九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試卷（含解析） 新人教版22

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2015-2016學(xué)年湖北省宜昌二十二中九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷 一、選擇題（在各小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請在答題卡上指定的位置填涂符合要求的選項前面的字母代號.本大題共15題，每題3分，計45分） 1．在下列四個圖案中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形是（　?。? A． B． C． D． 2．若關(guān)于x的方程（k﹣2）x2+kx﹣1=0是一元二次方程，則k的取值范圍是（　?。? A．k=2 B．k≠0 C．k≥2 D．k≠2 3．方程x2=2x的解是（　?。? A．x=0 B．x=2 C．x1=0，x2=2 D．x1=0，x2= 4．在平面直角坐標系中，P（﹣1，3）關(guān)于原點的對稱點Q的坐標是（　?。? A．（1，3） B．（﹣1，3） C．（1，﹣3） D．（﹣1，﹣3） 5．一元二次方程x2﹣4x+5=0的根的情況是（　　） A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根 C．只有一個實數(shù)根 D．沒有實數(shù)根 6．三角形的兩邊長分別是3和6，第三邊是方程x2﹣6x+8=0的解，則這個三角形的周長是（　?。? A．11 B．13 C．11或13 D．11和13 7．與y=2（x﹣1）2+3形狀相同的拋物線解析式為（　　） A．y=1+x2 B．y=（2x+1）2 C．y=（x﹣1）2 D．y=2x2 8．若將函數(shù)y=2x2的圖象向左平移1個單位，再向上平移3個單位，可得到的拋物線是（　　） A．y=2（x﹣1）2﹣3 B．y=2（x﹣1）2+3 C．y=2（x+1）2﹣3 D．y=2（x+1）2+3 9．拋物線y=（x+2）2+1的頂點坐標是（　?。? A．（2，1） B．（﹣2，1） C．（2，﹣1） D．（﹣2，﹣1） 10．已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的x、y的部分對應(yīng)值如表：則該二次函數(shù)圖象的對稱軸為（　?。? x ﹣1 0 1 2 3 y 5 1 ﹣1 ﹣1 1 A．y軸 B．直線x= C．直線x=2 D．直線x=﹣2 11．關(guān)于x的一元二次方程9x2﹣6x+k=0有兩個不相等的實根，則k的范圍是（　?。? A．k＜1 B．k＞1 C．k≤1 D．k≥1 12．若m、n是一元二次方程x2﹣5x+2=0的兩個實數(shù)根，則m+n﹣mn的值是（　　） A．7 B．﹣7 C．3 D．﹣3 13．二次函數(shù)y=x2﹣2x﹣3上有兩點：（﹣1，y1），（4，y2），下列結(jié)論正確的是（　?。? A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1=y2 D．無法確定 14．生物興趣小組的學(xué)生，將自己收集的標本向本組其他成員各贈送一件，全組共互贈了182件，如果全組有x名同學(xué)，則根據(jù)題意列出的方程是（　?。? A．x（x+1）=182 B．x（x﹣1）=182 C．x（x+1）=1822 D．x（x﹣1）=1822 15．拋物線y=ax2+bx和直線y=ax+b在同一坐標系的圖象可能是（　　） A． B． C． D． 　 二、解答題（本大題共9小題，共75分） 16．解方程：x2﹣2x﹣1=0． 17．已知拋物線的頂點為A（1，﹣4），且過點B（3，0）．求該拋物線的解析式． 18．如圖：網(wǎng)格中每一個小正方形的邊長為1個單位長度；已知△ABC． （1）作出△ABC關(guān)于原點O成中心對稱的△A1B1C1，（只畫出圖形）． （2）作出△ABC以O(shè)為旋轉(zhuǎn)中心，順時針旋轉(zhuǎn)90的△A2B2C2（只畫出圖形）． 19．