九年級數學上學期期中試卷（含解析） 新人教版11 (4)

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2016-2017學年浙江省杭州市蕭山區(qū)城北片九年級（上）期中數學試卷 一、仔細選一選（本題有10個小題，每小題3分，共30分）下面每小題給出四個選項中，只有一個是正確的．注意可以用多種不同的方法來選取正確的答案． 1．從1～9這九個自然數中任取一個，是2的倍數的概率是（　?。? A． B． C． D． 2．如圖，⊙O的半徑為5，AB為弦，半徑OC⊥AB，垂足為點E，若OE=3，則AB的長是（　?。? A．4 B．6 C．8 D．10 3．由二次函數y=2（x﹣3）2+1，可知（　?。? A．其圖象的開口向下 B．其圖象的對稱軸為直線x=﹣3 C．其最小值為1 D．當x＜3時，y隨x的增大而增大 4．與y=2（x﹣1）2+3形狀相同的拋物線解析式為（　?。? A．y=1+x2 B．y=（2x+1）2 C．y=（x﹣1）2 D．y=2x2 5．下列命題正確的是（　?。? A．相等的圓周角對的弧相等 B．等弧所對的弦相等 C．三點確定一個圓 D．平分弦的直徑垂直于弦 6．在同一直角坐標系中，函數y=mx+m和y=﹣mx2+2x+2（m是常數，且m≠0）的圖象可能是（　　） A． B． C． D． 7．已知二次函數y=﹣x2﹣3x﹣，設自變量的值分別為x1，x2，x3，且﹣3＜x1＜x2＜x3，則對應的函數值y1，y2，y3的大小關系是（　?。? A．y1＞y2＞y3 B．y1＜y2＜y3 C．y2＞y3＞y1 D．y2＜y3＜y1 8．若二次函數y=ax2﹣2ax+c的圖象經過點（﹣1，0），則方程ax2﹣2ax+c=0的解為（　　） A．x1=﹣3，x2=﹣1 B．x1=1，x2=3 C．x1=﹣1，x2=3 D．x1=﹣3，x2=1 9．已知⊙O的半徑為3，△ABC內接于⊙O，AB=3，AC=3，D是⊙O上一點，且AD=3，則CD的長應是（　?。? A．3 B．6 C． D．3或6 10．二次函數y=ax2+bx+c（a＞0）的頂點為P，其圖象與x軸有兩個交點A（﹣m，0），B（1，0），交y軸于點C（0，﹣3am+6a），以下說法： ①m=3； ②當∠APB=120時，a=； ③當∠APB=120時，拋物線上存在點M（M與P不重合），使得△ABM是頂角為120的等腰三角形； ④拋物線上存在點N，當△ABN為直角三角形時，有a≥ 正確的是（　?。? A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④ 　 二.認真填一填（本題有6小題，每小題4分，共24分）要注意認真看清題目的條件和要填寫的內容，盡量完整地填寫答案． 11．若函數y=（m﹣1）x|m|+1是二次函數，則m的值為　?。? 12．如圖，AB是半圓的直徑，∠BAC=20，D是的中點，則∠DAC的度數是　　． 13．把一個體積是64立方厘米的立方體木塊的表面涂上紅漆，然后鋸成體積為1立方厘米的小立方體，從中任取一塊，則取出的這一塊至少有一面涂紅漆的概率是　?。? 14．如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a＞0）的對稱軸是過點（1，0）且平行于y軸的直線，若點P（4，0）在該拋物線上，則4a﹣2b+c的值為　?。? 15．△ABC的一邊長為5，另兩邊長分別是二次函數y=x2﹣6x+m與x軸的交點坐標的橫坐標的值，則m的取值范圍為　?。? 16．如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標是（4，3），動圓D經過A、O，分別與兩坐標軸的正半軸交于點E、F．當EF⊥OA時，此時EF=　?。? 　 