高考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)突破 導(dǎo)數(shù)與積分 第8講 構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)與“二次求導(dǎo)”問(wèn)題

《高考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)突破 導(dǎo)數(shù)與積分 第8講 構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)與“二次求導(dǎo)”問(wèn)題》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)突破 導(dǎo)數(shù)與積分 第8講 構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)與“二次求導(dǎo)”問(wèn)題（16頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

2017年高考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)突破——導(dǎo)數(shù)與積分 第8講 構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)與“二次求導(dǎo)” 【知識(shí)梳理】 構(gòu)造輔助函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中一種常用的方法，解題中若遇到有關(guān)不等式、方程及最值之類問(wèn)題，設(shè)法建立起目標(biāo)函數(shù)，并確定變量的限制條件，通過(guò)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等問(wèn)題，常可使問(wèn)題變得明了，屬于難題． 二次求導(dǎo)的原因是導(dǎo)函數(shù)無(wú)法用初等方程的求解，尤其是超越方程，使用二次求導(dǎo)可以化解很多一次求導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)“求之不得”的問(wèn)題。 【基礎(chǔ)考點(diǎn)突破】 考點(diǎn)1.構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo) 【例1】【2015高考新課標(biāo)2，理12】設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，則使得成立的的取值范圍是（ ） A． 　　　B． C． 　　　D． 變式訓(xùn)練1.【2015高考福建，理10】若定義在上的函數(shù) 滿足 ，其導(dǎo)函數(shù) 滿足 ，則下列結(jié)論中一定錯(cuò)誤的是（ ） A． B． C． D． 考點(diǎn)2.利用導(dǎo)數(shù)構(gòu)造函數(shù)證明不等式 【例2】【2015高考福建，文22】已知函數(shù)． (Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間； （Ⅱ）證明：當(dāng)時(shí)，； （Ⅲ）確定實(shí)數(shù)的所有可能取值，使得存在，當(dāng)時(shí)，恒有． 變式訓(xùn)練2.【2016高考新課標(biāo)Ⅲ文數(shù)】設(shè)函數(shù). （1）討論的單調(diào)性；（2）證明當(dāng)時(shí)，；（3）設(shè)，證明當(dāng)時(shí)，. 考點(diǎn)3.構(gòu)造函數(shù)與二次求導(dǎo) 【例3】設(shè)函數(shù)(其中). (Ⅰ) 當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(Ⅱ) 當(dāng)時(shí),求函數(shù)在上的最大值. 【歸納總結(jié)】二次求導(dǎo)的原因是導(dǎo)函數(shù)無(wú)法用初等方程的求解，尤其是超越方程，使用二次求導(dǎo)可以化解很多一次求導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)“求之不得”的問(wèn)題。 變式訓(xùn)練3.（2012年全國(guó)卷）設(shè)函數(shù)． （1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若，為整數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，求的最大值． 變式訓(xùn)練4.（2014年山東卷）設(shè)函數(shù)（為常數(shù)，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）． （1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （2）若函數(shù)在內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍． 【基礎(chǔ)練習(xí)鞏固】 1．設(shè)函數(shù)滿足，，則時(shí)，（ ） A．有極大值，無(wú)極小值 　B．有極小值，無(wú)極大值 C．既有極大值又有極小值　　　　　D．既無(wú)極大值也無(wú)極小值 2．設(shè)函數(shù)，其中． （1）當(dāng)時(shí)，證明不等式；（2）設(shè)的最小值為，證明． 3． 已知函數(shù)，證明: 當(dāng)且時(shí)． 4.【2016高考新課標(biāo)2理數(shù)】 (Ⅰ)討論函數(shù)的單調(diào)性，并證明當(dāng)時(shí)，； (Ⅱ)證明：當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值.設(shè)的最小值為，求函數(shù)的值域． 