中考數(shù)學(xué) 知識(shí)點(diǎn)聚焦 第十三章 圖形的初步認(rèn)識(shí)

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專(zhuān)題五 空間圖形與幾何初步 第十三章 圖形的初步認(rèn)識(shí) 考情分析 高頻考點(diǎn) 考查頻率 所占分值 1.正方體的表面開(kāi)展圖 ★★ 3～6分 2.兩條直線相交問(wèn)題 ★ 3.兩點(diǎn)之間，線段最短 ★ 4.尺規(guī)作圖作一條線段等于已知線段 ★ 5.角的和、差、倍、分 ★★ 6.角的互余、互補(bǔ) ★★ 7.垂線的性質(zhì) ★ 8.平行線的判定和性質(zhì) ★★★ 9.對(duì)頂角 ★ 知能圖譜 第28講 幾何圖形 知識(shí)能力解讀 知能解讀（一）幾何圖形 長(zhǎng)方體、圓柱、球、長(zhǎng)（正）方形、圓、線段、點(diǎn)等，以及小學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)的三角形、四邊形等，都是從形形色色的物體外形中得出的，它們都是幾何圖形.幾何圖形是數(shù)學(xué)研究的主要對(duì)象之一. 點(diǎn)撥 （1）幾何圖形只關(guān)注物體的形狀、大小和位置. （2）幾何圖形都是從實(shí)際物體中抽象出來(lái)的，與實(shí)物有一定的差距，只是形式而已. 知能解讀（二）立體圖形 （1）定義：有些幾何圖形（如長(zhǎng)方體、正方體、圓柱、圓錐、球等）的各部分不都在同一平面內(nèi)，它們是立體圖形. （2）常見(jiàn)的立體圖形： 知能解讀（三）平面圖形 有些幾何圖形（如線段、角、三角形、長(zhǎng)方形、圓等）的各部分都在同一平面內(nèi)，它們都是平面圖形. 點(diǎn)撥 雖然立體圖形和平面圖形是兩類(lèi)不同的幾何圖形，但它們是互相聯(lián)系的.立體圖形中某些部分是平面圖形，例如長(zhǎng)方體的側(cè)面是長(zhǎng)方形. 知能解讀（四）立體圖形的展開(kāi)圖 有些立體圖形是由一些平面圖形圍成，將它們的表面適當(dāng)剪開(kāi)，可以展開(kāi)成平面圖形.這樣的平面圖形稱(chēng)為相應(yīng)立體圖形的展開(kāi)圖. 幾種常見(jiàn)立體圖形的展開(kāi)圖如下表： 名稱(chēng) 正方體 長(zhǎng)方體 無(wú)棱柱 圓柱 圓錐 立體 圖形 展開(kāi)圖 （舉例） 點(diǎn)撥 （1）不是所有的立體圖形都可以展開(kāi)，如球體就不能展開(kāi). （2）對(duì)于同一個(gè)立體圖形，按不同的方式展開(kāi)，可以得到不同的平面圖形. 知能解讀（五）點(diǎn)、線、面、體 （1）體：幾何體液簡(jiǎn)稱(chēng)體. 面：包圍著體的是面.面有平的面和曲的面兩種. 線：面和面相交的地方形成線.線有直線和曲線之分. 點(diǎn)：線與線相交的地方是點(diǎn). （2）點(diǎn)動(dòng)成線，線動(dòng)成面，面動(dòng)成體. 點(diǎn)撥 幾何圖形都是由點(diǎn)、線、面、體組成的，點(diǎn)是構(gòu)成圖形的基本元素. 方法技巧歸納 方法技巧（一）根據(jù)立體圖形的概念識(shí)別立體圖形 要準(zhǔn)確地識(shí)別立體圖形，首先應(yīng)對(duì)照基本圖形把握其根本特征. 點(diǎn)撥 首先區(qū)分是柱體還是椎體，然后再看底面是圓還是多邊形. 方法技巧（二）立體圖形展開(kāi)的識(shí)別 由立體圖形的展開(kāi)圖可以識(shí)別出立體圖形的形狀，具體方法是：展開(kāi)圖中有圓，一般考慮圓柱或圓錐；展開(kāi)圖中有三角形，一般考慮圓柱或圓錐；展開(kāi)圖中有三角形，一般考慮棱柱或棱錐；展開(kāi)圖中只有長(zhǎng)方形或正方形，一般考慮棱柱. 點(diǎn)撥 （1）對(duì)簡(jiǎn)單立體圖形的展開(kāi)圖進(jìn)行識(shí)記；（2）對(duì)柱體和椎體的展開(kāi)圖的特征進(jìn)行比較. 方法技巧（三）由平面圖形旋轉(zhuǎn)成立圖形的識(shí)別 識(shí)別由平面圖形旋轉(zhuǎn)成的立體圖形時(shí)，首先要弄清楚旋轉(zhuǎn)軸.同一個(gè)平面圖形，旋轉(zhuǎn)軸不同，得到的立體圖形也不同，可以實(shí)際操作一下，然后想象圖形. 方法技巧（四）整體表面展開(kāi)圖的應(yīng)用 正方體的表面展開(kāi)圖有多種，正方體中相對(duì)面的確定等知識(shí)是常考內(nèi)容，正方體表面展開(kāi)圖，正方體表面展開(kāi)圖有以下幾個(gè)特點(diǎn)：（1）正方體的表面展開(kāi)圖中，一條直線上的小正方形不會(huì)超過(guò)四個(gè)；（2）正方體的表面展開(kāi)圖中不會(huì)有“田”與“凹”字型；（3）相間的兩個(gè)小正方形（中間隔著一個(gè)小正方形）是正方體的兩個(gè)對(duì)面“ ”型兩端處的小正方形是正方體的對(duì)面；（4）中間隔著兩個(gè)小正方形或拐角型的三個(gè)面的正方體的鄰面. 