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第十七章 勾股定理
1.掌握勾股定理,能應(yīng)用勾股定理進行簡單的計算和實際應(yīng)用.
2.掌握勾股定理的逆定理(直角三角形的判定方法),會運用勾股定理逆定理解決相關(guān)問題.
體驗勾股定理的探索過程,經(jīng)歷觀察——猜想——歸納——驗證的數(shù)學發(fā)現(xiàn)過程,發(fā)展合情推理的能力,體會數(shù)形結(jié)合和由特殊到一般的數(shù)學思想.
1.經(jīng)歷由情境引出問題,探索掌握有關(guān)數(shù)學知識,再運用于實踐的過程,培養(yǎng)學數(shù)學、用數(shù)學的意識與能力.
2.感受數(shù)學文化的價值和中國傳統(tǒng)數(shù)學的成就,激發(fā)學生熱愛祖國悠久文化的思想感情.
本章的主要內(nèi)容是勾股定理及勾股定理的應(yīng)用,教材從實踐探索入手,給學生創(chuàng)設(shè)學習情境,接著研究直角三角形的勾股定理,介紹勾股定理的逆定理(直角三角形的判定方法),最后介紹勾股定理及勾股定理逆定理的廣泛應(yīng)用.勾股定理是安排在學生學習了三角形、全等三角形、等腰三角形等有關(guān)知識之后,它反映了直角三角形三邊之間一種美妙的數(shù)量關(guān)系,將數(shù)與形密切聯(lián)系起來,在幾何學中占有非常重要的位置,在理論和實踐上都有廣泛的應(yīng)用.勾股定理逆定理是判定一個三角形是不是直角三角形的一種古老而實用的方法.在“四邊形”和“解直角三角形”相關(guān)章節(jié)中,勾股定理知識將得到更重要的應(yīng)用.
【重點】 會靈活運用勾股定理進行計算及解決一些實際問題,掌握勾股定理的逆定理的內(nèi)容及其證明過程,并會應(yīng)用其解決一些實際問題.
【難點】 掌握勾股定理的探索過程及適用范圍,理解勾股定理及其逆定理.
1.注重使學生經(jīng)歷探索勾股定理等過程.本章從實踐探索入手,創(chuàng)設(shè)學習情境,研究勾股定理及它的逆定理,并運用于解決一些簡單的數(shù)學問題與實際問題.在整個學習過程中應(yīng)注意培養(yǎng)學生的自主探索精神,提高合作交流能力和解決實際問題的能力.
2.注重創(chuàng)設(shè)豐富的現(xiàn)實情境,體現(xiàn)勾股定理及其逆定理的廣泛應(yīng)用.本章對勾股定理的探索就來源于生活,勾股定理的應(yīng)用又直接應(yīng)用于生活.因此,在探索、驗證、應(yīng)用等各階段都應(yīng)更多地設(shè)置與生活密切聯(lián)系的現(xiàn)實情境,使學生能根據(jù)生活經(jīng)驗比較好地進行勾股定理應(yīng)用的建模過程.教學時可更多地利用多媒體輔助教學手段,以豐富課堂教學.
3.盡可能地介紹有關(guān)勾股定理的歷史,體現(xiàn)其文化價值.與勾股定理有關(guān)的背景知識豐富,在教學中,應(yīng)注意展現(xiàn)與勾股定理有關(guān)的背景知識,使學生對勾股定理的發(fā)展過程有所了解,感受勾股定理的豐富文化內(nèi)涵,激發(fā)學生的學習興趣.特別應(yīng)通過向?qū)W生介紹我國古代在勾股定理研究方面的成就,激發(fā)學生熱愛祖國悠久文化的思想感情,培養(yǎng)他們的民族自豪感,同時教育學生發(fā)奮圖強,努力學習,為將來擔負起振興中華的重任打下基礎(chǔ).
4.注意滲透數(shù)形結(jié)合的思想.數(shù)形結(jié)合是重要的數(shù)學思想方法,本章內(nèi)容又恰是進行數(shù)形結(jié)合思想方法教學的較為理想的材料,因此,應(yīng)強調(diào)通過圖形找出直角三角形三邊之間的關(guān)系,從而解決有關(guān)問題.
17.1勾股定理
3課時
17.2勾股定理的逆定理
1課時
單元概括整合
1課時
17.1 勾股定理
1.掌握勾股定理的內(nèi)容,會用面積法證明勾股定理.
2.能說出勾股定理,并能應(yīng)用其進行簡單的計算和實際運用.
1.經(jīng)歷觀察——猜想——歸納——驗證的數(shù)學發(fā)現(xiàn)過程.
2.發(fā)展合情推理的能力,體會數(shù)形結(jié)合和由特殊到一般的數(shù)學思想,樹立數(shù)形結(jié)合、分類討論的意識.
通過對勾股定理歷史的了解和實例應(yīng)用,體會勾股定理的文化價值;通過獲得成功的經(jīng)驗和克服困難的經(jīng)歷,增強學習數(shù)學的信心,激發(fā)學生的民族自豪感和愛國情懷.
【重點】 知道勾股定理的內(nèi)容,并能應(yīng)用其進行簡單的計算和實際運用.
【難點】 勾股定理的靈活運用.
第課時
1.了解勾股定理的文化背景,了解利用拼圖驗證勾股定理的方法.
2.能說出勾股定理,并能應(yīng)用其進行簡單的計算.
1.在勾股定理的探索過程中,經(jīng)歷觀察——猜想——歸納——驗證的數(shù)學發(fā)現(xiàn)過程.
2.發(fā)展合情推理的能力,體會數(shù)形結(jié)合思想、由特殊到一般的數(shù)學思想、分類討論思想.
通過對勾股定理歷史的了解和實例應(yīng)用,體會勾股定理的文化價值;通過獲得成功的經(jīng)驗和克服困難的經(jīng)歷,增強學習數(shù)學的信心,激發(fā)學生的民族自豪感和愛國情懷.
【重點】 探索和驗證勾股定理,并能應(yīng)用其進行簡單的計算.
【難點】 用拼圖的方法驗證勾股定理.
【教師準備】 教學中出示的教學插圖和例題.
【學生準備】 三角板、方格紙、三角形模型.
導入一:
國際數(shù)學家大會是最高水平的全球性數(shù)學學科學術(shù)會議,被譽為數(shù)學界的“奧運會”.2002年在北京召開了第24屆國際數(shù)學家大會.此圖案就是大會會徽的圖案.