2017年高考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)突破——導(dǎo)數(shù)與積分 第1講 構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)與“二次求導(dǎo)”（學(xué)生版，后附教師版） 【知識(shí)梳理】 構(gòu)造輔助函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中一種常用的方法，解題中若遇到有關(guān)不等式、方程及最值之類問(wèn)題，設(shè)法建立起目標(biāo)函數(shù)，并確定變量的限制條件，通過(guò)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等問(wèn)題，常可使問(wèn)題變得明了，屬于難題． 二次求導(dǎo)的原因是導(dǎo)函數(shù)無(wú)法用初等方程的求解，尤其是超越方程，使用二次求導(dǎo)可以化解很多一次求導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)“求之不得”的問(wèn)題。 【基礎(chǔ)考點(diǎn)突破】 考點(diǎn)1.構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo) 【例1】【2015高考新課標(biāo)2，理12】設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，則使得成立的的取值范圍是（ ） A． 　　　B． C． 　　　D． 【答案】A 解析：記函數(shù)，則，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減；又因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，故函數(shù)是偶函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減，且.當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，則，綜上所述，使得成立的的取值范圍是，故選A. 變式訓(xùn)練1.【2015高考福建，理10】若定義在上的函數(shù) 滿足 ，其導(dǎo)函數(shù) 滿足 ，則下列結(jié)論中一定錯(cuò)誤的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知條件，構(gòu)造函數(shù)，則，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，故，所以，，所以結(jié)論中一定錯(cuò)誤的是C，選項(xiàng)D無(wú)法判斷；構(gòu)造函數(shù)，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，所以，即，，選項(xiàng)A,B無(wú)法判斷，故選C． 考點(diǎn)2.利用導(dǎo)數(shù)構(gòu)造函數(shù)證明不等式 【例2】【2015高考福建，文22】已知函數(shù)． (Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間； （Ⅱ）證明：當(dāng)時(shí)，； （Ⅲ）確定實(shí)數(shù)的所有可能取值，使得存在，當(dāng)時(shí)，恒有． 【答案】(Ⅰ) ；（Ⅱ）詳見(jiàn)解析；（Ⅲ）． 【解析】（I），． 由得解得． 故的單調(diào)遞增區(qū)間是． （II）令，．則有． 當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，． （III）由（II）知，當(dāng)時(shí)，不存在滿足題意． 當(dāng)時(shí)，對(duì)于，有，則，從而不存在滿足題意． 當(dāng)時(shí)，令，，則有． 由得，． 解得，． 當(dāng)時(shí)，，故在內(nèi)單調(diào)遞增． 從而當(dāng)時(shí)，，即， 綜上，的取值范圍是． 變式訓(xùn)練2.【2016高考新課標(biāo)Ⅲ文數(shù)】設(shè)函數(shù). （1）討論的單調(diào)性；（2）證明當(dāng)時(shí)，；（3）設(shè)，證明當(dāng)時(shí)，. 解析：（Ⅰ）由題設(shè)，的定義域?yàn)?，，令，解? 當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，在處取得最大值，最大值為，所以當(dāng)時(shí)，. 故當(dāng)時(shí)，，，即. （Ⅲ）由題設(shè)，設(shè)，則，令，解得. 當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減. 由（Ⅱ）知，，故，又，故當(dāng)時(shí)，. 所以當(dāng)時(shí)，. 考點(diǎn)3.構(gòu)造函數(shù)與二次求導(dǎo) 【例3】設(shè)函數(shù)(其中). (Ⅰ) 當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(Ⅱ) 當(dāng)時(shí),求函數(shù)在上的最大值. 解析：(Ⅰ) 當(dāng)時(shí), , 令,得, 當(dāng)變化時(shí),的變化如下表: 極大值 極小值 右表可知,函數(shù)的遞減區(qū)間為,遞增區(qū)間為,. (Ⅱ) ,令,得,, 令,則,所以在上遞增, 所以,從而,所以 所以當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),； 所以， 令,則,令,則， 所以在上遞減,而， 所以存在使得,且當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減. 因?yàn)?. 所以在上恒成立,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得“”. 綜上,函數(shù)在上的最大值. 