拋物線與軸兩交點之間的距離：若拋物線與軸兩交點為，則 19.二次函數(shù)的有關知識： (1)定義：一般地，如果是常數(shù)，，那么叫做的二次函數(shù). (2)拋物線的三要素：開口方向、對稱軸、頂點. ①的符號決定拋物線的開口方向：當時，開口向上；當時，開口向下； 相等，拋物線的開口大小、形狀相同. ②平行于軸（或重合）的直線記作.特別地，軸記作直線. 幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下： 函數(shù)解析式 開口方向 對稱軸 頂點坐標 ) (3)求拋物線的頂點、對稱軸的方法 ①公式法：， ∴頂點是，對稱軸是直線. ②配方法：運用配方的方法，將拋物線的解析式化為的形式，得到頂點為(,)，對稱軸是直線 ③運用拋物線的對稱性：由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，對稱軸與拋物線的交點是頂點。 若已知拋物線上兩點（及y值相同），則對稱軸方程可以表示為： (4)拋物線中，的作用 ①決定 ，這與 中的完全一樣. ②和共同決定拋物線對稱軸的位置.由于拋物線的對稱軸是直線 ，故：①時，對稱軸為 軸；②（即、同號）時，對稱軸在 軸 側； ③（即、異號）時，對稱軸在 軸 側. ④的大小決定拋物線與軸交點的位置. 當時， ，∴拋物線與軸有且只有一個交點（ ）： ①，拋物線經(jīng)過 ; ②,與軸交于 ；③,與軸交于 . 以上三點中，當結論和條件互換時，仍成立.如拋物線的對稱軸在軸右側，則 . ⑤.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式 （1）一般式：.已知圖像上三點或三對、的值，通常選擇一般式. （2）頂點式：.已知圖像的頂點或對稱軸，通常選擇頂點式. （3）交點式：已知圖像與軸的交點坐標、，通常選用交點式：. 20.統(tǒng)計初步: (1)概念:①所要考察的對象的全體叫做總體,其中每一個考察對象叫做個體.從總體中抽取的一部份個體叫做總體的一個樣本,樣本中個體的數(shù)目叫做樣本容量.②在一組數(shù)據(jù)中,出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)(有時不止一個),叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).③將一組數(shù)據(jù)按大小順序排列,把處在最中間的一個數(shù)(或兩個數(shù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù). (2)公式:設有n個數(shù) x1,x2,…,xn ,那么: 平均數(shù) = .②方差S2= .( 是整數(shù)時用) ③S2= . 注:各數(shù)據(jù)的數(shù)位較少或平均數(shù)是分數(shù)時,用此公式. ④若將n個數(shù)x1,x2,…,xn各減去一個適當?shù)臄?shù)a,得到一組新數(shù) x1,,x2,,…,xn,,那么原來那組數(shù) 的方差S2=這組新數(shù)的方差,平均數(shù) =a+ , .方差越大,這組數(shù)據(jù)的波動就越大.通常用樣 本方差去估計總體方差,用樣本平均數(shù)去估計總體平均數(shù).方差的算術平方根叫做標準差 ⑤極差：用一組數(shù)據(jù)的最大值減去最小值所得的差來反映這組數(shù)據(jù)的變化范圍，用這種方法得到的差稱為極差，即：極差=最大值-最小值； (3)頻率:①把一組數(shù)分成若干個小組,組距= (求組數(shù)時,用收尾法取整數(shù)), 這時,落在某小組內的數(shù)據(jù)的個數(shù)叫做這組的 ,每一小組的頻數(shù)與數(shù)據(jù)總個數(shù)的比值叫做這一小組的 .因此, .在頻率分布直方圖中,各小長方形的面積等于相應各組的頻率.各小長方形的面積 . （4）概率①如果用P表示一個事件A發(fā)生的概率，則0≤P（A）≤1； P（必然事件）=1；P（不可能事件）=0； ②在具體情境中了解概率的意義，運用列舉法（包括列表、畫樹狀圖）計算簡單事件發(fā)生的概率。 ③大量的重復實驗時頻率可視為事件發(fā)生概率的估計值； 21.銳角三角函數(shù):①設∠A是RtΔ的任一銳角,則∠A的正弦: sinA= ∠A的余弦:cosA= , ∠A的正切:tanA= ∠A的余切:cotA= 并且sinA= tgA= , tgActgA= , sin2A+cos2A= 0
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