大會的會徽圖案有什么特殊含義呢?這個圖案與數(shù)學中的勾股定理有著密切的關(guān)系.中國古代人把直角三角形中較短的直角邊叫做“勾”,較長的直角邊叫做“股”,斜邊叫做“弦”.上述圖案就揭示了“勾”“股”“弦”之間的特殊關(guān)系.
我們學習過等腰三角形,知道等腰三角形是兩邊相等的特殊的三角形,它有許多特殊的性質(zhì).研究特例是數(shù)學研究的一個方法,直角三角形是有一個角為直角的特殊三角形,等腰直角三角形又是特殊的直角三角形,直角三角形的三邊之間存在怎樣的關(guān)系呢?我們的探究活動就從等腰直角三角形開始吧.
[設(shè)計意圖] 勾股定理揭示的是特殊三角形的三邊關(guān)系,從探索等腰直角三角形三邊關(guān)系入手,揭示直角三角形的三邊關(guān)系,體現(xiàn)了由特殊到一般的數(shù)學研究方法.
導入二:
請同學們認真觀察課本封面和本章章前彩圖,說一說封面和章前彩圖中的圖形表示什么意思?它們之間有聯(lián)系嗎?
封面是我國公元3世紀漢代的趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的“弦圖”,章前彩圖是2002年世界數(shù)學家大會的會徽,大會的會徽使用的主體圖案就是“趙爽弦圖”.
目前世界上許多科學家正在試圖尋找其他星球的“人”,為此向宇宙發(fā)出了許多信號,如地球上人類的語言、音樂、各種圖形等.我國數(shù)學家華羅庚曾建議,發(fā)射一種反映勾股定理的圖形,如果宇宙人是“文明人”,那么他們一定會識別這種語言的.這個事實可以說明勾股定理的重大意義.尤其是在兩千年前,是非常了不起的成就.
你知道為什么把這個圖案作為這次大會的會徽嗎?本節(jié)課,我們一起來解讀圖中的奧秘.
[設(shè)計意圖] 以生活課本中的圖案、故事導入,增強了趣味性,拉近了數(shù)學與生活的距離,激發(fā)了學生的民族自豪感和愛國情懷.
導入三:
如圖所示,一座城墻高11.7 m,城墻外有一條寬為9 m的護城河,那么一架長為15 m的云梯能否達到城墻的頂端?
這就是我們今天所要學習的內(nèi)容,一個非常重要的定理——“勾股定理”.
[設(shè)計意圖] 以學生熟悉的生活情境作為教學活動的切入點,使學生對問題產(chǎn)生興趣.讓學生主動去分析,發(fā)現(xiàn),親身體驗,產(chǎn)生學習“勾股定理”的主觀愿望.
1.探索勾股定理
(1)探索等腰直角三角形三邊之間的關(guān)系.
[過渡語] (如教材第22頁圖)相傳2500多年前,畢達哥拉斯有一次在朋友家作客時,發(fā)現(xiàn)朋友家用磚鋪成的地面圖案反映了直角三角形三邊的某種數(shù)量關(guān)系.
師:這個地面圖案中有大大小小、各種“姿勢”的正方形.畢達哥拉斯在這些正方形中發(fā)現(xiàn)了什么呢?(出示教材圖17.1 - 2)
(1)問題提出:在圖17.1 - 2中,是以等腰直角三角形三邊為邊長的三個正方形.這三個正方形面積之間存在怎樣的關(guān)系?三個正方形之間的面積關(guān)系說明了什么?
(2)學生活動:質(zhì)疑、猜測、探索、交流三個正方形面積之間的關(guān)系.
學生的探索方法可能是:通過數(shù)正方形內(nèi)等腰直角三角形個數(shù)的辦法,得出兩個小正方形的面積之和等于大正方形的面積.
(3)教師總結(jié):通過直接數(shù)等腰直角三角形的個數(shù),或者用割補的方法將小正方形中的等腰直角三角形補成一個大正方形,得出結(jié)論:小正方形的面積之和等于大正方形的面積,也就是等腰直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.
追問:在圖17.1 - 2中,如果選取更大的等腰直角三角形,按照同樣的方法作三個正方形,這三個正方形的面積關(guān)系還一樣嗎?如圖所示.
[設(shè)計意圖] 這個探索活動是學習、探索勾股定理的基礎(chǔ).借助三個正方形面積之間的關(guān)系,探索等腰直角三角形三邊的數(shù)量關(guān)系,這是本活動的出發(fā)點.提出追問的問題,有助于學生的認識上升到整個直角三角形的一般性的高度,也為學生有個性的創(chuàng)意活動搭建了平臺.
(2)探索具體邊長的非等腰直角三角形三邊之間的關(guān)系.
思路一
[過渡語] 除了等腰直角三角形之外,一些特殊邊長的直角三角形,還有斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和的規(guī)律嗎?
(出示教材圖17.1 - 3)
提出問題:(結(jié)合帶提示的下圖)
1.正方形A,B,C的面積分別是多少?它們之間的數(shù)量關(guān)系說明了什么?
2.正方形A,B,C的面積分別是多少?它們之間的數(shù)量關(guān)系說明了什么?
學生活動:依據(jù)教材探究的提示,根據(jù)直角三角形的邊長,分別計算出正方形A,B,A,B的面積;再通過建立一個大正方形計算出正方形C,C的面積.
探究提示:正方形A,B的面積分別為4和9,通過建立邊長為5的正方形,計算出正方形C的面積為25減去四個小直角三角形面積和,也就是正方形C的面積為13.
同理,正方形A,B的面積分別為9和25,通過建立邊長為8的正方形,計算出正方形C的面積為64減去四個小直角三角形面積和,也就是正方形C的面積為34.
活動總結(jié):直角三角形兩條直角邊長的平方和等于斜邊長的平方.
[設(shè)計意圖] 由特殊到一般,借助網(wǎng)格,利用面積割補法計算正方形的面積,探索直角三角形三邊之間的關(guān)系,為探究無網(wǎng)格背景下直角三角形三邊關(guān)系打下基礎(chǔ),提供方法.
思路二
1.畫一個兩直角邊長分別為3 cm和4 cm的直角三角形ABC,用刻度尺量出AB的長.再畫一個兩直角邊長分別為5和12的直角三角形ABC,用刻度尺量AB的長.
你是否發(fā)現(xiàn)32+42與52的關(guān)系,52+122和132的關(guān)系?
學生計算后發(fā)現(xiàn):32+42=52,52+122=132,那么就有勾2+股2=弦2.
學生討論:對于任意的直角三角形,也有這個性質(zhì)嗎?
2.如圖所示,每個小方格的面積均為1,請分別算出圖中正方形A,B,C的面積,看看能得出什么結(jié)論.
