中考數(shù)學 知識點聚焦 第二章 實數(shù)
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第二章 實數(shù) 高頻考點 考查頻率 所占分值 1.實數(shù)的有關概念 ★★ 2.實數(shù)的運算 ★★ 3.實數(shù)與數(shù)軸 ★ 3~5分 4.無理數(shù)的估算 ★ 5.無理數(shù)的識別 ★★★ 知能圖譜 平方根與立方根 平方根 立方根 實數(shù)與數(shù)軸的關系→實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應 有理數(shù) 正有理數(shù) 0 實數(shù) 實數(shù)的分類 負有理數(shù) 無理數(shù)無限不循環(huán)小數(shù) 實數(shù)的運算及運算律 實數(shù)的大小比較 第3講 平方根與立方根 知識能力解讀 知能解讀 (一)算術平方根、平方根的定義及性質(zhì) 1.算術平方根的定義、表示及性質(zhì) (1)定義:一般地,如果一個正數(shù)的平方等于,即,那么這個正數(shù)叫作的算術平方根.規(guī)定:0的算術平方根是0. (2)表示方法:的算術平方根記作,讀作“根號”,叫作被開方數(shù). (3)性質(zhì):一個非負數(shù)的算術平方根的平方等于它本身,即. 注意:與的區(qū)別與聯(lián)系 (1)區(qū)別:①是先開方再求平方;是先求平方再開方,兩者運算順序不同.②中 的取值范圍是,中 取正數(shù)、零、負數(shù)都可以. (2)聯(lián)系:當時,. 2.平方根的定義及性質(zhì) (1)定義:一般地,如果一個數(shù)的平方等于,那么這個數(shù)叫作的平方根或二次方根.這就是說,如果,那么叫作的平方根. (2)表示方法:正數(shù)的平方根表示為,讀作“正、負根號”. (3)性質(zhì):正數(shù)有兩個平方根,它們互為相反數(shù);0的平方根是0;負數(shù)沒有平方根. 3.開平方運算 求一個數(shù)的平方根的運算,叫作開平方.平方與開平方互為逆運算.根據(jù)這種互逆關系,可以求一個數(shù)的平方根.如的平方為,所以,16的平方根為,即. 4.平方根與算術平方根的區(qū)別及聯(lián)系 (1)區(qū)別: ①定義不同:“一個正數(shù)”與“一個數(shù)”含義不同. ②個數(shù)不同:一個正數(shù)有兩個平方根,而一個正數(shù)的算術平方根只有一個. ③表示方法不同:正數(shù)的平方根表示為,正數(shù)的算術平方根表示為. (2)聯(lián)系: ①具有包含關系:平方根包含算術平方根,算術平方根是平方根中的一種. ②存在條件相同:平方根和算術平方根都只有非負數(shù)才有. ③0的平方根、算術平方根均為0. ④可以利用平方和開平方的互逆關系求一個非負數(shù)的算術平方根和平方根. 5.平方根(或算術平方根)的幾個結(jié)論 (1)式子有意義的條件為; (2)表示的算術平方根,是非負數(shù),即. (二)立方根的定義及性質(zhì) (1)定義:一般地,如果一個數(shù)的立方等于,那么這個數(shù)叫作的立方根或三次方根.這就是說,如果,那么叫作的立方根. (2)表示方法:的立方根(或三次方根)表示為,其中 為被開方數(shù),“”中的3為根指數(shù)(根指數(shù)3不能省略);讀作“三次根號”或“ 的立方根”. (3)性質(zhì):正數(shù)的立方根是正數(shù),負數(shù)的立方根是負數(shù),0的立方根是0. (4)有關立方根的補充說明和公式: ①在中,被開方數(shù)可為正數(shù)、零、負數(shù),且的正負與一致;②;③. (5)開立方:求一個數(shù)的立方根的運算,叫作開立方. 開立方與立方是互為逆運算的關系,負數(shù)(在實數(shù)范圍內(nèi))不能開平方,但可以進行開立方運算.如的立方為,即,反過來,的立方根為,即;3的立方為27,即,反過來,27的立方根為3,即. (6)平方根與立方根的區(qū)別與聯(lián)系: 名稱 內(nèi)容 平方根 立方根 表示方法 區(qū)別個數(shù) 正數(shù)有兩個平方根,0的平方根是0,負數(shù)沒有平方根 任意數(shù)都只有一個立方根 被開方數(shù) 非負數(shù) 任意數(shù) 聯(lián)系 ①都是開方運算的結(jié)果;②0的平方根、立方根都是0 (三)用計算器求平方根或立方根 (1)利用計算器求一個非負數(shù)的算術平方根時,只需要直接按書寫順序按鍵即可;求一個非負數(shù)的平方根時,則先求出它的算術平方根,再在前面添加符號.