八年級數(shù)學(xué)下冊 17 勾股定理教案 （新版）新人教版 (2)

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第十七章　勾股定理 17．1　勾股定理 第1課時　勾股定理(1) 了解勾股定理的發(fā)現(xiàn)過程，理解并掌握勾股定理的內(nèi)容，會用面積法證明勾股定理，能應(yīng)用勾股定理進行簡單的計算． 重點 勾股定理的內(nèi)容和證明及簡單應(yīng)用． 難點 勾股定理的證明． 一、創(chuàng)設(shè)情境，引入新課 讓學(xué)生畫一個直角邊分別為3 cm和4 cm的直角△ABC，用刻度尺量出斜邊的長． 再畫一個兩直角邊分別為5和12的直角△ABC，用刻度尺量出斜邊的長． 你是否發(fā)現(xiàn)了32＋42與52的關(guān)系，52＋122與132的關(guān)系，即32＋42＝52，52＋122＝132，那么就有勾2＋股2＝弦2. 對于任意的直角三角形也有這個性質(zhì)嗎？ 由一學(xué)生朗讀“畢達哥拉斯觀察地面圖案發(fā)現(xiàn)勾股定理”的傳說，引導(dǎo)學(xué)生觀察身邊的地面圖形，猜想畢達哥拉斯發(fā)現(xiàn)了什么？ 拼圖實驗，探求新知 1．多媒體課件演示教材第22～23頁圖17.1－2和圖17.1－3，引導(dǎo)學(xué)生觀察思考． 2．組織學(xué)生小組合作學(xué)習． 問題：每組的三個正方形之間有什么關(guān)系？試說一說你的想法． 引導(dǎo)學(xué)生用拼圖法初步體驗結(jié)論． 生：這兩組圖形中，每組的大正方形的面積都等于兩個小正方形的面積和． 師：這只是猜想，一個數(shù)學(xué)命題的成立，還要經(jīng)過我們的證明． 歸納驗證，得出定理 (1)猜想：命題1：如果直角三角形的兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2＋b2＝c2. (2)是不是所有的直角三角形都有這樣的特點呢？這就需要對一個一般的直角三角形進行證明．到目前為止，對這個命題的證明已有幾百種之多，下面我們就看一看我國數(shù)學(xué)家趙爽是怎樣證明這個定理的． ①用多媒體課件演示． ②小組合作探究： a．以直角三角形ABC的兩條直角邊a，b為邊作兩個正方形，你能通過剪、拼把它拼成弦圖的樣子嗎？ b．它們的面積分別怎樣表示？它們有什么關(guān)系？ c．利用學(xué)生自己準備的紙張拼一拼，擺一擺，體驗古人趙爽的證法．想一想還有什么方法？ 師：通過拼擺，我們證實了命題1的正確性，命題1與直角三角形的邊有關(guān)，我國把它稱為勾股定理． 即在我國古代，人們將直角三角形中短的直角邊叫做勾，長的直角邊叫做股，斜邊叫做弦． 二、例題講解 【例1】填空題． (1)在Rt△ABC中，∠C＝90，a＝8，b＝15，則c＝________； (2)在Rt△ABC中，∠B＝90，a＝3，b＝4，則c＝________； (3)在Rt△ABC中，∠C＝90，c＝10，a∶b＝3∶4，則a＝________，b＝________； (4)一個直角三角形的三邊為三個連續(xù)偶數(shù)，則它的三邊長分別為________； (5)已知等邊三角形的邊長為2 cm，則它的高為________cm，面積為________cm2. 【答案】(1)17　(2)　(3)6　8　(4)6，8，10　(5)　 【例2】已知直角三角形的兩邊長分別為5和12，求第三邊． 分析：已知兩邊中，較大邊12可能是直角邊，也可能是斜邊，因此應(yīng)分兩種情況分別進行計算．讓學(xué)生知道考慮問題要全面，體會分類討論思想． 【答案】或13 三、鞏固練習 填空題． 