三.全面答一答（本題有7個小題，共66分）解答應寫出文字說明，證明過程或推演步驟．如果覺得有的題目有點困難，那么把自己能寫出的解答寫出一部分也可以． 17．小明家的房前有一塊矩形的空地，空地上有三棵樹A、B、C，小明想建一個圓形花壇，使三棵樹都在花壇的邊上． （1）請你幫小明把花壇的位置畫出來（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）． （2）在△ABC中，AC=4米，∠ABC=45，試求小明家圓形花壇的半徑長． 18．在1個不透明的口袋里，裝有紅、白、黃三種顏色的乒乓球（除顏色外，其余都相同），其中有白球2個，黃球1個，若從中任意摸出一個球，這個球是白色的概率為0.5． （1）求口袋中紅球的個數； （2）若摸到紅球記0分，摸到白球記1分，摸到黃球記2分，甲從口袋中摸出一個球，不放回，再找出一個畫樹狀圖的方法求甲摸的兩個球且得2分的概率． 19．如圖，AB是⊙O的直徑，C、D兩點在⊙O上，若∠C=45， （1）求∠ABD的度數． （2）若∠CDB=30，BC=3，求⊙O的半徑． 20．如圖，已知拋物線y=﹣x2+mx+3與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，點B的坐標為（3，0） （1）求m的值及拋物線的頂點坐標． （2）點P是拋物線對稱軸l上的一個動點，當PA+PC的值最小時，求點P的坐標． 21．已知：如圖，在半徑為2的半圓O中，半徑OA垂直于直徑BC，點E與點F分別在弦AB、AC上滑動并保持AE=CF，但點F不與A、C重合，點E不與A、B重合． （1）求四邊形AEOF的面積． （2）設AE=x，S△OEF=y，寫出y與x之間的函數關系式，求x取值范圍． 22．某景點試開放期間，團隊收費方案如下：不超過30人時，人均收費120元；超過30人且不超過m（30＜m≤100）人時，每增加1人，人均收費降低1元；超過m人時，人均收費都按照m人時的標準．設景點接待有x名游客的某團隊，收取總費用為y元． （1）求y關于x的函數表達式； （2）景點工作人員發(fā)現(xiàn)：當接待某團隊人數超過一定數量時，會出現(xiàn)隨著人數的增加收取的總費用反而減少這一現(xiàn)象．為了讓收取的總費用隨著團隊中人數的增加而增加，求m的取值范圍． 23．如圖，直線l：y=﹣3x+3與x軸、y軸分別相交于A、B兩點，拋物線y=ax2﹣2ax+a+4（a＜0）經過點B． （1）求該拋物線的函數表達式； （2）已知點M是拋物線上的一個動點，并且點M在第一象限內，連接AM、BM，設點M的橫坐標為m，△ABM的面積為S，求S與m的函數表達式，并求出S的最大值； （3）在（2）的條件下，當S取得最大值時，動點M相應的位置記為點M′． ①寫出點M′的坐標； ②將直線l繞點A按順時針方向旋轉得到直線l′，當直線l′與直線AM′重合時停止旋轉，在旋轉過程中，直線l′與線段BM′交于點C，設點B、M′到直線l′的距離分別為d1、d2，當d1+d2最大時，求直線l′旋轉的角度（即∠BAC的度數）． 　  2016-2017學年浙江省杭州市蕭山區(qū)城北片九年級（上）期中數學試卷 參考答案與試題解析 　 一、仔細選一選（本題有10個小題，每小題3分，共30分）下面每小題給出四個選項中，只有一個是正確的．注意可以用多種不同的方法來選取正確的答案． 1．從1～9這九個自然數中任取一個，是2的倍數的概率是（　?。? A． B． C． D． 【考點】概率公式． 【分析】先從1～9這九個自然數中找出是2的倍數的有2、4、6、8共4個，然后根據概率公式求解即可． 【解答】解：1～9這九個自然數中，是2的倍數的數有：2、4、6、8，共4個， ∴從1～9這九個自然數中任取一個，是2的倍數的概率是：． 