高中物理 第十一章 2 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的描述教材梳理教案 新人教版選修3-41

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簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的描述 皰丁巧解牛 知識(shí)巧學(xué) 一、描述簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物理量 1.振幅 （1）定義：振動(dòng)物體離開平衡位置的最大距離.用A表示. （2）單位：在國(guó)際單位制中，振幅的單位是米（m）. （3）物理意義：表示振動(dòng)強(qiáng)弱的物理量，振幅越大，表示振動(dòng)越強(qiáng). 聯(lián)想發(fā)散 振幅的大小與振動(dòng)系統(tǒng)的能量有關(guān)，對(duì)同一振動(dòng)系統(tǒng)，振幅越大，表示振動(dòng)系統(tǒng)的能量越大. 辨析比較 振幅是標(biāo)量，它沒有方向，也沒有負(fù)值.振幅與最大位移有著本質(zhì)的區(qū)別.它等于振子最大位移的大小，但卻是不同于最大位移的物理量，因?yàn)樽畲笪灰朴蟹较? 2.周期 （1）全振動(dòng)：振動(dòng)物體往返一次（以后完全重復(fù)原來(lái)的運(yùn)動(dòng)）的運(yùn)動(dòng)叫做一次全振動(dòng)，例如水平方向運(yùn)動(dòng)的彈簧振子的運(yùn)動(dòng)：O→A→O→A′→O或A→O→A′→O→A為一次全振動(dòng)（如圖1-1-22所示，其中O為平衡位置，A、A′為最大位移處）. 圖11-2-2 學(xué)法一得 一次全振動(dòng)是指物體的位移和速度的大小和方向連續(xù)兩次完全相同所經(jīng)歷的過(guò)程（振子將除最大位置處所有可能到達(dá)的位置都到達(dá)了兩次）.對(duì)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體，某一階段的振動(dòng)是否為一次全振動(dòng)，可以從以下兩個(gè)角度判斷： 一是從物體經(jīng)過(guò)某點(diǎn)時(shí)的特征物理量看，如果物體的位移和速度都回到原值（大小、方向兩方面），即物體完成了一次全振動(dòng)，即物體從同一個(gè)方向回到出發(fā)點(diǎn)； 二是看物體在這段時(shí)間內(nèi)通過(guò)的路程是否等于振幅的四倍. （2）定義：做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體完成一次全振動(dòng)所需要的時(shí)間，叫做振動(dòng)的周期，用T表示. （3）單位：在國(guó)際單位制中，周期的單位是秒（s）. （4）物理意義：表示振動(dòng)的快慢，周期越長(zhǎng)表示物體振動(dòng)得越慢，周期越短表示物體振動(dòng)得越快. 誤區(qū)警示 做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體在一個(gè)周期內(nèi)通過(guò)的路程等于振幅的4倍，在半個(gè)周期內(nèi)通過(guò)的路程等于振幅的兩倍，但在四分之一個(gè)周期內(nèi)通過(guò)的路程不一定等于振幅. 3.頻率 （1）定義：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)完成的全振動(dòng)的次數(shù)，叫做振動(dòng)的頻率.用f表示. （2）單位：在國(guó)際單位制中，頻率的單位是赫茲（Hz）. （3）物理意義：頻率是表示物體振動(dòng)快慢的物理量，頻率越大表示振動(dòng)得越快，頻率越小表示振動(dòng)得越慢. （4）周期與頻率的關(guān)系：T=. 聯(lián)想發(fā)散 物體振動(dòng)的周期和頻率，由振動(dòng)系統(tǒng)本身的性質(zhì)決定，與振幅無(wú)關(guān)，所以其振動(dòng)周期叫做固有周期，振動(dòng)頻率叫做固有頻率.在簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)中，振幅跟頻率或周期無(wú)關(guān). 4.相位 物理意義：在物理學(xué)上為描述周期性運(yùn)動(dòng)在各個(gè)時(shí)刻所處的不同狀態(tài)而引入的量. 例如：兩個(gè)用長(zhǎng)度相同的懸線懸掛的小球，把它們拉起同樣的角度同時(shí)放開，我們說(shuō)它們的相位相同，如果兩小球不同時(shí)釋放，則后釋放的小球相位落后于第一個(gè)的相位. 二、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式 1.簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式：x=Asin(ωt+φ) （1）式中x表示振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于平衡位置的位移；t表示振動(dòng)的時(shí)間. （2）A表示振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)偏離平衡位置的最大距離，即振幅. （3）ω稱作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圓頻率，它也表示簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)物體振動(dòng)的快慢，與周期T及頻率f的關(guān)系：ω==2πf. 所以表達(dá)式也可寫成：x=Asin(t+φ)或x=Asin(2πft+φ). （4）φ表示t=0時(shí)，簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)所處的狀態(tài)，稱為初相位或初相.ωt+φ代表了簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)在t時(shí)刻處在一個(gè)運(yùn)動(dòng)周期中的哪個(gè)狀態(tài)，所以代表簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的相位. 聯(lián)想發(fā)散 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的位移和時(shí)間的關(guān)系也可用余弦函數(shù)表示成： x=Acos［-(ωt+φ)］，注意同一振動(dòng)用不同函數(shù)表示時(shí)相位不同，而且相位ωt+φ是隨時(shí)間變化的一個(gè)變量. 2.相位差 是指兩個(gè)相位之差，在實(shí)際中經(jīng)常用到的是兩個(gè)具有相同頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的相位差，反映出兩簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的步調(diào)差異. 設(shè)兩簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)A和B的振動(dòng)方程分別為： x1=A1sin(ωt+φ1)，x2=A2sin(ωt+φ2)，它們的相位差為： Δφ=(ωt+φ2)-(ωt+φ1)=φ2-φ1. 可見，其相位差恰好等于它們的初相之差，因?yàn)槌跸嗍谴_定的，所以頻率相同的兩個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)有確定的相位差. 若Δφ=φ2-φ1＞0，則稱B的相位比A的相位超前Δφ或A的相位比B的相位落后Δφ；若Δφ=φ2-φ1＜0，則稱B的相位比A的相位落后|Δφ|或A的相位比B的相位超前|Δφ|. （1）同相：相位差為零，一般地為Δφ=2πn（n=0,1,2，…） （2）反相：相位差為π，一般地為Δφ=(2k+1)π （n=0,1,2，…） 誤區(qū)警示 比較相位或計(jì)算相位差時(shí)，要用同種函數(shù)來(lái)表示振動(dòng)方程，否則就會(huì)出錯(cuò). 典題熱題 知識(shí)點(diǎn)一 描述簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的基本物理量 例1彈簧振子從距離平衡位置5 cm處由靜止釋放，4 s內(nèi)完成5次全振動(dòng)，則這個(gè)彈簧振子的振幅為_____________cm，振動(dòng)周期為_____________s，頻率為_____________Hz，4 s末振子的位移大小為_____________cm，4 s內(nèi)振子運(yùn)動(dòng)的路程為_____________cm，若其他條件都不變，只是使振子改為在距平衡位置2.5 cm處由靜止釋放，該振子的周期為_______s. 解析：根據(jù)題意，振子從距平衡位置5 cm處由靜止開始釋放，說(shuō)明彈簧振子在振動(dòng)過(guò)程中離開平衡位置的最大距離是5 cm，即振幅為5 cm，由題設(shè)條件可知，振子在4 s內(nèi)完成5次全振動(dòng)，則完成一次全振動(dòng)的時(shí)間為0.8 s,即T=0.8 s,又因?yàn)閒=，可得頻率為1.25 Hz.4 s內(nèi)完成5次全振動(dòng),也就是說(shuō)振子又回原來(lái)的初始點(diǎn)，因而振子的位移大小為5 cm，振子一次全振動(dòng)的路程為20 cm，所以5次全振動(dòng)的路程為100 cm，由于彈簧振子的周期是由彈簧的勁度系數(shù)和振子質(zhì)量決定，其固有周期與振幅大小無(wú)關(guān)，所以從距平衡位置2.5 cm處由靜止釋放,不會(huì)改變周期的大小,周期仍為0.8 s. 