在Rt△ABC中，∠C＝90. (1)如果a＝7，c＝25，則b＝________； (2)如果∠A＝30，a＝4，則b＝________； (3)如果∠A＝45，a＝3，則c＝________； (4)如果c＝10，a－b＝2，則b＝________； (5)如果a，b，c是連續(xù)整數(shù)，則a＋b＋c＝________； (6)如果b＝8，a∶c＝3∶5，則c＝________． 【答案】(1)24　(2)4　(3)3　(4)6　(5)12 (6)10 四、課堂小結(jié) 1．本節(jié)課學(xué)到了什么數(shù)學(xué)知識？ 2．你了解了勾股定理的發(fā)現(xiàn)和驗證方法了嗎？ 3．你還有什么困惑？ 本節(jié)課的設(shè)計關(guān)注學(xué)生是否積極參與探索勾股定理的活動，關(guān)注學(xué)生能否在活動中積極思考、能夠探索出解決問題的方法，能否進行積極的聯(lián)想(數(shù)形結(jié)合)以及學(xué)生能否有條理地表達活動過程和所獲得的結(jié)論等．關(guān)注學(xué)生的拼圖過程，鼓勵學(xué)生結(jié)合自己所拼得的正方形驗證勾股定理．　　　　　　　　　　　　　　　　　　第2課時　勾股定理(2) 能將實際問題轉(zhuǎn)化為直角三角形的數(shù)學(xué)模型，并能用勾股定理解決簡單的實際問題． 重點 將實際問題轉(zhuǎn)化為直角三角形模型． 難點 如何用解直角三角形的知識和勾股定理來解決實際問題． 一、復(fù)習導(dǎo)入 問題1：欲登12米高的建筑物，為安全需要，需使梯子底端離建筑物5米，至少需要多長的梯子？ 師生行為： 學(xué)生分小組討論，建立直角三角形的數(shù)學(xué)模型． 教師深入到小組活動中，傾聽學(xué)生的想法． 生：根據(jù)題意，(如圖)AC是建筑物，則AC＝12 m，BC＝5 m，AB是梯子的長度，所以在Rt△ABC中，AB2＝AC2＋BC2＝122＋52＝132，則AB＝13 m. 所以至少需13 m長的梯子． 師：很好！ 由勾股定理可知，已知兩直角邊的長分別為a，b，就可以求出斜邊c的長．由勾股定理可得a2＝c2－b2或b2＝c2－a2，由此可知，已知斜邊與一條直角邊的長，就可以求出另一條直角邊的長，也就是說，在直角三角形中，已知兩邊就可求出第三邊的長． 問題2：一個門框的尺寸如圖所示，一塊長3 m、寬2.2 m的長方形薄木板能否從門框內(nèi)通過？為什么？ 學(xué)生分組討論、交流，教師深入到學(xué)生的數(shù)學(xué)活動中，引導(dǎo)他們發(fā)現(xiàn)問題，尋找解決問題的途徑． 生1：從題意可以看出，木板橫著進，豎著進，都不能從門框內(nèi)通過，只能試試斜著能否通過． 生2：在長方形ABCD中，對角線AC是斜著能通過的最大長度，求出AC，再與木板的寬比較，就能知道木板是否能通過． 師生共析： 解：在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理AC2＝AB2＋BC2＝12＋22＝5. 因此AC＝≈2.236. 因為AC>木板的寬，所以木板可以從門框內(nèi)通過． 二、例題講解 【例1】如圖，山坡上兩棵樹之間的坡面距離是4米，則這兩棵樹之間的垂直距離是________米，水平距離是________米． 分析：由∠CAB＝30易知垂直距離為2米，水平距離是6米． 【答案】2　6 【例2】教材第25頁例2 三、鞏固練習 1．如圖，欲測量松花江的寬度，沿江岸取B，C兩點，在江對岸取一點A，使AC垂直江岸，測得BC＝50米，∠B＝60，則江面的寬度為________． 【答案】50米 2．某人欲橫渡一條河，由于水流的影響，實際上岸地點C偏離欲到達地點B 200米，結(jié)果他在水中實際游了520米，求該河流的寬度． 【答案】約480 m 四、課堂小結(jié) 1．談?wù)勛约涸谶@節(jié)課的收獲有哪些？會用勾股定理解決簡單的應(yīng)用題；會構(gòu)造直角三角形． 2．本節(jié)是從實驗問題出發(fā)，轉(zhuǎn)化為直角三角形問題，并用勾股定理完成解答． 