故選B． 　 2．如圖，⊙O的半徑為5，AB為弦，半徑OC⊥AB，垂足為點E，若OE=3，則AB的長是（　?。? A．4 B．6 C．8 D．10 【考點】垂徑定理；勾股定理． 【分析】連接OA，根據勾股定理求出AE的長，進而可得出結論． 【解答】解：連接OA， ∵OC⊥AB，OA=5，OE=3， ∴AE===4， ∴AB=2AE=8． 故選C． 　 3．由二次函數y=2（x﹣3）2+1，可知（　?。? A．其圖象的開口向下 B．其圖象的對稱軸為直線x=﹣3 C．其最小值為1 D．當x＜3時，y隨x的增大而增大 【考點】二次函數的性質． 【分析】根據二次函數的性質，直接根據a的值得出開口方向，再利用頂點坐標的對稱軸和增減性，分別分析即可． 【解答】解：由二次函數y=2（x﹣3）2+1，可知： A：∵a＞0，其圖象的開口向上，故此選項錯誤； B．∵其圖象的對稱軸為直線x=3，故此選項錯誤； C．其最小值為1，故此選項正確； D．當x＜3時，y隨x的增大而減小，故此選項錯誤． 故選：C． 　 4．與y=2（x﹣1）2+3形狀相同的拋物線解析式為（　　） A．y=1+x2 B．y=（2x+1）2 C．y=（x﹣1）2 D．y=2x2 【考點】待定系數法求二次函數解析式． 【分析】拋物線的形狀只是與a有關，a相等，形狀就相同． 【解答】解：y=2（x﹣1）2+3中，a=2． 故選D． 　 5．下列命題正確的是（　　） A．相等的圓周角對的弧相等 B．等弧所對的弦相等 C．三點確定一個圓 D．平分弦的直徑垂直于弦 【考點】圓心角、弧、弦的關系；圓的認識；垂徑定理． 【分析】等弧只有在同圓或等圓中才能出現(xiàn)，因此，等弧所對的弦相等是正確的． 【解答】解：在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等，故A錯誤； 等弧只有在同圓或等圓中才能出現(xiàn)，因此，等弧所對的弦相等是正確的，故B正確； 不在同一條直線上的三個點確定一個圓，故C錯誤； 平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，故D錯誤． 故選B． 　 6．在同一直角坐標系中，函數y=mx+m和y=﹣mx2+2x+2（m是常數，且m≠0）的圖象可能是（　?。? A． B． C． D． 【考點】二次函數的圖象；一次函數的圖象． 【分析】本題主要考查一次函數和二次函數的圖象所經過的象限的問題，關鍵是m的正負的確定，對于二次函數y=ax2+bx+c，當a＞0時，開口向上；當a＜0時，開口向下．對稱軸為x=，與y軸的交點坐標為（0，c）． 【解答】解：解法一：逐項分析 A、由函數y=mx+m的圖象可知m＜0，即函數y=﹣mx2+2x+2開口方向朝上，與圖象不符，故A選項錯誤； B、由函數y=mx+m的圖象可知m＜0，對稱軸為x===＜0，則對稱軸應在y軸左側，與圖象不符，故B選項錯誤； C、由函數y=mx+m的圖象可知m＞0，即函數y=﹣mx2+2x+2開口方向朝下，與圖象不符，故C選項錯誤； D、由函數y=mx+m的圖象可知m＜0，即函數y=﹣mx2+2x+2開口方向朝上，對稱軸為x===＜0，則對稱軸應在y軸左側，與圖象相符，故D選項正確； 解法二：系統(tǒng)分析 當二次函數開口向下時，﹣m＜0，m＞0， 一次函數圖象過一、二、三象限． 當二次函數開口向上時，﹣m＞0，m＜0， 對稱軸x=＜0， 這時二次函數圖象的對稱軸在y軸左側， 一次函數圖象過二、三、四象限． 故選：D． 　 7．已知二次函數y=﹣x2﹣3x﹣，設自變量的值分別為x1，x2，x3，且﹣3＜x1＜x2＜x3，則對應的函數值y1，y2，y3的大小關系是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y1＜y2＜y3 C．