已知等腰△ABC的一邊長a=3，另兩邊長b、c恰好是關(guān)于x的方程x2﹣（k+2）x+2k=0的兩個根，求△ABC的周長． 20．如圖，P是矩形ABCD下方一點，將△PCD繞P點順時針旋轉(zhuǎn)60后恰好D點與A點重合，得到△PEA，連接EB，問△ABE是什么特殊三角形？請說明理由． 21．如圖，二次函數(shù)y1=（x﹣2）2+m的圖象與y軸交于點C，點B是點C關(guān)于該二次函數(shù)圖象的對稱軸對稱的點．已知一次函數(shù)y2=kx+b的圖象經(jīng)過該二次函數(shù)圖象上點A（1，0）及點B． （1）求m的值； （2）求二次函數(shù)與一次函數(shù)的解析式； （3）根據(jù)圖象，寫出滿足y2≥y1的x的取值范圍． 22．某工廠有甲、乙兩條生產(chǎn)線，一月份乙生產(chǎn)線創(chuàng)銷售金額80萬元，獲得了25%的毛利潤．（銷售金額﹣生產(chǎn)成本=毛利潤） （1）求乙生產(chǎn)線一月份的生產(chǎn)成本； （2）從二月份起，按環(huán)保部門“節(jié)能減排”要求，甲、乙兩條生產(chǎn)線都進行了技術(shù)革新，降低了能耗成本，甲生產(chǎn)線的毛利潤每月比上月增加了10萬元，乙生產(chǎn)線的毛利潤則按一種相同的速度遞增．第一季度結(jié)束時，經(jīng)過測算，三月份兩個生產(chǎn)線的毛利潤之和是65萬元，且甲生產(chǎn)線一、三兩月的毛利潤的和剛好等于乙生產(chǎn)線二月份毛利潤的3倍，求這個工廠第一季度的毛利潤． 23．正方形ABCD中，將一個直角三角板的直角頂點與點A重合，一條直角邊與邊BC交于點E（點E不與點B和點C重合），另一條直角邊與邊CD的延長線交于點F． （1）如圖①，求證：AE=AF； （2）如圖②，此直角三角板有一個角是45，它的斜邊MN與邊CD交于G，且點G是斜邊MN的中點，連接EG，求證：EG=BE+DG； （3）在（2）的條件下，如果=，那么點G是否一定是邊CD的中點？請說明你的理由． 24．已知直線y1=x+1與x軸相交于點A，與y軸相交于點B，點C在線段OB上，且不與點O，B重合，二次函數(shù)y2=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點A，C，其中a＞c． （1）試判斷二次函數(shù)y2=ax2+bx+c的圖象的頂點在第幾象限，說明理由； （2）設(shè)二次函數(shù)y2=ax2+bx+c的圖象與x軸的另一個交點為D，且OD=OC．求a的值； （3）將（2）中的拋物線y2=ax2+bx+c作適當?shù)钠揭?，得到拋物線y3=a（x﹣h）2，若當1＜x≤n時，y3≤y1一定成立，求n的最大值． 　  2015-2016學(xué)年湖北省宜昌二十二中九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷 參考答案與試題解析 　 一、選擇題（在各小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請在答題卡上指定的位置填涂符合要求的選項前面的字母代號.本大題共15題，每題3分，計45分） 1．在下列四個圖案中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形是（　?。? A． B． C． D． 【考點】中心對稱圖形；軸對稱圖形． 【分析】根據(jù)軸對稱圖形的定義沿一條直線對折后，直線兩旁部分完全重合的圖形是軸對稱圖形，以及中心對稱圖形的定義分別判斷即可得出答案． 【解答】解：A、此圖形沿一條直線對折后能夠完全重合，∴此圖形是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故此選項正確； B、此圖形沿一條直線對折后不能夠完全重合，∴此圖形不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項錯誤． C、此圖形沿一條直線對折后能夠完全重合，∴此圖形是軸對稱圖形，旋轉(zhuǎn)180不能與原圖形重合，不是中心對稱圖形，故此選項錯誤； D、此圖形沿一條直線對折后不能夠完全重合，∴此圖形不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項錯誤． 