正方體的表面展開(kāi)圖共有11種，如圖所示. 點(diǎn)撥 在正方體的展開(kāi)圖中，相鄰的兩個(gè)正方形是正方體中相鄰的兩個(gè)，當(dāng)正方體相對(duì)的兩個(gè)面在展開(kāi)圖中的同行或同列時(shí)，中間隔一個(gè)正方形. 易混易錯(cuò)辨析 易混易錯(cuò)辨析 1.對(duì)正方體表面展開(kāi)圖掌握不好致錯(cuò). 2.棱柱與棱錐. 區(qū)別：棱柱屬于柱體，它的上下兩個(gè)底面是兩個(gè)相同的多邊形；而凌錐屬于椎體，它只有一個(gè)底面，且是多邊形. 3.圓柱和棱柱 區(qū)別：圓柱和棱柱都屬于柱體，但圓柱的地面是圓，側(cè)面是曲面；而棱柱的底面是多邊形，側(cè)面是平面. 4.圓錐和棱錐 區(qū)別：圓錐和棱錐都屬于椎體，但圓錐的底面是圓，側(cè)面是曲面；而棱錐的地面是多邊形，側(cè)面是平面. 易混易錯(cuò)（一）對(duì)例題圖形的分類(lèi)沒(méi)有理清而致錯(cuò) 易混易錯(cuò)（二）對(duì)幾何體的表面展開(kāi)圖只注意到面的個(gè)數(shù)，忽視能否還原為原來(lái)的幾何體致錯(cuò) 中考試題研究 中考命題規(guī)律 本將內(nèi)容在中考中主要考查立體圖形的識(shí)別及其平面展開(kāi)圖，通常以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，有利于考查空間想象能力和動(dòng)手操作能力. 中考試題（一）識(shí)別幾何體的表面展開(kāi)圖 中考試題（二）識(shí)別正方體相對(duì)面上的文字 中考試題（三）識(shí)別正方體的表面展開(kāi)圖 第29講 直線、射線與線段 知識(shí)能力解讀 知能解讀 （1）基本事實(shí)：經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)有一條直線，并且知能有一條直線.簡(jiǎn)單說(shuō)成：兩點(diǎn)確定一條直線. （2）直線的表示方法：①可以用一個(gè)小寫(xiě)資本來(lái)表示，如圖所示的直線可記作“直線”；②也可以用這條直線上的兩個(gè)點(diǎn)來(lái)表示，如圖所示的直線也可以記作“直線”或“直線”，其中為直線上的任意兩個(gè)點(diǎn). （3）點(diǎn)與直線的關(guān)系：點(diǎn)在直線上，也可以說(shuō)成直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（如圖所示）；點(diǎn)不在直線上，也可以說(shuō)成直線不過(guò)經(jīng)點(diǎn)，或點(diǎn)在直線外（如圖所示）. （4）交點(diǎn)：當(dāng)兩條不同的直線有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，我們就稱(chēng)這兩條直線相交，這個(gè)公共點(diǎn)叫做它們的交點(diǎn).如直線與直線相交于點(diǎn)，如圖所示. 點(diǎn)撥 （1）直線無(wú)粗細(xì)、沒(méi)有端點(diǎn)、向兩方無(wú)限延伸，不能度量. （2）直線基本事實(shí)中的“有且只有”有兩層含義，“有”說(shuō)明存在一條直線，即確定有一條；“只有”說(shuō)明這條直線是“唯一”的. （3）兩條不重合的直線最多有一個(gè)交點(diǎn)條直線相交最多有個(gè)交點(diǎn). （4）平面上的兩條直線，有相交和不相交兩種位置關(guān)系. 知能解讀（二）射線與線段 射線和線段都是直線的一部分.類(lèi)似于直線的表示，我們可以用圖所示的方式來(lái)表示線段（或線段），其中、點(diǎn)是線段的端點(diǎn).用圖所示的方式來(lái)表示射線，其中點(diǎn)是射線的端點(diǎn). 點(diǎn)撥 （1）線段有長(zhǎng)短（可以度量），但線段沒(méi)有方向，表示線段的兩個(gè)大寫(xiě)字母沒(méi)有順序. （2）表示射線時(shí)，一定要把表示端點(diǎn)的字母寫(xiě)在前面. （3）端點(diǎn)不同，所表示的射線不同；端點(diǎn)相同，延伸方向不同，所表示的射線也不同；只有端點(diǎn)相同，并且延伸方向也相同時(shí)，才是同一條射線. 