y2＞y3＞y1 D．y2＜y3＜y1 【考點】二次函數圖象上點的坐標特征． 【分析】先利用對稱軸方程得到拋物線的對稱軸，然后根據二次函數的性質求解． 【解答】解：拋物線的對稱軸為直線x=﹣=﹣3， 因為﹣3＜x1＜x2＜x3， 而拋物線開口向下， 所以y1＞y2＞y3． 故選A． 　 8．若二次函數y=ax2﹣2ax+c的圖象經過點（﹣1，0），則方程ax2﹣2ax+c=0的解為（　?。? A．x1=﹣3，x2=﹣1 B．x1=1，x2=3 C．x1=﹣1，x2=3 D．x1=﹣3，x2=1 【考點】拋物線與x軸的交點． 【分析】直接利用拋物線與x軸交點求法以及結合二次函數對稱性得出答案． 【解答】解：∵二次函數y=ax2﹣2ax+c的圖象經過點（﹣1，0）， ∴方程ax2﹣2ax+c=0一定有一個解為：x=﹣1， ∵拋物線的對稱軸為：直線x=1， ∴二次函數y=ax2﹣2ax+c的圖象與x軸的另一個交點為：（3，0）， ∴方程ax2﹣2ax+c=0的解為：x1=﹣1，x2=3． 故選：C． 　 9．已知⊙O的半徑為3，△ABC內接于⊙O，AB=3，AC=3，D是⊙O上一點，且AD=3，則CD的長應是（　?。? A．3 B．6 C． D．3或6 【考點】垂徑定理；等邊三角形的判定與性質；勾股定理． 【分析】根據題意，畫出草圖，此題中點D的位置是不確定的，點D可在上，也可在上，所以需分情況討論．利用等邊三角形的判定定理和性質求解． 【解答】解：第一種情況，當點D在AC弧上時，連接OA、OC、OD． 所以AD=OA=OC=OD=3，△AOD是等邊三角形，∠ADO=∠DAO=∠AOD=60． 過O作OP垂直弦AC于P，根據垂徑定理，PA=PC=AC=． ∴在Rt△AOP中，OP=， ∴∠OAP=30，∠AOP=60=∠AOD． ∴OP與OD重合，即OD垂直平分弦AC，所以CD=AD=3． 第二種情況：當點D在AB弧上時，同理得△AOD是等邊三角形，∠AOD=60． 由（1）知∠AOC=120． ∴∠AOD+∠AOC=180，即D、O、C在同一直線上，故CD=6． 故選D． 　 10．二次函數y=ax2+bx+c（a＞0）的頂點為P，其圖象與x軸有兩個交點A（﹣m，0），B（1，0），交y軸于點C（0，﹣3am+6a），以下說法： ①m=3； ②當∠APB=120時，a=； ③當∠APB=120時，拋物線上存在點M（M與P不重合），使得△ABM是頂角為120的等腰三角形； ④拋物線上存在點N，當△ABN為直角三角形時，有a≥ 正確的是（　?。? A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④ 【考點】二次函數綜合題． 【分析】①把A、B兩點的坐標分別代入拋物線的解析式得到①式和②式，將兩式相減即可得到m=，即可得到C（0，3a﹣3b），從而得到c=3a﹣3b，代入②式，就可解決問題； ②設拋物線的對稱軸與x軸的交點為G，則有PG⊥x軸，只需求出點P的坐標就可解決問題； ③在第一象限內作∠MBA=120，且滿足BM=BA，過點M作MH⊥x軸于H，如圖1，只需求出點M的坐標，然后驗證點M是否在拋物線上，就可解決問題； ④易知點N在拋物線上且△ABN為直角三角形時，只能∠ANB=90，此時點N在以AB為直徑的⊙G上，因而點N在⊙G與拋物線的交點處，要使點N存在，點P必須在⊙G上或⊙G外，如圖2，只需根據點與圓的位置關系就可解決問題． 【解答】解：①∵點A（﹣m，0）、B（1，0）在拋物線y=ax2+bx+c上， ∴， 由①﹣②得 am2﹣bm﹣a﹣b=0， 即（m+1）（am﹣a﹣b）=0． ∵A（﹣m，0）與B（1，0）不重合， ∴﹣m≠1即m+1≠0， ∴m=， ∴點C的坐標為（0，3a﹣3b）， ∵點C在拋物線y=ax2+bx+c上， ∴c=3a﹣3b， 代入②得a+b+3a﹣3b=0，即b=2a， ∴m==3，故①正確； ②∵m=3，∵A（﹣3，0）， ∴拋物線的解析式可設為y=a（x+3）（x﹣1）， 則y=a（x2+2x﹣3）=a（x+1）2﹣4a， ∴頂點P的坐標為（﹣1，﹣4a）． 