A的面積
B的面積
C的面積
左上圖
16
9
25
右下圖
4
9
13
探究提示:右下圖正方形C的面積為25減去四個小直角三角形面積和12,也就是正方形C的面積為13.左上圖亦是同樣的思考方法.
學生計算后發(fā)現(xiàn):小正方形A,B的面積之和等于大正方形C的面積.
追問:由以上你能得出什么結(jié)論?若直角三角形的兩條直角邊長分別為a,b,斜邊長為c,則a,b,c有什么關(guān)系?
教師引導學生直接由正方形的面積等于邊長的平方歸納出:直角三角形兩條直角邊長的平方和等于斜邊長的平方.數(shù)學表達式為:a2+b2=c2.
[設(shè)計意圖] 通過學生畫、量、算等形式,讓學生在探究中發(fā)現(xiàn)結(jié)論,借助網(wǎng)格,利用面積割補法計算正方形的面積,探索直角三角形三邊之間的關(guān)系,為探究無網(wǎng)格背景下直角三角形三邊關(guān)系打下基礎(chǔ),提供方法.
2.勾股定理的證明
教師提問:對于任意直角三角形三邊之間應(yīng)該有什么關(guān)系?
教師引導學生猜想:如果直角三角形兩直角邊長分別為a,b,斜邊長為c,那么a2+b2=c2.
追問:以上直角三角形的邊長都是具體的數(shù)值,一般情況下,如果直角三角形的兩直角邊長分別為a,b,斜邊長為c,我們的猜想仍然成立嗎?
思路一
(出示教材圖17.1 - 5)讓學生剪4個全等的直角三角形,拼成如圖所示的圖形,利用面積證明.
圖中大正方形的面積是c2,直角三角形的面積是ab,中間正方形的面積為(b-a)2,則有c2=ab4+(b-a)2,即a2+b2=c2.
教師適時介紹:這個圖案是公元3世紀漢代的趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的,人們稱它為“趙爽弦圖”.趙爽根據(jù)此圖指出:四個全等的直角三角形(朱實)可以按如圖所示圍成一個大正方形,中間部分是一個小正方形(黃實).我們剛才用割的方法證明使用的就是這個圖形.
教師在學生歸納基礎(chǔ)上總結(jié):直角三角形兩直角邊長的平方和等于斜邊長的平方.中國人稱它為“勾股定理”,外國人稱它為“畢達哥拉斯定理”.
[設(shè)計意圖] 通過拼圖活動,調(diào)動學生思維的積極性,為學生提供從事數(shù)學活動的機會,發(fā)展學生的形象思維,使學生對定理的理解更加深刻,體會數(shù)學中數(shù)形結(jié)合的思想.通過對趙爽弦圖的介紹,了解我國古代數(shù)學家對勾股定理的發(fā)現(xiàn)及證明所做出的貢獻,增強民族自豪感.通過了解勾股定理的證明方法,增強學生學習數(shù)學的自信心.
思路二
學生利用拼圖游戲驗證定理,并思考:能用右圖證明這個結(jié)論嗎?
已知:在△ABC中,∠ACB=90,∠BAC,∠ABC,∠ACB的對邊分別為a,b,c.
求證:a2+b2=c2.
(1)讓學生準備多個三角形模型,最好是有顏色的紙,讓學生拼擺不同的形狀,利用面積相等進行證明.
(2)拼成如圖所示,其等量關(guān)系為4ab+(b-a)=c2,化簡可證.
(3)發(fā)揮學生的想象能力拼出不同的圖形,進行證明.
利用下面這些圖也能證明這個結(jié)論嗎?
教師指導學生驗證.
我們證明了以上結(jié)論的正確性,我們就可稱之為定理,這就是著名的“勾股定理”.
請同學們用不同的表達方式(文字語言、符號語言)表述這一定理.
勾股定理的名稱介紹:3000多年前,我國古代有一個叫商高的人說:“把一根直尺折成直角,兩端連接得一直角三角形,勾廣三,股修四,弦隅五.”這句話意思是說一個直角三角形較短直角邊(勾)的長是3,長的直角邊(股)的長是4,那么斜邊(弦)的長是5.因為勾股定理內(nèi)容最早出現(xiàn)在商高的話中,所以又稱“商高定理”.一千多年后,西方的畢達哥拉斯證明了此定理,因此又叫“畢達哥拉斯定理”,當時畢達哥拉斯學派為了紀念這一發(fā)現(xiàn),殺了一百頭牛慶功,故而還叫“百牛定理”.一個定理有如此多的“頭銜”,可見勾股定理的不凡.
[設(shè)計意圖] 通過拼圖活動,充分調(diào)動學生的積極性,進一步激發(fā)學生的求知欲;通過借助不同圖形探索證明,提高學生思維的活躍性;通過對趙爽弦圖的介紹,了解我國古代數(shù)學家對勾股定理的發(fā)現(xiàn)及證明所做出的貢獻,增強民族自豪感.
思路三
[過渡語] 以上猜想經(jīng)過古今中外的人多次證明都是成立的.我國人稱它為“勾股定理”,在西方,它被稱作“畢達哥拉斯定理”.目前世界上可以查到證明勾股定理的方法不下500種.
1876年,美國總統(tǒng)伽菲爾德利用下圖驗證了勾股定理.你也能完成證明過程嗎?
證明:以a,b為直角邊,以c為斜邊作兩個全等的直角三角形,則每個直角三角形的面積等于ab.把這兩個直角三角形拼成如圖所示的形狀,使A,E,B三點在一條直線上.
∵Rt△EAD≌Rt△CBE,
∴∠ADE=∠BEC.
∵∠AED+∠ADE=90,
∴∠AED+∠BEC=90.
∴∠DEC=180-90=90.
∴△DEC是一個等腰直角三角形,它的面積等于c2.
又∵∠DAE=90,∠EBC=90,
∴AD∥BC.
∴四邊形ABCD是一個直角梯形,它的面積等于(a+b)2.
∴(a+b)2=2ab+c2.
∴a2+b2=c2.
學生思考后,教師再展示證明過程.
[設(shè)計意圖] 通過了解勾股定理的不同證明方法,豐富自己的知識;通過了解到古今中外無數(shù)人進行證明,激發(fā)學生學習數(shù)學的熱情.