知能解讀（三）直線、射線、線段的區(qū)別與聯(lián)系 直線、射線、線段之間的區(qū)別與聯(lián)系見(jiàn)下表： 名稱(chēng) 類(lèi)別 直線 射線 線段 區(qū)別 圖例 概念 線段向兩個(gè)方向無(wú)限延伸，得到直線 線段向一個(gè)方向無(wú)限延伸，就形成了射線 拔河時(shí)，拉直的繩子給遠(yuǎn)處的觀眾一條線段的形象 表示方法 直線或直線 射線（注：必須在的前面）或射線 線段或線段 端點(diǎn)個(gè)數(shù) 0 1 2 延伸性 向兩個(gè)方向無(wú)限延伸 向一個(gè)方向無(wú)限延伸 有限長(zhǎng) 長(zhǎng)度 不能度量 不能度量 能度量 聯(lián)系 射線、線段都是直線的一部分，線段向一個(gè)方向無(wú)限延伸就得到射線，向兩個(gè)方向無(wú)限延伸就得到直線 知能解讀（四）關(guān)于線段都的基本事實(shí) 兩點(diǎn)的所有連線中，線段最短.簡(jiǎn)單說(shuō)成：兩點(diǎn)之間，線段最短. 知能解讀（五）兩個(gè)重要概念 （1）兩點(diǎn)的距離：連接兩點(diǎn)間的線段的長(zhǎng)度，叫作這兩點(diǎn)的距離. 注意：距離線段的長(zhǎng)度，不能僅說(shuō)成線段，線段是一個(gè)幾何圖形. （2）線段的中點(diǎn)：如圖所示，點(diǎn)把線段分成相等的兩條線段與，點(diǎn)叫作線段的中點(diǎn). 點(diǎn)撥 常用以下式子表示點(diǎn)是線段的中點(diǎn)：①；②；③. 知能解讀（六）線段的畫(huà)法及線段長(zhǎng)短的比較 （1）線段的畫(huà)線：①用刻度尺測(cè)量后再畫(huà)圖；②借助直尺和圓規(guī)作圖. 例：如圖所示，作一條線段，使其等于已知線段. 作法：①先做一條射線； ②用圓規(guī)量取已知線段； ③在射線上以為圓心截取，則線段為所求線段，如圖所示. 這是第一個(gè)基本作圖，應(yīng)熟練掌握. （2）線段長(zhǎng)短的比較. ①疊合法：先把兩條線段放在同一條直線上，讓其一端重合，再看另一端的位置，從而確定兩條線段的長(zhǎng)短，這是從“形”的方面來(lái)進(jìn)行比較. ②度量法：利用刻度尺，量出，每條線段的長(zhǎng)度，再根據(jù)度量的結(jié)果確定兩條線段的長(zhǎng)短，這是從“數(shù)”的方面來(lái)進(jìn)行比較，線段的長(zhǎng)短關(guān)系和它們的長(zhǎng)度大小關(guān)系是一致的. 方法技巧歸納 方法技巧（一）直線、射線、線段的識(shí)別及表示方法 識(shí)別時(shí)應(yīng)根據(jù)它們各自的特征，“無(wú)始無(wú)終”的是直線，“有始有終”的是線段，“有始無(wú)終”的是射線.表示時(shí)注意射線端點(diǎn)必須在前. 注意 數(shù)射線的關(guān)鍵是找準(zhǔn)端點(diǎn)，表示時(shí)端點(diǎn)要寫(xiě)在前面. 方法技巧（二）關(guān)于直線和線段基本事實(shí)的應(yīng)用 關(guān)于直線的基本事實(shí)：兩點(diǎn)確定的一條直線；關(guān)于直線的基本事實(shí)；兩點(diǎn)之間，線段最短.這兩條基本事實(shí)在實(shí)際生活中有廣泛的應(yīng)用，應(yīng)注意識(shí)別. 點(diǎn)撥 本題是兩個(gè)基本事實(shí)在生活中的應(yīng)用，要注意學(xué)會(huì)將生活中的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題，利用數(shù)學(xué)原理來(lái)解釋. 方法技巧（三）規(guī)律探究技巧 在識(shí)別平面內(nèi)直線分平面部分?jǐn)?shù)，直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，探究線段、射線或直線條數(shù)時(shí)，一般先從較簡(jiǎn)單的情形入手，通過(guò)發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，然后加以總結(jié). 點(diǎn)撥 （1）事實(shí)上，直線之間的交點(diǎn)個(gè)數(shù)越多，直線將平面分成部分就越多.（2）從簡(jiǎn)單情形入手，探索、發(fā)現(xiàn)、總結(jié)規(guī)律是常用的數(shù)學(xué)方法. 方法技巧（四）線段的有關(guān)計(jì)算技巧 求線段長(zhǎng)度時(shí)，如果直接求解有困難，可采取設(shè)未知數(shù)建立方程的方法進(jìn)行. 點(diǎn)撥 列方程進(jìn)行機(jī)損是常用的方法，應(yīng)注意掌握. 點(diǎn)撥 依據(jù)線段中點(diǎn)的定義和所分的兩條線段相等，再根據(jù)線段和、差、倍、分關(guān)系求線段的長(zhǎng).在解答此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，既要結(jié)合圖形分析已知線段和所求線段的位置關(guān)系，又要體會(huì)比較簡(jiǎn)捷的解題方法. 