高考數(shù)學(xué) 考前3個(gè)月知識方法專題訓(xùn)練 第一部分 知識方法篇 專題4 三角函數(shù)與平面向量 第19練 平面向量中的線性問題 文

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第19練　平面向量中的線性問題 [題型分析高考展望]　平面向量是初等數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，兼具代數(shù)和幾何的“雙重特性”，是解決代數(shù)問題和幾何問題的有力工具，與很多知識聯(lián)系較為密切，是高考命題的熱點(diǎn)．多與其他知識聯(lián)合命題，題型有選擇題、填空題、解答題，掌握好向量的基本概念、基本運(yùn)算性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 體驗(yàn)高考 1．(2015課標(biāo)全國Ⅰ)設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，＝3，則(　　) A.＝－＋ B.＝－ C.＝＋ D.＝－ 答案　A 解析　∵＝3，∴－＝3(－)， 即4－＝3，∴＝－＋. 2．(2016課標(biāo)全國甲)已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，則m等于(　　) A．－8 B．－6 C．6 D．8 答案　D 解析　由題知a＋b＝(4，m－2)，因?yàn)?a＋b)⊥b，所以(a＋b)b＝0， 即43＋(－2)(m－2)＝0，解之得m＝8，故選D. 3．(2016山東)已知非零向量m，n滿足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝.若n⊥(tm＋n)，則實(shí)數(shù)t的值為(　　) A．4 B．－4 C. D．－ 答案　B 解析　∵n⊥(tm＋n)， ∴n(tm＋n)＝0，即tmn＋|n|2＝0， ∴t|m||n|cos〈m，n〉＋|n|2＝0，又4|m|＝3|n|， ∴t|n|2＋|n|2＝0，解得t＝－4，故選B. 4．(2015北京)在△ABC中，點(diǎn)M，N滿足＝2，＝.若＝x＋y，則x＝________；y＝________. 答案　?。? 解析　＝＋＝＋ ＝＋(－) ＝－，∴x＝，y＝－. 高考必會(huì)題型 題型一　平面向量的線性運(yùn)算及應(yīng)用 例1　(1)在△ABC中，點(diǎn)D在線段BC的延長線上，且＝3，點(diǎn)O在線段CD上(與點(diǎn)C，D不重合)，若＝x＋(1－x)，則x的取值范圍是(　　) A. B. C. D. (2)已知在△ABC中，D是AB邊上的一點(diǎn)，若＝2，＝＋λ，則λ＝________. 答案　(1)D　(2) 解析　(1)設(shè)＝y(tǒng)， ∵＝＋ ＝＋y＝＋y(－) ＝－y＋(1＋y). ∵＝3，點(diǎn)O在線段CD上(與點(diǎn)C，D不重合)， ∴y∈， ∵＝x＋(1－x)， ∴x＝－y，∴x∈. (2)因?yàn)椋?，＝＋λ，所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，所以λ＝. 點(diǎn)評　平面向量的線性運(yùn)算應(yīng)注意三點(diǎn) (1)三角形法則和平行四邊形法則的運(yùn)用條件． (2)證明三點(diǎn)共線問題，可用向量共線來解決，但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線． (3)＝λ＋μ(λ，μ為實(shí)數(shù))，若A，B，C三點(diǎn)共線，則λ＋μ＝1. 變式訓(xùn)練1　(1)如圖，兩塊全等的直角邊長為1的等腰直角三角形拼在一起，若＝λ＋k，則λ＋k等于(　　) A．1＋ B．2－ C．2 D.＋2 (2)在△ABC中，＋＋＝0，＝a，＝b.若＝ma，＝nb，CG∩PQ＝H，＝2，則＋＝________. 答案　(1)A　(2)6 解析　(1)根據(jù)向量的基本定理可得， ＝＋＝＋(－) ＝＋(－) ＝＋－ (－) ＝＋， 所以λ＝，k＝1＋， 所以λ＋k＝1＋.故選A. (2)由＋＋＝0，知點(diǎn)G為△ABC的重心，取AB的中點(diǎn)D(圖略)，則＝＝＝(＋)＝＋，由P，H，Q三點(diǎn)共線，得＋＝1，則＋＝6. 題型二　平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 例2　(1)已知點(diǎn)A(－3,0)，B(0，)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C在第二象限，且∠AOC＝30，＝λ＋，則實(shí)數(shù)λ的值為________． 答案　1 解析　由題意知＝(－3,0)，＝(0，)， 則＝(－3λ，)， 由∠AOC＝30，知∠xOC＝150， ∴tan 150＝，即－＝－，∴λ＝1. (2)平面內(nèi)給定三個(gè)向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)，請解答下列問題： ①求滿足a＝mb＋nc的實(shí)數(shù)m，n； ②若(a＋kc)∥(2b－a)，求實(shí)數(shù)k； ③若d滿足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝，求d. 