[知識拓展] 解決直角三角形有關(guān)計算和證明的問題時,要注意:(1)求直角三角形斜邊上的高常運用勾股定理和面積關(guān)系式聯(lián)合求解.(2)要證明線段的平方關(guān)系,首先考慮使用勾股定理,從圖中尋找或構(gòu)造包含所證線段的直角三角形,利用等量代換和代數(shù)中的恒等變換進行論證.(3)由勾股定理的基本形式a2+b2=c2可以得到一些變形關(guān)系式,如a2=c2-b2=(c+b)(c-b),b2=c2-a2=(c+a)(c-a)等.(4)在鈍角三角形中,三角形三邊長分別為a,b,c,若c為最大邊長,則有a2+b2
c2.
3.例題講解
(補充)在直角三角形中,各邊的長如圖,求出未知邊的長度.
引導分析:如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a,b,斜邊長為c,那么a2+b2=c2.通過對等式變形,可以得出直角三角形三邊之間的關(guān)系:c=,b=,a=.
解:(1)根據(jù)勾股定理,得AB===.
(2)根據(jù)勾股定理,得AB===2.
[解題策略] 在直角三角形中,已知兩邊長,求第三邊長,應(yīng)用勾股定理求解,也可建立方程解決問題.
(補充)有兩邊長分別為3 cm,4 cm的直角三角形,其第三邊長為 cm.
〔解析〕 分情況討論:當4 cm為直角邊長時,當4 cm為斜邊長時,依次求出答案即可.①當4 cm是直角邊長時,斜邊==5(cm),此時第三邊長為5 cm;②當4 cm為斜邊長時,第三邊==(cm).綜上可得第三邊的長度為5 cm或 cm.故填5或.
[解題策略] 注意掌握勾股定理的表達式,分類討論是解決此題的關(guān)鍵,難點在于容易漏解.
師生共同回顧本節(jié)課所學主要內(nèi)容:
1.如果直角三角形兩直角邊長分別為a,b,斜邊長為c,那么a2+b2=c2.即直角三角形兩直角邊長的平方和等于斜邊長的平方.
2.注意事項:
(1)注意勾股定理的使用條件:只對直角三角形適用,而不適用于銳角三角形和鈍角三角形.
(2)注意分清斜邊和直角邊,避免盲目代入公式致錯.
(3)注意勾股定理公式的變形:在直角三角形中,已知任意兩邊長,可求第三邊長,即c=,b=,a=.
1.如圖所示,字母B所代表的正方形的面積是 ( )
A.12 B.13
C.144 D.194
解析:根據(jù)勾股定理知,斜邊長的平方等于兩直角邊長的平方和,則字母B所代表的正方形的面積等于以三角形斜邊長為邊長的正方形的面積減去以另一直角邊長為邊長的正方形的面積,即169-25=144.故選C.
2.如圖所示,若∠A=60,AC=20 m,則BC大約是(結(jié)果精確到0.1 m) ( )
A.34.64 m B.34.6 m
C.28.3 m D.17.3 m
解析:∵∠A=60,∠C=90,∴∠B=30,∴AB=2AC,∵AC=20,∴AB=40,∴BC====20≈34.6(m).故選B.
3.在Rt△ABC中,∠C=90.
(1)若a=3,b=4,則c= ;
(2)若b=6,c=10,則a= ;
(3)若a=5,c=13,則b= ;
(4)若a=1.5,b=2,則c= .
解析::根據(jù)勾股定理計算即可.(1)c===5;(2)a===8;(3)b===12;(4)c===2.5.
答案:(1)5 (2)8 (3)12 (4)2.5
4.如圖所示,Rt△ABC中,∠C=90,AD平分∠CAB,DE⊥AB于E,若AC=6,BC=8,CD=3.
(1)求DE的長;
(2)求△ADB的面積.
解:(1)∵AD平分∠CAB,DE⊥AB,∠C=90,∴CD=DE,∵CD=3,∴DE=3. (2)在Rt△ABC中,由勾股定理得AB===10,∴S△ADB=ABDE=103=15.
第1課時
1.探索勾股定理
2.勾股定理的證明
3.例題講解
例1 例2
一、教材作業(yè)
【必做題】
教材第24頁練習第1,2題;教材第28頁習題17.1第1題.
【選做題】
完成教材第30頁勾股定理的幾種證法的證明過程.
二、課后作業(yè)
【基礎(chǔ)鞏固】
1.在Rt△ABC中,∠C=90,AC=9,BC=12,則點C到AB的距離是 ( )
A. B. C. D.
2.如圖所示,有一張直角三角形紙片,兩直角邊長分別為AC=6 cm,BC=8 cm,現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊,使它落在斜邊AB上,且與AE重合,則CD等于 ( )
A.2 cm B.3 cm
C.4 cm D.5 cm
3.(2015黑龍江中考)△ABC中,AB=AC=5,BC=8,點P是BC邊上的動點,過點P作PD⊥AB于點D,PE⊥AC于點E,則PD+PE的長是 ( )
A.4.8 B.4.8或3.8
C.3.8 D.5
4.如圖所示,由四個邊長為1的小正方形構(gòu)成一個大正方形,連接小正方形的三個頂點,可得到△ABC,則△ABC中BC邊上的高是 .
【能力提升】
5.若直角三角形的兩直角邊長為a,b,且滿足+=0,則該直角三角形的斜邊長為 .
6.如圖所示,在△ABD中,∠D=90,C是BD上一點,已知CB=9,AB=17,AC=10,求AD的長.
7.在△ABC中,AB=15,AC=13,高AD=12,求△ABC的周長.
8.(2014溫州中考)勾股定理神秘而美妙,它的證法多樣,其巧妙各有不同,其中的“面積法”給了小聰以靈感.他驚喜地發(fā)現(xiàn):當兩個全等的直角三角形按圖(1)或圖(2)擺放時,都可以用“面積法”來證明.
下面是小聰利用圖(1)證明勾股定理的過程:
將兩個全等的直角三角形按如圖(1)所示擺放,其中∠DAB=90,求證:a2+b2=c2.
證明:連接DB,過點D作DF⊥BC于F,則DF=EC=b-a.
∵S四邊形ADCB=S△ACD+S△ABC=b2+ab,
又∵S四邊形ADCB=S△ADB+S△DCB=c2+a(b-a),
∴b2+ab=c2+a(b-a).
∴a2+b2=c2.
請參照上述證法,利用圖(2)完成下面的證明.
將兩個全等的直角三角形按如圖(2)所示擺放,其中∠DAB=90,求證:a2+b2=c2.
證明:連接 .
∵S五邊形ACBED= ,
又∵S五邊形ACBED= ,
∴ .
∴a2+b2=c2.
【拓展探究】
9.如圖所示,在平面直角坐標系中,Rt△OAB的頂點A在x軸的正半軸上,頂點B的坐標為(3,).點C的坐標為,點P為斜邊OB上的一個動點,求PA+PC的最小值.
