高中物理 第十一章 4 單擺教材梳理教案 新人教版選修3-41

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單擺 皰丁巧解牛 知識巧學(xué) 一、單擺的回復(fù)力 1.單擺 用一根不可伸長且不計質(zhì)量的細(xì)線，懸掛一直徑可忽略的小球所組成的裝置，叫做單擺. 要點提示 單擺是實際擺的理想化模型. 2.實際擺看作單擺的條件 （1）擺線的形變量與擺線長度相比小得多，懸線的質(zhì)量與擺球質(zhì)量相比小得多，這時可把擺線看成是不可伸長，且沒有質(zhì)量的細(xì)線. （2）擺球的直徑與擺線長度相比小得多，這時可把擺球看成是沒有大小只有質(zhì)量的質(zhì)點. 學(xué)法一得 某一物理量是否可以略去不計，是相對而言的，為了滿足上述條件應(yīng)盡量減小空氣阻力對它的影響，我們組成單擺的擺球應(yīng)選擇質(zhì)量大而體積小的球，線應(yīng)選擇盡量細(xì)而輕且彈性小的線. 3.單擺的回復(fù)力 （1）單擺的回復(fù)力是重力沿圓弧切向的分力F=mgsinθ提供的. （2）單擺在擺角很小時做簡諧運動. 如圖11-4-1所示，擺球受重力mg和繩子拉力F′兩個力作用，將重力按切線方向、徑向正交分解，則繩子的拉力F′與重力的徑向分量的合力提供了擺球做圓周運動所需的向心力，而重力的切向分力F提供了擺球振動所需的回復(fù)力F=mgsinθ. 圖11-4-1 設(shè)單擺的擺長為l，在最大偏角θ很小的條件下，擺球?qū)點的位移x的大小，與θ角所對的弧長，θ角所對的弦長都近似相等，即x==OP. 若擺角θ用弧度表示，則由數(shù)學(xué)關(guān)系知：sinθ=≈ 所以重力沿切向分力F=mgsinθ≈mg 令k=，則F=kx 因為F的方向可認(rèn)為與x方向相反，則F回=-kx 由此可見單擺在擺角很小條件下的振動為簡諧運動. 誤區(qū)警示 單擺振動的回復(fù)力是重力在切線方向的分力，或者說是擺球所受合外力在切線方向的分力.擺球所受的合外力在擺線方向的分力作為擺球做圓周運動的向心力.所以并不是合外力完全用來提供回復(fù)力的.因此擺球經(jīng)平衡位置時，只是回復(fù)力為零，而不是合外力為零.（此時合外力提供擺球做圓周運動的向心力） 4.單擺的運動特點 （1）擺球以懸掛點為圓心在豎直平面內(nèi)沿圓弧做變速圓周運動，做圓周運動需要向心力，向心力由繩子的拉力與重力的徑向分量的合力提供. （2）擺球同時以最低點為平衡位置做振動，做振動需要回復(fù)力，由擺球重力的切向分力提供（或擺球所受合外力沿圓弧切向分力提供）. 二、單擺的周期 1.伽利略發(fā)現(xiàn)了單擺運動的等時性，惠更斯得出了單擺的周期公式，并發(fā)明了擺鐘. 2.單擺的周期公式：T=2π. （1）單擺的周期T=2π為單擺的固有周期，相應(yīng)地f=為單擺的固有頻率，即周期與振幅與擺球質(zhì)量無關(guān)，只與擺長l及單擺所在地的重力加速度有關(guān). （2）單擺的周期公式最大偏角很小時成立（達(dá)5時，與實際測量值的相對誤差為0.01%）. （3）單擺周期公式中的g應(yīng)為單擺所在處的重力加速度，l應(yīng)為單擺的擺長.因為實際的單擺擺球不可能是質(zhì)點，所以擺長是指從懸點到擺球重心的長度.對于不規(guī)則的擺動物體或復(fù)合物體，擺長均為從懸點到擺動物體重心的長度.而從懸點到擺線與擺球連接點的長度通常叫擺線長. 3.秒擺：周期為2 s的單擺，叫做秒擺. 三、用單擺測定重力加速度 1.原理 由單擺周期公式T=2π可得重力加速度g= 據(jù)此只要測出單擺擺長l和周期T，即可計算出當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣戎? 2.器材 鐵架臺及鐵夾、金屬小球（最好上面有一個通過球心的小孔）、秒表、細(xì)線（1 m左右）、刻度尺（最小刻度為 mm）、游標(biāo)卡尺. 學(xué)法一得 選擇材料時應(yīng)選擇細(xì)而不易伸長的線，比如用單根尼龍絲、絲線等，長度一般不應(yīng)短于1 m，小球應(yīng)選用密度較大的金屬球直徑應(yīng)較小，最好不超過2 cm. 3.