(新課標)高考數(shù)學一輪復習-名校尖子生培優(yōu)大專題-圓錐曲線訓練5-新人教A版

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名校專題----圓錐曲線培優(yōu)訓練5 1、設橢圓E: （a,b>0）過M（2，） ，N(,1)兩點，O為坐標原點． （Ⅰ）求橢圓E的方程； （Ⅱ）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B, 且？若存在，寫出該圓的方程，并求|AB |的取值范圍，若不存在說明理由。 解:（1）因為橢圓E: （a,b>0）過M（2，），N(,1)兩點, 所以解得所以橢圓E的方程為 4分 （2）假設存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且,設該圓的切線方程為解方程組得, 即, 則△=,即 要使,需使,即,所以, 所以又, 所以,所以,即或, 因為直線為圓心在原點的圓的一條切線, 所以圓的半徑為,,, 所求的圓為,此時圓的切線都滿足或, 而當切線的斜率不存在時切線為與橢圓的兩個交點為或滿足, 綜上, 存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且． 因為, 所以, , 8分 ①當時，因為所以, 所以,所以當且僅當時取“=”． ②時,． ③當AB的斜率不存在時, 兩個交點為或, 所以此時, 12分 綜上, |AB |的取值范圍為即: 14分 2、如圖，已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，長軸長是短軸長的2倍且經(jīng)過點M(2,1)，平行于OM的直線l在軸上的截距為，l交橢圓于A、B兩個不同點． （1）求橢圓的方程； （2）求m的取值范圍； （3）求證直線MA、MB與軸始終圍成一個等腰三角形． 解：（1）設橢圓方程為 則 2分 ∴橢圓方程 4分 （2）∵直線l平行于OM，且在軸上的截距為m，又 ∴l(xiāng)的方程為： 由 6分 ∵直線l與橢圓交于A、B兩個不同點， ∴m的取值范圍是 （3）設直線MA、MB的斜率分別為k1，k2，只需證明k1＋k2=0即可 設 可得 8分 而 10分 ∴k1＋k2=0 故直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形． 12分 3已知橢圓：()過點，其左、右焦點分別為，且 ． （1）求橢圓的方程； （2）若是直線上的兩個動點，且，則以為直徑的圓是否過定點？請說明理由． 解：（1）設點的坐標分別為， 則 故，可得， …………………2分 所以，…………………4分 故， 所以橢圓的方程為．　 　　　 　……………………………6分 （2）設的坐標分別為，則， 又，可得，即， …………………8分 又圓的圓心為半徑為， 故圓的方程為， 即， 也就是， ……………………11分 令，可得或2， 故圓必過定點和．　　　　　　　　 　……………………13分 （另法：（1）中也可以直接將點坐標代入橢圓方程來進行求解；（2）中可利用圓C直徑的兩端點直接寫出圓的方程） 4、已知點是直角坐標平面內(nèi)的動點，點到直線的距離為，到點的距離為，且． (1)求動點P所在曲線C的方程； (2)直線過點F且與曲線C交于不同兩點A、B(點A或B不在x軸上)，分別過A、B點作直線的垂線，對應的垂足分別為，試判斷點F與以線段為直徑的圓的位置關(guān)系(指在圓內(nèi)、圓上、圓外等情況)； (3)記，，(A、B、是(2)中的點)，問是否存在實數(shù)，使成立．若存在，求出的值；若不存在，請說明理由． 進一步思考問題：若上述問題中直線、點、曲線C：，則使等式成立的的值仍保持不變．請給出你的判斷 (填寫“不正確”或“正確”)(限于時間，這里不需要舉反例，或證明)． 解　(1) 設動點為，依據(jù)題意，有，化簡得． 3分 因此，動點P所在曲線C的方程是：．……………4分 (2) 點F在以MN為直徑的圓的外部． 理由：由題意可知，當過點F的直線的斜率為0時，不合題意，故可設直線：，如圖所示． 5分 聯(lián)立方程組，可化為， 則點的坐標滿足． 7分 又、，可得點、． 因，，則=．……9分 于是，為銳角，即點F在以MN為直徑的圓的外部． 10分 (3)依據(jù)(2)可算出，， 則 ， ．…… 14分 所以，，即存在實數(shù)使得結(jié)論成立． ……15分 對進一步思考問題的判斷：正確． ……18分 5、已知點是直角坐標平面內(nèi)的動點，點到直線(是正常數(shù))的距離為，到點的距離為，且1． (1)求動點P所在曲線C的方程； (2)直線過點F且與曲線C交于不同兩點A、B，分別過A、B點作直線的垂線，對應的垂足分別為，求證=； (3)記，，(A、B、是(2)中的點)，，求的值． 解　(1) 設動點為，依據(jù)題意，有 ，化簡得．……4分 因此，動點P所在曲線C的方程是：． ……………6分 由題意可知，當過點F的直線的斜率為0時，不合題意， 故可設直線：，如圖所示． …… 8分 聯(lián)立方程組，可化為， 則點的坐標滿足． 10分 又、，可得點、． 于是，，， 因此． 12分 (3)依據(jù)(2)可算出，， 則 ， ． 16分 所以，即為所求． 