易混易錯(cuò)辨析 易混易錯(cuò)知識(shí) 1.直線、射線、線段的表示法. 區(qū)別：直線、射線和線段都可以用兩個(gè)大寫(xiě)字母表示，但是它們的要求是不一樣的，表示直線和線段的兩個(gè)大寫(xiě)字母沒(méi)有先后順序，但表示射線的兩個(gè)大寫(xiě)字母中端字母必須在前面. 2.線段外一點(diǎn)和直線外一點(diǎn)易混淆. 區(qū)別：線段外一點(diǎn)有兩種情況，一是點(diǎn)在線段所在的直線上但在線段的兩個(gè)端點(diǎn)的外部；二是點(diǎn)在線段所在直線的外部.而直線外一點(diǎn)只有一種情況，就是點(diǎn)在直線外. 易混易錯(cuò)（一）不能把握直線、射線、線段的根本特征而致誤 易混易錯(cuò)（二）點(diǎn)的位置不確定，造成漏解 易混易錯(cuò)（三）出現(xiàn)數(shù)重或漏數(shù)錯(cuò)誤 中考試題研究 中考命題規(guī)律 本講內(nèi)容在中考中主要考查兩點(diǎn)確定一條直線及兩點(diǎn)之間，線段最短的性質(zhì)，線段的和、差級(jí)線段的中點(diǎn)等概念，對(duì)兩點(diǎn)之間的距離也常涉及，常以填空題、選擇題的形式出現(xiàn)，有時(shí)也計(jì)算題或探究題的形式出現(xiàn). 中考試題（一）運(yùn)用之前的基本事實(shí) 中考試題（二）運(yùn)用線段的基本事實(shí) 中考試題（三）利用線段的中點(diǎn)計(jì)算 第30 講 角 知識(shí)能力解讀 知識(shí)解讀（一）角的概念及表示方法 1角的概念 （1）有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫作角，這個(gè)公共端點(diǎn)是角的頂點(diǎn)，這兩條射線是角的兩條邊. （2）角也可以看作是由一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形. （3）射線旋轉(zhuǎn)時(shí)經(jīng)過(guò)的平面部分稱(chēng)為角的內(nèi)部，平面其余部分稱(chēng)為角的外部. 注意 角的大小只與開(kāi)口大小有關(guān)，而與角的邊的長(zhǎng)短無(wú)關(guān)，因?yàn)榻堑膬蛇吺巧渚€. 2角的表示方法 角可用大寫(xiě)英文字母、阿拉伯?dāng)?shù)字或小寫(xiě)的希臘字母表示，具體的有四種表示方法： （1）用數(shù)字表示單獨(dú)的一個(gè)角，如圖所示的等； （2）用小寫(xiě)的希臘字母表示單獨(dú)的一個(gè)角，如圖所示的等； （3）用一個(gè)大寫(xiě)英文字母表示一個(gè)獨(dú)立的角（在一個(gè)頂點(diǎn)處只有一個(gè)角），如圖1-30-1所示的等； （4）用三個(gè)大寫(xiě)英文字母能表示出任一個(gè)角，如圖所示的等，注意頂點(diǎn)字母必須寫(xiě)在中間. 知能解讀（二）角的比較 （1）度量法：如圖所示，用量角器量得，所以. （2）疊合法：如圖所示，把一個(gè)角放到另一個(gè)角上，使它們的頂點(diǎn)重合，器重的一邊也重合，并使這兩個(gè)角的另一邊都在重合的同側(cè)，其大小關(guān)系就明顯了，由圖可知，. 注意 （1）角可以度量，可以比較大小，也可以參與運(yùn)算.（2）用疊合法比較角的大小注意三點(diǎn)；①角的頂點(diǎn)重合；②角的一邊重合；③另一邊落在重合邊的同側(cè). :知能解讀（三）角的畫(huà)法 方法1：畫(huà)一個(gè)角等于已知角，可用量角器先測(cè)定已知角的度數(shù)，再用量角器畫(huà)與已知角相等的角. 方法2：用圓規(guī)和直尺畫(huà)一個(gè)角等于已知角. 例如：如圖所示，已知. 求作：，使. 作法：（1）以為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑作弧，交于點(diǎn); （2）作射線，以為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，交于點(diǎn)； （3）以為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，交弧于點(diǎn)； （4）過(guò)點(diǎn)作射線，則即為所求. 注意 方法2用圓規(guī)、直尺畫(huà)角是基本作圖，也在中考命題范圍之內(nèi). 知能解讀（四）角的和、差、倍、分 （1）角的和、差 如圖①所示，如圖將與的頂點(diǎn)重合，再將的一邊與的一邊重合，并使兩個(gè)角的另一邊分別在重合邊的兩側(cè)，它們不重合的兩邊組成，這時(shí)就說(shuō)是與的和，記作.