(不同計算器有不同的按鍵順序) 注意:(1)用計算器求一個非負數(shù)的負的平方根時,一般先求出算術平方根,然后再求其相反數(shù),即負的平方根. (2)被開方數(shù)是分數(shù)時應化為小數(shù);被開方數(shù)后面的0或小數(shù)點后的0比較多時,可先寫成科學記數(shù)法的形式,再根據(jù)將被開方數(shù)化簡. (2)利用計算器求一個數(shù)的立方根時,只需要直接按書寫頃序按鍵即可,若遇到被開方數(shù)是負數(shù)時,“-”的輸入可按,也可以按. 方法技巧歸納 方法技巧 (一)平方根與立方根的求法 我們知道,平方與開平方、立方與開立方都互為逆運算,根據(jù)這種互逆關系,可以求一個數(shù)的平方根和立方根. (二)平方根與立方根性質(zhì)的應用 平方根的性質(zhì):一個正數(shù)有兩個平方根,0的平方根是0,負數(shù)沒有平方根,即只有非負數(shù)才有平方根. 立方根的性質(zhì):一個正數(shù)有一個正的立方根,一個負數(shù)有一個負的立方根,0的立方根是0. (三)算術平方根與立方根的綜合應用 (四)用計算器求算術平方根、立方根 (五)根據(jù)一個數(shù)的平方根求這個數(shù) 易混易錯辨析 易混易錯知識 1.混淆與. 表示的算術平方根,可以取任意實數(shù);表示的算術平方根的平方,只能取非負數(shù). 2.混淆平方根與立方根的性質(zhì). 性質(zhì) 名稱 正數(shù) 負數(shù) 0 平方根 有兩個平方根 沒有平方根 0 立方根 一個正的立方根 一個負的立方根 0 注意:開平方時,被開方數(shù)要大于或等于0;開立方時,被開方數(shù)可以是任意實數(shù). 3.誤認為負數(shù)沒有立方根. 任何數(shù)都有立方根,正數(shù)的立方根是正數(shù),負數(shù)的立方根是負數(shù),0的立方根是0. 易混易錯 (一)審題不認真,忽視語言敘述中含有的運算 (二)混淆平方根與算術平方根 (三)在求形如“”的等式中的值時易漏掉為負值的情況 中考試題研究 中考命題規(guī)律 本講是中考的熱點內(nèi)容,注重考查對概念、性質(zhì)和意義的理解,如平方根、算術平方根的概念以及它們的性質(zhì)和意義,另外對算術平方根非負性的考查也是重中之重,題型以填空題、選擇題為主,有時也與其他知識點綜合以解答題的形式出現(xiàn). 中考試題 (一)平方根、立方根、算術平方根的概念、性質(zhì) (二)算術平方根的非負性 第4講 實數(shù) 知識能力解讀 知能解讀 (一)無理數(shù)、實數(shù)的定義及分類 1.無理數(shù)的定義 無限不循環(huán)小數(shù)叫作無理數(shù). 點撥:判斷一個數(shù)是不是無理數(shù),應看這個數(shù)是否滿足“小數(shù)”“無限”和“不循環(huán)”這三個條件. 2.實數(shù)的定義及分類 有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱實數(shù),實數(shù)分類如下: (1)按定義分類 實數(shù) (2)按性質(zhì)分類 正實數(shù) 正有理數(shù) 實數(shù) 正無理數(shù) 零 負實數(shù) 負有理數(shù) 負無理數(shù) (二)實數(shù)的有關性質(zhì) 數(shù)的范圍從有理數(shù)擴充到實數(shù)以后,實數(shù)范圍內(nèi)的相反數(shù)、絕對值的意義和有理數(shù)范圍內(nèi)的相反數(shù)、絕對值的意義完全一樣. (1)實數(shù)的相反數(shù)為;0的相反數(shù)是其本身;若與互為相反數(shù),則,反之亦然. (2)實數(shù)的絕對值表示為;一個正實數(shù)的絕對值是它本身,一個負實數(shù)的絕對值是它的相反數(shù),0的絕對值是0,即. (3)實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應的,每一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點來表示;反過來,數(shù)軸上的每一個點都表示一個實數(shù). 