實驗步驟 （1）讓細(xì)線穿過球上的小孔，在細(xì)線的一端打一個稍大一些的線結(jié)，制成一個單擺. （2）將小鐵夾固定在鐵架臺上端，鐵架臺放在實驗桌邊，使鐵夾伸出桌面之外，然后把單擺上端固定在鐵夾上，使擺球自由下垂. 誤區(qū)提示 單擺懸線的上端不可隨意卷在鐵夾桿上，應(yīng)夾緊在鐵夾中，以免擺動時發(fā)生擺線下滑、擺長改變的現(xiàn)象. （3）用刻度尺和游標(biāo)卡滅測量單擺的擺長（擺線靜掛時從懸點到球心間的距離）. （4）把此單擺從平衡位置拉開一個角度，并使這個角不大于10，再釋放小球，當(dāng)擺球擺動穩(wěn)定以后，過最低位置時，用秒表開始計時，測量單擺全振動30次（或50次）的時間，求出一次全振動的時間，即單擺的振動周期. 學(xué)法一得 ①注意擺動時控制擺線偏離豎直方向不超過10，可通過估算振幅的辦法掌握；②計算單擺的振動次數(shù)時，應(yīng)以擺球通過最低位置時開始計時，以后擺球應(yīng)從同一方向通過最低點時計數(shù)，要多測幾次（如30次或50次）全振動的時間，用取平均值的辦法求周期. 誤區(qū)警示 擺球擺動時，要使之保持在同一個豎直平面內(nèi)，不要形成圓錐擺. （5）改變擺長，反復(fù)測量三次，算出對應(yīng)的周期T及測得的擺長l代入公式g=，求出重力加速度的值，然后求g的平均值. 學(xué)法一得 數(shù)據(jù)處理既可以采用計算取平均值的方法，也可以作出T2-l的圖象，據(jù)圖象求解重力加速度. 由l=T2知，圖象應(yīng)該是一條過原點的直線，且斜率k=所以求出線的斜率k，可得重力加速度g=4π2k. 典題熱題 知識點一 單擺模型 例1單擺是為研究振動而抽象出的理想化模型，其理想化條件是 …( ) A.擺線質(zhì)量不計 B.擺線長度不伸縮 C.擺球的直徑比擺線長度短得多 D.主要是單擺的運動就是一種簡諧運動 解析：單擺由擺線和擺球組成，擺線只計長度不計質(zhì)量，擺球只計質(zhì)量不計大小，且擺線不伸縮，A、B、C三項正確.但把單擺作為簡諧運動來處理是有條件的，只有在擺角很?。é龋?0）的情況下才能視單擺運動為簡諧運動. 答案：ABC 例2下列關(guān)于單擺的說法，正確的是( ) A.單擺擺球從平衡位置運動到正向最大位移處的位移為A（A為振幅），經(jīng)過正向最大位移處又運動到平衡位置時的位移為-A B.單擺擺球的回復(fù)力等于擺球所受的合力 C.單擺擺球的回復(fù)力是擺球重力沿運動軌跡切線方向的分力 D.單擺擺球經(jīng)過平衡位置時加速度為零 解析：簡諧運動中的位移是以平衡位置作為起點，擺球在最大位移處時位移為A，在平衡位置時位移應(yīng)為零，擺球的回復(fù)力由合力沿圓弧切線方向的分力（等于重力沿圓弧切線方向的分力）提供，合力沿擺線方向的分力提供向心力，擺球經(jīng)最低點（振動的平衡位置）時回復(fù)力為零，但向心力不為零，所以加速度不為零（擺球到最高點時，向心力不為零，回復(fù)力最大，合力也不為零）. 答案：C 深化升華 做簡諧運動的物體在平衡位置處回復(fù)力為零，但合外力不一定為零，因此不能說平衡位置就是受力平衡的位置.彈簧振子經(jīng)過平衡位置時所受合力為零，故加速度為零，但單擺經(jīng)過平衡位置時合力不為零，只是回復(fù)力為零.所以存在加速度，即向心加速度. 知識點二 單擺的周期公式 例3一個單擺，如果擺球的質(zhì)量增加為原來的4倍，擺球經(jīng)過平衡位置時速度減為原來的一半，則單擺的( ) A.頻率不變，振幅不變 B.頻率不變，振幅改變 C.頻率改變，振幅不變 D.頻率改變，振幅不變 解析：決定單擺周期的是擺長和當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣?，與質(zhì)量無關(guān)，與單擺的運動速度也無關(guān).當(dāng)然頻率也與質(zhì)量和速度無關(guān)，所以選項C、D錯誤.決定振幅的是外來因素.