根據對稱性可得PA=PB， ∴∠PAB=∠PBA=30． 設拋物線的對稱軸與x軸的交點為G， 則有PG⊥x軸， ∴PG=AG?tan∠PAG=2=， ∴4a=， ∴a=，故②正確； ③在第一象限內作∠MBA=120，且滿足BM=BA，過點M作MH⊥x軸于H，如圖1， 在Rt△MHB中，∠MBH=60， 則有MH=4sin60=4=2，BH=4cos60=4=2， ∴點M的坐標為（3，2）， 當x=3時，y=（3+3）（3﹣1）=2， ∴點M在拋物線上，故③正確； ④∵點N在拋物線上，∴∠ABN≠90，∠BAN≠90． 當△ABN為直角三角形時，∠ANB=90， 此時點N在以AB為直徑的⊙G上， 因而點N在⊙G與拋物線的交點處， 要使點N存在，點P必須在⊙G上或⊙G外，如圖2， 則有PG≥2，即4a≥2，也即a≥，故④正確． 故選D． 　 二.認真填一填（本題有6小題，每小題4分，共24分）要注意認真看清題目的條件和要填寫的內容，盡量完整地填寫答案． 11．若函數y=（m﹣1）x|m|+1是二次函數，則m的值為　﹣1　． 【考點】二次函數的定義． 【分析】根據二次項系數不等于0，二次函數的最高指數為2列出方程，求出m的值即可． 【解答】解：由題意得：m﹣1≠0，|m|+1=2， 解得m≠1，且m=1， ∴m=﹣1． 故答案為：﹣1． 　 12．如圖，AB是半圓的直徑，∠BAC=20，D是的中點，則∠DAC的度數是　35?。? 【考點】圓周角定理；圓心角、弧、弦的關系． 【分析】首先連接BC，由AB是半圓的直徑，根據直徑所對的圓周角是直角，可得∠C=90，繼而求得∠B的度數，然后由D是的中點，根據弧與圓周角的關系，即可求得答案． 【解答】解：連接BC， ∵AB是半圓的直徑， ∴∠C=90， ∵∠BAC=20， ∴∠B=90﹣∠BAC=70， ∵D是的中點， ∴∠DAC=∠B=35． 故答案為：35． 　 13．把一個體積是64立方厘米的立方體木塊的表面涂上紅漆，然后鋸成體積為1立方厘米的小立方體，從中任取一塊，則取出的這一塊至少有一面涂紅漆的概率是　?。? 【考點】概率公式；認識立體圖形． 【分析】根據題意可知共可據64塊，至少有一面涂紅漆的小正方體有56個，根據概率公式的計算即可得出結果． 【解答】解：∵至少有一面涂紅漆的小正方體有56個， ∴至少有一面涂紅漆的概率是=． 故答案為． 　 14．如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a＞0）的對稱軸是過點（1，0）且平行于y軸的直線，若點P（4，0）在該拋物線上，則4a﹣2b+c的值為　0?。? 【考點】拋物線與x軸的交點． 【分析】依據拋物線的對稱性求得與x軸的另一個交點，代入解析式即可． 【解答】解：設拋物線與x軸的另一個交點是Q， ∵拋物線的對稱軸是過點（1，0），與x軸的一個交點是P（4，0）， ∴與x軸的另一個交點Q（﹣2，0）， 把（﹣2，0）代入解析式得：0=4a﹣2b+c， ∴4a﹣2b+c=0， 故答案為：0． 　 15．△ABC的一邊長為5，另兩邊長分別是二次函數y=x2﹣6x+m與x軸的交點坐標的橫坐標的值，則m的取值范圍為　2.75＜m≤9?。? 【考點】拋物線與x軸的交點． 【分析】根據一元二次方程的根與系數的關系及三角形的三邊關系可得到（x1﹣x2）2＜25，把兩根之積與兩根之和代入（x1﹣x2）2的變形中，可求得m的取值范圍，再由根的判別式確定出m的最后取值范圍． 