此時(shí)是與的差，記作；是與的差，記作. （2）角的倍、分 如圖②所示，用上述方法將兩個(gè)拼在一起得到，這時(shí)就說(shuō)是的2倍，記作或是的，記作.類(lèi)似地，將三個(gè)拼在一起得到時(shí)，. 知能解讀（五）角平分線 一般地，從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角的射線，叫作這個(gè)角的平分線.常用以下三類(lèi)數(shù)學(xué)式子表示角的平分線：如圖所示，①；②；③. 注意 角平分線是一條射線，而不是一條直線或線段.角平分線把一個(gè)角分成兩個(gè)相等的角. 知能解讀（六）角的度量單位及換算 我們常用量角器度量角，度、分、秒是常用的角的度量單位. 把一個(gè)周角360等分，每一份就是1度的角，把1度的角60等分，每一份就是1分的角，把1分的角60等分，每一份就是1秒的角.1度記作，1分記作，1秒記作.，. 即：；... 點(diǎn)撥 （1）度、分、秒之間是60進(jìn)制，這和計(jì)量時(shí)間的單位時(shí)、分、秒是一樣的. （2）使用量角器時(shí)，注意量角器的零刻度的讀數(shù)的旋轉(zhuǎn)方向，即選擇內(nèi)刻度、外刻度的讀數(shù). （3）以、度、分、秒為單位的角的度量制，叫作角度制.此外，還有其他度量角的單位制，如以弧度為基本度量單位的弧度制. 知能解讀（七）互為余角和互為補(bǔ)角 （1）如圖兩個(gè)角的和是，那么這兩個(gè)角互為余角，其中一個(gè)角是另一個(gè)角的余數(shù).銳角的余角為. （2）如果兩個(gè)角的和是，那么這兩個(gè)角互為補(bǔ)角，其中一個(gè)角是另一個(gè)角的補(bǔ)角.角的補(bǔ)角是. （3）互余、互補(bǔ)的性質(zhì)；同角（等角）的余角相等；同角（等角）的補(bǔ)角相等. 注意 （1）余角和補(bǔ)角是關(guān)于兩個(gè)角的關(guān)系的概念，不能單獨(dú)說(shuō)哪一個(gè)角是余角或補(bǔ)角. （2）兩個(gè)角互余或互補(bǔ)只是兩個(gè)角的和為或，與位置無(wú)關(guān). （3）兩個(gè)角互余，則這兩個(gè)角一定都是銳角.兩個(gè)角互補(bǔ)，這兩個(gè)角可能都是直角.也可能一個(gè)角是銳角，另一個(gè)角為鈍角. 知能解讀（八）用角度表示方向 方位角是從正北或正南方向到目標(biāo)方向所成的小于九十度的角.例：如圖所示，方向可表示為北偏西 方法技巧歸納 方法技巧（一）角的識(shí)別和表示法 角的識(shí)別關(guān)鍵是找角的頂點(diǎn)，再找角的兩邊，在表示角時(shí)，注意一個(gè)大寫(xiě)字母只能表示一個(gè)獨(dú)立角，三個(gè)大寫(xiě)字母可以表示任意的角，而且要把表示頂點(diǎn)的字母寫(xiě)在中間. 點(diǎn)撥 （3）中關(guān)鍵詞是“只能”（即不能用另外的表示方法）二字，因此在找角時(shí)要按照要求去做. 方法技巧（二）利用角平分線的定義求角的度數(shù)的方法 角的平分線提供了角的相等或倍分關(guān)系，把這些關(guān)系與已知角聯(lián)系起來(lái)，可以求出相關(guān)角的度數(shù). 在有關(guān)角的度數(shù)的計(jì)算題中，有些題目設(shè)有給出圖形，當(dāng)畫(huà)出符合題意的圖形不唯一時(shí)，要注意分情況進(jìn)行討論. 點(diǎn)撥 根據(jù)解題的需要，角平分線的定義既可以寫(xiě)作兩角相等的形式，也可以寫(xiě)作一個(gè)角是另一個(gè)角2倍的形式，還可以寫(xiě)作一個(gè)角是另外一個(gè)半的形式，應(yīng)靈活選擇.同時(shí)在計(jì)算中應(yīng)注意“整體代入思想”的運(yùn)用. 方法技巧（三）度、分、秒的換算 把度換算成度、分、秒時(shí)要乘進(jìn)率，而把度、分、秒轉(zhuǎn)化為度時(shí)，要除以進(jìn)率，換算時(shí)要逐級(jí)進(jìn)行，不可越級(jí)轉(zhuǎn)化. 點(diǎn)撥 將的形式化為度、分、秒的形式時(shí)，先取度整數(shù)后的剩余部分成60，再取乘積整數(shù)后的剩余部分乘60，最后以度、分、秒的形式寫(xiě)出來(lái)；將度、分、秒的形式化成度的形式的方法是. 方法技巧（四）余角和補(bǔ)角的有關(guān)計(jì)算 根據(jù)余角和補(bǔ)角的定義，銳角的.個(gè)別復(fù)雜些的問(wèn)題，可列方程求解. 點(diǎn)撥 本題求角度可以利用方程求解，可以直接設(shè)未知數(shù)，也可以間接設(shè)未知數(shù). 點(diǎn)撥 在計(jì)算有關(guān)余角、補(bǔ)角或與角度有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，多數(shù)用列方程的方法求解. 