【答案與解析】
1.A(解析:如圖所示,∵AC=9,BC=12,∠ACB=90,∴由勾股定理可得AB=15,再由等面積法可得912=15CD,∴CD=.故選A.)
2.B(解析:由題意可知△ACD和△AED關(guān)于直線AD對稱,因而有△ACD≌△AED,所以AE=AC=6 cm,CD=ED,∠AED=∠ACD=90.在Rt△ABC中,由勾股定理可得AB===10(cm).若設(shè)CD=ED=x cm,則在Rt△BDE中,由勾股定理可得DE2+BE2=BD2,即x2+(10-6)2=(8-x)2,解得x=3.所以CD=3 cm.)
3.A(解析:過A點作AF⊥BC于F,連接AP,∵△ABC中,AB=AC=5,BC=8,∴BF=4,∴在△ABF中,AF==3,∴83=5PD+5PE,即12=5(PD+PE),∴PD+PE=4.8.故選A.)
4.(解析:由題意知S△ABC=S正方形AEFD-S△AEB-S△BFC-S△CDA=22-12-11-12=.∵BC==,∴△ABC中BC邊上的高是2=.)
5.5(解析:∵+=0,∴a2-6a+9=0,b-4=0,解得a=3,b=4,∵直角三角形的兩直角邊長分別為a,b,∴該直角三角形的斜邊長===5.)
6.解:設(shè)CD=x.在Rt△ACD中,由AD2=AC2-CD2,可得AD2=102-x2.在Rt△ABD中,由AD2=AB2-BD2,可得AD2=172-(x+9)2,所以102-x2=172-(x+9)2,解得x=6.∴AD===8.
7.解:當△ABC的高在三角形內(nèi)時,如圖(1)所示,由題意可知BD2=AB2-AD2=152-122, ∴BD=9,CD2=AC2-AD2=132-122,∴CD=5,∴BC=9+5=14,因此△ABC的周長為14+15+13=42. 當△ABC的高在三角形外時,如圖(2)所示,由題意可知BD2=AB2-AD2=152-122,∴BD=9,CD2=AC2-AD2=132-122,∴CD=5,∴BC=9-5=4,因此△ABC的周長為4+15+13=32.綜上所述,△ABC的周長為32或42.
8.證明:如圖所示,連接BD,過點B作BF⊥DE于F,則BF=b-a.∵S五邊形ACBED=S△ACB+S△ABE+S△AED=ab+b2+ab,又∵S五邊形ACBED=S△ACB+S△ABD+S△BDE=ab+c2+a(b-a),∴ab+b2+ab=ab+c2+a(b-a).∴a2+b2=c2.
9.解:如圖所示,作A關(guān)于OB的對稱點D,AD交OB于點M,連接CD交OB于P,連接AP,過D作DN⊥OA于N,則此時PA+PC的值最小,由作圖知DP=PA,∴PA+PC=PD+PC=CD.∵B(3,),∴AB=,OA=3,由勾股定理得OB=2,易得在Rt△OAB中,∠AOB=30.由三角形面積公式得OAAB=OBAM,∴AM=,∴AD=2=3.∵∠AMB=90,∠B=60,∴∠BAM=30,∵∠BAO=90,∴∠OAM=60,∵DN⊥OA,∴∠NDA=30,∴AN=AD=,由勾股定理得DN=.∵C,∴CN=3--=1,在Rt△DNC中,由勾股定理得DC==,即PA+PC的最小值是.
本節(jié)課從知識與方法、能力與素質(zhì)的層面確定了相應(yīng)的教學目標.把學生的探索和驗證活動放在首位,一方面要求學生在老師的引導下自主探索,合作交流,另一方面要求學生對探究過程中用到的數(shù)學思想方法有一定的領(lǐng)悟和認識,達到培養(yǎng)能力的目的.整節(jié)課以“問題情境——分析探究——得出猜想——實踐驗證——總結(jié)升華”為主線,使學生親身體驗勾股定理的探索和驗證過程,努力做到由傳統(tǒng)的數(shù)學課堂向?qū)嶒炚n堂轉(zhuǎn)變.
在教學過程中,高估了學生證明勾股定理的能力,主要困難在于一些學生不能對圖形進行正確的割補.對圖形的割補過程沒有給學生詳細的呈現(xiàn).
適當增加學生拼圖的時間,通過實踐操作,畫圖分析,獨立分析證明思路,正確完成證明過程.
練習(教材第24頁)
1.解:(1)根據(jù)勾股定理a2+b2=c2,得b===8. (2)根據(jù)勾股定理a2+b2=c2,得c===13. (3)根據(jù)勾股定理a2+b2=c2,得a===20.
2.解:如圖所示,在Rt△FHG中,FG2=SA+SB=122+162=400,HG2=SC+SD=92+122=225,∴大正方形的面積SE=FH2=FG2+HG2=400+225=625.
挖掘勾股定理的科學文化價值
勾股定理揭示了直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系.在直角三角形中,已知任意兩邊長,就可以求出第三邊長.勾股定理常用來求解線段長度或距離問題.
勾股定理的探究是從特殊的等腰直角三角形出發(fā),到網(wǎng)格中的直角三角形,再到一般的直角三角形,體現(xiàn)了從特殊到一般的探索、發(fā)現(xiàn)和證明的過程.證明勾股定理的關(guān)鍵是利用割補法求以三角形的斜邊長為邊長的正方形的面積,教學中要注意引導學生通過探索去發(fā)現(xiàn)圖形的性質(zhì),提出一般的猜想,并獲得定理的證明.
我國古代在數(shù)學方面有許多杰出的研究成果,對于勾股定理的研究就是一個突出的例子.教學中可以介紹我國古代在勾股定理的證明和應(yīng)用方面取得的成就和作出的貢獻,以培養(yǎng)學生的民族自豪感.圍繞證明勾股定理的過程,培養(yǎng)學生學習數(shù)學的熱情和信心.
我國漢代數(shù)學家趙爽為了證明勾股定理,創(chuàng)制了一幅“弦圖”,后人稱其為“趙爽弦圖”(如圖(1)所示).圖(2)由弦圖變化得到,它是由八個全等的直角三角形拼接而成的.記圖中正方形ABCD,正方形EFGH,正方形MNKT的面積分別為S1,S2,S3,若S1+S2+S3=10,則S2的值是 .
〔解析〕 解題的關(guān)鍵在于理解如何拼接成“弦圖”,并運用弦圖中隱含的結(jié)論尋找新的等量關(guān)系.設(shè)直角三角形的兩直角邊長分別為a,b(b>a).∵S1=(a+b)2,S2=a2+b2,S3=(b-a)2,∴(a+b)2+(a2+b2)+(b-a)2=10,得a2+b2=,即S2=.故填.