解　①由題意得(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)， ∴得 ②a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)， ∵(a＋kc)∥(2b－a)， ∴2(3＋4k)－(－5)(2＋k)＝0，∴k＝－. ③設(shè)d＝(x，y)，則d－c＝(x－4，y－1)，a＋b＝(2,4)， 由題意得 解得或∴d＝(3，－1)或d＝(5,3)． 點(diǎn)評　(1)兩平面向量共線的充要條件有兩種形式：①若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件是x1y2－x2y1＝0；②若a∥b(a≠0)，則b＝λa. (2)向量共線的坐標(biāo)表示既可以判定兩向量平行，也可以由平行求參數(shù)．當(dāng)兩向量的坐標(biāo)均非零時(shí)，也可以利用坐標(biāo)對應(yīng)成比例來求解． (3)向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行．若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求出向量的坐標(biāo)，解題過程中要注意方程思想的運(yùn)用及正確使用運(yùn)算法則． 變式訓(xùn)練2　(1)如圖所示，在△ABC中，D為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)在線段CD上，設(shè)＝a，＝b，A＝xa＋yb，則＋的最小值為(　　) A．8＋2 B．8 C．6 D．6＋2 (2)已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)，若點(diǎn)A、B、C能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)m滿足的條件是________． 答案　(1)B　(2)m≠ 解析　(1)因?yàn)辄c(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，所以＝2， 因?yàn)椋絰a＋yb，所以＝2x＋y. 因?yàn)辄c(diǎn)F在線段CD上，所以2x＋y＝1，又x，y＞0， 所以＋＝(2x＋y) ＝4＋＋≥4＋2＝8， 當(dāng)且僅當(dāng)y＝2x＝時(shí)取等號， 所以＋的最小值為8. (2)因?yàn)椋?3，－4)，＝(6，－3)， ＝(5－m，－3－m)， 所以＝(3,1)，＝(－m－1，－m)． 由于點(diǎn)A、B、C能構(gòu)成三角形，所以與不共線， 而當(dāng)與共線時(shí)，有＝，解得m＝， 故當(dāng)點(diǎn)A、B、C能構(gòu)成三角形時(shí)， 實(shí)數(shù)m滿足的條件是m≠. 高考題型精練 1．設(shè)a是非零向量，λ是非零實(shí)數(shù)，下列結(jié)論中正確的是(　　) A．a(chǎn)與λa的方向相反 B．a(chǎn)與λ2a的方向相同 C．|－λa|≥|a| D．|－λa|≥|λ|a 答案　B 解析　對于A，當(dāng)λ＞0時(shí)，a與λa的方向相同，當(dāng)λ＜0時(shí)，a與λa的方向相反，B正確；對于C，|－λa|＝|－λ||a|，由于|－λ|的大小不確定，故|－λa|與|a|的大小關(guān)系不確定；對于D，|λ|a是向量，而|－λa|表示長度，兩者不能比較大?。? 2．設(shè)點(diǎn)M是△ABC所在平面上的一點(diǎn)，且＋＋＝0，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，則的值為(　　) A. B. C．1 D．2 答案　A 解析　∵D是AC的中點(diǎn)，延長MD至E， 使得DE＝MD， ∴四邊形MAEC為平行四邊形， ∴＝＝(＋)． ∵＋＋＝0， ∴＝－(＋)＝－3， ∴＝＝， 故選A. 3．已知點(diǎn)A(－3,0)，B(0,2)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C在∠AOB內(nèi)，|OC|＝2，且∠AOC＝，設(shè)＝λ＋(λ∈R)，則λ的值為(　　) A．1 B. C. D. 答案　D 解析　過點(diǎn)C作CE⊥x軸于點(diǎn)E(圖略)． 由∠AOC＝，知|OE|＝|CE|＝2， 所以＝＋＝λ＋， 即＝λ， 所以(－2,0)＝λ(－3,0)，故λ＝. 4．在四邊形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，則四邊形ABCD的形狀是(　　) A．矩形 B．平行四邊形 C．梯形 D．以上都不對 答案　C 解析　由已知，得＝＋＋＝－8a－2b ＝2(－4a－b)＝2，故∥. 又因?yàn)榕c不平行，所以四邊形ABCD是梯形． 5．設(shè)向量a，b滿足|a|＝2，b＝(2,1)，則“a＝(4,2)”是“a∥b”成立的(　　) A．