【解答】解：由根與系數的關系可得：x1+x2=6，x1?x2=m， 由三角形的三邊關系可得：|x1﹣x2|＜5， ∴（x1﹣x2）2＜25． ∴（x1+x2）2﹣4x1?x2＜25，即：36﹣4m＜25． 解得：m＞． ∵方程有兩個實根， ∴△≥0，即（﹣6）2﹣4m≥0． 解得：m≤9． 故答案為：2.75＜m≤9． 　 16．如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標是（4，3），動圓D經過A、O，分別與兩坐標軸的正半軸交于點E、F．當EF⊥OA時，此時EF=　?。? 【考點】垂徑定理；坐標與圖形性質；勾股定理． 【分析】作出輔助線，利用兩點的距離公式計算出OA，根據圓周角定理得到EF為⊙D的直徑，再根據垂徑定理得到CO的值，設OE=t，根據勾股定理得出關于t的方程，進而計算出CE的值，設⊙D的半徑為r，則OD=r，利用勾股定理得出關于t的方程，解出r的值即可． 【解答】解：連接AE、OD，作AB⊥x軸于B，OA與EF垂直于C，如圖1， ∵A（4，3）， ∴OA==5， ∵∠EOF=90， ∴EF為⊙D的直徑， ∵EF⊥OA， ∴CO=AC=OA=， ∴EO=EA， 設OE=t，則AE=t，BE=4﹣t， 在Rt△ABE中，AB=3， ∵AB2+BE2=AE2， ∴32+（4﹣t）2=t2，解得t=， 在Rt△OEC中，CE==， 在Rt△OCD中，設⊙D的半徑為r，則OD=r，CD=r﹣， ∵DC2+OC2=OD2， （r﹣）2+（）2=r2，解得r=， ∴EF=2r=； 故答案為． 　 三.全面答一答（本題有7個小題，共66分）解答應寫出文字說明，證明過程或推演步驟．如果覺得有的題目有點困難，那么把自己能寫出的解答寫出一部分也可以． 17．小明家的房前有一塊矩形的空地，空地上有三棵樹A、B、C，小明想建一個圓形花壇，使三棵樹都在花壇的邊上． （1）請你幫小明把花壇的位置畫出來（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）． （2）在△ABC中，AC=4米，∠ABC=45，試求小明家圓形花壇的半徑長． 【考點】作圖—應用與設計作圖． 【分析】（1）分別作出AB、BC的垂直平分線，相交于一點O，再以點O為圓心，以OA為半徑畫圓，即可得解； （2）連接OA，OC，根據在同圓或等圓中，同弧所對的圓心角等于圓周角的2倍求出∠AOC的度數為90，然后根據等腰直角三角形直角邊與斜邊的關系求解即可． 【解答】解：（1）如圖所示，⊙O即為所求作的圓形花壇的位置； （2）連接AO，CO， ∵∠ABC=45， ∴∠AOC=2∠ABC=452=90， ∵AC=4米， ∴AO=AC=4=2米． 即小明家圓形花壇的半徑長2米． 　 18．在1個不透明的口袋里，裝有紅、白、黃三種顏色的乒乓球（除顏色外，其余都相同），其中有白球2個，黃球1個，若從中任意摸出一個球，這個球是白色的概率為0.5． （1）求口袋中紅球的個數； （2）若摸到紅球記0分，摸到白球記1分，摸到黃球記2分，甲從口袋中摸出一個球，不放回，再找出一個畫樹狀圖的方法求甲摸的兩個球且得2分的概率． 【考點】列表法與樹狀圖法；概率公式． 【分析】（1）首先設口袋中紅球的個數為x；然后由從中任意摸出一個球，這個球是白色的概率為0.5，根據概率公式列方程即可求得口袋中紅球的個數； （2）根據題意畫樹狀圖，根據題意可得當甲摸得的兩個球都是白球或一個黃球一個紅球時得2分，然后由樹狀圖即可求得甲摸的兩個球且得2分的概率． 【解答】解：（1）設口袋中紅球的個數為x， 根據題意得： =0.5， 解得：x=1， ∴口袋中紅球的個數是1個； （2）畫樹狀圖得： ∵摸到紅球記0分，摸到白球記1分，摸到黃球記2分， ∴當甲摸得的兩個球都是白球或一個黃球一個紅球時得2分， ∴甲摸的兩個球且得2分的概率為： =． 　 