[解題策略] 本題運用數(shù)形結(jié)合思想,先表示出S1,S2,S3,靈活用勾股定理方可解決問題.
第課時
能說出勾股定理,能運用勾股定理的數(shù)學模型解決現(xiàn)實世界的實際問題.
1.通過從實際問題中抽象出直角三角形這一模型,強化轉(zhuǎn)化思想,培養(yǎng)學生解決現(xiàn)實問題的意識和能力.
2.經(jīng)歷探究勾股定理在實際問題中的應(yīng)用過程,進一步體會勾股定理的應(yīng)用方法.
在例題分析和解決過程中,讓學生感受勾股定理在實際生活中的應(yīng)用.同時在學習過程中體會獲得成功的喜悅,提高學生學習數(shù)學的興趣和信心.
【重點】 運用勾股定理解決實際問題.
【難點】 勾股定理的靈活運用.
【教師準備】 教學中出示的教學插圖和例題.
【學生準備】 三角板、三角形模型.
導入一:
電視的尺寸是屏幕對角線的長度.小華的爸爸買了一臺29英寸(74 cm)的電視機,小華量電視機的屏幕后,發(fā)現(xiàn)屏幕只有58 cm長和46 cm寬.他覺得一定是售貨員搞錯了,你同意他的想法嗎?你能解釋是為什么嗎?
引導學生回憶勾股定理的內(nèi)容,學生再嘗試解決上面的問題.
[設(shè)計意圖] 讓學生回憶勾股定理的內(nèi)容,并注意文字語言、圖形語言、符號語言的規(guī)范統(tǒng)一,嘗試解決生活中的實際問題,以激發(fā)學生學習的興趣和探究的欲望.
導入二:
上節(jié)課,我們學習了勾股定理,它的具體內(nèi)容是什么呢?它有什么作用呢?
教師出示問題:求出下列直角三角形中未知的邊.
提出問題后讓一位學生板演,剩下的學生在課堂作業(yè)本上完成.
教師巡視指導答疑,在活動中重點關(guān)注:
(1)學生能否正確應(yīng)用勾股定理進行計算;
(2)在解決直角三角形的問題時,需知道直角三角形的兩個條件且至少有一個條件是邊;
(3)讓學生了解在直角三角形中斜邊最長.
[設(shè)計意圖] 通過簡單的提問幫助學生回顧勾股定理,加深定理的記憶理解,為學習新課做好準備.
[過渡語] 勾股定理應(yīng)用比較廣泛,我們一起來看看下面幾個問題.
1.木板進門問題
思路一
(1)分析導入一提出的問題.
教師在學生討論基礎(chǔ)上明確解決問題的方法:計算電視機對角線的長度,看是否為74 cm.
解:根據(jù)勾股定理,得≈74(cm).
因此,這臺電視機符合規(guī)格.
(2)自學教材第25頁例1.
教師提問:門框能通過薄木板的最大寬度是多少?
學生帶著問題閱讀題目,試寫解答過程.
(3)變式練習:長方體盒內(nèi)長、寬、高分別為3 cm,2.4 cm和1.8 cm,盒內(nèi)可放的棍子最長為 cm.
本題需先求出長和寬組成的長方形的對角線長,為=(cm).這根最長的棍子和長方體的高,以及長和寬組成的長方形的對角線組成了直角三角形,則棍子最長為=3(cm).
教師引導學生小結(jié):遇到求木板進門或?qū)⑽矬w放入立體圖形內(nèi)的問題,常常需要找到能通過(放入)物體的最大長度,與物體的長度比較大小,從而判斷是否可以通過(放入).
[設(shè)計意圖] 通過講練結(jié)合,引導學生獨立分析,自主學習,提高學生運用勾股定理解決簡單問題的能力.
思路二
(教材例1)一個門框的尺寸如圖所示,一塊長3 m,寬2.2 m的長方形薄木板能否從門框內(nèi)通過?為什么?
逐步引導提問:
(1)木板的短邊比門的高還要長,是否一定不能通過?還可以分析比較哪兩個長度?
(2)這兩個長度一個是木板的短邊長,另一個是長方形的對角線的長,能求嗎?如何求?
學生先嘗試后發(fā)現(xiàn):木板橫著進,豎著進,都不能從門框內(nèi)通過.再試一試斜著能否通過.門框?qū)蔷€ AC的長度是斜著能通過的最大長度.求出AC,再與木板的寬比較,就能知道木板能否通過.
解:如圖所示,在Rt△ABC中,根據(jù)勾股定理,
得AC2=AB2+BC2=12+22=5.
AC=≈2.24.
因為AC大于木板的寬2.2 m,所以木板能從門框內(nèi)通過.
[解題策略] 在遇到木板進門或?qū)⑽矬w放入立體圖形內(nèi)的問題,常常需要找到能通過(放入)物體的最大長度,與物體的長度比較大小,從而判斷是否可以通過(放入).
[設(shè)計意圖] 運用轉(zhuǎn)化思想,將求門框的對角線的長轉(zhuǎn)化為已知兩直角邊長求斜邊長,從而用勾股定理解決.
2.梯子靠墻問題
如圖所示,一架2.6 m長的梯子AB斜靠在一豎直的墻AO上,這時AO為2.4 m.如果梯子的頂端A沿墻下滑0.5 m,那么梯子底端B也外移0.5 m嗎?
引導學生分析:利用勾股定理算出梯子底端B外移多少即可,轉(zhuǎn)化為BD=OD-OB,需要根據(jù)勾股定理先計算OD,OB的長度.
解:可以看出,BD=OD-OB.
在Rt△AOB中,根據(jù)勾股定理,
得OB2=AB2-OA2=2.62-2.42=1,
OB==1.
在Rt△COD中,根據(jù)勾股定理,
得OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4-0.5)2=3.15,
OD=≈1.77.
BD=OD-OB≈1.77-1=0.77.
所以梯子的頂端沿墻下滑0.5 m時,梯子底端并不是也外移0.5 m,而是外移約0.77 m.
[解題策略] 已知直角三角形的兩邊長,可以根據(jù)勾股定理求出第三邊長.已知直角三角形的一邊長及兩邊之間的關(guān)系,也可以求出各邊長.在求銳角三角形或鈍角三角形的邊長時,可以將其轉(zhuǎn)化為直角三角形,應(yīng)用勾股定理求解.