方法技巧（五）鐘表上的角度問(wèn)題 我們知道，時(shí)鐘（如圖所示）是測(cè)量時(shí)間的工具，時(shí)間的長(zhǎng)與短、多與少都可以通過(guò)指針的指向來(lái)判斷.在幾何中，機(jī)械時(shí)鐘的指針還給了我們角的直觀形象.在時(shí)鐘的表盤(pán)上，分針每分鐘轉(zhuǎn)，時(shí)針每小時(shí)轉(zhuǎn)，每分鐘轉(zhuǎn).知道這些關(guān)系，就可輕松解決時(shí)鐘問(wèn)題了. 點(diǎn)撥 鐘表中時(shí)針與分針的夾角問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為行程與角的應(yīng)用題，采用方程的思想來(lái)解決，使復(fù)雜的問(wèn)題變得直觀，易于解決. 易混易錯(cuò)辨析 易混易錯(cuò)只是 1.互余、互補(bǔ)概念混淆. 互余、互補(bǔ)是指兩個(gè)角之間的一種關(guān)系，若三個(gè)角的和等于（或），不能說(shuō)這三個(gè)角互余（或互補(bǔ)）. 2.角的換算單位與數(shù)的換算單位混淆. 區(qū)別：角的換算單位之間的進(jìn)率是60，而數(shù)的換算單位之間的進(jìn)率是10. 易混易錯(cuò)（一）對(duì)角的概念理解不清而致錯(cuò) 易混易錯(cuò)（二）考慮問(wèn)題不全面致錯(cuò) 中考試題研究 中考命題規(guī)律 本講知識(shí)在中考中重點(diǎn)考查角的分類(lèi)，角的大小比較及有關(guān)計(jì)算，互余、互補(bǔ)等知識(shí)，利用角平分線以及角的和差進(jìn)行角的計(jì)算，常以填空題、選擇題的形式出現(xiàn)，今年來(lái)又出現(xiàn)了對(duì)角的個(gè)數(shù)的規(guī)律探究方面的考查. 中考試題（一）角的運(yùn)算 中考試題（二）余角、補(bǔ)角的識(shí)別 中考試題（三）余角、補(bǔ)角的有關(guān)計(jì)算 中考試題（四）方位角的識(shí)別 第31講 相交線、平行線 知識(shí)能力解讀 知能解讀（一）鄰補(bǔ)角、對(duì)頂角的概念 1鄰補(bǔ)角 如圖所示，和有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長(zhǎng)線（與互補(bǔ)），具有這種關(guān)系的兩個(gè)角，互為鄰補(bǔ)角. 2對(duì)頂角 定義：如圖所示，和有一個(gè)公共頂點(diǎn)，并且的兩邊分別是的兩邊的反向延長(zhǎng)線，具有這種位置關(guān)系的兩個(gè)角，互為對(duì)頂角. 性質(zhì)：對(duì)頂角相等. 注意 對(duì)頂角的特征：①對(duì)頂角由兩條直線相交形成，同時(shí)形成兩對(duì)對(duì)頂角；②成對(duì)頂角的兩個(gè)角有公共的頂點(diǎn)；③一個(gè)角的兩邊分別是另一個(gè)角的兩邊的反向延長(zhǎng)線. 知能解讀（二）垂線的定義、性質(zhì) 1垂線的定義 如圖所示，直線與相交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，我們說(shuō)直線與直線互相垂直，記作. 垂直是相交的一種特殊情形，兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫作另一條直線的垂直線.它們的交點(diǎn)叫作垂足. 2垂線的性質(zhì) （1）基本事實(shí)：在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有條直線與已知直線垂直. 注意 （1）應(yīng)用以上性質(zhì)必須強(qiáng)調(diào)“在同一平面內(nèi)”，否則，在空間里，經(jīng)過(guò)直線上一點(diǎn)與已知直線垂直的直線有無(wú)數(shù)條；（2）“過(guò)一點(diǎn)”中的一點(diǎn)可以是直線外一點(diǎn)，也可以是直線上一點(diǎn)；（3）“有且只有”說(shuō)明了垂線的存在性和唯一性. （2）連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中的垂線段最短.簡(jiǎn)單說(shuō)成：垂線段最短. 注意 垂線與垂線段都具有垂直已知直線的特征，但垂線是一條直線，不能度量，而垂線段是一條線段，可以度量，它是垂線的一部分. 知能解讀（三）點(diǎn)到直線的距離 直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫作到直線的距離. 注意 距離是一個(gè)數(shù)量，而不是一個(gè)線段，所以點(diǎn)到直線的距離強(qiáng)調(diào)的是垂線段的長(zhǎng)度. 