這是一節(jié)實際應(yīng)用課，過程中要充分發(fā)揮學(xué)生的主導(dǎo)性，鼓勵學(xué)生動手、動腦，經(jīng)歷將實際問題轉(zhuǎn)化為直角三角形的數(shù)學(xué)模型的過程，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習興趣，鍛煉了學(xué)生獨立思考的能力．　　　　　　　　　　　　　　　　　　第3課時　勾股定理(3) 1．利用勾股定理證明：斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等． 2．利用勾股定理，能在數(shù)軸上找到表示無理數(shù)的點． 3．進一步學(xué)習將實際問題轉(zhuǎn)化為直角三角形的數(shù)學(xué)模型，并能用勾股定理解決簡單的實際問題． 重點 在數(shù)軸上尋找表示，，，…這樣的表示無理數(shù)的點． 難點 利用勾股定理尋找直角三角形中長度為無理數(shù)的線段． 一、復(fù)習導(dǎo)入 復(fù)習勾股定理的內(nèi)容． 本節(jié)課探究勾股定理的綜合應(yīng)用． 師：在八年級上冊，我們曾經(jīng)通過畫圖得到結(jié)論：斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等．你們能用勾股定理證明這一結(jié)論嗎？ 學(xué)生思考并獨立完成，教師巡視指導(dǎo)，并總結(jié)． 先畫出圖形，再寫出已知、求證如下： 已知：如圖，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90，AB＝A′B′，AC＝A′C′. 求證：△ABC≌△A′B′C′. 證明：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90，根據(jù)勾股定理，得BC＝，B′C′＝.又AB＝A′B′，AC＝A′C′，∴BC＝B′C′，∴△ABC≌△A′B′C′(SSS)． 師：我們知道數(shù)軸上的點有的表示有理數(shù)，有的表示無理數(shù)，你能在數(shù)軸上表示出所對應(yīng)的點嗎？ 教師可指導(dǎo)學(xué)生尋找像長度為，，，…這樣的包含在直角三角形中的線段． 師：由于要在數(shù)軸上表示點到原點的距離為，，，…，所以只需畫出長為，，，…的線段即可，我們不妨先來畫出長為，，，…的線段． 生：長為的線段是直角邊都為1的直角三角形的斜邊，而長為的線段是直角邊為1和2的直角三角形的斜邊． 師：長為的線段能否是直角邊為正整數(shù)的直角三角形的斜邊呢？ 生：設(shè)c＝，兩直角邊長分別為a，b，根據(jù)勾股定理a2＋b2＝c2，即a2＋b2＝13.若a，b為正整數(shù)，則13必須分解為兩個平方數(shù)的和，即13＝4＋9，a2＝4，b2＝9，則a＝2，b＝3，所以長為的線段是直角邊長分別為2，3的直角三角形的斜邊． 師：下面就請同學(xué)們在數(shù)軸上畫出表示的點． 生：步驟如下： 1．在數(shù)軸上找到點A，使OA＝3. 2．作直線l垂直于OA，在l上取一點B，使AB＝2. 3．以原點O為圓心、以O(shè)B為半徑作弧，弧與數(shù)軸交于點C，則點C即為表示的點． 二、例題講解 【例1】飛機在空中水平飛行，某一時刻剛好飛到一個男孩頭頂正上方4800米處，過了10秒后，飛機距離這個男孩頭頂5000米，飛機每小時飛行多少千米？ 分析：根據(jù)題意，可以畫出如圖所示的圖形，A點表示男孩頭頂?shù)奈恢茫珻，B點是兩個時刻飛機的位置，∠C是直角，可以用勾股定理來解決這個問題． 解：根據(jù)題意，得在Rt△ABC中，∠C＝90，AB＝5000米，AC＝4800米．由勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2，即50002＝BC2＋48002，所以BC＝1400米． 