反映在單擺的運動中，可以從能量去考慮，在平衡位置（即最低點）時的動能.當(dāng)質(zhì)量增為原來的4倍，速度減為原來的一半時，動能不變，最高點的重力勢能也不變.但是又因第二次擺球的質(zhì)量增大了（實際上單擺已經(jīng)變成另一個擺動過程了），勢能不變，質(zhì)量變大了，擺動的豎直高度就一定變小了，也就是說，振幅變小了. 答案：B 方法歸納 本題的分析解答提醒我們：一是要考慮全面，本題中的質(zhì)量和速度兩因素的變化對確定的單擺振動究竟會產(chǎn)生怎樣的影響，要進(jìn)行全面分析；二是分析問題時要有充分的理論依據(jù)，如本題中決定單擺振動的頻率的因素應(yīng)以周期公式為依據(jù)，而不能以速度判定振動的快慢，振幅應(yīng)以動能和勢能之間的相互轉(zhuǎn)化為依據(jù). 例4有一單擺，其擺長l=1.02 m，擺球的質(zhì)量m=0.10 kg，已知單擺做簡諧運動，單擺振動30次用的時間t=60.8 s，試求： （1）當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣仁嵌啻螅? （2）如果將這個擺改為秒擺，擺長應(yīng)怎樣改變？改變多少？ 解析：用振動30次的時間，計算出周期，再利用單擺的周期公式變形后可解得當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣?要改為秒擺，需要改變擺長，是周期變成2 s. 答案：（1）當(dāng)單擺做簡諧運動時，其周期公式 T=2π，由此可得g=4π 2l/T2，只要求出T值代入即可. 因為T== s=2.027 s， 所以g=4π2l/T2=(43.1421.02)/2.0272 m/s2=9.79 m/s2. （2）秒擺的周期是2 s，設(shè)其擺長為l0，由于在同一地點重力加速度是不變的，根據(jù)單擺的振動規(guī)律有：=， 故有：l0==m=0.993 m. 其擺長要縮短Δl=l-l0=1.02 m-0.993 m=0.027 m. 方法歸納 單擺的周期公式T=2π是在當(dāng)單擺的最大偏角小于10，單擺的振動是在簡諧運動的條件下才適用的。改變單擺的擺長能改變單擺的周期，同一單擺在重力加速度不同的兩地周期也不相同，單擺的周期與單擺的振幅無關(guān)，與擺球的質(zhì)量也無關(guān)，另外根據(jù)周期公式的變形式g=還可以測重力加速度. 知識點三 單擺周期公式與勻變速直線運動結(jié)合 例5將一水平木板從一沙擺（可視為簡諧運動的單擺）下面以a=0.2 m/s2的加速度勻加速地水平抽出，板上留下的沙跡如圖11-4-2所示，量得=4 cm,=9 cm,=14 cm，試求沙擺的振動周期和擺長.（g=10 m/s2） 圖11-4-2 解析：根據(jù)單擺振動的等時性得到、、三段位移所用的時間相同，由勻變速直線運動規(guī)律Δs=aT2計算可得. 答案：由Δs=aT2 T==s=0.5 s 振動周期T′=2T=1 s 由單擺公式T=2π得 L==0.25 m. 知識點四 等效重力加速度 例6試確定下列幾個擺球在平衡位置附近來回振動的周期. （1）如圖11-4-3甲所示.懸掛在水平橫梁上的雙線擺球.擺線長為l，擺線與水平橫梁夾角θ； （2）如圖11-4-3乙所示.光滑斜面上的擺球.斜面傾角為θ，擺線長為l； （3）如圖11-4-3丙所示.懸掛在升降機中的單擺，擺長為l，升降機以加速度a豎直向上做勻加速運動. 圖11-4-3 解析：（1）雙線擺在垂直于紙面的豎直面里做簡諧運動，等效擺長為lsinθ，故振動周期為T=2π； （2）擺球在光滑的斜面上來回振動，回復(fù)力由小球重力沿斜面向下的分力mgsinθ決定，等效重力加速度為gsinθ，其振動周期為T=2π； （3）升降機豎直向上做勻加速運動時，擺球“超重”，回復(fù)力由m(g+a)決定，等效重力加速度為g+a，擺球振動周期為T=2π. 答案：（1）T=2π （2）T=2π （3）T=2π 方法歸納 當(dāng)實際擺不是理想單擺時，可以通過等效變換將其轉(zhuǎn)換為理想單擺，在利用公式T=2π計算周期時，l對應(yīng)等效擺長，ｇ對應(yīng)等效重力加速度.