高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題 理7

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惠南中學(xué)2016年春季期末考試 高二數(shù)學(xué)（理科）試卷 考試時(shí)間：120分鐘 滿分：150分 一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的） 1.已知集合，Z，則( ) A. B. C. D. 2.已知復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位， 則( ) A. B. C. D. 3.學(xué)校對(duì)2016屆高三學(xué)生進(jìn)行考前心理輔導(dǎo)，在高三甲班50名學(xué)生中，男生有30人，女生有20人，抽取5人，恰好2男3女，有下列說法： （1） 男生抽到的概率比女生抽到的概率大； （2）一定不是系統(tǒng)抽樣； （3） 不是分層抽樣； （4）每個(gè)學(xué)生被抽取的概率相同. 則以上說法正確的是（ ） A．（1）（2） B．（2）（3） C．（3）（4） D．（2）（4） 4.向量，，若，則（ ） A． B． C． D． 5.若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布, 且, 則( ) A. B. C. D. 6過拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)， 若，則（ ） A． B． C． D． 7. 已知某工程在很大程度上受當(dāng)?shù)啬杲邓康挠绊?，施工期間的年降水量X（單位：mm）對(duì)工期延誤天數(shù)Y的影響及相應(yīng)的概率如下表所示： 降水量X 工期延誤天數(shù)Y 0 5 15 30 概率P 在降水量至少是的條件下，工期延誤不超過天的概率為( ) A. B. C. D. 8. 如圖所示程序框圖，若時(shí)，則輸出的數(shù)等于（ ） A． B． C． D． 9.不等式組的解集記為, 若, 則的最小值是( ) A. B. C. D. 10. 使N展開式中含有常數(shù)項(xiàng)的的最小值是( ) A. B. C. D. 11.如圖, 網(wǎng)格紙上的小正方形的邊長為, 粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖, 則該幾何體的體積是 ( ) A. B. C. D. 12. 已知函數(shù)，若存在，使得成立，則實(shí)數(shù)的值為（ ）A． B． C． D． 二、填空題(共4小題，每小題5分，滿分20分) 13. 曲線在點(diǎn)處的切線方程為 . 14. 已知平面向量與的夾角為，，，則 . 15. 已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在橢圓上，則橢圓的方程為 . 16. 一個(gè)二元碼是由0和1組成的數(shù)字串 ，其中 稱為第位碼元，二元碼是通信中常用的碼，但在通信過程中有時(shí)會(huì)發(fā)生碼元錯(cuò)誤（即碼元由0變?yōu)?，或者由1變?yōu)?）.已知某種二元碼 的碼元滿足如下校驗(yàn)方程組： 其中運(yùn)算 定義為： ． 現(xiàn)已知一個(gè)這種二元碼在通信過程中僅在第 位發(fā)生碼元錯(cuò)誤后變成了1101101，那么利用上述校驗(yàn)方程組可判定 等于 ． 三、解答題：（本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．） 17.（本小題12分） 設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和, 已知, N. (Ⅰ) 求數(shù)列的通項(xiàng)公式； (Ⅱ) 令，求數(shù)列的前項(xiàng)和. 18.（本小題12分） 班主任為了對(duì)本班學(xué)生的考試成績(jī)進(jìn)行分析，決定從本班名女同學(xué)，名男同學(xué)中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為的樣本進(jìn)行分析. (Ⅰ)如果按照性別比例分層抽樣，可以得到多少個(gè)不同的樣本？ （注：本小題最后答案只要求寫出算式，不必計(jì)算出結(jié)果） (Ⅱ)如果隨機(jī)抽取的名同學(xué)的數(shù)學(xué)，物理成績(jī)(單位：分)對(duì)應(yīng)如下表： 學(xué)生序號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 數(shù)學(xué)成績(jī) 60 65 70 75 85 87 90 物理成績(jī) 70 77 80 85 90 86 93 若規(guī)定分以上（包括分）為優(yōu)秀，從這名同學(xué)中抽取名同學(xué)，記名同學(xué)中數(shù)學(xué)和物理成績(jī)均為優(yōu)秀的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望. 19.（本小題12分） 如圖，在三棱錐中，側(cè)面與側(cè)面均為等邊三角形，，為中點(diǎn)． （1）證明：平面； （2）求二面角的余弦值． 