飛機飛行1400米用了10秒，那么它1小時飛行的距離為1400660＝504000(米)＝504(千米)，即飛機飛行的速度為504千米/時． 【例2】在平靜的湖面上，有一棵水草，它高出水面3分米，一陣風吹來，水草被吹到一邊，草尖齊至水面，已知水草移動的水平距離為6分米，問這里的水深是多少？ 解：根據(jù)題意，得到上圖，其中D是無風時水草的最高點，BC為湖面，AB是一陣風吹過水草的位置，CD＝3分米，CB＝6分米，AD＝AB，BC⊥AD，所以在Rt△ACB中，AB2＝AC2＋BC2，即(AC＋3)2＝AC2＋62，AC2＋6AC＋9＝AC2＋36，∴6AC＝27，AC＝4.5，所以這里的水深為4.5分米． 【例3】在數(shù)軸上作出表示的點． 解：以為長的邊可看作兩直角邊分別為4和1的直角三角形的斜邊，因此，在數(shù)軸上畫出表示的點，如下圖： 師生行為： 由學(xué)生獨立思考完成，教師巡視指導(dǎo)． 此活動中，教師應(yīng)重點關(guān)注以下兩個方面： ①學(xué)生能否積極主動地思考問題； ②能否找到斜邊為，另外兩條直角邊為整數(shù)的直角三角形． 三、課堂小結(jié) 1．進一步鞏固、掌握并熟練運用勾股定理解決直角三角形問題． 2．你對本節(jié)內(nèi)容有哪些認識？會利用勾股定理得到一些無理數(shù)，并理解數(shù)軸上的點與實數(shù)一一對應(yīng)． 本節(jié)課的教學(xué)中，在培養(yǎng)邏輯推理的能力方面，做了認真的考慮和精心的設(shè)計，把推理證明作為學(xué)生觀察、實驗、探究得出結(jié)論的自然延續(xù)，注重數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，從學(xué)生的認知規(guī)律和接受水平出發(fā)，這些理念貫徹到課堂教學(xué)當中，很好地激發(fā)了學(xué)生學(xué)習數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)了學(xué)生善于提出問題、敢于提出問題、解決問題的能力． 　　　　　　　　　　　　　　　　17.2　勾股定理的逆定理 第1課時　勾股定理的逆定理(1) 1．掌握直角三角形的判別條件． 2．熟記一些勾股數(shù)． 3．掌握勾股定理的逆定理的探究方法． 重點 探究勾股定理的逆定理，理解并掌握互逆命題、原命題、逆命題的有關(guān)概念及關(guān)系． 難點 歸納猜想出命題2的結(jié)論． 一、復(fù)習導(dǎo)入 活動探究 (1)總結(jié)直角三角形有哪些性質(zhì)； (2)一個三角形滿足什么條件時才能是直角三角形？ 生：直角三角形有如下性質(zhì)：(1)有一個角是直角；(2)兩個銳角互余；(3)兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；(4)在含30角的直角三角形中，30的角所對的直角邊是斜邊的一半． 師：那么一個三角形滿足什么條件時，才能是直角三角形呢？ 生1：如果三角形有一個內(nèi)角是90，那么這個三角形就為直角三角形． 生2：如果一個三角形，有兩個角的和是90，那么這個三角形也是直角三角形． 師：前面我們剛學(xué)習了勾股定理，知道一個直角三角形的兩直角邊a，b與斜邊c具有一定的數(shù)量關(guān)系即a2＋b2＝c2，我們是否可以不用角，而用三角形三邊的關(guān)系來判定它是否為直角三角形呢？我們來看一下古埃及人是如何做的？ 問題：據(jù)說古埃及人用下圖的方法畫直角：把一根長繩打上等距離的13個結(jié)，然后以3個結(jié)、4個結(jié)、5個結(jié)的長度為邊長，用木樁釘成一個三角形，其中一個角便是直角． 這個問題意味著，如果圍成的三角形的三邊長分別為3，4，5，有下面的關(guān)系：32＋42＝52，那么圍成的三角形是直角三角形． 