故選：A． 　 2．若關(guān)于x的方程（k﹣2）x2+kx﹣1=0是一元二次方程，則k的取值范圍是（　?。? A．k=2 B．k≠0 C．k≥2 D．k≠2 【考點】一元二次方程的定義． 【分析】根據(jù)一元二次方程未知數(shù)的最高次數(shù)是2和二次項的系數(shù)不等于0解答即可． 【解答】解：∵關(guān)于x的方程（k﹣2）x2+kx﹣1=0是一元二次方程， ∴k﹣2≠0， 解得，k≠2， 故選：D． 　 3．方程x2=2x的解是（　?。? A．x=0 B．x=2 C．x1=0，x2=2 D．x1=0，x2= 【考點】解一元二次方程-因式分解法；因式分解-提公因式法． 【分析】把右邊的項移到左邊，用提公因式法因式分解，可以求出方程的兩個根． 【解答】解：x2﹣2x=0 x（x﹣2）=0 ∴x1=0，x2=2． 故選C． 　 4．在平面直角坐標系中，P（﹣1，3）關(guān)于原點的對稱點Q的坐標是（　　） A．（1，3） B．（﹣1，3） C．（1，﹣3） D．（﹣1，﹣3） 【考點】關(guān)于原點對稱的點的坐標． 【分析】利用兩個點關(guān)于原點對稱時，它們的坐標符號相反，即點P（x，y）關(guān)于原點O的對稱點是P′（﹣x，﹣y），進而得出答案． 【解答】解：P（﹣1，3）關(guān)于原點的對稱點Q的坐標是：（1，﹣3）． 故選：C． 　 5．一元二次方程x2﹣4x+5=0的根的情況是（　　） A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根 C．只有一個實數(shù)根 D．沒有實數(shù)根 【考點】根的判別式． 【分析】把a=1，b=﹣4，c=5代入△=b2﹣4ac進行計算，根據(jù)計算結(jié)果判斷方程根的情況． 【解答】解：∵a=1，b=﹣4，c=5， ∴△=b2﹣4ac=（﹣4）2﹣415=﹣4＜0， 所以原方程沒有實數(shù)根． 故選：D． 　 6．三角形的兩邊長分別是3和6，第三邊是方程x2﹣6x+8=0的解，則這個三角形的周長是（　?。? A．11 B．13 C．11或13 D．11和13 【考點】解一元二次方程-因式分解法；三角形三邊關(guān)系． 【分析】利用因式分解法求出方程的解得到第三邊長，即可求出此時三角形的周長． 【解答】解：方程x2﹣6x+8=0， 分解因式得：（x﹣2）（x﹣4）=0， 可得x﹣2=0或x﹣4=0， 解得：x1=2，x2=4， 當x=2時，三邊長為2，3，6，不能構(gòu)成三角形，舍去； 當x=4時，三邊長分別為3，4，6，此時三角形周長為3+4+6=13． 故選B． 　 7．與y=2（x﹣1）2+3形狀相同的拋物線解析式為（　　） A．y=1+x2 B．y=（2x+1）2 C．y=（x﹣1）2 D．y=2x2 【考點】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式． 【分析】拋物線的形狀只是與a有關(guān)，a相等，形狀就相同． 【解答】解：y=2（x﹣1）2+3中，a=2． 故選D． 　 8．若將函數(shù)y=2x2的圖象向左平移1個單位，再向上平移3個單位，可得到的拋物線是（　　） A．y=2（x﹣1）2﹣3 B．y=2（x﹣1）2+3 C．y=2（x+1）2﹣3 D．y=2（x+1）2+3 【考點】二次函數(shù)圖象與幾何變換． 【分析】易得新拋物線的頂點，根據(jù)頂點式及平移前后二次項的系數(shù)不變可得新拋物線的解析式． 【解答】解：原拋物線的頂點為（0，0），向左平移1個單位，再向上平移3個單位，那么新拋物線的頂點為（﹣1，3）； 可設(shè)新拋物線的解析式為y=（x﹣h）2+k，代入得：y=2（x+1）2+3， 故選D． 　 9．拋物線y=（x+2）2+1的頂點坐標是（　?。? A．（2，1） B．（﹣2，1） C．（2，﹣1） D．（﹣2，﹣1） 【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)． 【分析】已知解析式是拋物線的頂點式，根據(jù)頂點式的坐標特點，直接寫出頂點坐標． 【解答】解：因為y=（x+2）2+1是拋物線的頂點式，由頂點式的坐標特點知，頂點坐標為（﹣2，1）． 故選B． 　 10．