八年級數(shù)學下學期期中試卷（含解析） 北師大版

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2015-2016學年廣東省潮州高級實驗學校八年級（下）期中數(shù)學試卷 一、選擇題 1．若為二次根式，則m的取值為（　?。? A．m≤3 B．m＜3 C．m≥3 D．m＞3 2．在根式①②③④中，最簡二次根式是（　?。? A．①② B．③④ C．①③ D．①④ 3．下列定理中，逆命題不成立的是（　?。? A．兩直線平行，內(nèi)錯角相等 B．直角三角形兩銳角互余 C．對頂角相等 D．同位角相等，兩直線平行 4．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c，則下列條件中不能判斷是直角三角形的是（　?。? A．∠A=∠B﹣∠C B．∠A：∠B：∠C=1：1：2 C．a(chǎn)：b：c=4：5：6 D．a(chǎn)2﹣c2=b2 5．下列各式能與合并的是（　?。? A． B． C． D． 6．下列命題中，錯誤的是（　?。? A．矩形的對角線互相平分且相等 B．對角線互相垂直的四邊形是菱形 C．四個角都相等的四邊形是矩形 D．兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形 7．已知一個直角三角形的兩邊長分別為3和4，則第三邊長是（　?。? A．5 B．25 C． D．5或 8．如圖，在矩形ABCD中，已知AB=4，OA=3，則BC的長度為（　　） A．5 B． C． D． 9．如圖，將一個邊長分別為6、10的長方形紙片ABCD折疊，使C點與A點重合，則BE的長是（　　） A． B． C．8 D． 10．如圖，菱形ABCD中，∠BAD=60，M是AB的中點，P是對角線AC上的一個動點，若PM+PB最小值是，則AB長為（　?。? A．1 B．2 C．2.5 D．3 　 二、填空題 11．已知，則=　　　　　?。? 12．以長為8，寬為6的矩形各邊中點為頂點的四邊形的形狀是　　　　　　，周長為　　　　　　． 13．在直角三角形ABC中，∠C=90，∠A=30，BC=3cm，則斜邊上的中線長　　　　　　厘米． 14．如圖，一圓柱高6cm，底面周長為4cm，一只螞蟻從點A沿側(cè)面爬到點B處吃食，要爬行的最短路程是　　　　　?。? 15．如圖，在□ABCD中，AE平分∠BAD交DC于點E，AD=5cm，AB=8cm，EC=　　　　　?。? 16．如果矩形的一條較短邊的長是5cm，兩條對角線的夾角是60，那么它的較長邊長是　　　　　?。? 17．如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC=8cm，DB=6cm，DH⊥AB于點H，則DH的長為　　　　　?。? 　 三、解答題（共58分） 18．計算； （1）． 19．如圖，菱形ABCD中，CE⊥AB交AB的延長線于點E，CF⊥AD交AD的延長線于點F，求證：CE=CF． 20．如圖，四邊形ABCD中，AB=20，BC=15，CD=7，AD=24，∠B=90，求證：∠A+∠C=180． 21．如圖，已知E為平行四邊形ABCD中DC邊的延長線的一點，且CE=DC，連接AE，分別交BC、BD于點F、G，連接AC交BD于O，連接OF．求證：AB=2OF． 22．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，E，F(xiàn)在AC上，且AE=CF， （1）求證：BE=DF； （2）當AB=BC時，試判斷四邊形BEDF的形狀，并說明理由． 23．如圖，△ABC中，AB=AC，AD、AE分別是∠BAC和∠BAC的外角的平分線，BE⊥AE． 求證：（1）DA⊥AE； （2）AC=DE． 24．如圖，在Rt△ABC中，∠B=90，AC=60cm，∠A=60，點D從點C出發(fā)沿CA方向以4cm/秒的速度向點A勻速運動，同時點E從點A出發(fā)沿AB方向以2cm/秒的速度向點B勻速運動，當其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動．設點D、E運動的時間是t秒（0＜t≤15）．過點D作DF⊥BC于點F，連接DE，EF． （1）求證：AE=DF； （2）四邊形AEFD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應的t值，如果不能，說明理由； （3）當t為何值時，△DEF為直角三角形？請說明理由． 　  