20.（本小題12分） 已知點(diǎn)，點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，過作直線，，線段的垂直平分線與交于點(diǎn). (Ⅰ)求點(diǎn)的軌跡的方程； (Ⅱ)若點(diǎn)是直線上兩個(gè)不同的點(diǎn), 且△的內(nèi)切圓方程為，直 線的斜率為，求的取值范圍. 21.（本小題12分） 已知函數(shù) (x∈R) (Ⅰ) 當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值； (Ⅱ) 若時(shí),,求實(shí)數(shù)的取值范圍； 22.（本小題10分） 已知都是實(shí)數(shù)，，. (I)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍； (II)若對(duì)滿足條件的所有都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 惠南中學(xué)2016年春季期末考試 高二數(shù)學(xué)（理科）試卷 解析 第Ⅰ卷 一. 選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符 合題目要求的。 （1）已知集合，Z，則( ) (A) (B) (C) (D) 答案：C 解析：解一元二次不等式：＜2，得：，又，所以，N＝， 所以，. （2）已知復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位， 則( ) (A) (B) (C) (D) 答案：B 解析：因?yàn)閦＝＝，所以，＝1 (3)學(xué)校對(duì)2016屆高三學(xué)生進(jìn)行考前心理輔導(dǎo)，在高三甲班50名學(xué)生中，男生有30人，女生有20人，抽取5人，恰好2男3女，有下列說法： （2） 男生抽到的概率比女生抽到的概率大；（2）一定不是系統(tǒng)抽樣； （4） 不是分層抽樣； （4）每個(gè)學(xué)生被抽取的概率相同. 以上說法正確的是（ ） A．（1）（2） B．（2）（3） C．（3）（4） D．（2）（4） 【命題意圖】本題主要考查抽樣的有關(guān)知識(shí)，考查學(xué)生的概念掌握和數(shù)據(jù)處理能力. 【答案】C 【解析】由抽樣的概念可知，此抽樣方法不是分層抽樣，不管用哪種抽樣，每個(gè)學(xué)生被抽取到的概率相同，故（3），（4）正確. （4）向量，，若，則（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，，因?yàn)?，所以，解得，故選C. （5）已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布, 且, 則( ) (A) (B) (C) (D) 答案：B 解析：由于隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，又， 所以，，1－0.32＝0.68 （6） 過拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，如果，則（ ）A． B． C． D． 【答案】B 【解析】拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為．根據(jù)拋物線的定義可得：，故選B． (7) 已知某工程在很大程度上受當(dāng)?shù)啬杲邓康挠绊?，施工期間的年降水量X（單位：mm）對(duì)工期延誤天數(shù)Y的影響及相應(yīng)的概率如下表所示： 降水量X 工期延誤天數(shù)Y 0 5 15 30 概率P 在降水量至少是的條件下，工期延誤不超過天的概率為( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】條件概型 (8)如圖所示程序框圖，若時(shí)，則輸出的數(shù)等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】模擬程序框圖的運(yùn)行過程，如下： 輸入，，，； ，是，，； ，是，，； ，是，，； ，是，，； ，否，輸出． 故選D． 考點(diǎn)：程序框圖. （9）不等式組的解集記為, 若, 則的最小值是( ) (A) (B) (C) (D) 答案：A 解析：畫出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖三角形ABC為所示，當(dāng)過A（－2,0）時(shí)取得最上值為－4 （10）使N展開式中含有常數(shù)項(xiàng)的的最小值是( ) (A) (B) (C) (D) 答案：C 解析：，令＝0，得，所以的最小值是5 （11）如圖, 網(wǎng)格紙上的小正方形的邊長為, 粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖, 則該幾何體的體積是( ) (A) (B) (C) (D) 答案：B 解析：該幾何體是一個(gè)放倒的半圓柱上面加一個(gè)四棱錐的組合體， （12）已知函數(shù)，若存在，使得成立，則實(shí)數(shù)的值為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 第Ⅱ卷 二. 