區(qū)分兩點(diǎn)間的距離與點(diǎn)到直線的距離，如下表： 兩點(diǎn)間的距離 點(diǎn)到直線的距離 定義 連接兩點(diǎn)的線段的長(zhǎng)度 從直線外一點(diǎn)到這條之心啊的垂線段的長(zhǎng)度 性質(zhì) 兩點(diǎn)之間，線段最短 垂線段最短 知能解讀（四）同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁?xún)?nèi)角的概念 如圖所示，直線被第三條直線所截，構(gòu)成八個(gè)角，簡(jiǎn)稱(chēng)“三線八角”. （1）同位角：與，與，與，與，它們分別在直線的同一方，且在直線的同側(cè)，具有這種位置關(guān)系的一對(duì)角叫作同位角. （2）內(nèi)錯(cuò)角：與，與，它們都在直線之間，并且分別在直線兩側(cè)，具有這種位置關(guān)系的一對(duì)角叫作內(nèi)錯(cuò)角. （3）同旁?xún)?nèi)角：與，與，它們都在直線之間，又在直線的同一旁，具有這種位置關(guān)系的一對(duì)角叫作同旁?xún)?nèi)角. 注意 （1）這三類(lèi)角指的都是位置關(guān)系，而不是大小關(guān)系. （2）這三類(lèi)角沒(méi)有公共頂點(diǎn)，都是成對(duì)出現(xiàn)的. 知能解讀（五）平行線的概念及平行公理 1平行線的概念 在同一平面內(nèi)，直線與不相交時(shí)，我們說(shuō)線與互相平行，記作. 注意 （1）平行線無(wú)論怎樣延伸也不相交. （2）今后遇到線段、射線平行時(shí)，指線段、射線所在的直線平行. （3）在同一平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系只有兩種：相交和平行. 2平行公理及推論 平行公理：經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行. 注意 （1）以上結(jié)論所的是經(jīng)過(guò)“直線外一點(diǎn)”，若經(jīng)過(guò)直線上的一點(diǎn)作已知直線的平行線，就與已知直線重合了.（2）“有且只有”指出了過(guò)直線外一點(diǎn)作這條直線的平行線的“存在性”和“唯一性”. 推論：如圖兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.也就是說(shuō)：如果，那么（如圖所示）. 知能解讀（六）平行線的判定 （1）同位角相等，兩直線平行；（2）內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；（3）同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行. 知能解讀（七）平行線的性質(zhì) （1）兩直線平行，同位角相等；（2）兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；（3）兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ). 知能解讀（八）平行線間的距離 （1）如果兩條直線平行，那么其中一條直線上每個(gè)點(diǎn)到另一條直線的距離都相等.這個(gè)距離，叫作這兩條平行線之間的距離. 注意 （1）對(duì)于平面內(nèi)角的兩條直線，只有平行線才有距離，兩條相交直線不存在距離. （2）求兩條平行線之間距離的方法：在兩條平行線中的任意一條上取任意一點(diǎn)作另一條直線的垂線段，垂線段的長(zhǎng)度是這兩條平行線之間的距離，實(shí)際上是把求兩條平行線間的距離轉(zhuǎn)化為求一點(diǎn)到一條直線的距離. （3）區(qū)分“垂線段”與“距離”，前者是形，后者是量，垂線段的長(zhǎng)度是距離. 方法技巧歸納 方法技巧（一）對(duì)頂角的識(shí)別方法 識(shí)別對(duì)頂角應(yīng)把握兩個(gè)條件：一是有公共頂點(diǎn)；二是角的兩邊互為反向延長(zhǎng)線.一般來(lái)說(shuō)，兩條直線相交，一定有對(duì)頂角產(chǎn)生. 點(diǎn)撥 對(duì)頂角的定義應(yīng)注意四點(diǎn)：（1）對(duì)頂角由兩條直線相交而成；（2）同時(shí)形成的有兩對(duì)對(duì)頂角；（3）成對(duì)頂角的兩個(gè)角有公共頂點(diǎn)；（4）一個(gè)角的兩邊分別是另一個(gè)角的兩邊的反向延長(zhǎng)線. 方法技巧（二）垂直的定義及性質(zhì)的應(yīng)用 進(jìn)行有關(guān)角的計(jì)算時(shí)，一遇到垂直就應(yīng)聯(lián)想到相交所成的四個(gè)角都是. 點(diǎn)撥 解決與垂直有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，通常利用互余、互補(bǔ)關(guān)系，對(duì)頂角及同等角或等角的余角相等，同角或等角的補(bǔ)角相等等條件來(lái)求解. 