2015-2016學年廣東省潮州高級實驗學校八年級（下）期中數(shù)學試卷 參考答案與試題解析 　 一、選擇題 1．若為二次根式，則m的取值為（　　） A．m≤3 B．m＜3 C．m≥3 D．m＞3 【考點】二次根式有意義的條件． 【分析】根據(jù)二次根式的意義，被開方數(shù)大于或等于0． 【解答】解：根據(jù)二次根式的意義，得3﹣m≥0， 解得m≤3．故選A． 【點評】主要考查了二次根式的意義和性質(zhì)．二次根式中的被開方數(shù)必須是非負數(shù)，否則二次根式無意義． 　 2．在根式①②③④中，最簡二次根式是（　?。? A．①② B．③④ C．①③ D．①④ 【考點】最簡二次根式． 【分析】判斷一個二次根式是不是最簡二次根式的方法，就是逐個檢查最簡二次根式的兩個條件是否同時滿足，同時滿足的就是最簡二次根式，否則就不是． 【解答】解：①是最簡二次根式； ②=，被開方數(shù)含分母，不是最簡二次根式； ③是最簡二次根式； ④=3，被開方數(shù)含能開得盡方的因數(shù)，不是最簡二次根式． ①③是最簡二次根式，故選C． 【點評】本題考查最簡二次根式的定義．根據(jù)最簡二次根式的定義，最簡二次根式必須滿足兩個條件： （1）被開方數(shù)不含分母； （2）被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式． 　 3．下列定理中，逆命題不成立的是（　　） A．兩直線平行，內(nèi)錯角相等 B．直角三角形兩銳角互余 C．對頂角相等 D．同位角相等，兩直線平行 【考點】命題與定理． 【分析】分別寫出原命題的逆命題，然后判斷正誤即可． 【解答】解：A、逆命題為內(nèi)錯角相等，兩直線平行，正確； B、逆命題為兩角互余的三角形為直角三角形，正確； C、逆命題為相等的角為對頂角，錯誤； D、逆命題為兩直線平行，同位角相等，正確； 故選C． 【點評】本題考查了命題與定理的知識，解題的關鍵是了解平行線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)及判定等知識，難度不大． 　 4．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c，則下列條件中不能判斷是直角三角形的是（　　） A．∠A=∠B﹣∠C B．∠A：∠B：∠C=1：1：2 C．a(chǎn)：b：c=4：5：6 D．a(chǎn)2﹣c2=b2 【考點】勾股定理的逆定理；三角形內(nèi)角和定理． 【分析】利用直角三角形的定義和勾股定理的逆定理逐項判斷即可． 【解答】解：A、由條件可得∠A+∠C=∠B，且∠A+∠B+∠C=180，可求得∠B=90，故△ABC是直角三角形； B、∵∠A：∠B：∠C=1：1：2，∠A+∠B+∠C=180，∴∠C=90，故△ABC是直角三角形； C、不妨設a=4k，b=5k，c=6k，此時a2+b2=41k2，而c2=36k2，即a2+b2≠c2，故△ABC不是直角三角形； D、由條件可得到a2=b2+c2，滿足勾股定理的逆定理，故△ABC是直角三角形； 故選C． 【點評】此題主要考查了直角三角形的判定方法，靈活運用直角三角形的定義及勾股定理的逆定理是解決問題的關鍵． 　 5．下列各式能與合并的是（　?。? A． B． C． D． 【考點】同類二次根式． 【專題】計算題． 【分析】由于只有同類二次根式能合并．所以根據(jù)同類二次根式的定義判斷各選項中的根式與是否為同類二次根式即可． 【解答】解：A、與不是同類二次根式，它們不能合并，所以A選項錯誤； B、=2，則與不是同類二次根式，它們不能合并，所以B選項錯誤； C、=，則與是同類二次根式，它們能合并，所以C選項正確； D、=3，則與不是同類二次根式，它們不能合并，所以D選項錯誤． 故選C． 【點評】本題考查了同類二次根式：一般地，把幾個二次根式化為最簡二次根式后，如果它們的被開方數(shù)相同，就把這幾個二次根式叫做同類二次根式．合并同類二次根式的方法：只合并根式外的因式，即系數(shù)相加減，被開方數(shù)和根指數(shù)不變． 　 6．下列命題中，錯誤的是（　?。? A．矩形的對角線互相平分且相等 B．對角線互相垂直的四邊形是菱形 C．四個角都相等的四邊形是矩形 D．兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形 【考點】命題與定理． 【專題】推理填空題． 【分析】分析所給的命題是否正確，需要分別分析各題設是否能推出結(jié)論，從而利用排除法得出答案． 