18分 6、已知：橢圓（），過點，的直線傾斜角為，原點到該直線的距離為． （1）求橢圓的方程； （2）斜率大于零的直線過與橢圓交于，兩點，若，求直線的方程； （3）是否存在實數(shù)，直線交橢圓于，兩點，以為直徑的圓過點？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由． 解：（1）由， ，得，， 所以橢圓方程是：……………………4分 （2）設EF：（）代入，得， 設，，由，得． 由，……………………8分 得，，（舍去），（沒舍去扣1分） 直線的方程為：即……………………10分 （3）將代入，得（*） 記，，PQ為直徑的圓過，則，即，又，，得．………………14分 解得，此時（*）方程，存在，滿足題設條件．…………16分 7、已知點，動點滿足條件，記動點的軌跡為。 （1）求的方程； （2）過作直線交曲線于兩點，使得2，求直線的方程。 （3）若從動點向圓：作兩條切線，切點為、，令|PC|=d, 試用d來表示，并求的取值范圍。 解：（1）由，知點的軌跡是以為焦點，實軸長為的雙曲線 即設，所以所求的的方程為 4分 （2）若k不存在，即x=2時,可得A(2,)，B(2,-),|AB|=2滿足題意； 5分 若k存在，可設l:y=k(x-2) 聯(lián)立， 由題意知且 6分 設A(x1,y1),B(x2,y2),則|AB|= 即 =2 k=0 即l:y=0 8分 所以直線l的方程為 x=0或y=0 9分 （3） 又 則----- 13分 在是增函數(shù)， 則所求的的范圍為。 16分 8、在平面直角坐標系中，已知焦距為4的橢圓的左、右頂點分別為，橢圓的右焦點為，過作一條垂直于軸的直線與橢圓相交于，若線段的長為。 （1）求橢圓的方程； （2）設是直線上的點，直線與橢圓分別交于點，求證：直線 必過軸上的一定點，并求出此定點的坐標； （3）實際上，第（2）小題的結(jié)論可以推廣到任意的橢圓、雙曲線以及拋物線，請你對拋物線寫出一個更一般的結(jié)論，并加以證明。 A B Q O M N x y 9 （1）依題意，橢圓過點，故，解得。………（3分） 橢圓的方程為。…………（4分） （2）設，直線的方程為，……………（5分） 代入橢圓方程，得， ……（6分） 設，則，…（7分） ，故點的坐標為?！?分） 同理，直線的方程為，代入橢圓方程，得， 設，則，。 可得點的坐標為。…………………………………………………………（10分） ①若時，直線的方程為，與軸交于點； ②若，直線的方程為， 令，解得。綜上所述，直線必過軸上的定點。…………………………（12分） （3）結(jié)論：已知拋物線的頂點為，為直線上一動點，過點作軸的平行線與拋物線交于點，直線與拋物線交于點，則直線必過定點?！?4分） 證明：設，則， P O M N x y 直線的方程為，代入，得，可求得?！?6分） 直線的方程為， 令，得，即直線必過定點?！?8分） 9、已知橢圓中心為，右頂點為，過定點作直線交橢圓于、兩點. （1）若直線與軸垂直，求三角形面積的最大值； （2）若，直線的斜率為，求證：； （3）直線和的斜率的乘積是否為非零常數(shù)？請說明理由. 解：設直線與橢圓的交點坐標為. （1）把代入可得：， （2分） 則，當且僅當時取等號 （4分） （2）由得，，（6分） 所以 （9分） （3）直線和的斜率的乘積是一個非零常數(shù). （11分） 當直線與軸不垂直時，可設直線方程為：， 由消去整理得 則 ① 又 ② （13分） 所以（15分） 當直線與軸垂直時，由得兩交點， 顯然.所以直線和的斜率的乘積是一個非零常數(shù).（16分） 10、定義：由橢圓的兩個焦點和短軸的一個頂點組成的三角形稱為該橢圓的“特征三角形”。如果兩個橢圓的“特征三角形”是相似的，則稱這兩個橢圓是“相似橢圓”，并將三角形的相似比稱為橢圓的相似比。已知橢圓。 若橢圓，判斷與是否相似？如果相似，求出與的相似比；如果不相似， 請說明理由； 寫出與橢圓相似且短半軸長為的橢圓的方程；若在橢圓上存在兩點、關(guān)于直線對稱，求實數(shù)的取值范圍？ 如圖：直線與兩個“相似橢圓”和分別交于點和點，證明： 23．解：（1）橢圓與相似。-------------------2分 因為橢圓的特征三角形是腰長為4，底邊長為的等腰三角形，而橢圓的特征三角形是腰長為2，底邊長為的等腰三角形，因此兩個等腰三角形相似，且相似比為-------------------4分 （2）橢圓的方程為：-------------------6分 設，點，中點為， 則，所以-------------------8分 則 -------------------9分 因為中點在直線上，所以有，-------------------10分 即直線的方程為：， 由題意可知，直線與橢圓有兩個不同的交點， 即方程有兩個不同的實數(shù)解， 所以，即-------------------12分 （3）證明： ①直線與軸垂直時，易得線段AB與CD的中點重合，所以；-------------------14分 ②直線不與軸垂直時，設直線的方程為：，， 線段AB的中點， -------------------15分 線段AB的中點為-------------------16分 同理可得線段CD的中點為，-------------------17分 即線段AB與CD的中點重合，所以-------------------18 13