畫畫看，如果三角形的三邊長分別為2.5 cm，6 cm，6.5 cm，有下面的關(guān)系：2.52＋62＝6.52，畫出的三角形是直角三角形嗎？換成三邊分別為4 cm，7.5 cm，8.5 cm，再試一試． 生1：我們不難發(fā)現(xiàn)上圖中，第1個結(jié)到第4個結(jié)是3個單位長度即AC＝3；同理BC＝4，AB＝5.因為32＋42＝52，所以我們圍成的三角形是直角三角形． 生2：如果三角形的三邊長分別是2.5 cm，6 cm，6.5 cm.我們用尺規(guī)作圖的方法作此三角形，經(jīng)過測量后，發(fā)現(xiàn)6.5 cm的邊所對的角是直角，并且2.52＋62＝6.52. 再換成三邊長分別為4 cm，7.5 cm，8.5 cm的三角形，可以發(fā)現(xiàn)8.5 cm的邊所對的角是直角，且有42＋7.52＝8.52. 師：很好！我們通過實際操作，猜想結(jié)論． 命題2　如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2＋b2＝c2，那么這個三角形是直角三角形． 再看下面的命題： 命題1　如果直角三角形的兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2＋b2＝c2. 它們的題設(shè)和結(jié)論各有何關(guān)系？ 師：我們可以看到命題2與命題1的題設(shè)、結(jié)論正好相反，我們把像這樣的兩個命題叫做互逆命題．如果把其中的一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題．例如把命題1當成原命題，那么命題2是命題1的逆命題． 二、例題講解 【例1】說出下列命題的逆命題，這些命題的逆命題成立嗎？ (1)同旁內(nèi)角互補，兩條直線平行； (2)如果兩個實數(shù)的平方相等，那么這兩個實數(shù)相等； (3)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等； (4)直角三角形中30角所對的直角邊等于斜邊的一半． 分析：(1)每個命題都有逆命題，說逆命題時注意將題設(shè)和結(jié)論調(diào)換即可，但要分清題設(shè)和結(jié)論，并注意語言的運用； (2)理順它們之間的關(guān)系，原命題有真有假，逆命題也有真有假，可能都真，也可能一真一假，還可能都假． 解略． 三、鞏固練習 教材第33頁練習第2題． 四、課堂小結(jié) 師：通過這節(jié)課的學(xué)習，你對本節(jié)內(nèi)容有哪些認識？ 學(xué)生發(fā)言，教師點評． 本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計中，將教學(xué)內(nèi)容精簡化，實行分層教學(xué)．根據(jù)學(xué)生原有的認知結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生更好地體會分割的思想．設(shè)計的題型前后呼應(yīng)，使知識有序推進，有助于學(xué)生理解和掌握；讓學(xué)生通過合作、交流、反思、感悟的過程，激發(fā)學(xué)生探究新知的興趣，感受探索、合作的樂趣，并從中獲得成功的體驗，真正體現(xiàn)學(xué)生是學(xué)習的主人．將目標分層后，滿足不同層次學(xué)生的做題要求，達到鞏固課堂知識的目的． 　　　　　　　　　　　　　　　　第2課時　勾股定理的逆定理(2) 1．理解并掌握證明勾股定理的逆定理的方法． 2．理解逆定理、互逆定理的概念． 重點 勾股定理的逆定理的證明及互逆定理的概念． 難點 理解互逆定理的概念． 一、復(fù)習導(dǎo)入 師：我們學(xué)過的勾股定理的內(nèi)容是什么？ 生：如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2＋b2＝c2. 