【解答】解：∵矩形的對角線互相平分且相等， ∴選項A正確； ∵對角線互相垂直平分的四邊形是菱形， ∴選項B錯誤； ∵四個角都相等的四邊形是矩形， ∴選項C正確； ∵兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形， ∴選項D正確． 故選：B． 【點評】主要主要考查了命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理． 　 7．已知一個直角三角形的兩邊長分別為3和4，則第三邊長是（　　） A．5 B．25 C． D．5或 【考點】勾股定理． 【專題】分類討論． 【分析】分為兩種情況：①斜邊是4有一條直角邊是3，②3和4都是直角邊，根據(jù)勾股定理求出即可． 【解答】解： 分為兩種情況：①斜邊是4有一條直角邊是3，由勾股定理得：第三邊長是=； ②3和4都是直角邊，由勾股定理得：第三邊長是=5； 即第三邊長是5或， 故選D． 【點評】本題考查了對勾股定理的應用，注意：在直角三角形中的兩條直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方． 　 8．如圖，在矩形ABCD中，已知AB=4，OA=3，則BC的長度為（　?。? A．5 B． C． D． 【考點】矩形的性質(zhì)． 【分析】直接利用矩形的性質(zhì)得出AC的長，再利用勾股定理得出BC的長． 【解答】解：∵在矩形ABCD中，AB=4，OA=3， ∴AC=6，∠ABC=90 則BC===2． 故選：B． 【點評】此題主要考查了矩形的性質(zhì)以及勾股定理，正確得出AC的長是解題關鍵． 　 9．如圖，將一個邊長分別為6、10的長方形紙片ABCD折疊，使C點與A點重合，則BE的長是（　?。? A． B． C．8 D． 【考點】翻折變換（折疊問題）． 【專題】操作型；等腰三角形與直角三角形． 【分析】連接AE，由折疊的性質(zhì)得：AE=EC，設BE=x，表示出AE，在直角三角形ABE中，利用勾股定理列出關于x的方程，求出方程的解即可得到結(jié)果． 【解答】解：連接AE，由折疊的性質(zhì)得：AE=EC， 設BE=x，則有AE=EC=BC﹣BE=10﹣x， 由長方形得：∠B=90， 在Rt△ABE中，AB=6，BE=x，AE=10﹣x， 根據(jù)勾股定理得：62+x2=（10﹣x）2， 解得：x=， 則BE的長為， 故選A 【點評】此題考查了翻折變換（折疊問題），以及勾股定理，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解本題的關鍵． 　 10．如圖，菱形ABCD中，∠BAD=60，M是AB的中點，P是對角線AC上的一個動點，若PM+PB最小值是，則AB長為（　?。? A．1 B．2 C．2.5 D．3 【考點】軸對稱-最短路線問題；菱形的性質(zhì)． 【分析】先連接BD，因為四邊形ABCD是菱形且∠BAD=60，所以△ABD是等邊三角形，由于菱形的對角線互相垂直平分，所以點D是點B關于AC的對稱點，AD=BD，連接MD，由等邊三角形的性質(zhì)可知DM⊥AB，再根據(jù)勾股定理即可求出AB的長． 【解答】解：如圖，∵四邊形ABCD是菱形， ∴B與D關于直線AC對稱， ∴連接DM交AC于E，則點E即為所求， BP+PM=PD+PM=DM， 即DM就是PM+PB的最小值（根據(jù)的是兩點之間線段最短）， ∵∠DAB=60， ∴AD=AB=BD， ∵M是AB的中點， ∴DM⊥AB， ∵PM+PB=， ∴DM=， ∴AB=AD=∴AB=AD===2． 故選B． 【點評】本題考查的是最短線路問題及菱形的性質(zhì)，由菱形的性質(zhì)得出點D是點B關于AC的對稱點是解答此題的關鍵． 　 二、填空題 11．已知，則=　?。? 【考點】二次根式有意義的條件． 【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)，被開方數(shù)大于等于0，求出滿足兩個被開方數(shù)條件的x的值． 【解答】解：依題意有x﹣2≥0且2﹣x≥0， 解得x=2， 此時y=， 則=． 【點評】主要考查了二次根式的意義和性質(zhì)． 概念：式子（a≥0）叫二次根式，此時≥0； 性質(zhì)：二次根式中的被開方數(shù)必須是非負數(shù)，否則二次根式無意義． 　 12．以長為8，寬為6的矩形各邊中點為頂點的四邊形的形狀是　菱形　，周長為　20?。? 【考點】中點四邊形；三角形中位線定理；矩形的性質(zhì)． 【分析】先根據(jù)矩形的性質(zhì)以及三角形中位線定理，得出以矩形各邊中點為頂點的四邊形的形狀是菱形，再根據(jù)矩形的邊長，求得矩形的對角線長，進而得出菱形的周長． 