已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的x、y的部分對應(yīng)值如表：則該二次函數(shù)圖象的對稱軸為（　　） x ﹣1 0 1 2 3 y 5 1 ﹣1 ﹣1 1 A．y軸 B．直線x= C．直線x=2 D．直線x=﹣2 【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對稱性求解即可． 【解答】解：∵x=1和2時的函數(shù)值都是﹣1，相等， ∴二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線x==． 故選B． 　 11．關(guān)于x的一元二次方程9x2﹣6x+k=0有兩個不相等的實根，則k的范圍是（　　） A．k＜1 B．k＞1 C．k≤1 D．k≥1 【考點】根的判別式． 【分析】根據(jù)判別式的意義得到△=（﹣6）2﹣49k＞0，然后解不等式即可． 【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程9x2﹣6x+k=0有兩個不相等的實根， ∴△=（﹣6）2﹣49k＞0， 解得k＜1． 故選A． 　 12．若m、n是一元二次方程x2﹣5x+2=0的兩個實數(shù)根，則m+n﹣mn的值是（　　） A．7 B．﹣7 C．3 D．﹣3 【考點】根與系數(shù)的關(guān)系． 【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到m+n=5，mn=2，然后利用整體代入的方法計算即可． 【解答】解：根據(jù)題意得m+n=5，mn=2， 所以m+n﹣mn=5﹣2=3． 故選C． 　 13．二次函數(shù)y=x2﹣2x﹣3上有兩點：（﹣1，y1），（4，y2），下列結(jié)論正確的是（　?。? A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1=y2 D．無法確定 【考點】二次函數(shù)圖象上點的坐標特征． 【分析】分別計算出自變量為﹣1和4所對應(yīng)的函數(shù)值，然后比較函數(shù)值的大小即可． 【解答】解：當x=﹣1時，y1=x2﹣2x﹣3=1+2﹣3=0；當x=4時，y2=x2﹣2x﹣3=16﹣8﹣3=5， 所以y1＜y2． 故選B． 　 14．生物興趣小組的學(xué)生，將自己收集的標本向本組其他成員各贈送一件，全組共互贈了182件，如果全組有x名同學(xué)，則根據(jù)題意列出的方程是（　　） A．x（x+1）=182 B．x（x﹣1）=182 C．x（x+1）=1822 D．x（x﹣1）=1822 【考點】由實際問題抽象出一元二次方程． 【分析】先求每名同學(xué)贈的標本，再求x名同學(xué)贈的標本，而已知全組共互贈了182件，故根據(jù)等量關(guān)系可得到方程． 【解答】解：設(shè)全組有x名同學(xué)， 則每名同學(xué)所贈的標本為：（x﹣1）件， 那么x名同學(xué)共贈：x（x﹣1）件， 所以，x（x﹣1）=182． 故選B． 　 15．拋物線y=ax2+bx和直線y=ax+b在同一坐標系的圖象可能是（　?。? A． B． C． D． 【考點】二次函數(shù)的圖象；一次函數(shù)的圖象． 【分析】本題可先由二次函數(shù)圖象得到字母系數(shù)的正負，再與一次函數(shù)的圖象相比較看是否一致．逐一排除． 【解答】解：A、B．由二次函數(shù)的圖象可知a＞0，﹣＞0，可得b＜0，此時直線y=ax+b經(jīng)過一，三，四象限，但考慮y=ax2+bx=x（ax+b），因此拋物線和直線均經(jīng)過點（﹣，0），因此A錯誤，B正確； C、二次函數(shù)的圖象可知a＜0，對稱軸在y軸的右側(cè)，可知a、b異號，b＞0，此時直線y=ax+b經(jīng)過一、二、三象限，故C錯誤； D、二次函數(shù)的圖象可知a＜0，對稱軸在y軸的右側(cè)，可知a、b異號，b＞0，此時直線y=ax+b經(jīng)過一、二、三象限，故D錯誤； 故選：B． 　 二、解答題（本大題共9小題，共75分） 16．解方程：x2﹣2x﹣1=0． 【考點】解一元二次方程-公式法． 【分析】先整理成一元二次方程的一般形式再利用求根公式求解，或者利用配方法求解皆可． 