高考數(shù)學三輪增分練 高考大題縱橫練（一）文

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高考大題縱橫練(一)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．(2016四川)我國是世界上嚴重缺水的國家，某市為了制定合理的節(jié)水方案，對居民用水情況進行了調(diào)查，通過抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量(單位：噸)，將數(shù)據(jù)按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖． (1)求直方圖中a的值； (2)設該市有30萬居民，估計全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)，說明理由； (3)估計居民月均用水量的中位數(shù)． 解　(1)由頻率分布直方圖可知，月均用水量在[0,0.5)的頻率為0.080.5＝0.04. 同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5)等組的頻率分別為0.08,0.21,0.25,0.06,0.04,0.02. 由1－(0.04＋0.08＋0.21＋0.25＋0.06＋0.04＋0.02)＝0.5a＋0.5a， 解得a＝0.30. (2)由(1)知，100位居民月均用水量不低于3噸的頻率為0.06＋0.04＋0.02＝0.12.由以上樣本的頻率分布，可以估計30萬居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)為300 0000.12＝36 000. (3)設中位數(shù)為x噸． 因為前5組的頻率之和為0.04＋0.08＋0.15＋0.21＋0.25＝0.73>0.5. 而前4組的頻率之和為0.04＋0.08＋0.15＋0.21＝0.48<0.5. 所以2≤x<2.5. 由0.50(x－2)＝0.5－0.48，解得x＝2.04. 故可估計居民月均用水量的中位數(shù)為2.04噸． 2．在△ABC中，已知a，b，c分別為角A，B，C的對邊．若向量m＝(a，cos A)，向量n＝(cos C，c)，且mn＝3bcos B. (1)求cos B的值； (2)若a，b，c成等比數(shù)列，求＋的值． 解　(1)因為mn＝3bcos B， 所以acos C＋ccos A＝3bcos B. 由正弦定理，得sin Acos C＋sin Ccos A＝3sin Bcos B, 所以sin(A＋C)＝3sin Bcos B， 所以sin B＝3sin Bcos B. 因為B是△ABC的內(nèi)角， 所以sin B≠0， 所以cos B＝. (2)因為a，b，c成等比數(shù)列，所以b2＝ac. 由正弦定理，得sin2B＝sin Asin C. 因為cos B＝，B是△ABC的內(nèi)角， 所以sin B＝. 又＋＝＋ ＝ ＝＝ ＝＝＝. 3．(2016山東)在如圖所示的幾何體中，D是AC的中點，EF∥DB. (1)已知AB＝BC，AE＝EC.求證：AC⊥FB； (2)已知G，H分別是EC和FB的中點．求證：GH∥平面ABC. 證明　(1)因為EF∥DB，所以EF與DB確定平面BDEF， 如圖，連結DE.因為AE＝EC，D為AC的中點， 所以DE⊥AC.同理可得BD⊥AC. 又BD∩DE＝D，所以AC⊥平面BDEF. 因為FB?平面BDEF， 所以AC⊥FB. (2)設FC的中點為I，連結GI，HI. 在△CEF中，因為G是CE的中點， 所以GI∥EF.又EF∥DB， 所以GI∥DB. 在△CFB中，因為H是FB的中點，所以HI∥BC. 又HI∩GI＝I， 所以平面GHI∥平面ABC， 因為GH?平面GHI，所以GH∥平面ABC. 4．設等差數(shù)列{an}的公差為d，點(an，bn)在函數(shù)f(x)＝2x的圖象上(n∈N*)． (1)若a1＝－2，點(a8,4b7)在函數(shù)f(x)的圖象上，求數(shù)列{an}的前n項和Sn； (2)若a1＝1，函數(shù)f(x)的圖象在點(a2，b2)處的切線在x軸上的截距為2－，求數(shù)列{}的前n項和Tn. 解　(1)由已知，得b7＝2a7，b8＝2a8＝4b7， 有2a8＝42a7＝2a7＋2. 解得d＝a8－a7＝2. 所以Sn＝na1＋d＝－2n＋n(n－1)＝n2－3n. (2)函數(shù)f(x)＝2x在(a2，b2)處的切線方程為y－2a2＝(2a2ln 2)(x－a2)， 它在x軸上的截距為a2－. 由題意知，a2－＝2－， 解得a2＝2. 所以d＝a2－a1＝1，從而an＝n，bn＝2n. 所以Tn＝＋＋＋…＋＋， 2Tn＝＋＋＋…＋. 因此2Tn－Tn＝1＋＋＋…＋－ ＝2－－＝. 所以Tn＝. 5．設函數(shù)f(x)＝ln x＋，k∈R. (1)若曲線y＝f(x)在點(e，f(e))處的切線與直線x－2＝0垂直，求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間和極小值(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))； (2)若對任意x1>x2>0，f(x1)－f(x2)0)． ∵曲線y＝f(x)在點(e，f(e))處的切線與直線x－2＝0垂直， ∴此切線的斜率為0，即f′(e)＝0，有－＝0，k＝e. ∴f′(x)＝－＝(x>0)． 由f′(x)<0，得00，得x>e. ∴f(x)在(0，e)上單調(diào)遞減，在(e，＋∞)上單調(diào)遞增，當x＝e時，f(x)取得極小值f(e)＝ln e＋＝2， 故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，e)，極小值為2. (2)條件等價于對任意x1>x2>0，f(x1)－x10)， ∴(*)等價于h(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減． 由h′(x)＝－－1≤0在(0，＋∞)上恒成立，得 k≥－x2＋x＝－(x－)2＋(x>0)恒成立， ∴k≥(h′(x)＝0僅在x＝時成立)， 故k的取值范圍是[，＋∞)． 6．在平面直角坐標系xOy中，橢圓＋＝1(a>b>0)的離心率e＝，且點P(2,1)在橢圓C上． (1)求橢圓C的方程； (2)若點A，B都在橢圓C上，且AB中點M在線段OP(不包括端點)上． ①求直線AB的斜率； ②求△AOB面積的最大值． 解　(1)由題意得， ∴ ∴橢圓C的方程為＋＝1. (2)①方法一　設A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)， 直線AB的斜率為k， 則 ∴＋＝0， ∴＋k＝0， 又直線OP：y＝x，M在線段OP上， ∴y0＝x0，∴k＝－1. 方法二　設A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)， 直線AB的方程為y－y0＝k(x－x0)， 則 ∴(1＋2k2)x2＋4k(y0－kx0)x＋2(y0－kx0)2－6＝0， 由題意，Δ>0， ∴x1＋x2＝－， ∴x0＝－，(*) 又直線OP：y＝x，M在線段OP上， ∴y0＝x0，(**) ∴把(**)代入(*)得1＋2k2＝－2k(－k)， ∴k＝－1. 方法三　設A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)， 直線AB的方程為y＝kx＋m， 則 ∴(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－6＝0， 由題意，Δ>0. ∴x1＋x2＝－， ∴x0＝－，(ⅰ) 又直線OP：y＝x，M在線段OP上， ∴y0＝x0，(ⅱ) M在直線AB上，∴ y0＝kx0＋m.(ⅲ) 解(ⅰ)(ⅱ)(ⅲ)得：k＝－1. ②設直線AB的方程為 y＝－x＋m，m∈(0,3)， 則 ∴3x2－4mx＋2m2－6＝0， ∴ ∴AB＝|x1－x2|＝， 原點到直線的距離d＝， ∴S△OAB ＝ ＝≤. 當且僅當m＝∈(0,3)時，等號成立， ∴△AOB面積的最大值為.