填空題：本大題共4小題，每小題5分。 （13）曲線在點(diǎn)處的切線方程為 . 答案： 解析： （14）已知平面向量與的夾角為，，，則 . 答案：2 解析： （15）已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn) 在橢圓上，則橢圓的方程為 . 答案： 解析： 由于兩個(gè)焦點(diǎn)為（－1,0），（1,0） 所以， （16）一個(gè)二元碼是由0和1組成的數(shù)字串 ，其中 稱為第 位碼元，二元碼是通信中常用的碼，但在通信過程中有時(shí)會(huì)發(fā)生碼元錯(cuò)誤（即碼元由0變?yōu)?，或者由1變?yōu)?）.已知某種二元碼 的碼元滿足如下校驗(yàn)方程組： 其中運(yùn)算 定義為： ． 現(xiàn)已知一個(gè)這種二元碼在通信過程中僅在第 位發(fā)生碼元錯(cuò)誤后變成了1101101，那么利用上述校驗(yàn)方程組可判定 等于 ．【答案】． 三. 解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。 （17）（本小題滿分分） 設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和, 已知, N. (Ⅰ) 求數(shù)列的通項(xiàng)公式； (Ⅱ) 令，求數(shù)列的前項(xiàng)和. 解析：(Ⅰ) 解: 當(dāng)時(shí), 由, 得,…………………………1分 兩式相減, 得, …………………………2分 ∴ . ∴ . …………………………3分 當(dāng)時(shí),，, 則.…………………4分 ∴數(shù)列是以為首項(xiàng), 公比為的等比數(shù)列. ………………………5分 ∴. ……………………………………………………6分 (Ⅱ) 解法1: 由(Ⅰ)得. ∴ , ① …………………7分 , ② …………………8分 ①-②得…………9分 …………………………10分 . …………………………………11分 ∴ .……………………………………………………12分 （18）（本小題滿分分） 班主任為了對(duì)本班學(xué)生的考試成績(jī)進(jìn)行分析，決定從本班名女同學(xué)，名男同學(xué)中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為的樣本進(jìn)行分析. (Ⅰ)如果按照性別比例分層抽樣，可以得到多少個(gè)不同的樣本？（寫出算式，不必計(jì)算出結(jié)果） (Ⅱ)如果隨機(jī)抽取的名同學(xué)的數(shù)學(xué)，物理成績(jī)(單位：分)對(duì)應(yīng)如下表： 學(xué)生序號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 數(shù)學(xué)成績(jī) 60 65 70 75 85 87 90 物理成績(jī) 70 77 80 85 90 86 93 若規(guī)定分以上（包括分）為優(yōu)秀，從這名同學(xué)中抽取名同學(xué)，記名同學(xué)中數(shù)學(xué)和物理成績(jī)均為優(yōu)秀的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望； 解析：(Ⅰ)解：依據(jù)分層抽樣的方法，名女同學(xué)中應(yīng)抽取的人數(shù)為名， …………………………………………2分 名男同學(xué)中應(yīng)抽取的人數(shù)為名， ……………………4分 故不同的樣本的個(gè)數(shù)為. …………………………………………6分 (Ⅱ)解: ∵名同學(xué)中數(shù)學(xué)和物理成績(jī)均為優(yōu)秀的人數(shù)為名, ∴的取值為.………7分 ∴, , , . …………………9分 ∴的分布列為 …………………………………………10分 ∴ . …………………………12分 （19）（本小題滿分分） 如圖，在三棱錐中，側(cè)面與側(cè)面均為等邊三角形，，為中點(diǎn)． （1）證明：平面； （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1）證明見解析；（2）． 【解析】（1）由題設(shè)，連結(jié)，為等腰直角三角形， 所以，且，…………………2分 又為等腰三角形，，且，得．………4分 所以為直角三角形，．…………5分 又．所以平面．…………………6分 （2）解法一：取中點(diǎn)，連結(jié)，由（1）知， 得．為二面角的平面角．…………………8分 由得平面． 所以，又，故． 所以二面角的余弦值為 …………………12分 （20）（本小題滿分分） 已知點(diǎn)，點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，過作直線，，線段的 垂直平分線與交于點(diǎn). (Ⅰ)求點(diǎn)的軌跡的方程； (Ⅱ)若點(diǎn)是直線上兩個(gè)不同的點(diǎn), 且△的內(nèi)切圓方程為，直 線的斜率為，求的取值范圍. 