【解答】解：解法一：∵a=1，b=﹣2，c=﹣1 ∴b2﹣4ac=4﹣41（﹣1）=8＞0 ∴ ∴，； 解法二：（x﹣1）2=2 ∴ ∴，． 　 17．已知拋物線的頂點為A（1，﹣4），且過點B（3，0）．求該拋物線的解析式． 【考點】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式． 【分析】根據(jù)頂點坐標設(shè)出頂點形式，把B坐標代入求出a的值，即可確定出解析式． 【解答】解：設(shè)拋物線的解析式為y=a（x﹣1）2﹣4， ∵拋物線經(jīng)過點B（3，0）， ∴a（3﹣1）2﹣4=0， 解得：a=1， ∴y=（x﹣1）2﹣4，即y=x2﹣2x﹣3． 　 18．如圖：網(wǎng)格中每一個小正方形的邊長為1個單位長度；已知△ABC． （1）作出△ABC關(guān)于原點O成中心對稱的△A1B1C1，（只畫出圖形）． （2）作出△ABC以O(shè)為旋轉(zhuǎn)中心，順時針旋轉(zhuǎn)90的△A2B2C2（只畫出圖形）． 【考點】作圖-旋轉(zhuǎn)變換． 【分析】（1）利用關(guān)于原點O中心對稱的點的坐標特征寫出點A、B、C的對應(yīng)點A1、B1、C1的坐標，然后描點即可得到△A1B1C1； （2）利用網(wǎng)格特點和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，畫出點A、B、C的對應(yīng)點A2、B2、C2，從而得到△A2B2C2． 【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1為所作； （2）如圖，△A2B2C2為所作； 　 19．已知等腰△ABC的一邊長a=3，另兩邊長b、c恰好是關(guān)于x的方程x2﹣（k+2）x+2k=0的兩個根，求△ABC的周長． 【考點】等腰三角形的性質(zhì)；解一元二次方程-因式分解法． 【分析】先利用因式分解法求出兩根：x1=2，x2=k．先分類討論：若a=3為底邊；若a=3為腰，分別確定b，c的值，求出三角形的周長． 【解答】解：x2﹣（k+2）x+2k=0 （x﹣2）（x﹣k）=0， 則x1=2，x2=k， 當b=c， k=2， 則△ABC的周長=2+2+3=7， 當b=2，c=3或c=2，b=3 則k=3， 則△ABC的周長=2+3+3=8． 故△ABC的周長是7或8． 　 20．如圖，P是矩形ABCD下方一點，將△PCD繞P點順時針旋轉(zhuǎn)60后恰好D點與A點重合，得到△PEA，連接EB，問△ABE是什么特殊三角形？請說明理由． 【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定；矩形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，圖形的旋轉(zhuǎn)是圖形上的每一點在平面上繞某個固定點旋轉(zhuǎn)固定角度的位置移動，其中對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，旋轉(zhuǎn)前后圖形的大小和形狀沒有改變，根據(jù)圖形求出旋轉(zhuǎn)的角度，即可得出三角形的形狀． 【解答】解：等邊三角形． 理由：由題意可知：∠APD=60， ∴△PAD是等邊三角形， ∴∠DAP=∠PDA=60， ∴∠PDC=∠PAE=30， ∴∠DAE=∠DAP﹣∠PAE=30， ∴∠PAB=30，即∠BAE=60， 又∵CD=AB=EA， ∴△ABE是等邊三角形， 故答案為等邊三角形． 　 21．如圖，二次函數(shù)y1=（x﹣2）2+m的圖象與y軸交于點C，點B是點C關(guān)于該二次函數(shù)圖象的對稱軸對稱的點．已知一次函數(shù)y2=kx+b的圖象經(jīng)過該二次函數(shù)圖象上點A（1，0）及點B． （1）求m的值； （2）求二次函數(shù)與一次函數(shù)的解析式； （3）根據(jù)圖象，寫出滿足y2≥y1的x的取值范圍． 【考點】二次函數(shù)與不等式（組）；待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式． 