答案：5 0.8 1.25 5 100 0.8 方法歸納 任何物理知識(shí)的學(xué)習(xí)，都離不開對(duì)基本概念的認(rèn)識(shí)和理解，本題主要考查對(duì)描述振動(dòng)的三個(gè)物理量的認(rèn)識(shí)和理解以及位移和路程的區(qū)別，根據(jù)一次全振動(dòng)確定周期，根據(jù)周期或單位時(shí)間內(nèi)完成全振動(dòng)的次數(shù)確定頻率.簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)中的位移是相對(duì)平衡位置而言的，本題中容易把釋放處當(dāng)作位移起點(diǎn). 知識(shí)點(diǎn)二 全振動(dòng)、振幅和路程的關(guān)系 例2 如圖11-2-3所示是物體做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振動(dòng)圖象.請(qǐng)根據(jù)圖象回答下列問題： 圖11-2-3 （1）在圖中t1時(shí)刻和t2時(shí)刻，物體的位移各是多少？ （2）這個(gè)物體的振幅是多大？ （3）這個(gè)振動(dòng)的周期是多少？頻率是多大？ （4）判斷t1、t2時(shí)刻的物體運(yùn)動(dòng)方向. 解析：（1）從圖中直接讀出t1時(shí)刻的位移為-3 cm；t2時(shí)刻的位移為2 cm. （2）振幅指振動(dòng)物體偏離平衡位置的最大位移.從圖中讀出位移最大值為5 cm，因此振幅為5 cm. （3）振動(dòng)是一個(gè)周期性往復(fù)運(yùn)動(dòng)，圖中ａ和ｂ表示物體完成了一次全振動(dòng)又回到原來(lái)的狀態(tài)，經(jīng)歷的時(shí)間即周期.可見，這個(gè)振動(dòng)的周期為2 s，頻率為0.5 Hz. （4）由圖象可以看出，t1時(shí)刻的下一時(shí)刻點(diǎn)的位移變大且遠(yuǎn)離平衡位置指向負(fù)方向，所以可以判斷t1時(shí)刻物體正沿著負(fù)方向遠(yuǎn)離平衡位置.同理可以判斷t2時(shí)刻物體的運(yùn)動(dòng)方向?yàn)檠刂较蜻h(yuǎn)離平衡位置. 答案：（1）t1時(shí)刻的位移為-3cm；t2時(shí)刻的位移為2 cm； （2）振幅為5 cm； （3）周期為2 s，頻率為0.5 Hz； （4）t1時(shí)刻沿負(fù)方向遠(yuǎn)離平衡位置，t2時(shí)刻沿正方向遠(yuǎn)離平衡位置. 巧解提示 也可以通過(guò)圖象在某點(diǎn)的斜率來(lái)表示速度.其中斜率的絕對(duì)值表示速度的大小，正負(fù)號(hào)表示運(yùn)動(dòng)的方向.由圖可以看出t1時(shí)刻的圖象斜率為負(fù)值，表示物體向負(fù)方向運(yùn)動(dòng)；t2時(shí)刻的圖象斜率為正值，表示物體向正方向運(yùn)動(dòng). 知識(shí)點(diǎn)三 振動(dòng)的對(duì)稱性 例3如圖11-2-4所示，一個(gè)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，先后以同樣大小的速度通過(guò)相距10 cm的A、B兩點(diǎn)，歷時(shí)0.5 s，過(guò)B點(diǎn)后再經(jīng)過(guò)t=0.5 s質(zhì)點(diǎn)以方向相反、大小相同的速度再次通過(guò)B點(diǎn)，則質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的周期是（ ） 圖11-2-4 A.0.5 s B.1.0 s C.2.0 s D.4.0 s 解析：根據(jù)題意，由振動(dòng)的對(duì)稱性可知：AB的中點(diǎn)（設(shè)為O）為平衡位置，A、B兩點(diǎn)對(duì)稱分布于O點(diǎn)兩側(cè)；質(zhì)點(diǎn)從平衡位置O向右運(yùn)動(dòng)到B的時(shí)間應(yīng)為tOB=0.5 s=0.25 s質(zhì)點(diǎn)從B向右到達(dá)右方極端位置（設(shè)為D）的時(shí)間tBD=0.5 s=0.25 s所以，質(zhì)點(diǎn)從O到D的時(shí)間tOD=T=0.25 s+0.25 s=0.5 s,所以T=2 s. 答案：C 巧解提示 本題的關(guān)鍵是認(rèn)識(shí)振動(dòng)的對(duì)稱性，如圖1125所示，設(shè)C、D為質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)中左方和右方的極端位置，則由對(duì)稱性可知：質(zhì)點(diǎn)從B→D→B的時(shí)間一定等于質(zhì)點(diǎn)從A→C→A的時(shí)間，即tBDB=tACA=0.5 s.