方法技巧（三）同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁?xún)?nèi)角的識(shí)別 要準(zhǔn)確地識(shí)別這三類(lèi)角，首先應(yīng)對(duì)照基本圖形，根據(jù)定義把握其位置特點(diǎn)，在遇到實(shí)際問(wèn)題時(shí)要找出哪兩條直線被哪一條直線所截，對(duì)于一些復(fù)雜圖形有時(shí)還需要把圖形分開(kāi)來(lái)識(shí)別. 識(shí)別方法如下： 角的 名稱(chēng) 位置特征 基本圖形 圖形結(jié)構(gòu)特征 截線的識(shí)別 同位線 在兩條被截直線同旁，在截線同側(cè) 形如字母“F”（或倒置、反置、旋轉(zhuǎn)） 兩角中共線的邊所在的直線是截線，不共線的邊所在的直線是被截線 內(nèi)錯(cuò)角 在兩條被截直線之間，在截線兩側(cè)（交錯(cuò)） 形如字母“Z” （或倒置、反置、旋轉(zhuǎn)） 同旁 內(nèi)角 在兩條被截直線之間，在截線同側(cè) 形如字母“U” （或倒置、反置、旋轉(zhuǎn)） 點(diǎn)撥 每對(duì)同位角、內(nèi)錯(cuò)角和同旁?xún)?nèi)角的頂點(diǎn)都不相同，且有一邊在同一條直線（截線）上，另一條邊分別在另兩條直線（被截線）上. 方法技巧（四）平行線的判定與性質(zhì)的綜合運(yùn)用 當(dāng)題目中出現(xiàn)平行線時(shí)，應(yīng)考慮有關(guān)角相等或互補(bǔ)這些性質(zhì). 點(diǎn)撥 本例是平行線性質(zhì)及判定的綜合運(yùn)用，這是與平行線有關(guān)問(wèn)題的常見(jiàn)形式.先應(yīng)用性質(zhì)，求得角相等（或互補(bǔ)），再對(duì)角與角之間進(jìn)行轉(zhuǎn)化，得到新的角相等（或互補(bǔ)），從而說(shuō)明又一組直線平行；或是先由一對(duì)角相等（或互補(bǔ)），推得兩直線平行，再證新的一對(duì)角相等（或互補(bǔ)），進(jìn)而得平行線. 方法技巧（五）輔助平行線的妙用 主要體現(xiàn)為求一些角的度數(shù)有困難時(shí)，通過(guò)作輔助線轉(zhuǎn)化為同位角、內(nèi)錯(cuò)角或同旁?xún)?nèi)角進(jìn)行求解. 點(diǎn)撥 此題不能直接接觸，需要添加與平行的直線，它為輔助線，用虛線畫(huà)出.添加輔助線的目的使問(wèn)題得以順利解決. 點(diǎn)撥 在這里作輔助線不能過(guò)點(diǎn)作，只能作其中一條直線的平行線，再說(shuō)明它與另一條直線也平行. 易混易錯(cuò)辨析 易混易錯(cuò)知識(shí) 1.互為補(bǔ)角與互為鄰補(bǔ)角. 區(qū)別：互補(bǔ)只強(qiáng)調(diào)兩個(gè)角之間的數(shù)量關(guān)系，而互為鄰補(bǔ)角不但要求兩角和，而且還從位置上要求兩個(gè)角必須有公共頂點(diǎn)和一條公共邊. 聯(lián)系：互為鄰補(bǔ)角是互為補(bǔ)角的特殊情況. 2.垂線段與點(diǎn)到直線的距離混淆. 區(qū)別：垂線段是圖形，而距離是線段的長(zhǎng)度. 3.在應(yīng)用平行線的判定和性質(zhì)時(shí)忽視條件. 在利用同位角相等、內(nèi)錯(cuò)角相等或同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)關(guān)系時(shí)，易忽略“兩直線平行”這個(gè)前提條件. 易混易錯(cuò) 不能準(zhǔn)確地識(shí)別“三線八角”致錯(cuò) 中考試題研究 中考命題規(guī)律 本講內(nèi)容是中學(xué)數(shù)學(xué)幾何部分的基礎(chǔ)內(nèi)容，多以填空題和選擇題以及簡(jiǎn)單的解答題形式出現(xiàn)，主要考查的內(nèi)容有：對(duì)頂角性質(zhì)的應(yīng)用，應(yīng)用垂直的定義講行相關(guān)計(jì)算，同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁?xún)?nèi)角概念的考查以及平行的條件；與平行四邊形、梯形、相似形（以后要講的知識(shí)）相結(jié)合的綜合題以及平行線的性質(zhì)和判定在其他學(xué)科中的應(yīng)用. 中考試題（一）對(duì)頂角的性質(zhì)的應(yīng)用 中考試題（二）平行條件的識(shí)別 中考試題（三）平行線的性質(zhì)與垂直的綜合運(yùn)用 中考試題（四）平行線判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用