【分析】（1）將點A的坐標代入函數(shù)解析式求解即可得到m的值； （2）把m的值代入即可得到二次函數(shù)解析式，先求出點C的坐標，再利用二次函數(shù)的對稱性求出點B的坐標，然后利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式解答； （3）根據(jù)函數(shù)圖象寫出直線在二次函數(shù)圖象上方部分的x的取值范圍即可． 【解答】解：（1）將點A（1，0）代入y=（x﹣2）2+m得， （1﹣2）2+m=0，1+m=0，m=﹣1； （2）二次函數(shù)解析式為y=（x﹣2）2﹣1， 當x=0時，y=4﹣1=3，故C點坐標為（0，3）， 由于C和B關(guān)于對稱軸對稱，在設(shè)B點坐標為（x，3）， 令y=3，有（x﹣2）2﹣1=3， 解得x=4或x=0， 則B點坐標為（4，3）， 將A（1，0）、B（4，3）代入y=kx+b得，， 解得， 所以，一次函數(shù)解析式為y=x﹣1； （3）∵A、B坐標為（1，0），（4，3）， ∴當y2≥y1時，1≤x≤4． 　 22．某工廠有甲、乙兩條生產(chǎn)線，一月份乙生產(chǎn)線創(chuàng)銷售金額80萬元，獲得了25%的毛利潤．（銷售金額﹣生產(chǎn)成本=毛利潤） （1）求乙生產(chǎn)線一月份的生產(chǎn)成本； （2）從二月份起，按環(huán)保部門“節(jié)能減排”要求，甲、乙兩條生產(chǎn)線都進行了技術(shù)革新，降低了能耗成本，甲生產(chǎn)線的毛利潤每月比上月增加了10萬元，乙生產(chǎn)線的毛利潤則按一種相同的速度遞增．第一季度結(jié)束時，經(jīng)過測算，三月份兩個生產(chǎn)線的毛利潤之和是65萬元，且甲生產(chǎn)線一、三兩月的毛利潤的和剛好等于乙生產(chǎn)線二月份毛利潤的3倍，求這個工廠第一季度的毛利潤． 【考點】應(yīng)用類問題． 【分析】（1）根據(jù)生產(chǎn)成本=銷售金額（1+毛利潤），列式計算即可求解； （2）設(shè)甲一月份的毛利潤是a萬元，乙生產(chǎn)線的毛利潤增長率是k，根據(jù)等量關(guān)系：三月份兩個生產(chǎn)線的毛利潤之和是65萬元；甲生產(chǎn)線一、三兩月的毛利潤的和剛好等于乙生產(chǎn)線二月份毛利潤的3倍；列出方程組求解即可． 【解答】解：（1）80（1+25%） =801.25 =64（萬元）． 答：乙生產(chǎn)線一月份的生產(chǎn)成本是64萬元； （2）80﹣64=16（萬元）． 設(shè)甲一月份的毛利潤是a萬元，乙生產(chǎn)線的毛利潤增長率是k，則 ， 解得． 這個工廠第一季度的毛利潤=20+30+40+16+161.25+161.252=151（萬元）． 答：這個工廠第一季度的毛利潤是151萬元． 　 23．正方形ABCD中，將一個直角三角板的直角頂點與點A重合，一條直角邊與邊BC交于點E（點E不與點B和點C重合），另一條直角邊與邊CD的延長線交于點F． （1）如圖①，求證：AE=AF； （2）如圖②，此直角三角板有一個角是45，它的斜邊MN與邊CD交于G，且點G是斜邊MN的中點，連接EG，求證：EG=BE+DG； （3）在（2）的條件下，如果=，那么點G是否一定是邊CD的中點？請說明你的理由． 【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)． 【分析】（1）由正方形的性質(zhì)可以得出∠B=∠BAD=∠ADC=∠C=90，AB=AD，由直角三角形的性質(zhì)∠EAF=∠BAD=90，就可以得出∠BAE=∠DAF，證明△ABE≌△ADF就可以得出結(jié)論； （2）如圖2，連結(jié)AG，由且點G是斜邊MN的中點，△AMN是等腰直角三角形，就可以得出∠EAG=∠NAG=45，就有∠EAB+∠DAG=45，由△ABE≌△ADF可以得出∠BAE=∠DAF，AE=AF就可以得出△AGE≌AGF，從而得出結(jié)論； （3）設(shè)AB=6k，GF=5k，BE=x，就可以得出CE=6k﹣x，EG=5k，CF=CD+DF=6k+x，就有CG=CF﹣GF=k+x，由勾股定理就可以x的值而得出結(jié)論． 【解答】解：（1）如圖①，∵四邊形ABCD是正方形， ∴∠B=∠BAD=∠ADC=∠C=90，AB=AD． ∵∠EAF=90， ∴∠EAF=∠BAD， ∴∠EAF﹣∠EAD=∠BAD﹣∠EAD， ∴∠BAE=∠DAF． 