解析： (Ⅰ)解:依題意,點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于它到直線的距離, ………………1分 ∴點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線. …………2分 ∴曲線的方程為. ………………………………………………3分 (Ⅱ)解法1：設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)， 直線方程為：， ………………………4分 化簡(jiǎn)得，. ∵△的內(nèi)切圓方程為， ∴圓心到直線的距離為，即. ………5分 故. 易知，上式化簡(jiǎn)得，.………………6分 同理，有. ………………………………7分 ∴是關(guān)于的方程的兩根. ∴， . ………………………………8分 ∴.……………9分 ∵，， ∴. 直線的斜率，則. ∴. ………………………………10分 ∵函數(shù)在上單調(diào)遞增， ∴. ∴. ∴. ………………………………………………11分 ∴. ∴的取值范圍為. ………………………12分 解法2：設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)， 直線的方程為，即，………………4分 ∵ 直線與圓相切， ∴ . ∴ . …………………………5分 ∴ 直線的方程為. ∵ 點(diǎn)在直線上, ∴ . 易知，上式化簡(jiǎn)得，. …………………6分 同理，有. ………………………………………7分 ∴是關(guān)于的方程的兩根. ∴， . …………………………………………8分 ∴. ……………9分 ∵，， ∴. 直線的斜率，則. ∴. ……………………………………10分 ∵函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴. ∴. ∴. ……………………………11分 ∴. ∴的取值范圍為. ………………………12分 解法3：設(shè)點(diǎn)，直線的方程為，即， 令,得,∴ . …………………4分 ∵ 直線與圓相切， ∴ . 化簡(jiǎn)得,. ……………………………………5分 同理,設(shè)直線的方程為， 則點(diǎn),且. …………6分 ∴ ,是關(guān)于的方程的兩根. ∴ , . …………………………………………7分 依題意,,. ∴ ……………………8分 . ………………9分 直線的斜率，則. ∴. ……………………………………10分 ∵函數(shù)在上單調(diào)遞增， ∴. ∴. ∴. ………………………11分 ∴. ∴的取值范圍為. ………………………………12分 解法4：設(shè)點(diǎn)，如圖，設(shè)直線，與圓相切的切點(diǎn)分別為，， 依據(jù)平面幾何性質(zhì)，得， …………………………4分 由， …………………5分 得， 得. …………6分 得.……7分 故. …………………………8分 依題意,,. ∴ . ………………9分 直線的斜率，則. ∴.…………………10分 ∵函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴. ∴. ∴. ……………………11分 ∴. ∴的取值范圍為. ……………………12分 （21）（本小題滿分分） 已知函數(shù) (x∈R) (Ⅰ) 當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值； (Ⅱ) 若時(shí),,求實(shí)數(shù)的取值范圍； 解析：(Ⅰ)解:當(dāng)時(shí)，,則. …………………1分 令，得.…………………2分 當(dāng)時(shí), ; 當(dāng)時(shí), . …………………………3分 ∴函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增. ……………4分 ∴當(dāng)時(shí),函數(shù)取得最小值,其值為. ……………………5分 (Ⅱ)解:若時(shí),,即.(*) 令,則.………………………6分 ① 若,由(Ⅰ)知,即,故. ∴.……………7分 ∴函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.∴. ∴(*)式成立. ……………8分 ②若,令, 則. ∴函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增. 由于,.…………9分 故,使得. ……………………………………10分 則當(dāng)時(shí),,即. ∴函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減. ∴ ,即(*)式不恒成立. ………………………………………11分 綜上所述,實(shí)數(shù)的取值范圍是. ………………………………………12分 （22）（本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講 已知都是實(shí)數(shù)，，. (I)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍； (II)若對(duì)滿足條件的所有都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 解：(I) 由得或， 解得或. 故所求實(shí)數(shù)的取值范圍為.……5分 （II）由且得 ， 又∵， …………………………7分 ∴， ∵的解集為， ∴的解集為， ∴所求實(shí)數(shù)的取值范圍為.……10分