19．如圖，AB是⊙O的直徑，C、D兩點在⊙O上，若∠C=45， （1）求∠ABD的度數． （2）若∠CDB=30，BC=3，求⊙O的半徑． 【考點】圓周角定理；等腰直角三角形． 【分析】（1）求出∠A的度數，繼而在Rt△ABD中，可求出∠ABD的度數； （2）連接AC，則可得∠CAB=∠CDB=30，在Rt△ACB中求出AB，繼而可得⊙O的半徑． 【解答】解：（1）∵∠C=45， ∴∠A=∠C=45， ∵AB是⊙O的直徑， ∴∠ADB=90， ∴∠ABD=45； （2）連接AC， ∵AB是⊙O的直徑， ∴∠ACB=90， ∵∠CAB=∠CDB=30，BC=3， ∴AB=6， ∴⊙O的半徑為3． 　 20．如圖，已知拋物線y=﹣x2+mx+3與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，點B的坐標為（3，0） （1）求m的值及拋物線的頂點坐標． （2）點P是拋物線對稱軸l上的一個動點，當PA+PC的值最小時，求點P的坐標． 【考點】二次函數的性質． 【分析】（1）首先把點B的坐標為（3，0）代入拋物線y=﹣x2+mx+3，利用待定系數法即可求得m的值，繼而求得拋物線的頂點坐標； （2）首先連接BC交拋物線對稱軸l于點P，則此時PA+PC的值最小，然后利用待定系數法求得直線BC的解析式，繼而求得答案． 【解答】解：（1）把點B的坐標為（3，0）代入拋物線y=﹣x2+mx+3得：0=﹣32+3m+3， 解得：m=2， ∴y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4， ∴頂點坐標為：（1，4）． （2）連接BC交拋物線對稱軸l于點P，則此時PA+PC的值最小， 設直線BC的解析式為：y=kx+b， ∵點C（0，3），點B（3，0）， ∴， 解得：， ∴直線BC的解析式為：y=﹣x+3， 當x=1時，y=﹣1+3=2， ∴當PA+PC的值最小時，點P的坐標為：（1，2）． 　 21．已知：如圖，在半徑為2的半圓O中，半徑OA垂直于直徑BC，點E與點F分別在弦AB、AC上滑動并保持AE=CF，但點F不與A、C重合，點E不與A、B重合． （1）求四邊形AEOF的面積． （2）設AE=x，S△OEF=y，寫出y與x之間的函數關系式，求x取值范圍． 【考點】圓周角定理；全等三角形的判定與性質． 【分析】（1）先根據BC為半圓O的直徑，OA為半徑，且OA⊥BC求出∠B=∠OAF=45，再根據全等三角形的判定定理得出△BOE≌△AOF，再根據S四邊形AEOF=S△AOB即可得出答案； （2）先根據圓周角定理求出∠BAC=90，再根據y=S△OEF=S四邊形AEOF﹣S△AEF即可得出答案． 【解答】解：（1）∵BC為半圓O的直徑，OA為半徑，且OA⊥BC， ∴∠B=∠OAF=45，OA=OB， 又∵AE=CF，AB=AC， ∴BE=AF， ∴△BOE≌△AOF ∴S四邊形AEOF=S△AOB=OB?OA=2． （2）∵BC為半圓O的直徑， ∴∠BAC=90，且AB=AC=2， y=S△OEF=S四邊形AEOF﹣S△AEF=2﹣AE?AF=2﹣x（2﹣x） ∴y=x2﹣x+2（0＜x＜2）． 　 22．某景點試開放期間，團隊收費方案如下：不超過30人時，人均收費120元；超過30人且不超過m（30＜m≤100）人時，每增加1人，人均收費降低1元；超過m人時，人均收費都按照m人時的標準．設景點接待有x名游客的某團隊，收取總費用為y元． （1）求y關于x的函數表達式； （2）景點工作人員發(fā)現(xiàn)：當接待某團隊人數超過一定數量時，會出現(xiàn)隨著人數的增加收取的總費用反而減少這一現(xiàn)象．為了讓收取的總費用隨著團隊中人數的增加而增加，求m的取值范圍． 