等效重力加速度的求法是：假設(shè)擺球不振動，靜止時繩子的拉力對應(yīng)等效重力，其對應(yīng)的加速度即為等效重力加速度. 知識點五 類單擺問題 例7 如圖11-4-4所示，光滑的半球殼半徑為R,O點在球心的正下方，一小球由距O點很近的A點由靜止放開，同時在O點正上方有一小球自由落下，若運動中阻力不計，為使兩球在O點相碰，小球由多高處自由落下（＜＜）. 圖11-4-4 解析：球由點開始沿球內(nèi)表面運動時，只受重力和支持力作用，等效為單擺的運動，因為OA＜＜R,所以球自A點釋放后做簡諧運動，要使兩球在O點相碰，兩者到O點的運動時間相等. 答案：小球由A點由靜止釋放運動到O點的時間為（2n-1）,n=1,2,3，…，由于O點正上方自由落下的小球到O的時間也為(2n-1)時兩球才能在O點相碰，所以 h=gt2=g(2n-1)2=(n=1,2,3，…) 方法歸納 解此題關(guān)鍵在于沿光滑圓弧運動的小球運動性質(zhì)，小球受重力、軌道支持力，此支持力類似單擺中的擺線拉力，故此裝置可稱為類單擺，其周期為2π，R為等效擺長. 問題探究 思維發(fā)散探究 問題 如何理解公式T=2π中的“g”？ 探究過程：單擺的周期公式T=2π是惠更斯從實驗中總結(jié)出來的，單擺的回復(fù)力是重力沿圓弧切線方向并且指向平衡位置的分力，偏角越大回復(fù)力越大，加速度（gsina）越大，由于擺球的軌跡是圓弧，所以除最高點外，擺球的回復(fù)力并不等于合外力，在有些振動系統(tǒng)中l(wèi)不一定是繩長，g也不一定為9.8 m/s2，因此出現(xiàn)了等效擺長和等效重力加速度的問題. 1.公式中的g由單擺所在的空間位置決定. 由G=g知，g隨地球表面不同位置、不同高度而變化，在不同星球上也不相同，因此應(yīng)求出單擺所在處的等效值g′代入公式，即g不一定等于9.8 m/s2. 2.g還由單擺系統(tǒng)的運動狀態(tài)決定，如果擺處在向上加速發(fā)射的航天飛機內(nèi)，設(shè)加速度為a，此時擺球處于超重狀態(tài)，沿圓弧切線方向的回復(fù)力變大，擺球質(zhì)量不變，則重力加速度的等效值g′=g+a；再如，單擺若在軌道上運動的航天飛機內(nèi)，擺球完全失重，回復(fù)力為零，則等效值g′=0，所以周期為無窮大，即單擺不擺動了. 3.g還由單擺所處的物理環(huán)境決定.如帶電小球做成的單擺在豎直方向的勻強電場中，回復(fù)力應(yīng)是重力和豎直電場力的合力在圓弧切線方向的分力，所以也有-g′的問題. 在均勻場中g(shù)′值等于擺球在平衡位置不擺動時擺線的張力與擺球質(zhì)量的比值，由此找到等效重力加速度g′代入公式即可求得周期T. 探究結(jié)論:觀點一：公式中的g由單擺所在的空間位置決定. 觀點二：g還由單擺系統(tǒng)的運動狀態(tài)決定. 觀點三：g還由單擺所處的物理環(huán)境決定. 方案設(shè)計探究 問題 探究單擺的周期跟哪些因素有關(guān)？ 探究過程：1.猜想：由于周期只與單擺系統(tǒng)本身的因素有關(guān)，所以猜想影響單擺周期的因素為：細(xì)線的長度、小球的質(zhì)量、小球擺到最高位置時繩子與豎直方向的夾角（或振幅）. 2.方法：控制變量法. 3.過程:（1）擺長、擺球質(zhì)量不變，改變擺球的偏角（偏角都很?。?，測出不同偏角時單擺的周期，設(shè)計表格并記錄實驗數(shù)據(jù). （2）擺長、擺角不變，改變擺球質(zhì)量，測出不同質(zhì)量時單擺的周期，設(shè)計表格并記錄實驗數(shù)據(jù). （3）擺球質(zhì)量、擺角不變，改變擺長，測出不同擺長時單擺的周期，設(shè)計表格并記錄實驗數(shù)據(jù). 4.分析論證：分別以細(xì)繩的擺長、小球的質(zhì)量、擺角為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的周期為縱坐標(biāo)作圖，總結(jié)三個因素對單擺周期的影響. 探究結(jié)論:單擺的周期跟擺長有關(guān)，跟擺球質(zhì)量、擺角無關(guān).