【解答】解：如圖，∵E、F分別為AD、AB的中點， ∴EF=BD， 同理可得，GH=BD，F(xiàn)G=AC，EH=AC， ∵矩形的對角線AC與BD相等， ∴以長為8，寬為6的矩形各邊中點為頂點的四邊形的形狀是菱形， 又∵AC=BD==10， ∴菱形EFGH的周長=104=20． 故答案為：菱形，20． 【點評】本題主要考查了矩形的性質(zhì)以及菱形的判定，解決問題的關鍵是運用三角形中位線定理得出四邊形的四邊相等．三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半． 　 13．在直角三角形ABC中，∠C=90，∠A=30，BC=3cm，則斜邊上的中線長　3　厘米． 【考點】直角三角形斜邊上的中線；含30度角的直角三角形． 【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出AB的長，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)計算即可． 【解答】解：∵∠C=90，∠A=30，BC=3cm， ∴AB=2BC=6cm， 則斜邊上的中線長=AB=3cm， 故答案為：3． 【點評】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)，掌握在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半、30角所對的直角邊等于斜邊的一半是解題的關鍵． 　 14．如圖，一圓柱高6cm，底面周長為4cm，一只螞蟻從點A沿側(cè)面爬到點B處吃食，要爬行的最短路程是　2cm　． 【考點】平面展開-最短路徑問題． 【分析】此題最直接的解法，就是將圓柱展開，然后利用兩點之間線段最短解答． 【解答】解：底面周長為4cm，半圓弧長為2cm， 展開得： 又因為BC=6cm，AC=2cm， 根據(jù)勾股定理得：AB==2（cm）． 故答案為：2cm． 【點評】此題主要考查了平面展開﹣最短路徑問題，解題的關鍵是根據(jù)題意畫出展開圖，表示出各線段的長度． 　 15．如圖，在□ABCD中，AE平分∠BAD交DC于點E，AD=5cm，AB=8cm，EC=　3cm?。? 【考點】平行四邊形的性質(zhì)． 【分析】首先證明DA=DE，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可解決問題． 【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴BA∥CD，AB=CD=8， ∴∠DEA=∠EAB， ∵AE平分∠DAB， ∴∠DAE=∠EAB， ∴∠DAE=∠DEA， ∴DE=AD=5， ∴CE=CD﹣DE=8﹣5=3cm， 故答案為3cm． 【點評】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關鍵是靈活應用這些知識解決問題，屬于中考?？碱}型． 　 16．如果矩形的一條較短邊的長是5cm，兩條對角線的夾角是60，那么它的較長邊長是　5cm?。? 【考點】矩形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)題意，畫出圖形，根據(jù)夾角為60，結(jié)合矩形的性質(zhì)，得出短邊長為對角線的一半，即可得出對角線的長度，最后根據(jù)勾股定理求出即可． 【解答】解：∵四邊形ABCD為矩形， ∴∠DAB=90，OA=OB， ∵兩對角線的夾角為60， ∴△AOB為等邊三角形， ∴OA=OB=AB=5cm， ∴AC=BD=10cm， 在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD==5cm， 故答案為5cm． 【點評】本題考查矩形的基本性質(zhì)：對角線相等且互相平分．熟練掌握矩形的性質(zhì)是解決此類問題的關鍵． 　 17．如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC=8cm，DB=6cm，DH⊥AB于點H，則DH的長為　4.8cm?。? 【考點】菱形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)菱形的面積等于對角線積的一半，可求得菱形的面積，又由菱形的對角線互相平分且垂直，可根據(jù)勾股定理得AB的長，根據(jù)菱形的面積的求解方法：底乘以高或?qū)蔷€積的一半，即可得菱形的高． 