【考點】二次函數的應用；分段函數． 【分析】（1）根據收費標準，分0＜x≤30，30＜x≤m，m＜x≤100分別求出y與x的關系即可． （2）由（1）可知當0＜x≤30或m＜x＜100，函數值y都是隨著x是增加而增加，30＜x≤m時，y=﹣x2+150x=﹣（x﹣75）2+5625，根據二次函數的性質即可解決問題． 【解答】解：（1）y=． （2）由（1）可知當0＜x≤30或m＜x＜100，函數值y都是隨著x是增加而增加， 當30＜x≤m時，y=﹣x2+150x=﹣（x﹣75）2+5625， ∵a=﹣1＜0， ∴x≤75時，y隨著x增加而增加， ∴為了讓收取的總費用隨著團隊中人數的增加而增加， ∴30＜m≤75． 　 23．如圖，直線l：y=﹣3x+3與x軸、y軸分別相交于A、B兩點，拋物線y=ax2﹣2ax+a+4（a＜0）經過點B． （1）求該拋物線的函數表達式； （2）已知點M是拋物線上的一個動點，并且點M在第一象限內，連接AM、BM，設點M的橫坐標為m，△ABM的面積為S，求S與m的函數表達式，并求出S的最大值； （3）在（2）的條件下，當S取得最大值時，動點M相應的位置記為點M′． ①寫出點M′的坐標； ②將直線l繞點A按順時針方向旋轉得到直線l′，當直線l′與直線AM′重合時停止旋轉，在旋轉過程中，直線l′與線段BM′交于點C，設點B、M′到直線l′的距離分別為d1、d2，當d1+d2最大時，求直線l′旋轉的角度（即∠BAC的度數）． 【考點】二次函數綜合題． 【分析】（1）利用直線l的解析式求出B點坐標，再把B點坐標代入二次函數解析式即可求出a的值； （2）設M的坐標為（m，﹣m2+2m+3），然后根據面積關系將△ABM的面積進行轉化； （3）①由（2）可知m=，代入二次函數解析式即可求出縱坐標的值； ②可將求d1+d2最大值轉化為求AC的最小值． 【解答】解：（1）令x=0代入y=﹣3x+3， ∴y=3， ∴B（0，3）， 把B（0，3）代入y=ax2﹣2ax+a+4， ∴3=a+4， ∴a=﹣1， ∴二次函數解析式為：y=﹣x2+2x+3； （2）令y=0代入y=﹣x2+2x+3， ∴0=﹣x2+2x+3， ∴x=﹣1或3， ∴拋物線與x軸的交點橫坐標為﹣1和3， ∵M在拋物線上，且在第一象限內， ∴0＜m＜3， 令y=0代入y=﹣3x+3， ∴x=1， ∴A的坐標為（1，0）， 由題意知：M的坐標為（m，﹣m2+2m+3）， S=S四邊形OAMB﹣S△AOB =S△OBM+S△OAM﹣S△AOB =m3+1（﹣m2+2m+3）﹣13 =﹣（m﹣）2+ ∴當m=時，S取得最大值． （3）①由（2）可知：M′的坐標為（，）； ②過點M′作直線l1∥l′，過點B作BF⊥l1于點F， 根據題意知：d1+d2=BF， 此時只要求出BF的最大值即可， ∵∠BFM′=90， ∴點F在以BM′為直徑的圓上， 設直線AM′與該圓相交于點H， ∵點C在線段BM′上， ∴F在優(yōu)弧上， ∴當F與M′重合時， BF可取得最大值， 此時BM′⊥l1， ∵A（1，0），B（0，3），M′（，）， ∴由勾股定理可求得：AB=，M′B=，M′A=， 過點M′作M′G⊥AB于點G， 設BG=x， ∴由勾股定理可得：M′B2﹣BG2=M′A2﹣AG2， ∴﹣（﹣x）2=﹣x2， ∴x=， cos∠M′BG==， ∵l1∥l′， ∴∠BCA=90， ∠BAC=45 方法二：過B點作BD垂直于l′于D點，過M點作ME垂直于l′于E點，則BD=d1，ME=d2， ∵S△ABM=AC（d1+d2） 當d1+d2取得最大值時，AC應該取得最小值，當AC⊥BM時取得最小值． 根據B（0，3）和M′（，）可得BM′=， ∵S△ABM=ACBM′=，∴AC=， 當AC⊥BM′時，cos∠BAC===， ∴∠BAC=45．