在△ABE和△ADF中 ， ∴△ABE≌△ADF（ASA） ∴AE=AF； （2）如圖②，連接AG， ∵∠MAN=90，∠M=45， ∴∠N=∠M=45， ∴AM=AN． ∵點G是斜邊MN的中點， ∴∠EAG=∠NAG=45． ∴∠EAB+∠DAG=45． ∵△ABE≌△ADF， ∴∠BAE=∠DAF，AE=AF， ∴∠DAF+∠DAG=45， 即∠GAF=45， ∴∠EAG=∠FAG． 在△AGE和AGF中， ， ∴△AGE≌AGF（SAS）， ∴EG=GF． ∵GF=GD+DF， ∴GF=GD+BE， ∴EG=BE+DG； （3）G不一定是邊CD的中點． 理由：設(shè)AB=6k，GF=5k，BE=x， ∴CE=6k﹣x，EG=5k，CF=CD+DF=6k+x， ∴CG=CF﹣GF=k+x， 在Rt△ECG中，由勾股定理，得 （6k﹣x）2+（k+x）2=（5k）2， 解得：x1=2k，x2=3k， ∴CG=4k或3k． ∴點G不一定是邊CD的中點． 　 24．已知直線y1=x+1與x軸相交于點A，與y軸相交于點B，點C在線段OB上，且不與點O，B重合，二次函數(shù)y2=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點A，C，其中a＞c． （1）試判斷二次函數(shù)y2=ax2+bx+c的圖象的頂點在第幾象限，說明理由； （2）設(shè)二次函數(shù)y2=ax2+bx+c的圖象與x軸的另一個交點為D，且OD=OC．求a的值； （3）將（2）中的拋物線y2=ax2+bx+c作適當?shù)钠揭?，得到拋物線y3=a（x﹣h）2，若當1＜x≤n時，y3≤y1一定成立，求n的最大值． 【考點】二次函數(shù)綜合題． 【分析】（1）根據(jù)題意求得點A、B的坐標，繼而可得y2=ax2+bx+c的圖象與y軸交點C的縱坐標c的范圍，結(jié)合a＞c知拋物線的開口向上，根據(jù)二次函數(shù)y2=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點A，C可判斷頂點所在的象限； （2）將點A（﹣1，0）代入y2=ax2+bx+c得a﹣b+c=0 ①，再根據(jù)OD=OC、OC=c并結(jié)合（1）中拋物線在坐標系中的位置可得點D的坐標為（﹣c，0），將其代入y2可得ac2﹣bc+c=0，即ac﹣2b+4=0 ②，聯(lián)合①②即可得a的值； （3）設(shè)y3與y1=x+1的兩交點的橫坐標分別為x0，x0′，因為拋物線y3=2（x﹣h）2可以看成由y=2x2左右平移得到，觀察圖象可知，隨著圖象向右移，x0，x0′的值不斷增大，所以當1＜x≤n，y3≤y1恒成立時，n最大值在x0′處取得，根據(jù)題意列出方程求出x0′，即可求解． 【解答】解：（1）第三象限， 在直線y1=x+1中，當x=0時，y=1，當y=0時，x+1=0，解得：x=﹣1， ∴點A坐標為（﹣1，0），點B的坐標為（0，1）， ∵點C在線段OB上，且不與點O，B重合， ∴0＜c＜1， ∵a＞c， ∴a＞0， 由二次函數(shù)y2=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點A，C可知拋物線的頂點在第三象限； （2）將點A（﹣1，0）代入y2=ax2+bx+c，得：a﹣b+c=0 ①， ∵OD=OC，OC=c， ∴OD=c， 由（1）知，點D的坐標為（﹣c，0）， 將點D坐標代入y2=ax2+bx+c，得： ac2﹣bc+c=0，即ac﹣2b+4=0 ②， ①2﹣②，得：（2﹣c）a﹣2（2﹣c）=0， ∵0＜c＜1， ∴a=2； （3）設(shè)y3與y=x+1的兩交點的橫坐標分別為x0，x0′， ∵y3=2（x﹣h）2可以看成由y=2x2左右平移得到，觀察圖象可知，隨著圖象向右移，x0，x0′的值不斷增大， ∴當1＜x≤n時，y3≤y1一定成立，n最大值在x0′處取得， ∴當x0=1時，對應(yīng)的x0′即為n的最大值 將x0=1代入y3=2（x﹣h）2=x+1得（1﹣h）2=2， ∴h=2或h=0（舍） 將h=2代入y3=2（x﹣h）2=x+1得：2x2﹣9x+7=0， ∴x0=1，x0′=． ∴n的最大值為．