【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OA=OC=AC=4cm，OB=OD=3cm， ∴AB=5cm， ∴S菱形ABCD=AC?BD=AB?DH， ∴DH==4.8cm． 【點評】此題考查了菱形的性質(zhì)：菱形的對角線互相平分且垂直；菱形的面積的求解方法：底乘以高或?qū)蔷€積的一半． 　 三、解答題（共58分） 18．計算； （1）． 【考點】二次根式的混合運算． 【分析】（1）先把各二次根式化為最簡二次根式，然后合并即可． 【解答】解：（1）解： 原式=2﹣+8 =9． 【點評】本題考查了二次根式的計算：先把各二次根式化為最簡二次根式，再進行二次根式的乘除運算，然后合并同類二次根式．在二次根式的混合運算中，如能結(jié)合題目特點，靈活運用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍． 　 19．如圖，菱形ABCD中，CE⊥AB交AB的延長線于點E，CF⊥AD交AD的延長線于點F，求證：CE=CF． 【考點】菱形的性質(zhì)． 【專題】證明題． 【分析】連接AC，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AC平分∠DAE，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得CE=FC． 【解答】證明：連接AC， ∵四邊形ABCD是菱形， ∴AC平分∠DAE， ∵CE⊥AB，CF⊥AD， ∴CE=FC． 【點評】此題主要考查了菱形的性質(zhì)，以及角平分線的性質(zhì)，關鍵是掌握菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等． 　 20．如圖，四邊形ABCD中，AB=20，BC=15，CD=7，AD=24，∠B=90，求證：∠A+∠C=180． 【考點】勾股定理的逆定理；勾股定理；多邊形內(nèi)角與外角． 【專題】證明題． 【分析】連接AC．首先根據(jù)勾股定理求得AC的長，再根據(jù)勾股定理的逆定理求得∠D=90，進而求出∠A+∠C=180． 【解答】證明：連接AC． ∵AB=20，BC=15，∠B=90， ∴由勾股定理，得AC2=202+152=625． 又CD=7，AD=24， ∴CD2+AD2=625， ∴AC2=CD2+AD2， ∴∠D=90． ∴∠A+∠C=360﹣180=180． 【點評】此題主要考查了勾股定理的應用以及四邊形內(nèi)角和定理，綜合運用勾股定理及其逆定理是解決問題的關鍵． 　 21．如圖，已知E為平行四邊形ABCD中DC邊的延長線的一點，且CE=DC，連接AE，分別交BC、BD于點F、G，連接AC交BD于O，連接OF．求證：AB=2OF． 【考點】平行四邊形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)． 【專題】證明題． 【分析】此題的根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可以證明△ABF≌△ECF，然后利用全等三角形的性質(zhì)可以解決問題． 【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AB=CD，OA=OC． ∴∠BAF=∠CEF，∠ABF=∠ECF． ∵CE=DC， 在平行四邊形ABCD中，CD=AB， ∴AB=CE． ∴在△ABF和△ECF中， ， ∴△ABF≌△ECF（ASA）， ∴BF=CF． ∵OA=OC， ∴OF是△ABC的中位線， ∴AB=2OF． 【點評】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定．此題還可以利用三角形的中位線解題． 　 22．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，E，F(xiàn)在AC上，且AE=CF， （1）求證：BE=DF； （2）當AB=BC時，試判斷四邊形BEDF的形狀，并說明理由． 【考點】平行四邊形的性質(zhì)． 【分析】（1）連接BD，交AC于O，由平行四邊形的性質(zhì)得出OA=OC，OB=OD．證出OE=OF．得出四邊形BFDE是平行四邊形，即可得出結(jié)論； （2）證明四邊形ABCD是菱形，得出AC⊥BD，即可得出結(jié)論． 