充要條件 B．必要不充分條件 C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件 答案　C 解析　若a＝(4,2)，則|a|＝2，且a∥b都成立； ∵a∥b，設(shè)a＝λb＝(2λ，λ)，由|a|＝2，知 4λ2＋λ2＝20，∴λ2＝4，∴λ＝2， ∴a＝(4,2)或a＝(－4，－2)． 因此“a＝(4,2)”是“a∥b”成立的充分不必要條件． 6．在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB＝3DC，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，則等于(　　) A.＋ B.＋ C.＋ D.＋ 答案　A 解析?。剑剑? ＝＋＝＋＝＋ ＝＋. 7．給出下列命題： ①若|a|＝|b|，則a＝b； ②若A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，則＝是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件； ③若a＝b，b＝c，則a＝c； ④a＝b的充要條件是|a|＝|b|且a∥b； ⑤若a∥b，b∥c，則a∥c. 其中正確命題的序號是(　　) A．②③ B．①② C．③④ D．④⑤ 答案　A 解析?、俜较虿灰欢ㄏ嗤?；④方向可能相反；⑤若b＝0，則不對． 8．在矩形ABCD中，O是對角線的交點(diǎn)，若＝5e1，＝3e2，則＝________.(用e1，e2表示) 答案　(5e1＋3e2) 解析　在矩形ABCD中，因?yàn)辄c(diǎn)O是對角線的交點(diǎn)， 所以＝＝(＋)＝(＋) ＝(5e1＋3e2)． 9．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分別為CD，BC的中點(diǎn)，若＝λ＋μ，則λ＋μ＝________. 答案　 解析　依題意得， ＝＋＋＝＋－ ＝＋， ＝＋＝＋. 又＝λ＋μ， 于是有＝λ＋μ ＝＋. 又與不共線，因此有 由此解得λ＝－，μ＝－2λ，所以λ＋μ＝－λ＝. 10.已知點(diǎn)G是△ABC的外心，，，是三個(gè)單位向量，且2＋＋＝0，如圖所示，△ABC的頂點(diǎn)B，C分別在x軸的非負(fù)半軸和y軸的非負(fù)半軸上移動(dòng)，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則||的最大值為________． 答案　2 解析　因?yàn)辄c(diǎn)G是△ABC的外心，且2＋＋＝0，所以點(diǎn)G是BC的中點(diǎn)，△ABC是直角三角形，且∠BAC是直角．又，，是三個(gè)單位向量，所以BC＝2，又△ABC的頂點(diǎn)B，C分別在x軸的非負(fù)半軸和y軸的非負(fù)半軸上移動(dòng)，所以點(diǎn)G的軌跡是以原點(diǎn)為圓心、1為半徑的圓?。謡|＝1，所以當(dāng)OA經(jīng)過BC的中點(diǎn)G時(shí)，||取得最大值，且最大值為2||＝2. 11．設(shè)e1，e2是兩個(gè)不共線的向量，已知＝2e1－8e2， ＝e1＋3e2，＝2e1－e2. (1)求證：A，B，D三點(diǎn)共線； (2)若＝3e1－ke2，且B，D，F(xiàn)三點(diǎn)共線，求k的值． (1)證明　由已知得＝－＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2， ∵＝2e1－8e2，∴＝2. 又∵與有公共點(diǎn)B，∴A，B，D三點(diǎn)共線． (2)解　由(1)可知＝e1－4e2， ∵＝3e1－ke2，且B，D，F(xiàn)三點(diǎn)共線， ∴＝λ (λ∈R)， 即3e1－ke2＝λe1－4λe2，得解得k＝12. 12．已知點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A(0,2)，B(4,6)，＝t1＋t2. (1)求點(diǎn)M在第二或第三象限的充要條件； (2)求證：當(dāng)t1＝1時(shí)，不論t2為何實(shí)數(shù)，A，B，M三點(diǎn)都共線； (3)若t1＝a2，求當(dāng)⊥且△ABM的面積為12時(shí)，a的值． (1)解?。絫1＋t2 ＝t1(0,2)＋t2(4,4)＝(4t2,2t1＋4t2)． 當(dāng)點(diǎn)M在第二或第三象限時(shí)， 有 故所求的充要條件為t2<0且t1＋2t2≠0. (2)證明　當(dāng)t1＝1時(shí)， 由(1)知＝(4t2,4t2＋2)． ∵＝－＝(4,4)， ＝－＝(4t2,4t2)＝t2(4,4)＝t2， 又∵與有公共點(diǎn)A， ∴不論t2為何實(shí)數(shù)，A，B，M三點(diǎn)共線． (3)解　當(dāng)t1＝a2時(shí)，＝(4t2,4t2＋2a2)． 又＝(4,4)，⊥， ∴4t24＋(4t2＋2a2)4＝0， ∴t2＝－a2，故＝(－a2，a2)． ||＝4， 點(diǎn)M到直線AB：x－y＋2＝0的距離 d＝＝|a2－1|. ∵S△ABM＝12， ∴|AB|d＝4|a2－1|＝12， 解得a＝2，故所求a的值為2.