所以，質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)周期T=tAB+tBDB+tBA+tACA=2 s. 圖11-2-5 知識(shí)點(diǎn)四 周期性帶來(lái)的多解性問題 例4彈簧振子以O(shè)點(diǎn)為平衡位置做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，從O點(diǎn)開始計(jì)時(shí)，振子第一次到達(dá)M點(diǎn)用了0.3 s時(shí)間，又經(jīng)過(guò)0.2 s第二次通過(guò)M點(diǎn)，則振子第三次通過(guò)M點(diǎn)還要經(jīng)過(guò)的時(shí)間可能是（ ） A. s B. s C.1.4 s D.1.6 s 解析：如圖11-2-6所示，t1=0.3 s,t2=0.2 s，第一種可能： 圖11-2-6 =t1+=(0.3+) s=0.4 s 即T=1.6 s 第三次通過(guò)M還要經(jīng)過(guò)的時(shí)間 t3=+2t1=(0.8+20.3) s=1.4 s. 第二種可能：由圖可知： t1-+=，即T= s 第三次通過(guò)M點(diǎn)還要經(jīng)過(guò)的時(shí)間 t3=t1+（t1-）=(20.3-) s= s. 答案：AC 方法歸納 本題考查簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期的概念，明確題目中的O點(diǎn)與M點(diǎn)間的位置關(guān)系及簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)，便可找出結(jié)果. 問題探究 思想方法探究 問題 怎樣求振動(dòng)物體在一段時(shí)間內(nèi)通過(guò)的路程？ 探究過(guò)程: 1.求振動(dòng)物體在一段時(shí)間內(nèi)通過(guò)路程的基本依據(jù)： （1）振動(dòng)物體在一個(gè)周期內(nèi)的路程一定為四個(gè)振幅，則在n個(gè)周期內(nèi)路程必為n4A. （2）振動(dòng)物體在半個(gè)周期內(nèi)的路程一定為兩個(gè)振幅. （3）振動(dòng)物體在T/4內(nèi)的路程可能等于一個(gè)振幅，還可能小于一個(gè)振幅，只有當(dāng)T/4的初時(shí)刻，振動(dòng)物體在平衡位置或最大位移處，T/4的路程才等于一個(gè)振幅. 2.計(jì)算路程的方法是：先判斷所求的時(shí)間內(nèi)有幾個(gè)周期，再依據(jù)上述規(guī)律求路程. 探究結(jié)論:先判斷所求的時(shí)間內(nèi)有幾個(gè)周期，再依據(jù)上述規(guī)律求路程. 思維發(fā)散探究 問題 利用簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性和周期性可作出哪些判斷？ 探究思路：做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中各物理量關(guān)于平衡位置對(duì)稱，以水平彈簧振子為例，振子通過(guò)關(guān)于平衡位置對(duì)稱的兩點(diǎn)，加速度、速度大小相等，動(dòng)能相等，勢(shì)能相等，對(duì)稱性還表現(xiàn)在過(guò)程量的相等上，如從某點(diǎn)到達(dá)最大位置和從最大位置再回到該點(diǎn)所需要的時(shí)間相等，質(zhì)點(diǎn)從某點(diǎn)向平衡位置運(yùn)動(dòng)時(shí)到達(dá)平衡位置的時(shí)間和它從平衡位置再運(yùn)動(dòng)到該點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)所用的時(shí)間相等. 探究結(jié)論:觀點(diǎn)一：若t1-t2=nT，則t1、t2兩時(shí)刻振動(dòng)物體在同一位置，運(yùn)動(dòng)情況相同. 觀點(diǎn)二：若t2-t1=nT+T，則t1、t2兩時(shí)刻，描述運(yùn)動(dòng)的物理量（x、F、a、v）均大小相等，方向相反. 觀點(diǎn)三：若t2-t1=nT+T或t2-t1=nT+T，則當(dāng)t1時(shí)刻物體到達(dá)最大位移處時(shí)，t2時(shí)刻到達(dá)平衡位置；當(dāng)t1時(shí)刻物體在平衡位置時(shí)，t2時(shí)刻到達(dá)最大位移處；若t1時(shí)刻，物體在其他位置，t2時(shí)刻物體到達(dá)何處就要視具體情況而定.