[設(shè)計意圖] 鞏固性練習,本題涉及已知斜邊長和一直角邊長求另一直角邊長,也用勾股定理解決.
3.表面距離最短問題
(補充)如圖所示,一只螞蟻沿棱長為a的正方體表面從頂點A爬到頂點B,則它走過的最短路程為 ( )
A.a B.(1+)a
C.3a D.a
解析:將正方體側(cè)面展開,部分展開圖如圖所示.由圖知AC=2a,BC=a.根據(jù)勾股定理,得AB===a.故選D.
[解題策略] 平面圖中,可以直接用勾股定理求兩點之間的距離,而在求表面距離最短的問題時,需要將立體圖形展開后,將實際問題轉(zhuǎn)化成可以用勾股定理進行計算的問題.
[設(shè)計意圖] 通過例題分析解決,建立數(shù)學模型,提高學生分析問題和解決問題的能力.
[知識拓展] 勾股定理應(yīng)用的條件必須是直角三角形,所以要應(yīng)用勾股定理必須構(gòu)造直角三角形.常見的應(yīng)用類型為:①化非直角三角形為直角三角形;②將實際問題轉(zhuǎn)化為直角三角形模型.
用勾股定理計算時,要先畫好圖形,并標好圖形,理清各邊之間的關(guān)系,再靈活運用勾股定理計算.在利用勾股定理進行有關(guān)計算和證明時,要注意運用方程的思想;求直角三角形有關(guān)線段的長,有時還要運用轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想,或利用添加輔助線的方法構(gòu)造直角三角形,再運用勾股定理求解.
1.小明用火柴棒擺直角三角形,已知他擺兩條直角邊分別用了6根和8根火柴棒,他擺完這個直角三角形共用火柴棒 ( )
A.20根 B.14根 C.24根 D.30根
解析:∵擺兩直角邊分別用了6根、8根長度相同的火柴棒,∴由勾股定理,得擺斜邊需用火柴棒=10(根),∴他擺完這個直角三角形共用火柴棒6+8+10=24(根).故選C.
2.為迎接新年的到來,同學們做了許多花布置教室,準備召開新年晚會.小劉搬來一架高2.5米的木梯,木梯放好后,頂端與地面的距離為2.4米,則梯腳與墻腳的距離應(yīng)為 ( )
A.0.7米 B.0.8米 C.0.9米 D.1.0米
解析:仔細分析題意得:梯子、地面、墻剛好形成一直角三角形,梯高為斜邊,利用勾股定理解即可.梯腳與墻腳距離為=0.7(米).故選A.
3.(2015廈門中考節(jié)選)已知A,B,C三地的位置如圖所示,∠C=90,A,C兩地相距4 km,B,C兩地相距3 km,則A,B兩地的距離是 km.
解析:∵∠C=90,A,C兩地的距離是4 km,B,C兩地的距離是3 km,∴AB===5(km).故填5.
4.(2014濰坊中考)我國古代有這樣一道數(shù)學問題:“枯木一根直立地上,高二丈,周三尺,有葛藤自根纏繞而上,五周而達其頂,問葛藤之長幾何?”題意是:如圖所示,把枯木看作一個圓柱體,因一丈是十尺,則該圓柱的高為20尺,底面周長為3尺,有葛藤自點A處纏繞而上,繞五周后其末端恰好到達點B處.則問題中葛藤的最短長度是 尺.
解析:將圓柱平均分成五段,將最下邊一段圓柱的側(cè)面展開,并連接其對角線,即為每段的最短長度,為=5,所以葛藤的最短長度為55=25(尺).故填25.
5.如圖(1)所示,兩點A,B都與平面鏡CD相距4米,且A,B兩點相距6米,一束光由A點射向平面鏡,反射之后恰好經(jīng)過B點,求B點與入射點間的距離.
解:如圖(2)所示,作出B點關(guān)于CD的對稱點B,連接AB,交CD于點O,則O點就是光的入射點,連接OB.因為AC=BD,∠ACO=∠BDO=90,∠AOC=∠BOD,所以△AOC≌△BOD.所以O(shè)C=OD=AB=3米.在Rt△ODB中,OD2+BD2=OB2,所以O(shè)B2=32+42=25,所以O(shè)B=5米.
第2課時
1.木板進門問題
例1
2.梯子靠墻問題
例2
3.表面距離最短問題
例3
一、教材作業(yè)
【必做題】
教材第26頁練習第1,2題;教材第28頁習題17.1第2,3,4,5題.
【選做題】
教材第29頁習題17.1第9,10,11題.
二、課后作業(yè)
【基礎(chǔ)鞏固】
1.如圖所示,有兩棵樹,一棵高10 m,另一棵高4 m,兩樹相距8 m.一只鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢,則小鳥至少飛行 ( )
A.8 m B.10 m C.12 m D.14 m
2.如圖所示的是一個圓柱形飲料罐,底面半徑是5,高是12,上底面中心有一個小圓孔,則一條到達底部的直吸管在罐內(nèi)部分a的長度(罐壁的厚度和小圓孔的大小忽略不計)范圍是 ( )
A.12≤a≤13 B.12≤a≤15
C.5≤a≤12 D.5≤a≤13
3.如圖所示,學校有一塊長方形花圃,有極少數(shù)人為了避開拐角走“捷徑”,在花圃內(nèi)走出了一條“路”.他們僅僅少走了 步路(假設(shè)2步為1米),卻踩傷了花草.
4.如圖所示,在長方形紙片ABCD中,AB=12,BC=5,點E在AB上,將△DAE沿DE折疊,使點A落在對角線BD上的點A處,則AE的長為 .
【能力提升】
5.(2014龍東中考)一圓錐體形狀的水晶飾品,母線長是10 cm,底面圓的直徑是5 cm,點A為圓錐底面圓周上一點,從A點開始繞圓錐側(cè)面纏一圈彩帶回到A點,則彩帶最少用(接頭處重合部分忽略不計) ( )
A.10π cm B.10 cm
C.5π cm D.5 cm
6.如圖所示,某會展中心準備在高5 m,長13 m,寬2 m的樓梯上鋪地毯,已知地毯每平方米18元,請你幫助計算一下,鋪完這個樓梯至少需要 元錢.
7.如圖所示,要制作底邊BC的長為44 cm,頂點A到BC的距離與BC長的比為1∶4的等腰三角形木衣架,則腰AB的長至少需要 cm.(結(jié)果保留根號的形式)
8.甲、乙兩位探險者到沙漠進行探險,沒有了水,需要尋找水源.為了不至于走散,他們用兩部對話機聯(lián)系,已知對話機的有效距離為15千米.早晨8:00甲先出發(fā),他以6千米/時的速度向東行走,1小時后乙出發(fā),他以5千米/時的速度向北行進,上午10:00,甲、乙兩人相距多遠?還能保持聯(lián)系嗎?