【歸納總結(jié)】二次求導(dǎo)的原因是導(dǎo)函數(shù)無(wú)法用初等方程的求解，尤其是超越方程，使用二次求導(dǎo)可以化解很多一次求導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)“求之不得”的問(wèn)題。 變式訓(xùn)練3.（2012年全國(guó)卷）設(shè)函數(shù)． （1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若，為整數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，求的最大值． 解 （1）的定義域?yàn)?，? 若，則，在上單調(diào)遞增；若，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增． （2）由于，所以． 故當(dāng)時(shí)，等價(jià)于① 令，則，由（1）知函數(shù)在上單調(diào)遞增．而，，所以在內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)，故在內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)，設(shè)此零點(diǎn)為，則． 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在內(nèi)的最小值為．又由，可得，所以． 由于①式等價(jià)于，故整數(shù)的最大值為2． 變式訓(xùn)練4.（2014年山東卷）設(shè)函數(shù)（為常數(shù)，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）． （1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （2）若函數(shù)在內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍． 解 （1）函數(shù)的定義域?yàn)?，．由可得，所以?dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增．所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為． （2）由（Ⅰ）知，時(shí)，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，即函數(shù)在在內(nèi)不存在極點(diǎn)，故． 因?yàn)椋? 記．若函數(shù)在內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，則有兩個(gè)零點(diǎn)． 因?yàn)?，?dāng)時(shí)，在內(nèi)成立，為單調(diào)遞增函數(shù)，在內(nèi)不存在兩個(gè)極值點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，在內(nèi)成立，為單調(diào)遞減函數(shù)，在內(nèi)成立，為單調(diào)遞增函數(shù)．所以函數(shù)的最小值為． 若在內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)，解得． 綜上，在內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，的取值范圍為． 【基礎(chǔ)練習(xí)鞏固】 1．設(shè)函數(shù)滿足，，則時(shí)，（ ） A．有極大值，無(wú)極小值 　B．有極小值，無(wú)極大值 C．既有極大值又有極小值　　　　　D．既無(wú)極大值也無(wú)極小值 解析：由題意,令,則,且， 因此． 令，則， 所以時(shí)，；時(shí)，．從而有，即，所以當(dāng)時(shí)，是單調(diào)遞增的，既無(wú)極大值也無(wú)極小值．答案D． 2．設(shè)函數(shù)，其中． （1）當(dāng)時(shí)，證明不等式； （2）設(shè)的最小值為，，證明． 證明：（1）設(shè)，則． 當(dāng) 時(shí)，，在上是增函數(shù)． 所以當(dāng)時(shí)，，即．所以成立． 同理可證．所以． （2）由已知得函數(shù)的定義域?yàn)?，且，令，得．?dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減； 當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增． 所以的最小值， 將代入，得，即. 所以，即． 3． 已知函數(shù)，證明: 當(dāng)且時(shí)． 解析: 設(shè)，構(gòu)造函數(shù)，則 ． 當(dāng)時(shí)可得，而，故當(dāng) 時(shí)，遞減． 所以得． 當(dāng) 時(shí)，，而，故當(dāng)時(shí)，遞減． 所以，可得． 綜上， 當(dāng)且時(shí)． 4.【2016高考新課標(biāo)2理數(shù)】 (Ⅰ)討論函數(shù)的單調(diào)性，并證明當(dāng)時(shí)，； (Ⅱ)證明：當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值.設(shè)的最小值為，求函數(shù)的值域． 解析：（Ⅰ）的定義域?yàn)? 且僅當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，因此當(dāng)時(shí)，所以 （II） 由（I）知，單調(diào)遞增，對(duì)任意因此，存在唯一使得即，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增. 因此在處取得最小值，最小值為 于是，由單調(diào)遞增 所以，由得 因?yàn)閱握{(diào)遞增，對(duì)任意存在唯一的 使得所以的值域是 綜上，當(dāng)時(shí)，有，的值域是