師：根據(jù)上節(jié)課學(xué)過的內(nèi)容，我們得到了勾股定理逆命題的內(nèi)容：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2＋b2＝c2，那么這個三角形是直角三角形． 師：命題2是命題1的逆命題，命題1我們已證明過它的正確性，命題2正確嗎？如何證明呢？ 師生行為： 讓學(xué)生試著尋找解題思路，教師可引導(dǎo)學(xué)生理清證明的思路． 師：△ABC的三邊長a，b，c滿足a2＋b2＝c2.如果△ABC是直角三角形，它應(yīng)與直角邊是a，b的直角三角形全等，實際情況是這樣嗎？ 我們畫一個直角三角形A′B′C′，使B′C′＝a，A′C′＝b，∠C′＝90(如圖)，把畫好的△A′B′C′剪下，放在△ABC上，它們重合嗎？ 生：我們所畫的Rt△A′B′C′，(A′B′)2＝a2＋b2，又因為c2＝a2＋b2，所以(A′B′)2＝c2，即A′B′＝c. △ABC和△A′B′C′三邊對應(yīng)相等，所以兩個三角形全等，∠C＝∠C′＝90，所以△ABC為直角三角形． 即命題2是正確的． 師：很好！我們證明了命題2是正確的，那么命題2就成為一個定理．由于命題1證明正確以后稱為勾股定理，命題2又是命題1的逆命題，在此，我們就稱定理2是勾股定理的逆定理，勾股定理和勾股定理的逆定理稱為互逆定理． 師：但是不是原命題成立，逆命題一定成立呢？ 生：不一定，如命題“對頂角相等”成立，它的逆命題“如果兩個角相等，那么它們是對頂角”不成立． 師：你還能舉出類似的例子嗎？ 生：例如原命題：如果兩個實數(shù)相等，那么它們的絕對值也相等． 逆命題：如果兩個數(shù)的絕對值相等，那么這兩個實數(shù)相等． 顯然原命題成立，而逆命題不一定成立． 二、新課教授 【例1】教材第32頁例1 【例2】教材第33頁例2 【例3】一個零件的形狀如圖所示，按規(guī)定這個零件中∠A和∠DBC都應(yīng)為直角．工人師傅量出了這個零件各邊的尺寸，那么這個零件符合要求嗎？ 分析：這是一個利用直角三角形的判定條件解決實際問題的例子． 解：在△ABD中，AB2＋AD2＝9＋16＝25＝BD2，所以△ABD是直角三角形，∠A是直角． 在△BCD中，BD2＋BC2＝25＋144＝169＝132＝CD2，所以△BCD是直角三角形，∠DBC是直角． 因此這個零件符合要求． 三、鞏固練習 1．小強在操場上向東走80 m后，又走了60 m，再走100 m回到原地．小強在操場上向東走了80 m后，又走60 m的方向是________． 【答案】向正南或正北 2．如圖，在我國沿海有一艘不明國籍的輪船進入我國海域，我海軍甲、乙兩艘巡邏艇立即從相距13海里的A，B兩個基地前去攔截，6分鐘后同時到達C地將其攔截．已知甲巡邏艇每小時航行120海里，乙巡邏艇每小時航行50海里，航向為北偏西40，求甲巡邏艇的航向． 【答案】解：由題意可知：AC＝1206＝12，BC＝506＝5，122＋52＝132.又AB＝13，∴AC2＋BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90，∴∠CAB＝40，航向為北偏東50. 四、課堂小結(jié) 1．同學(xué)們對本節(jié)的內(nèi)容有哪些認識？ 2．勾股定理的逆定理及其應(yīng)用，熟記幾組勾股數(shù)． 本節(jié)課我采用以學(xué)生為主體，引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)、操作探究的教學(xué)設(shè)計，符合學(xué)生的認知規(guī)律和認知水平，最大限度地調(diào)動了學(xué)生學(xué)習的積極性，有利于培養(yǎng)學(xué)生動手、觀察、分析、猜想、驗證、推理的能力，切實使學(xué)生在獲取知識的過程中得到能力的培養(yǎng)．