點撥:已知實數(shù),在數(shù)軸上對應的點分別為,,則用,分別表示點、點到原點的距離;表示點到點的距離.這是絕對值的幾何意義. 與規(guī)定有理數(shù)的大小一樣,對于數(shù)軸上的兩個點,右邊的點表示的實數(shù)總比左邊的點表示的實數(shù)大. (三)實數(shù)的運算 實數(shù)和有理數(shù)一樣,可進行加、減、乘、除、乘方、開方運算;有理數(shù)范圍內(nèi)的運算律、運算法則在實數(shù)范圍內(nèi)仍適用. 交換律:,; 結(jié)合律:,; 分配律:. (四)實數(shù)的大小比較 (1)數(shù)軸比較法: (2)代數(shù)比較法; (3)差值比較法; (4)商值比較法; (5)倒數(shù)比較法:若,,,則; (6)平方比較法:若,,,則; (7)開方比較法:若,,,則; (8)估算法:在實數(shù)的大小比較中,當遇到無理數(shù)時,可以按照所要求的精確度用相應的近似有限小數(shù)去代替,再進行比較. 方法技巧歸納 方法技巧 (一)無理數(shù)的識別 識別無理數(shù),常常與有理數(shù)綜合在一起進行辨析,主要把握“無限”和“不循環(huán)”兩個特點. 初中所學的無理數(shù)歸納起來有三類: (1)開方開不盡的數(shù)的方根,如;(2)化簡后含有的數(shù),如;(3)特殊結(jié)構(gòu)的無限不循環(huán)小數(shù)(構(gòu)造型的無理數(shù)),如(相鄰兩個2之間依次多一個0). (二)實數(shù)大小比較的方法 實數(shù)的大小比較包括有理數(shù)的大小比較和無理數(shù)的大小比較,另外還包括有理數(shù)與無理數(shù)的大小比較.有時綜合多個知識點進行考查.常用的方法有特殊值法、平方法等. (三)實數(shù)與數(shù)軸的關系 所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點來表示,但數(shù)軸上的點不全表示有理數(shù),因此有理數(shù)與數(shù)軸上的點之間不是一一對應關系;所有的無理數(shù)都能用數(shù)軸上的點來表示,但數(shù)軸上的點并不都表示無理數(shù),所以無理數(shù)與數(shù)軸上的點也不是一一對應關系;數(shù)軸上的每一個點都表示實數(shù),且所有的實數(shù)都能用數(shù)軸上的點來表示,所以實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應關系. 拓展:有序?qū)崝?shù)對與坐標平面上的點之間也是一一對應關系. (四)實數(shù)的運算 當數(shù)的范圍從有理數(shù)擴充到實數(shù)以后,實數(shù)之間不僅可以進行加、減、乘、除(除數(shù)不為0)、乘方運算,而且正數(shù)及0可以進行開平方運算,任意一個實效可以進行開立方運算.在進行實數(shù)運算時,有理數(shù)的運算法則及運算律等同樣適用. (五)實數(shù)性質(zhì)的應用 (六)借助數(shù)軸化簡 易混易錯辨析 易混易錯知識 1.對無理數(shù)的概念理解不透徹,只看表面形式. (1)帶根號的不一定都是無理數(shù),如是有理數(shù); (2)不帶根號的不一定不是無理數(shù),如是無理數(shù). 2.誤認為有分數(shù)線的數(shù)就是分數(shù),導致判斷失誤,如不是分數(shù),它是無理數(shù). 3.混淆有理數(shù)與數(shù)軸和實數(shù)與數(shù)軸的關系,誤認為有理數(shù)和數(shù)軸上的點也是一一對應的. 易混易錯 混淆無理數(shù)與有理數(shù) 中考試題研究 中考命題規(guī)律 本講主要考查實數(shù)的概念、性質(zhì)及計算,尤其是實數(shù)的大小比較、實數(shù)與數(shù)軸的關系、實數(shù)中的新定義運算及規(guī)律探究等,是中考熱點,無理數(shù)的估算是近幾年中考的熱點題目.題型以填空題、選擇題為主. 中考試題 (一)實數(shù)的大小比較 (二)無理數(shù)的估算 (三)無理數(shù)的識別 (四)實數(shù)的運算 (五)實數(shù)中的新定義題 (六)實數(shù)運算中的規(guī)律探究問題(探究性考點)- 配套講稿:
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