【解答】（1）證明：連接BD，交AC于O，如圖 ∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴OA=OC，OB=OD． 又∵AE=CF， ∴OE=OF． ∴四邊形BFDE是平行四邊形， ∴BE=DF； （2）解：四邊形BEDF是菱形；理由如下： ∵四邊形ABCD是平行四邊形，AB=BC， ∴四邊形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴EF⊥BD， ∴四邊形BEDF是菱形． 【點評】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)；熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)，證明四邊形BFDE是平行四邊形是解決問題的關鍵． 　 23．如圖，△ABC中，AB=AC，AD、AE分別是∠BAC和∠BAC的外角的平分線，BE⊥AE． 求證：（1）DA⊥AE； （2）AC=DE． 【考點】矩形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)． 【專題】證明題． 【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)，及∠BAC+∠BAF=180可求出∠DAE=90，即可證明DA⊥AE； （2）因為AB=AC，若要證明AC=DE，可轉(zhuǎn)化為證明AB=DE即可． 【解答】（1）證明：∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠BAC， 又∵AE平分∠BAF， ∴∠BAE=∠BAF， ∵∠BAC+∠BAF=180， ∴∠BAD+∠BAE=（∠BAC+∠BAF）=90， 即∠DAE=90， 故DA⊥AE； （2）∵AB=AC，AD平分∠BAC， ∴AD⊥BC，故∠ADB=90 ∵BE⊥AE， ∴∠AEB=90，∠DAE=90， 故四邊形AEBD是矩形． ∴AB=DE， ∴AC=DE． 【點評】本題考查的是角平分線，等腰三角形的性質(zhì)及矩形的判定定理．有一定的綜合性． 　 24．如圖，在Rt△ABC中，∠B=90，AC=60cm，∠A=60，點D從點C出發(fā)沿CA方向以4cm/秒的速度向點A勻速運動，同時點E從點A出發(fā)沿AB方向以2cm/秒的速度向點B勻速運動，當其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動．設點D、E運動的時間是t秒（0＜t≤15）．過點D作DF⊥BC于點F，連接DE，EF． （1）求證：AE=DF； （2）四邊形AEFD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應的t值，如果不能，說明理由； （3）當t為何值時，△DEF為直角三角形？請說明理由． 【考點】相似形綜合題． 【分析】（1）利用t表示出CD以及AE的長，然后在直角△CDF中，利用直角三角形的性質(zhì)求得DF的長，即可證明； （2）易證四邊形AEFD是平行四邊形，當AD=AE時，四邊形AEFD是菱形，據(jù)此即可列方程求得t的值； （3）分兩種情況討論即可求解． 【解答】（1）證明：∵直角△ABC中，∠C=90﹣∠A=30． ∵CD=4t，AE=2t， 又∵在直角△CDF中，∠C=30， ∴DF=CD=2t， ∴DF=AE； 解：（2）∵DF∥AB，DF=AE， ∴四邊形AEFD是平行四邊形， 當AD=AE時，四邊形AEFD是菱形， 即60﹣4t=2t， 解得：t=10， 即當t=10時，?AEFD是菱形； （3）當t=時△DEF是直角三角形（∠EDF=90）； 當t=12時，△DEF是直角三角形（∠DEF=90）．理由如下： 當∠EDF=90時，DE∥BC． ∴∠ADE=∠C=30 ∴AD=2AE ∵CD=4t， ∴DF=2t=AE， ∴AD=4t， ∴4t+4t=60， ∴t=時，∠EDF=90． 當∠DEF=90時，DE⊥EF， ∵四邊形AEFD是平行四邊形， ∴AD∥EF， ∴DE⊥AD， ∴△ADE是直角三角形，∠ADE=90， ∵∠A=60， ∴∠DEA=30， ∴AD=AE， AD=AC﹣CD=60﹣4t，AE=DF=CD=2t， ∴60﹣4t=t， 解得t=12． 綜上所述，當t=時△DEF是直角三角形（∠EDF=90）；當t=12時，△DEF是直角三角形（∠DEF=90）． 【點評】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，正確利用t表示DF、AD的長是關鍵．