9.如圖所示,有一塊直角三角形的綠地,量得兩直角邊長分別為6 m,8 m.現(xiàn)在要將綠地擴充成等腰三角形,且擴充部分是以8 m為直角邊長的直角三角形,求擴充后等腰三角形綠地的周長.
【拓展探究】
10.△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c.若∠C=90,如圖(1)所示,根據(jù)勾股定理,則a2+b2=c2.若△ABC不是直角三角形,如圖(2)和圖(3)所示,請你類比勾股定理,試猜想a2+b2與c2的關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
【答案與解析】
1.B(解析:如圖所示,設(shè)大樹AB高為10 m,小樹CD高為4 m,過C點作CE⊥AB于E,則四邊形EBDC是長方形,連接AC,則EB=4 m,EC=8 m,AE=AB-EB=10-4=6(m).在Rt△AEC中,AC==10 m.)
2.A(解析:a的最小長度顯然是圓柱的高12,根據(jù)勾股定理,得=13.故a的取值范圍是12≤a≤13.故選A.)
3.4(解析:在Rt△ABC中,AB==5(m).再進一步求得少走的路的米數(shù),即(AC+BC)-AB=3+4-5=2(米),也就是少走了4步.)
4.(解析:由勾股定理得BD=13,由題意知DA=DA=BC=5,∠DAE=∠DAE=90.設(shè)AE=x,則AE=x,BE=12-x,BA=13-5=8,在Rt△EAB中,(12-x)2=x2+82.解得x=,即AE的長為.)
5.B(解析:由題意,圓錐的側(cè)面展開圖為扇形,如圖所示,連接AA,AA的長即為最小值.由圓錐的底面周長等于展開圖扇形的弧長,設(shè)展開圖扇形圓心角為n,則5π=,解得n=90,故AA==10(cm).故選B.)
6.612(解析:根據(jù)勾股定理可得樓梯的水平寬度為=12(m),所以地毯的總長為5+12=17(m),所以地毯的面積為172=34(m2),因此地毯總價為3418=612(元).)
7.11(解析:如圖所示,作AD⊥BC于D,由題意知AD∶BC=1∶4,且BC=44 cm,又∵AB=AC,∴在Rt△ABD中,AD=11 cm,BD=BC=22 cm,∴AB==11(cm),即AB的長至少為11 cm.)
8.解:如圖所示,甲從上午8:00到上午10:00一共走了2小時,走了12千米,即OA=12千米.乙從上午9:00到上午10:00一共走了1小時,走了5千米,即OB=5千米.在Rt△OAB中,AB===13(千米).因此,上午10:00時,甲、乙兩人相距13千米.∵15>13,∴甲、乙兩人還能保持聯(lián)系.
9.解:在Rt△ABC中,∠ACB=90,AC=8 m,BC=6 m,由勾股定理得AB=10 m,擴充部分為Rt△ACD,擴充成等腰三角形ABD,應(yīng)分以下三種情況:(1)如圖(1)所示,當AB=AD=10 m時,∵AC⊥BD,∴CD=CB=6 m,∴△ABD的周長=10+10+26=32(m).
(2)如圖(2)所示,當AB=BD=10 m時,∵BC=6 m,∴CD=10-6=4(m),∴AD===4(m),∴△ABD的周長=10+10+4=20+4(m).
(3)如圖(3)所示,當AB為底時,設(shè)AD=BD=x m,則CD=(x-6)m,由勾股定理得AD2=AC2+CD2,即x2=82+(x-6)2,解得x=.∴△ABD的周長為++10=(m).答:擴充后的等腰三角形綠地的周長是32 m或(20+4)m或 m.
10.解:若△ABC是銳角三角形,則有a2+b2>c2;若△ABC是鈍角三角形,∠C為鈍角,則有a2+b20),則BD=a-x,根據(jù)勾股定理,得b2-x2=AD2=c2-(a-x)2,即b2-x2=c2-a2+2ax-x2.∴a2+b2=c2+2ax,∵a>0,x>0,∴2ax>0.∴a2+b2>c2.當△ABC是鈍角三角形時,證明如下:如圖(2)所示,過B作BD⊥AC,交AC的延長線于D.設(shè)CD=y(y>0),則BD2=a2-y2.根據(jù)勾股定理,得(b+y)2+a2-y2=c2,即a2+b2+2by=c2.∵b>0,y>0,∴2by>0,∴a2+b21).現(xiàn)計劃在河岸l上建一抽水站P,用輸水管向兩個村莊供水.
某班數(shù)學興趣小組設(shè)計了兩種鋪設(shè)管道方案:圖(1)是方案一的示意圖,設(shè)該方案中管道長度為d1,且d1=PB+BA(其中BP⊥l于點P);圖(2)是方案二的示意圖,設(shè)該方案中管道長度為d2,且d2=PA+PB(其中點A與點A關(guān)于l對稱,AB與l交于點P.
觀察計算:
(1)在方案一中,d1= km(用含a的式子表示);
(2)在方案二中,組長小宇為了計算d2的長,作了如圖(3)所示的輔助線,請你按小宇同學的思路計算,d2= km(用含a的式子表示).
探索歸納:
(1)①當a=4時,比較大小:d1 d2(填“>”“=”或“<”);
?、诋攁=6時,比較大小:d1 d2(填“>”“=”或“<”).
(2)請你就a(當a>1時)的所有取值情況進行分析,要使鋪設(shè)的管道長度較短,應(yīng)選擇方案一還是方案二?
〔解析〕 要比較d1與d2 的大小,只需要比較與的大小,即比較- 與0的大小,結(jié)合觀察計算知-=(a+2)2-()2=4a-20,再分別根據(jù)其大于0、等于0和小于0確定a,進而選擇方案.
解:觀察計算:
(1)d1=PB+BA=(a+2)km.
(2)因為BK2=a2-1,
AB2=BK2+AK2=a2-1+52=a2+24,
所以d2= km.
探索歸納:
(1)①當a=4時,d1=6 km,d2= km,d1d2.
(2)-=(a+2)2-()2=4a-20.
?、佼?a-20>0,即a>5時,->0,
∴d1-d2>0,∴d1>d2.
②當4a-20=0,即a=5時,-=0,
∴d1-d2=0,∴d1=d2.
?、郛?a-20<0,即a<5時,-<0,
∴d1-d2<0,∴d15時,選方案二;
當a=5時,選方案一或方案二;
當1
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